《随机事件的独立性》PPT课件
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随机事件的独立性教学课件(共41张PPT)高中数学人教B版(2019)必修第二册
( ∪ )
() + ()
()() + ()()
A,B中至多有一个发生
( ∪ ∪ )
1
1 − ()()
02
探索新知
例1 甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：甲得到的点数为2，B：
乙得到的点数为奇数．
（1）求p(A)，P(B)，P(AB)，判断事件A与B是否相互独立；
= (1 )[1 − (2 )] + [1 − (1 )](2 )
= 0.7 × (1 − 0.7) + (1 − 0.7) × 0.7
= 0.42
02
探索新知
例3 某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选择了一个答案，且
1
4
每道题他猜对的概率均为 .
（1）求该同学三道题都猜对的概率；
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
在具体情境中，了解随机两个事件相互独立的概念
02
能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的
实际问题
03
综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式
解决一些问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境回顾
问题3 ：请分别算出p(A)，P(B)，P(AB)的值．
1
1
1
() = , () = , () =
3
2
6
02
探索新知
抽象概括
1.事件相互独立性的含义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互
1.4 随机事件的独立性
0.5 0.6 0.5 0.6
0.8
定理1.4 若事件A与事件B相互独立，
则A与B，A与B，A与B也分别相互独立
证 因为PAB PAPB，所以
PAB PA B 由对称性知
注：事件的独立 性与事件的互不 相容是两个完全 不同的概念
P A AB
A与B相互独立
P A P AB
A1，A2， ，An也相互独立，故
P n Ai 1 n P Ai
n
1 1 PAi
i1
i 1
i 1
注3： 相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立。
例 四张卡片上分别写着 110,011,101,000,从中任取一张，
记 Ai={第 i 个数字为 1} i=1,2,3.
则
P( A1 )
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
(2) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的和事件 的概率可简化为
n
PA1 A2 An 1 P Ai i 1
例3（保险赔付）设有 n个人向保险公司购买人身意
外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生
意外的概率为0.01，
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个
则称事件A1, A2 , A3相互独立。 事件的情形
注1：
如果n n 2个事件A1, A2 L An相互独立，则将
其中任何m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成的n个新的事件仍相互独立。
设5个事件A1 A2 A3 A4 A5相互独立
则
A1 A2 A3 A4 A5 也相互独立
注2：
若A1, A2 , , An是n个相互独立的事件， 则这个事件中至少有一个发生的概率为
0.8
定理1.4 若事件A与事件B相互独立，
则A与B，A与B，A与B也分别相互独立
证 因为PAB PAPB，所以
PAB PA B 由对称性知
注：事件的独立 性与事件的互不 相容是两个完全 不同的概念
P A AB
A与B相互独立
P A P AB
A1，A2， ，An也相互独立，故
P n Ai 1 n P Ai
n
1 1 PAi
i1
i 1
i 1
注3： 相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立。
例 四张卡片上分别写着 110,011,101,000,从中任取一张，
记 Ai={第 i 个数字为 1} i=1,2,3.
则
P( A1 )
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
(2) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的和事件 的概率可简化为
n
PA1 A2 An 1 P Ai i 1
例3（保险赔付）设有 n个人向保险公司购买人身意
外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生
意外的概率为0.01，
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个
则称事件A1, A2 , A3相互独立。 事件的情形
注1：
如果n n 2个事件A1, A2 L An相互独立，则将
其中任何m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成的n个新的事件仍相互独立。
设5个事件A1 A2 A3 A4 A5相互独立
则
A1 A2 A3 A4 A5 也相互独立
注2：
若A1, A2 , , An是n个相互独立的事件， 则这个事件中至少有一个发生的概率为
1.8随机事件的独立性
或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受 的制约. 更好 它不受P(B)>0或P(A)>0的制约 它不受 或 的制约
两事件独立的定义 若两事件A 若两事件 、B满足 满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)
独立， 相互独立. 则称A 独立 或称A 相互独立 则称 、B独立，或称 、B相互独立 若 定理1 定理1 设A, B是两事件， A, B 相互独立，
§1.8 随机事件的独立性
有限个事件的独立 有限个事件的独立
n 个事件 A1 , A2 ,⋯, An 称为是相互独立的，如果这 些事件中的任一事件Ai (i = 1,2,⋯, n) 与其它任意几个 事件的交是独立的，即
P ( Ai A j Ak ⋯ ) = P ( Ai ),
m
其中 A j Ak ⋯ 表示除事件 Ai 外的其它 n − 1个事件中 任意 m ( m = 1, 2,⋯ , n − 1) 个事件的交 .
1 已知, 已知 P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) =1− P(A + A + A ) 1 2 n 2
=1− P( A A A ) 1 2 3
3
=1− P( A )P( A )P( A ) 1 2 3
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 4 2 3 3 =1− ⋅ ⋅ = = 0.6 5 3 4 5
第一章 随机事件及其概率
§1.8 随机事件的独立性
两事件的独立性 先看一个例子： 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 显然 A={第二次掷出 点}， 第二次掷出6点 ， 第二次掷出 B={第一次掷出 点}， 第一次掷出6点 ， 第一次掷出 P(A|B)=P(A)
新教材高中数学第五章统计与概率3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册 课件(共13张PPT)
问题 1.如果乙要连胜四局,比赛应如何进行? 提示:若要乙连胜四局,则对阵情况是第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对丙,乙胜;第 三局:乙对甲,乙胜;第四局:乙对丙,乙胜. 2.要求出乙连胜四局时的概率需要用到哪些概率知识?如何求? 提示:应用事件的独立性知识,按照每局乙胜的情况分析,所求概率为P=(1-0.4)2×0. 52=0.32=0.09.
求复杂事件的概率一般可分三步进行: (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们; (2)理清各事件之间的关系,用事件间的“并”“交”恰当地表示所求事件; (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算. 注意:当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件 的概率,再求出符合条件的事件的概率.
∩F)+P( D∩E∩F)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.55. 解法二:“红队中至少有两名队员获胜”与“红队中最多有一名队员获胜”为对 立事件,而红队都不获胜的事件为 D∩ E ∩ F ,且P( D∩ E ∩ F )=0.4×0.5×0.5=0.1. 则红队中至少有两名队员获胜的概率P2=1-P1-P( D∩ E ∩ F )=1-0.35-0.1=0.55. 方法总结 处理事件的独立性问题主要用直接法和间接法.当遇到“至少”“至 多”问题时可以考虑间接法.
解析 设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 D, E , F 分别表示A胜 甲、B胜乙、C胜丙. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 所以由对立事件的概率公式知P( D)=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ E ∩ F , D∩E∩ F , D∩ E ∩F,以上 3个事件彼此互斥且相互独立. 所以红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ E ∩ F )∪( D∩E∩ F )∪( D ∩ E ∩F)]=P(D∩ E ∩ F )+P( D∩E∩ F )+P( D∩ E ∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.5×0.5=0.35. (2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ F ,D∩ E ∩F, D ∩E∩F,由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ F )+P(D∩ E
人教B版高中数学必修第二册-5.3.5-随机事件的独立性【课件】
第五章 统计与概率
5 ．3 概率 5．3．5 随机事件的独立性
1
PART ONE
15分钟对点练
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用 A1 表
示第一次摸得黑球，A2 表示第二次摸得黑球，则 A1 与－A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
知识点三 相互独立事件概率的综合应用 5．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随 机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
P(C) ＝ P(A －B ＋ －A B) ＝ P(A －B ) ＋ P( －A B) ＝ P(A)P( －B ) ＋ P( －A )P(B) ＝ 0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件 AB 与 C 互斥， 所以至少有一件是正品的概率为 P(D)＝P(AB＋C)＝P(AB)＋P(C)＝0.912＋0.086＝0.998.
2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别
为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一
个一等品的概率为( )
A．12
B．152
C．14
D．16
解析 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品，事件 B：乙实习生
加工的零件为一等品，则 P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个
5 ．3 概率 5．3．5 随机事件的独立性
1
PART ONE
15分钟对点练
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用 A1 表
示第一次摸得黑球，A2 表示第二次摸得黑球，则 A1 与－A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
知识点三 相互独立事件概率的综合应用 5．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随 机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
P(C) ＝ P(A －B ＋ －A B) ＝ P(A －B ) ＋ P( －A B) ＝ P(A)P( －B ) ＋ P( －A )P(B) ＝ 0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件 AB 与 C 互斥， 所以至少有一件是正品的概率为 P(D)＝P(AB＋C)＝P(AB)＋P(C)＝0.912＋0.086＝0.998.
2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别
为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一
个一等品的概率为( )
A．12
B．152
C．14
D．16
解析 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品，事件 B：乙实习生
加工的零件为一等品，则 P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个
概率论之随机事件的独立性
的概率相等，都是 pk (1 p)nk ，故由概率的有限可
加性有 Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
考研（2007，4 分）某人向同一目标独立重复射击， 每次射击命中目标的概率为 p （ 0 p 1 ），则此人 第 4 次射击时恰好第二次命中目标的概率为 （ C ）. （A） 3 p(1 p)2 ；（B） 6 p(1 p)2 ；
随机事件及其概率
定理 若事件 A, B 相互独立，则事件 A 与 B ，A 与
B ， A 与 B 也独立.
证明 只证 A 与 B 独立 P( AB) P( A) P( AB)
P(A) P(A)P(B)
P( A)[1 P(B)] P( A)P(B)
§4随机事件的独立性
实际问题
P( A) 1 p ，
则称试验 E 为伯努利（Bernoulli）试验．称 n 重独立 重复贝努利试验为 n 重伯努利试验．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理 （伯努利定理）在 n 重伯努利试验中，若每次
试验中事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在这 n 次
试验中事件 A 恰好出现 k(0 k n) 次的概率为
则称事件 A1, A2 ,, An 相互独立（Independence each
other）.
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
当 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立时
P( A1 A2 An ) P(A1)P(A2 ) P(An )
P( A1 A2
1 P(A1 A2
An )
《随机事件的独立性》课件
《随机事件的独立性》PPT课件
# 随机事件的独立性 ## 什么是随机事件？ - 随机事件的定义 - 随机事件的例子 ## 什么是事件的独立性？ - 独立事件的定义 - 独立事件的特点 ## 什么是条件概率？ - 条件概率的定义 - 条件概率的计算方法 ## 独立事件和条件概率的关系 - 独立事件的条件概率 - 条件概率的独立事件 ## 非独立事件的条件概率 - 非独立事件的定义 - 非独立事件的条件概率的计算方法
非独立事件的条件概率
定义
非独立事件是指两个事件之间存在某种关联，一个 事件的发生会影响另一个事件的发生概率。
条件概率的计算方法
非独立事件的条件概率可以通过已知的条件和事件 的发生次数进行计算。
总结
1 随机事件的独立性的
重要性
2 独立事件和条件概率
的适用范围
3 非独立事件的条件概
率的应用场景
了解随机事件的独立性可以 帮助我们更好地分析和理解 概率问题。
什么是条件概率？
定义
条件概率是指当已知与之相关的一些条件时，事件发生的概率。Байду номын сангаас
计算方法
条件概率可以通过已知的条件和事件的发生次数进行计算。
独立事件和条件概率的关系
1
独立事件的条件概率
在独立事件中，条件概率的计算结果与事件的发生与否无关。
2
条件概率的独立事件
在条件概率中，独立事件的发生与否不会影响条件概率的结果。
什么是随机事件？
定义
随机事件是在一次试验中，有多种可能结果中的某 种结果发生的事件。
例子
抛一枚硬币，正面朝上或反面朝上都是随机事件。
什么是事件的独立性？
定义
独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的 发生不受另一个事件的发生与否的影响。
# 随机事件的独立性 ## 什么是随机事件？ - 随机事件的定义 - 随机事件的例子 ## 什么是事件的独立性？ - 独立事件的定义 - 独立事件的特点 ## 什么是条件概率？ - 条件概率的定义 - 条件概率的计算方法 ## 独立事件和条件概率的关系 - 独立事件的条件概率 - 条件概率的独立事件 ## 非独立事件的条件概率 - 非独立事件的定义 - 非独立事件的条件概率的计算方法
非独立事件的条件概率
定义
非独立事件是指两个事件之间存在某种关联，一个 事件的发生会影响另一个事件的发生概率。
条件概率的计算方法
非独立事件的条件概率可以通过已知的条件和事件 的发生次数进行计算。
总结
1 随机事件的独立性的
重要性
2 独立事件和条件概率
的适用范围
3 非独立事件的条件概
率的应用场景
了解随机事件的独立性可以 帮助我们更好地分析和理解 概率问题。
什么是条件概率？
定义
条件概率是指当已知与之相关的一些条件时，事件发生的概率。Байду номын сангаас
计算方法
条件概率可以通过已知的条件和事件的发生次数进行计算。
独立事件和条件概率的关系
1
独立事件的条件概率
在独立事件中，条件概率的计算结果与事件的发生与否无关。
2
条件概率的独立事件
在条件概率中，独立事件的发生与否不会影响条件概率的结果。
什么是随机事件？
定义
随机事件是在一次试验中，有多种可能结果中的某 种结果发生的事件。
例子
抛一枚硬币，正面朝上或反面朝上都是随机事件。
什么是事件的独立性？
定义
独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的 发生不受另一个事件的发生与否的影响。
5.3.5 随机事件的独立性(课件)高一数学(人教B版2019必修第二册)
教材例题
【典例 2】已知甲运动员的投篮命中率为 0.7, 乙运动员的投篮命中率为 0.8. （1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少? （2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少?
【解析】(1)记事件 :甲投中, :乙投中,因为 与 相互独立,所以 即都命中的概率为 0.56.
教材例题
课堂练习
【解析】A 中，M，N 是互斥事件，不相互独立；B 中，M，N 不是相互独立 事件；C 中，P(M)＝12，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)P(N)，因此 M， N 是相互独立事件；D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此 M，N 是相互独立事件.故选 CD.
课堂练习
一般地,当
时,就称事件 与 相互独立(简称独立).事件 与
相互独立的直观理解是, 事件 是否发生不会影响事件 发生的概率,事件 是
否发生也不会影响事件 发生的概率.
可以证明,如果事件 与 相互独立,则 与 与 与 也相互独立.
新知探索 知识点一：随机事件的独立性
相互独立事件的定义和性质： 定义：一般地，当 P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件 A 与 B 相互独立(简称独立). 性质：如果事件 A 与 B 相互独立，则与 B，A 与，与也相互独立. n 个事件相互独立： “A1，A2，…，An 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的 概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【解析】(1)三道题都猜对可以表示为
, 又因为
相互独立,因此
教材例题
(2)“至少猜对一道题”的对立事件是 “三道都猜错”,后者可以表示为
,
所以
因此所求概率为
课堂练习
【训练 1】一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A1 表示第 一次摸得白球，A2 表示第二次摸得白球，则事件 A1 与 是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件