2015西城区高三一模数学理试题及答案word版
2015丰台一模 北京市丰台区2015年高三一模试题数学理 Word版含答案
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为 (A) (1,1)-(B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或23．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 7 (B)10 (C) 11(D) 161俯视图侧视图正视图335．在极坐标系中，曲线26cos 2sin 60ρρθρθ--+=与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于(A)(B)(C) (D) 46．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是ODCB A(A) 4(B) 5(C)(D)7．将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) cos(+)6y x π=(B) 1cos4y x = (C) cos y x =(D) 1cos()43y x π=-8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的(A) 最大值是，最小值是4 (B) 最大值是8，最小值是4(C) 最大值是2 (D) 最大值是8，最小值是2第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．定积分(cos )x x dx π+=⎰____．10．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n =____，展开式中的常数项是____．11．若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-， 如果函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围 是____．13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB =8，BC =1，则 CD=____；AD=____．14．已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A=____；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为____．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()cos cos2222xxx f x ωωω=+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. （本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250， C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求p ，q 的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和．为X ，求X 的分布列．17. （本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2．（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值； PEDCBA如果不存在，说明理由．18.（本小题共13分）设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >； （Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．20.（本小题共13分）如果数列A ：1a ，2a ，…，m a (Z m ∈，且3)m ≥，满足：①Z i a ∈，22i m ma -≤≤(1,2,,)i m =； ②121m a a a +++=，那么称数列A 为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．22π 10．4，24 11．612．(1,0)- 13．3 14．1，6π+ 注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）21()cos cos2222xxx f x ωωω=-21sin 232cos 1-++=x x ωω x x ωωcos 21sin 23+=)6sin(πω+=x ． 因为πωπ==2T ，0>ω，所以2=ω．因为)62sin()(π+=x x f ，R x ∈，所以1)62sin(1≤+≤-πx ．所以函数()f x 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分（Ⅱ）令226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈， 得322322ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈，所以63ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈．所以函数()f x 的单调递增区间为3[ππ-k ，]6ππ+k )(Z k ∈．……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩所以25p =，25q =． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则121233()554545P A ⨯+⨯=+=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ……………………7分（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232(9)54545P X ==⨯+⨯=； 233(10)5410P X ==⨯=．所以……………………13分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD ． ……………………4分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m =．设PD 与平面PCE 所成角为α， 则sin cos ,6m PD m PD PD mα⋅=<>==． 所以PD 与平面PCE所成角的正弦值是． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩． 令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a n ． 因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即08222=-++a a，所以4512<=a ， 点12(,0,0)5F ．所以35AF AB =． ……………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，所以()2x f x e '=-．因为0(0)21f e '=-=-，即切线的斜率为1-，所以切线方程为1(0)y x -=--，即 10x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2x f x e '=-．令()0f x '=，则0ln 2x =．当(,ln 2)x ∈-∞时，0)('<x f ，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减， 当(ln 2,)x ∈+∞时，0)('>x f ，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当ln 2x =时，函数最小值是ln 2(ln 2)2ln 222ln 20f e =-=->．命题得证． ……………………8分（Ⅲ）因为()x f x e ax =-，所以()x f x e a '=-．令()0f x '=，则ln 0x a =>．当1a >时，设()ln M a a a =-，因为11()10a M a a a-'=-=>， 所以()ln M a a a =-在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ln11M =-=， 所以()ln 0M a a a =->在(1,)+∞恒成立，即ln a a >． 所以当(0,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a a ∈，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a a 上单调递增． 所以()f x 在[0,]a 上的最大值等于{(0),()}max f f a ， 因为0(0)01f e a =-⋅=，2()a f a e a =-， 不妨设2()()(0)1a h a f a f e a =-=--(1a >)，所以()2a h a e a '=-．由（Ⅱ）知()20a h a e a '=->在(1,)+∞恒成立，所以2()()(0)1a h a f a f e a =-=--在(1,)+∞上单调递增． 又因为12(1)1120h e e =--=->，所以2()()(0)10a h a f a f e a =-=-->在(1,)+∞恒成立，即()(0)f a f >． 所以当1a >时，()f x 在[0,]a 上的最大值为2()a f a e a =-． ……………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为c e a ==c = 所以2221b a c =-=， 所以椭圆C的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-，22(2,)AQ x y =-，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-， 所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y k k k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上， 所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041k k k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由121m a a a +++= 得12m a a Z m +=∉，与i a Z ∈矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：设n S 为重新排列后所得数列的前n 项和（n Z ∈且1n m ≤≤）， 任取大于0的一项作为第一项，则满足1122m m S -+≤≤， 假设当2,n m n N ≤≤∈时，1122n m m S --+≤≤ 若10n S -=，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤， 若10n S -≠，则剩下的项必有0或与1n S -异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与1n S -异号的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤． 如果按上述排列后存在0n S =成立，那么命题得证；否则1S ，2S ，…，m S 这m 个整数只能取值区间[1,]22m m -+内的非0整数， 因为区间[1,]22m m -+内的非0整数至多m -1个，所以必存在i j S S =(1)i j m ≤<≤， 那么从第1i +项到第j 项之和为0i j S S -=，命题得证．综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2015西城区高三二模数学(理科)
2015西城区高三二模数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x﹣1＞0}，集合B={x|x≤3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3） D．[﹣1，3]2．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x 满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21 C．42 D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A． B． C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数=．10．（5分）双曲线C：﹣=1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则；cos2α=．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=，则PA=；AD•DE=．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求 f （x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．（1）若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F2P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k （P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）=2k﹣1，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知a20=46，求s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【解答】由A中不等式解得：x＞1，即A=（1，+∞），∵B=（﹣∞，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．2．【解答】∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．3．【解答】命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）=cos（x+π）=﹣cosx为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．【解答】由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n=3，满足条件n＞2，计算并输出s=1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n=9，满足条件n＞2，计算并输出s=2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s=1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．【解答】解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）===4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2=32，当且仅当4x=，即x=4时，取“=”；∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）==，其中x＞0；设t=，∴4x2﹣tx+64=0，∴△=t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t=32时，x==4，∴x=4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．【解答】根据题意，得10=a2+a4+…+a20=a2+a20+a4+a18+…+a10+a12=10a11，∴a11=1，∴S21=a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11=21a11=21，故选：B．7．【解答】若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．8．【解答】由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】=．故答案为：1+3i．10．【解答】∵双曲线的方程是﹣=1，∴a2=8，b2=4，∴c2=a2+b2=12，∴a=2，b=2，c=2，∴离心率为e==，渐近线的方程为y=±x，故答案为：，y=±x．11．【解答】∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cosα==﹣cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣；﹣．12．【解答】∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=；∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB ， ∴PB=BD ，∴BD•DC=PB•2PB ， ∵AD•DE=BD•DC ， ∴AD•DE=2PB 2=． 故答案为：，．13．【解答】分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有=72种，故共有72+72+72+72=288． 故答案为：288．14．【解答】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确； ③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．【解答】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为：∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．17．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为=（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞=，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则=（t，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为=（a，b，c），则，∴=（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．【解答】（1）当a=﹣时，f（x）=；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）=的定义域为R；f′（x）=，令f′（x）=0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）=0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M=max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．【解答】（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，且e==，解得a=，b=1，c=，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c==，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率=，直线F 2P的斜率为=，直线F2P：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为=，以PQ 为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•=•=﹣1，化简可得y02=x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0=a2，y0=2﹣a2，即有|OP|2=x02+y02=（a2﹣2）2+2，由a2+b2=4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．【解答】（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）=1，T2（P）=2，T3（P）=2，T4（P）=3，T5（P）=4；（Ⅱ）∵T k（P）=2k﹣1，∴T1（P）=1，T2（P）=3，T3（P）=5，T4（P）=7，…∵T2（P）=3，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）=5，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1=a2=1，a3=a4=2，…，a2n﹣1=a2n=n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）+=，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）=，∴数列{a n}前n项的和S n=；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1对应可得T k（P），及s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）=i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′=a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′=a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列T k（P′）的定义，可得（P′）=i，且T j（P′）=T j（P）（j≠a i+1）．显然（P′）=（P）﹣1，∴s′=a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）=a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）++…+T46（P）=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=s，即调整后s′=s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1=a2=…=a20=46时，T1（P）=T2（P）=…=T46（P）=1，∴s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=46×20+46=966．。
北京市西城区2015届高三二模数学(理)试题Word版含解析
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.设集合{|10}A x x =->，集合{|3}B x x =≤，则 A B =（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3]C ．[1,3)D ．(1,3]-【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，(1,)A =+∞，(,3]B =-∞，∴(1,3]AB =，故选B.考点：集合的运算.2.已知平面向量a ，b ，c ， (1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8【答案】D.【解析】试题分析：∵(1,4)a b +=，()//a b c +，∴4(2)8k =⨯-=-，故选D考点：平面向量共线的坐标表示.3.设命题p ：函数1()x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos()f x x π=+为奇函数．则 下列命题中真命题是（ ）A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∧⌝【答案】D.【解析】试题分析：由题意可知，命题p 是真命题，()cos()cos f x x x π=+=-为偶函数，∴q 是假命题，从而可知()p q ∧⌝是真命题，故选D.考点：1.函数的性质；2.命题真假判断.4.执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）A ．{1,2}B ．{1,3}C ．{2,3}D ．{1,3,9}【答案】A.考点：1.对数的计算；2.程序框图.5.某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B.【解析】试题分析：平均话费为164()432y x x x =+≥⋅=，当且仅当16x x =，4x =时，等号成立，故选B.考点：基本不等式求最值.6.数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a ++⋅⋅⋅+=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84【答案】B.【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴2204181012a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+，∴2202a a +=， ∴22012121()21()212122a a a a S +⋅+⋅===，故选B. 考点：等差数列的性质.7.若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3>aB ．3<aC ．4>aD ．4<a【答案】A.【解析】试题分析：由于1x >是2x a x >-的必要不充分条件，∴2x a x >-，即2xx a +>的解集是{|1}x x >的子集，令()2x f x x =+，则()f x 为增函数，那么()(1)3f x f >=，则3a >，此时满足2x x a +>条件的x 一定是{|1}x x >的子集，故选A.考点：1.函数的性质；2.充分必要条件.8.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ）C.34D.1 【答案】C.【解析】试题分析：由题意易得：PQ AC ⊥，作1PQ ⊥平面11ABA B 于1Q ，由对称性可知1PQ PQ =，因此min 1min ()()PM PQ PM PQ +=+，问题转化为在平面11AB C 内，体对角线1AC 上找一点P 使得1PM PQ +最小，如下图所示，过点M 作它关于直线1AC 的对称点1M ，交直线1AC 与点O , 再过点1M 作1MQ ⊥1AB 于点1Q ，交1AC 于点P ，则11M Q 的长度即为所求的最小值，易得1130C AB ∠=，∴12OM AM ==，1MM =，11134M Q ==.考点：立体几何中的最值问题.二．填空题:本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷对应的横线上．9.复数=+ii 310________. 【答案】13i +.【解析】 试题分析：1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-. 考点：复数的计算.10.双曲线C ：14822=-y x 的离心率________；渐近线的方程为_________．y x =±. 【解析】试题分析：由题意可知，28a a =⇒=242b b =⇒=，∴c =离心率2c e a ==，渐近线方程为2y x =±. 考点：双曲线的标准方程及其性质.11.已知角α的终边经过点)4,3(-，则=αcos __________；=α2cos _________．【答案】35-，725-. 【解析】 试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，3cos 5α=-，27cos 22cos 125αα=-=-. 考点：1.任意角的三角函数定义；2.三角恒等变形.12.如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ， 且PA PC 2=，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ，若34PB = ，则 =PA __________；=⋅DE AD _________．【答案】32，98. 【解析】试题分析：由切割线定理22PA PB PC PB PA =⋅=⋅，∴32PA =，3PC =，再由相交弦定理 AD DE BD DC ⋅=⋅，∵D 是PC 的中点，∴32DC =，34BD PD PB =-=，则98A D D EB D DC ⋅=⋅=. 考点：1.切割线定理；2.相交弦定理.13.现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）【答案】288.【解析】试题分析：先排除甲乙之外的其他人有44A ，此时中间形成三个空隙，把甲安排到这3个位置上，有3种方法，由于甲乙不相邻，再把乙方法包括端点的其他4个位置，有4种方法，每一步之间属于分步，∴共有4434288A ⨯⨯=种.考点：排列组合.14.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,])x x π∈，OP 所经过的在正方 形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①()3f π=；②任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=； ③任意1x ，2(,)2x ππ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- 其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②.考点：函数性质的运用.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13 分）在锐角ABC ∆中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知a =，3b =，sin B A +=（1） 求角A 的大小；（2） 求ABC ∆的面积．【答案】（1）3A π=；（2）2ABC S ∆=. 【解析】 试题分析：（1）根据正弦定理可求得sin A 的值，再由锐角ABC ∆即可求解；（2）根据余弦定理的变式可以求得c 的值，进而即可求得ABC ∆的面积.试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，得sin 3sin B A =，又∵sin B A +=sin A =ABC ∆，∴3A π=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，∵222cos 02a c b B ac +-==<，∴B 为钝角，不合题意，舍去，当2c =时，∵222cos 02a c b B ac +-==>，且b c >，b a >，∴ABC ∆为锐角三角形，符合题意，此时11sin 322222ABC S bc A ∆==⨯⨯=. 考点：正余弦定理解三角形.16.（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”．（1）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级 卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（2）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达 到最小值．（只需写出结论）【答案】（1）m n =；（2）X 的分布列为 X 0 1 2 P 2959 29 ∴()0121999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）0b =. 101014182225273041432410+++++++++=， 乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=，由茎叶图可知，甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =，∴m n =；（2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，且02552102(0)9C C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，20552102(02)9C C P X C ===， ∴X 的分布列为X0 1 2 P 2959 29 ∴()0121999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）分析题意可知，b 的可能取值为09-的整数，计算可得0b =时，2s 达到最小值.考点：1.离散型随机变量的概率分布及其期望；2.概率统计的运用.17.（本小题满分14 分）如图 1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥ ，如图 2．（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1ABC ？若存在，求出EP PB的 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2（3）不存在. 【解析】 试题分析：（1）分析题意可证得1A E DE ⊥，1DC A E ⊥，再由线面垂直的判定即可得证；（2）根据题意，以EB ，ED ，EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，从而可求得平面1A BC 的一个法向量与平面1A BE 的一个法向量，从而求解；（3）首先假设存在，设平面1A DP 的一个法向量为)p t =，从而可以建立关于t 的方程，通过方程解的情况即可求解. 试题解析：（1）∵D E B E ⊥，//BE DC ，∴D E D C ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE ，∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DC DE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知DE =则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，C ，D ，∴1(2,0,2)BA =-，BC =，考点：1.线面垂直的判定；2.空间向量求空间角.18.（本小题满分13 分） 已知函数21()1x f x ax -=+，其中a R ∈．（1）当14a =-时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对于任意的实数x ，都有|()|f x m <成立． 【答案】（1）函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-，求导，根据导数即可求导函数()f x 的单调区间；（2）求导，判断函数的单调性，并求其极值点与极值，根据其取值情况，即可得证.试题解析：（1）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-，其定义域为{|2}x R x ∈≠±，求导得22222224(1)3'()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----==<--，∴函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减；（2）当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R ，求导，得22221'()(1)ax ax f x ax --=+，令'()0f x =，解得110x =-<，211x =+>，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：∴函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，又∵(1)0f =，当1x <时，21()01xf x ax -=>+，当1x >时，21()01x f x ax -=<+，∴当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤，当1x >时，2()()0f x f x ≤<，记12max{|()|,|()|}M f x f x =，其中12max{|()|,|()|}M f x f x =为两数1|()|f x ，2|()|f x 中较大的数，综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式|()|f x m ≤恒成立.考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.分类讨论的数学思想. 19.（本小题满分14 分）设1F ，2F 分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =．（1）若椭圆E的离心率为3，求椭圆E 的方程； （2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为 直径的圆经过点1F，证明：||OP >【答案】（1）2213x y +=；（2）详见解析. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=；（2）由题意，得224a b +=，∴椭圆E 的方程222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c，c =00(,)P x y ，由题意知0x c =，则直线1F P 的斜率100F P y k x c =+，直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--，当0x =时，00y cy x c-=-，即点00(0,)y c Q x c --，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-，∵以PQ 为直径的圆经过点1F ，∴11PF FQ ⊥，∴1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-，化简得22200(24)y x a =--，又∵P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，∴22002214x y a a +=-，00x >，00y >，由①②，解得202a x =，20122y a =-，∴22222001||(2)22OP x y a =+=-+，∵22242a b a +=<，∴22a >，∴||OP >考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系. 20.（本小题满分13 分）无穷数列 P ：1a ，2a ，……，n a ，……，满足*i a N ∈，且*1()i i a a i N +≤∈，对于数列P ，记*()min{|}()k n T P n a k k N =≥∈，其中min{|}n n a k ≥表示集合{|}n n a k ≥中最小的数．（1）若数列P ：1，3，4，7，……，写出1()T P ，2()T P ，……，()s T P ； （2）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和；（3）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =；（2）当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n n S a a a -++=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=， 当n 为偶数时，21222(12)24n n n n nS a a a +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=；（3）966.【解析】试题分析：（1）根据条件中关于()k T P 的定义可知，需要求的为满足不等式(1,2,3,4,5)n a k k ≥=时的最小整数n ，从而求解；（2）对于条件中的等式()21k T P k =-赋值，令1k =，2，从而可知121a a ==，342a a ==，……，212n n a a n -==，再由n 的奇偶性分类讨论即可求解；（3）根据特殊情况1n =，2，可归纳猜想(1)n s n a =+，再利用数学归纳法即可求解.试题解析：（1）由条件可知，满足1n a ≥的最小整数1n =，即1()1T P =，满足2n a ≥的最小整数2n =，即2()2T P =，满足3n a ≥的最小整数2n =，即3()2T P =，满足4n a ≥的最小整数3n =，即4()3T P =，满足5n a ≥的最小整数4n =，即5()4T P =；（2）由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，……，∵2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k =≥，∴32a ≥，且22a <，同理，由3()5T P =，且()m i n {|}k n T P n a k =≥，得53a ≥，且43a <， 以此类推，得74a ≥，64a <，……，21n a n -≥，22n a n -<，∵*1()i i a a i N +≤∈，*i a N ∈， ∴121a a ==，342a a ==，……，212n n a a n -==，∴当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n n S a a a -++=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=， 当n 为偶数时，21222(12)24n n n n nS a a a +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=；（3）将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，当1n =，1()1T P =，2()1T P =，……，1()1a T P =，考点：1.数列新定义综合题；2.数学归纳法.。
2015年高三一模数学(文)北京市石景山区试题Word版带解析
2015年石景山区高三统一测试数 学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则A B =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0,1,2}D ．φ 2．函数sin()1y x π=--的图象（ ） A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称3．两旅客坐火车外出旅游，希望座位 连在一起，且有一个靠窗，已知火车上 的座位的排法如图所示，则下列座位 号码符合要求的是（ ） A ．48，49 B ．62，63 C ．75，76 D ．84，854．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=（ ）A ．0B ． 1 C． D ．135a b c5．阅读右面的程序框图，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为（ ） A ．1- B ．0 C ． 1 D ．56．函数 ))(()(b x a x x f --=（其中a b >） 的图象如右图所示，则函数()xg x a b =+ 的大致图象是（ ）AB C D7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为（ ）A． B C ．3 D ．8．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 点M 在棱AB 上，且AM 13=，点P 是平面 ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离 与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 5α=-,则x 的值为 ．10．设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为 ．11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A (0,2)，B (2,0)-，C (1,0)，分别以△ABC 的 边向外作正方形与， 则直线的一般式方程为 ．AB AC 、ABEF ACGH FH MDAB CB 1A 1D 1 C 1P ． ．13．某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操 一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域 尽可能大，矩形的长应该设计成 米．14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①2{(,)|+1}M x y y x ==； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|22}xM x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,),*nS n n N n∈均在函数y x =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b c ，3A C π+=． （Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）求sin B 的值；（Ⅲ）若b =，求△ABC 的面积．已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 值；（Ⅲ）已知10,8a b ≥≥，求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率.18．（本小题满分14分）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB 90=，AB //CD ，AD =AF =CD =2，AB =4．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求三棱锥A -CDE 的体积；（Ⅲ）线段EF 上是否存在一点M ，使得BM ⊥CE ? 若存在，确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．ACDEFB如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x的离心率2e =，短轴的右端点为B ，M （1，0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．20．(本小题满分13 分)已知函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若12a =-，且关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足111,ln 2(*)n n n a a a a n N +==++∈， 求证：21nn a ≤-.2015年石景山区高三统一测试数 学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分） （Ⅰ）依题意得nS n n=，即2=n S n ． 当n =1时，a 1=S 1=1 ……………1分 当n ≥2时，121n n n a S S n -=-=-； ……………3分 当n =1时，a 1=211⨯- =1所以21n a n =- ……………4分 (Ⅱ) 312328b b b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=，1112n n n b b q --∴==， ……………8分1212n n n a b n -∴+=-+，011(212)(412)(212)n n T n -=-++-++⋅⋅⋅+-+ 011(214121)(222)n n -=-+-+⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+221n n =+-……………13分(Ⅰ)因为A B C ++=，3A C +=，所以2B C =． ……………………1分又由正弦定理，得sin sin b c B C =，sin sin b B c C=， 2sin cos sin C CC =，化简得，cos C = ………………………4分(Ⅱ)因为()0,C ∈，所以sin C =．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ===． ………………………7分 （Ⅲ）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………9分所以sin sin()1()3A B C =+=+-=． ……………………11分因为b c ， b =92c =． ……………………12分所以△ABC 的面积119sin 222S bc A ==⨯． ………………………13分 17．（本小题共13分） (Ⅰ)由题意可知18n＝0.18，得n ＝100.故抽取的学生人数是100. ………………2分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知n ＝100，所以(79)/1000.3a =++，故a ＝14， ………………4分 而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17. ………………6分 （Ⅲ）设“语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少”为事件A ， 由(Ⅱ)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8， ………………7分 满足条件的（a ，b ）有 （10,21），（11,20），（12,19），（13,18）, （14,17）, （15,16）,（16,15）,（17,14）,（18,13）,（19,12）， （20,11）,（21,10）,（22,9）,（23,8），共有14组， ………………10分 其中b +11>a +16的有3组， ………………12分 则所求概率为3()14P A =. ………………13分（Ⅰ）过C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，因为AD ⊥DC ，所以四边形ADCN 为矩形．所以AN =NB =2. 又因为AD =2，AB =4，所以AC =，CN 2=，BC =,所以AC 2+BC 2=AB 2，所以AC ⊥BC ； ………2分 因为AF ⊥平面ABCD ，AF //BE 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC ， ………3分 又因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE BC =B所以AC ⊥平面BCE ．………4分(Ⅱ) 因为AF ⊥平面ABCD ，AF //BE 所以BE ⊥平面ABCD1433A CDE E ACDACD V V EB S --∆==⋅=………8分（Ⅲ）存在，点M 为线段EF 中点，证明如下： …………9分 在矩形ABEF 中，因为点M ，N 为线段AB 的中点，所以四边形BEMN 为正方形， 所以BM ⊥EN ； …………10分 因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD . 在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，又AF AB =A ，所以AD ⊥平面ABEF ，又CN //AD ，所以CN ⊥平面ABEF ，又BM ⊂平面ABEF 所以CN ⊥BM ； …………12分 又 CNEN =N ，所以BM ⊥平面ENC ，又EC ⊂平面ENC ，所以BM ⊥CE.…………14分M N ACDEFB（Ⅰ）由题意知, 2b = …………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y yx t x t+=--，即121211y y my t my t =-+-+-， …………………10分展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，即222(6)4(1)0,1212m m t m m---+=++ …………………12分 即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，221()(0)ax x f x x x+-'=->， ……………2分 依题意()0f x '≥在(0)x >时恒成立，则22121(1)1x a x x-≤=--在(0)x >时恒成立， 当1x =时，21(1)1x--取最小值1-，(,1]a ∴∈-∞-. ………… 4分 （Ⅱ）已知条件等价于方程213ln 042x x x b -+-=在[1,4]上有两个不同的实根， 设213()ln ,[1,4]42g x x x x x =-+∈， xx x x g 2)1)(2()(--='，[1,2)x ∈时，0)(<'x g ，(2,4]x ∈时，0)(>'x g ,22ln )2()(min -==g x g 22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ， ………… 6分 由0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g < 则]45,22(ln --∈b ……………8分（Ⅲ）先证：当0x >时，ln 1x x ≤-. 令1()ln 1()x h x x x h x x-'=-+=，，可证(0,1)x ∈时()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞时()h x 单调递减，1x =时0)(max =x h .所以0x >时，ln 1x x ≤-. ……………9分用以上结论，由,0>n a 可得1ln -≤n n a a .12212ln 1+=++-≤++=∴+n n n n n n a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a ……10分所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a 211021≤++<--n n a a ，…，,211012≤++<a a 相乘得112110-≤++<n n a a . ………12分 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a . ……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市西城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(理)试卷2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤（C ）{|12}x x <<（D ）{|12}x x ≤<【答案】B【解析】2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）2【答案】A 【解析】i ()112i 2222a a i i ai a i ++-===---，因为i 2i a +的实部与虚部相等，所以122a=-，即1a =-，选A.3．执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-【答案】D【解析】由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。
因为31y =-<-，所以只有tan 3θ=-，因为42ππθ≤≤，所以3πθ=-，选D.4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 （A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种【答案】B【解析】若选甲不选乙，则有133318C A =种。
若选乙不选甲，则有133318C A =种。
若选甲，乙都选，则有21332336C C A =种，所以共有72种，选B.5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+ 【答案】C【解析】由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为213222322⨯⨯⨯=，侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是1223+，选C.6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q >，即1q >或1q <-。
2015年北京海淀区高三数学一模(理科)试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D（7）C（8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）2（10）4（11）16,16（12）π12或5π12（13）24（14）(,0)(1,)三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1cos2()4()2xf x ………………2分1sin 22x.所以2ππ2T . ………………4分令π2π()2x k kZ ，得：ππ()24k xk Z . ………………6分所以()f x 的最小正周期为π，对称轴的方程为ππ()24k xk Z .（Ⅱ）sin 2()13()32x f x 12π1sin(2)232x . ………………9分令π2ππ2π22π()232k x k k Z ，得：π7πππ()1212k x k k Z . 所以π()3f x 的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k Z .………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a ；………………2分2212s s .………………4分（Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则()0.200.100.3P A ，()0.100.200.3P B .………………6分所以()()()()()0.42P C P A P B P A P B .………………8分（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.………………9分0033(0)0.30.70.343P X C，1123(1)0.30.70.441P X C ，2213(2)0.30.70.189P X C ，3303(3)0.30.70.027P XC.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027………………11分所以X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX .………………13分另解：由题意可知(303)X ~B ,..所以X 的数学期望30.30.9EX.………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为四边形11ABE F 为正方形，所以AB BE 1.因为平面ABCD平面11F ABE ，平面ABCD平面AB F ABE 11，1BE 平面11ABE F ，所以1BE 平面ABCD . ………………2分因为DC平面ABCD ，所以DC BE 1. ………………4分（Ⅱ）解：如图，以点B 为坐标原点，分别以1,BC BE 所在的直线为,x z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz .设1AD，则12(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,1,)2B C E M .zyxABC DE 1F 1M所以2(1,1,)2BM ，1(2,0,2)CE ，12(1,1,)2E M .………………6分设平面1CE M 的一个法向量为(,,)nx y z .由110,0,n CE n E M得220,20.2xz xyz令1x ，得2,0zy，所以(1,0,2)n.………………8分设BM 与平面1CE M 所成角为，则101230sin cos ,15532BM n BM nBM n.所以BM 与平面1CE M 所成角的正弦值为23015. ………………10分（Ⅲ）解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：………………11分由题意得，2(2,1,0),(1,0,),2D DM1(2,0,2)CE .所以12CE DM .所以1//CE DM .………………13分因为DM ，1CE 不重合，所以//DM 1CE .………………14分另解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM .所以1//PQ BE 且112PQBE .因为M 为1AF 的中点，四边形11ABE F 是正方形，所以1//AM BE 且112AMBE .所以//PQ AM 且PQAM .所以APQM 为平行四边形. 所以//MQ AP 且MQAP .因为四边形ABCD 为梯形，2BC AD ，所以//AD PC 且AD PC .所以四边形APCD 为平行四边形. 所以//CD AP 且CD AP . 所以//CD MQ 且CDMQ .所以CDMQ 是平行四边形. 所以//DM CQ ，即//DM 1CE .………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x xxx.………………2分（ⅰ）当0a时，'()0f x ，则函数()f x 的单调递减区间是(0,).………………3分（ⅱ）当0a时，令'()0f x ，得1xa.当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表x1(0,)a1a 1(,)a'()f x 0()f x ↘极小值↗所以()f x 的单调递减区间是1(0,)a ，单调递增区间是1(,)a. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a时，函数()f x 在区间(0,)内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意.………………6分当0a时，因为()f x 在1(0,)a内是减函数，在1(,)a内是增函数，所以要使P QABCDE 1F 1M{()0}[,]x f x b c ，必须1()0f a，即1ln0a a a.所以e a .………………7分当e a 时，222211()ln()2ln (2ln )f a aa a aa a a aa.令()2ln (e)g x x x x ，则22'()1(e)xg x xxx.当e x 时，'()0g x ，所以，()g x 在[e,)上是增函数. 所以当e a时，()2ln (e)e 20g a aag .所以21()0f a.………………9分因为2111a a ，1()0f a，(1)10f ，所以()f x 在211(,)a a 内存在一个零点，不妨记为b ，在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c .………………11分因为()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a内是增函数，所以{()0}[,]x f x b c .综上所述，a 的取值范围是(e,+).………………12分因为211(,)b a a，1(,1)c a，所以[,](0,1)b c .………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,6,3.b c aabc ………………3分解得：223,1.a b所以椭圆M 的方程为2213xy.………………4分（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下：………………5分假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为yx m ，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t .………………6分由2233,x yyx m得224230ymy m.………………8分由2221630m m ，解得22m.………………9分因为122m y y ，所以12024y y m y . ………………11分因为四边形ABCD 为菱形，所以Q 是AC 的中点.所以C 点的纵坐标022212C m y y .………………12分因为点C 在椭圆M 上，所以1Cy .这与1Cy 矛盾.………………13分所以不存在满足题意的菱形ABCD .（20）（共14分）解：（Ⅰ）由①，得26a .由②，当2i，3j ，4k时. 2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a，126，故26a，解得3a.经检验，当3a 时，符合题意.………………3分（Ⅱ）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5na ，且4n .由①，1231n nnna a a a .………………4分对于数21,,n n n a a a ，由②可知：21n n n a a a ；对于数31,,n n n a a a ，由②可知：31n nn a a a .………………6分所以23nn a a ，这与①矛盾.所以2,3,5不可能是数列n A 中的项.………………7分（Ⅲ）n 的最大值为9，证明如下：………………8分高三数学（理）试题答案第11 页共11 页（1）令9111:4,2,1,,,0,,1,2242A ，则9A 符合①、②. ………………11分（2）设12:,,,(3)n n A a a a n 符合①、②，则：（ⅰ）n A 中至多有三项，其绝对值大于 1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1||||||||i j k l a a a a . 则对i a ，k a ，l a 有||||i l l a a a ，||||k l l a a a ，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项. 同理：j k a a 也是数列n A 中的项. 但||||i kk a a a ，||||j k k a a a . 所以i k j k l a a a a a . 所以i j a a ，这与①矛盾.（ⅱ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于 1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾. （ⅲ）n A 中至多有两项绝对值等于1. （ⅳ）n A 中至多有一项等于0. 综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知n A 中至多有9项.………………14分由（1），（2）可得，n 的最大值为9.。
北京市西城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(理)试卷2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤（C ）{|12}x x <<（D ）{|12}x x ≤<【答案】B【解析】2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）2【答案】A 【解析】i ()112i 2222a a i i ai ai ++-===---，因为i 2i a +的实部与虚部相等，所以122a =-，即1a =-，选A.3．执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-【答案】D【解析】由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。
因为31y =-<-，所以只有tan 3θ=-，因为42ππθ≤≤，所以3πθ=-，选D.4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 （A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种【答案】B【解析】若选甲不选乙，则有133318C A =种。
若选乙不选甲，则有133318C A =种。
若选甲，乙都选，则有21332336C C A =种，所以共有72种，选B.5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+ 【答案】C【解析】由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为213222322⨯⨯⨯=，侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是1223+，选C.6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a<”是“36a a <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q>，即1q >或1q <-。
2015西城一模 北京市西城区2015届高三一模考试化学试卷 Word版含答案
北京市西城区2015年高三一模试卷理科综合能力测试 2015.4本试卷分为选择题和非选择题两个部分，选择题1-5页，非选择题6-15页，共300分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案填写在答题卡上和答题纸的相应区域内，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷及答题卡和答题纸一并交回。
可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 N 14 O 16 6．下列说法不正确．．．的是 不宜长时间存放酸性或碱性的食物能用于盛放食品可用于运输浓硫酸可用于盛放氢氧化钠溶液7．下列说法正确的是A ．鸡蛋清溶液中加入醋酸铅溶液，会发生盐析 B ．青苹果中富含苹果酸，因此苹果是酸性食物 C ．过氧化钠可用于呼吸面具或潜水艇中作为氧气的来源 D ．氢氧化钠、碳酸钙、氢氧化铝等可作为抗酸药 8．用下列装置完成相关实验，不合理．．．的是A ．用a 制备并收集氨气B ．用b 制备并检验乙炔C ．用c 蒸馏海水得到淡水D ．用d 分离Na 2CO 3溶液与CH 3COOC 2H 5 9．下列解释事实的方程式不正确．．．的是 A ．醋酸溶液显酸性：CH 3+＋CH 3COO －B ．用氨水除去烟气中的SO 2：SO 2＋2NH 3•H 2O ＝(NH 4)2SO 3＋H 2OC ．向盐碱地中施放硫酸钙，降低其碱性：Na 2CO 3＋CaSO 4＝CaCO 3＋Na 2SO 4D ．用三氯化铁溶液腐蚀线路板：Fe 3+＋Cu ＝Fe 2+＋Cu 2+10．下列说法正确的是A ．葡萄糖能水解成乙醇和二氧化碳b dB．氨基乙酸、甲醛、乙二醇均可发生聚合反应C．苯酚能跟碳酸钠溶液反应，则苯酚的酸性比碳酸强D．实验室用溴乙烷在浓硫酸存在并加热条件下制备乙烯11．次磷酸（H3PO2）是一元弱酸，工业可用下图所示装置电解NaH2PO2制H3PO2。
（阳离子交换膜和阴离子交换膜分别只允许阳离子、阴离子通过）下列说法正确的是A．阳极室有H2生成B．阴极室溶液pH减小C．原料室溶液pH保持不变D．阳极室可能有H3PO4生成12．常温下，向1 L pH=10的NaOH溶液中持续通入CO2。
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北京市西城区2015年高三一模试卷 数 第I卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 符合题目要求的一项. 1 .设集合 A {0,1}，集合 B {x|x a}，若 AI B (A) a<1 (B) a>1
学(理科) 2015.4
(选择题共40分) 5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出
，则实数a的取值范围是( )
2 •复数z满足z i 3 i，则在复平面内，复数 (A) 第一象限 (C)第三象限 3.在极坐标系中，曲线 p二2cos 9是( (A)过极点的直线 (C)关于极点对称的图形
(C) a》0 (D) aw 0 z对应的点位于 ( )
(B) 第二象限 (D) 第四象限 ) (B)半径为2的圆 (D)关于极轴对称的图形
4•执行如图所示的程序框图，若输入的 x的值为3, 则输出的n的值为( ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
开始 /输入X / 5•若函数f(x)的定义域为R，则“ x R , f(x 1) f(x) ”是“函数f(x)为增函数”的() 于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( ) 1 2 1 2 8.已知抛物线y二 x和y二- x + 5所围成的封闭 4 16
曲线如图所示，给定点 A(0, a)，若在此封闭曲线上
三对不同的点，满足每一对点关于点 A对称，则实数a 的取值范围是( )
(A) (1,3)
(C)
(|，3)
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件
(D )既不充分也不必要条件 6. —个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( ) (A) 47 6 (B) 23
T (C) 15
1 (D) 7
7.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于 24元，而4枝玫瑰与 4枝康乃馨的价格之和小 (A) 2枝玫瑰的价格高 (C) 价格相同 (B) 3枝康乃馨的价格高
(D) 不确定
(B) (2,4)
5 (D)
(二，
正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 第n卷 (非选择题共no分)
二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知平面向量a, b满足a (1, 1), (a b) (a b)，那么|b|= _____________ . 2 2 10. 已知双曲线C：冷每 1(a 0,b 0)的一个焦点是抛物线 y2 8x的焦点，且双曲线
a b
C的离心率为2，那么双曲线 C的方程为 _______ .
11•在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若A - , cos B 空7 , b 2 , 3 7
则a ____ . 12•若数列｛久｝满足a 2，且对于任意的 m,n N*，都有am n am an，则a3 —；数 列｛an｝前10项的和So ______________ . 13. 某种产品的加工需要 A, B, C, D, E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成(不一定 相邻)，其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B与C必须相 令邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 ______ 种•(用数字作答)
14. 如图，四面体 ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1, 记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单 调增区间是 ____ ;最大值为 _____ . 三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. （本小题满分13分） 设函数 n l f (x) 4cosxsi n(x ) .,3 , x R.
3 n
（I）当x [0,—]时，求函数f（x）的值域；
2 （H）已知函数 y f （x）的图象与直线y 1有交点，求相邻两个交点间的最短距离
16. （本小题满分13分） 2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价 •具体如下表•（不 考虑公交卡折扣情况）
乘公共电汽车 方案 10公里（含）内2元；
10公里以上部分，每增加 1元可乘坐5公里（含）.
乘坐地铁方案 （不含机场 线）
6公里（含）内3元； 6公里至12公里（含）4元； 12公里至22公里（含）5元； 22公里至32公里（含）6元； 32公里以上部分，每增加 1元可乘坐20公里（含）.
已知在北京地铁四号线上， 任意一站到陶然亭站的票价不超过 5元，现从那些只乘坐四 号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120
人 （川）小李乘坐地铁从 A地到陶然亭的票价是 车所花交通费也是 5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 写出s
（I）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在
陶然亭站出站的乘客中任选 1人，试估计此人乘
坐地铁的票价小于 5元的概率; （n）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然
亭站出站的乘客中随机选 2人，记X为这2人乘 坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概 率，求X的分布列和数学期望;
s公里，试 5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽 的取值范围.（只需写出结论） 17. (本小题满分14分) 如图，在五面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EF//AD , 平面ADEF 平面ABCD，且BC 2EF, AE AF，点G是EF的中点. (I)证明：AG 平面ABCD ;
(n)若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为 6，求AG的长;
9
19.(本小题满分14分) 2 2 设F1, F2分别为椭圆E:务 每 1(a
a b 3 且点P和F1关于点C(0,-)对称.
(I)求椭圆E的方程;
(n)过右焦点F2的直线I与椭圆相交于 A , B两点，过点P且平行于AB的直线
与椭
圆交于另一点Q，问是否存在直线I，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出
I的方程；若不存在，说明理由
(川)判断线段AC上是否存在一点 若不存在，说明理由.
18. (本小题满分13分)
使MG //平面ABF ?若存在，求出列的值; D e n x
f (x) 1零点个数,
In 二，函数g(x)
x
(I)当n 1时，写出函数y
设n N ,函数f(x) (°,).
并说明理由; (n)若曲线y f(x)与曲线 g(x)分别位于直线I: y 1的两侧，
求n的所有可能取
b 0)的左、右焦点，点
3
P(1,—)在椭圆E上,
2 20．(本小题满分 13 分) 已知点列 T:P1(x1,y1),P2(x2,y2),L ,Pk(xk,yk)(k N xi
yi
xi 1 1, 与 xi yi 1 yi
xi 1,
yi 1
1
(i 2,3,L ,k) 中有且仅有一个成立．
(I)写出满足k 4且巳(3,2)的所有点列;
k (H)
证明：对于任意给定的k ( k N*, k>2 ),不存在点列T ,使得 X i1 yi
i1
2k
k (川)当 k 2n 1 且 Pan i(n,n) ( n N , n>2 )时，求 Xi i1 k i1 yi 的最大
值． 6
北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准 1. B 8. D
15. （本小题满分13分） 分 — 2 — 2 sin x cos x 2.3 cos x . 3
sin 2x 3cos2x 分 n = :2sin(2 x
n，
分
因为 n 2
所以 n < 2x n 2 n < ,
3 3 3
分
所以 —< sin(2x n)<1 , 2 3
9. 2 10 2 .x y_ 1 11. 7
12 8 682
13. 24 14 .(0, （或写成 (0, 仝）） 1
2 2 8 注: 第12, 14题第一问2 分 •，第二问 3分.
6小题，每小题 本大题共 共 30分. 2
本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分 二、填空题:
三、解答题:
、选择题: 本大题共
高三数学（理科） 8小题，每小题 共40分. 2015.4
5. B
（I）解：因为f （x）
1
4cosx(?sin x 三cos