高中数学4.5空间直角坐标系练习(无答案)新人教A版必修2
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-8.6.1直线与直线垂直(含答案)
人教A版高中数学必修第二册8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直基础过关练题组一 求异面直线所成的角1.(2024安徽六安期中)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,ABCD-A1B1C1D1中,E,F与直线AD1所成角的大小为在正方体ABCD-A(1)求异面直线CD1与BC1所成的角;(2)求证:MN∥平面ABCD.题组二 空间两条直线所成角的应用5.(多选题)(2024山东德州夏津第一中学月考)已知E,F 分别是三棱锥P-ABC 的棱PA,BC 的中点,且PC=6,AB=8.若异面直线PC 与AB 所成角的大小为60°,则线段EF 的长可能为( )A.7B.13C.5D.376.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,异面直线AB 与A 1C 所能力提升练在正四面体S-ABC 中3.4.(2024贵州凯里第一中学模拟)平面α过直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点B 1,平面α∥平面ABC 1,平面α∩平面BB 1C 1C=l,且AA 1=AB=BC,AB ⊥BC,则A 1B 与l 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.12 D.335.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为 .题组二 异面直线所成角的应用6.(2024上海青浦高级中学期末)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为底面ABCD 内(包括边界)的动点,满足直线D 1P 与CC 1所成角的大小为π6,则线段DP 扫过的面积为( )A.π12B.π6C.π3D.π27.(2024广东阳江期末)在四面体A-BCD 中,AB=CD=1,BC=2,且AB ⊥BC,CD ⊥BC,异面直线AB 与CD 所成的角为π3,则该四面体外接球的表面积为 .8.(2022河南濮阳第一高级中学月考)在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧面都是矩形,底面ABCD 是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°,求AA 1的长度.答案与分层梯度式解析8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直基础过关练1.B2.C3.A 5.BD 6.DPC,EO=1PC=1,在所以BB1∥平面AEF,平面DBB1,所以BB1又与直线AD1所成的角为连接B N,CN,因为点M为A1B1的中点,A1B1=AB,所以MB1=AN,又MB1∥AN,所以四边形ANB1M为平行四边形,所以AM∥B1N,所以异面直线AM与B1C所成的角为∠CB1N(或其补角),设∠CB1N=θ,在正△ABC中,由AB=4,可得CN=23,在直角△BNB1中,BB1=3,BN=2,所以B1N=22+32=13,在直角△BCB1中,BC=4,BB1=3,所以B1C=42+32=5,在△B 1CN 中,由余弦定理的推论可得cos θ=B 1C 2+B 1N 2-C N 22B 1C·B 1N=52+(13)2-(23)22×5×13=135.故选A.4.解析 (1)连接A 1B,A 1C 1,因为A 1D 1=BC 且A 1D 1∥BC,所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形,所以CD 1∥A 1B,则∠A 1BC 1或其补角为异面直线CD 1与BC 1所成的角,易知A 1C 1=A 1B=BC 1,所以△A 1C 1B 为等边三角形,所以∠A 1BC 1=60°,所以异面直线CD 1与BC 1所成的角为60°.(2)证明:连接C 1D,BD,则N 为C 1D 的中点,又M 为BC 1的中点,所以MN ∥BD,又MN ⊄平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,所以MN ∥平面ABCD.5.BD 如图,取AC 的中点H,连接EH,FH,因为E,F 分别为PA,BC 的中点,PC=6,AB=8,所以AB ∥HF,HE ∥PC,HF=4,HE=3,所以异面直线PC 与AB 所成的角即为∠EHF(或其补角),所以∠EHF=60°或∠EHF=120°.当∠EHF=60°时,根据余弦定理的推论得cos ∠EHF=HE 2+H F 2-E F 22HE ·HF =9+16−EF 224=12,解得EF=13;当∠EHF=120°时,根据余弦定理的推论得cos ∠EHF=HE 2+H F 2-E F 22HE ·HF =9+16−EF 224=-12,解得EF=37.故选BD.易错警示 通过立体图形无法直接判断∠EHF是锐角还是钝角,因此∠EHF可能是异面直线所成的角,也可能是其补角,所以需要进行分类讨论.6.D ∵AB∥DC,∴∠A1CD(或其补角)即为异面直线AB与A1C所成的角,由图可知∠A1CD为.锐角,∴∠A1CD=π3设DD1=x,连接A1D,则A1C=12+12+x2=2+x2,A1D=x2+1.在∴∴7.垂直于上底面于点D,则ADD∥O2A,1∴或其补角,当在当在Rt△ABD中,AB=BD2+A D2=2.综上,AB=2或AB=2.能力提升练1.A2.A3.C4.A 6.A1.A 取SM的中点E,连接EN,AE,如图,∵N是SB的中点,∴EN∥MB,EN=12MB,∴∠ANE或其补角即为异面直线BM与AN所成的角.设正四面体的棱长为4,∵M是SC的中点,N是SB的中点,△SAB和△SBC均为正三角形,∴BM⊥SC,AN⊥SB,且BM=AN=23,∴EN=3,在△ASE中,由余弦定理得AE2=SA2+SE2-2SA·SE·cos∠ASE=16+1-2×4×1×12=13,在△ANE中,由余弦定理的推论得cos∠ANE=AN2+N E2-A E22AN·NE =12+3−132×23×3=16,∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为16.故选A.2.A 如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,则∠PAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角,设AO=ON=1,易知∠OAN=∠ONA=∠AOM=30°,则AN=3,因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PN=PA=2,在△APN中,由余弦定理的推论得cos∠PAN=PA2+A N2-P N22PA·AN =2+3−226=64,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为64.故选A.3.C 如图,连接AD1,AP,易得AD1∥BC1,所以∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角.设正方体的棱长为1,DP=x,x∈[0,1],在△AD 1P 中,AD 1=2,AP=D 1P=1+x 2,故cos ∠AD 1P=(2)2+(1+x 2)2-(1+x 2)222·1+x 2=221+x 2,∵x ∈[0,1],∴cos ∠AD 1P=221+x2∈又∠AD 1P 是△AD 1P 的内角,∴∠AD 1P 故选C.B 1则ABC 1,所以B 1C 2∥平面⊂由小题速解 因为平面α∥平面ABC 1,平面α∩平面BB 1C 1C=l,平面ABC 1∩平面BB 1C 1C=BC 1,所以l ∥BC 1,则A 1B 与l 所成的角为∠A 1BC 1(或其补角),下同解析.5.答案 514解析 设正三棱柱的底面边长为a,高为h,外接球的半径为R,由题意知3ah=12,即ah=4,易得△ABC 外接圆的半径r=a2sin π3=a3,则R 2=r 2+ℎ24=a 23+ℎ24≥aℎ3=43,当且仅当a=32h 时取等号,此时外接球的表面积最小.将三棱柱补成一个四棱柱,如图,连接DB 1,DC,则AC 1∥DB 1,∴∠DB 1C(或其补角)为异面直线AC 1与B 1C 所成的角,易得B 1C=DB 1=a 2+ℎ2,DC=3a,∴cos ∠DB 1C=2(a 2+ℎ2)-3a 22(a 2+ℎ2)=514.解题技法 补形平移是常用的一种作平行线的方法,一般是补一个相同形状的几何体,构成一个特殊的几何体,方便作平行线,如此题将三棱柱补成一个四棱柱.6.A 因为DD 1∥CC 1,所以直线D 1P 与CC 1所成的角即为DD 1与D 1P 所成的角,易知DD 1⊥PD,所以DD 1与D 1P 所成的角为∠DD 1P,即∠DD 1P=π6,故tan ∠DD 1P=DPDD 1=33,即DP=33,所以点P 的轨迹是以D 为圆心,33为半径的圆的四分之一,故线段DP 扫过的面积为14π×=π12.故选A.7.答案 16π3或8π解析 由题意,可以将四面体A-BCD 补成一个直三棱柱,如图所示.∵CD∥BE,∴直线AB与CD所成的角为∠ABE或其补角,∵异面直线AB与CD所成的角为π3,∴∠ABE=π3或∠ABE=2π3.设△ABE外接圆的半径为r,当∠ABE=π3时,AE=BE=AB=1,则2r=1sinπ3,解得r=33;当∠ABE=2π3时,AE=3,则则8.BC且A1D1=BC,所以A1B∥CD1,所成的角为∠AD1C,故∠AD1均为矩形,设在故。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间直角坐标系
∴ ൞ 2 + ( − 2)2 + 2 = 8, 解得൞ = 2,
= 2 2,
2 + 2 + 2 = 12,
∴ (0,2,2 2).（不同的建系,坐标当然不同,这里主要介绍待定系数法求点坐标）
C级 学科素养创新练
11.如图,在长方体 − 1 1 1 1 中,,分别为1 1 ,1 1 的中点,若以{,,1 }
= (2,2,1), = (0,1,0).
B级 关键能力提升练
7.已知向量在基底{,,}下的坐标为(2,1, −1),则在基底{2,,−}下的坐标为
31
(
, ,−1)
(1,1,1)
________,在基底{
+ , − ,}下的坐标为________.
22
[解析]由题意知 = + − ,
2 (−2,1, −4).
（3）求点关于点(2, −1, −4)对称的点3 的坐标.
解设3 (, , ),则点为线段3 的中点,由中点坐标公式,可得 = 2 × 2 − (−2) = 6,
= 2 × (−1) − 1 = −3, = 2 × (−4) − 4 = −12,所以3 的坐标为(6, −3, −12).
∴ (−1, −1,0),(1, −1,0).又 = 2, = 2,
∴在Rt △ 中, = 2,∴ (0,0, 2).
（答案不唯一,也可选择其他的点建系）
6.已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为2,,分别为棱1 ,
的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
正六边形各顶点的坐标.
解正方体 − ′′′′的棱长为,且,,,,,分别是棱
′′,′′,′,,,′的中点,∴正六边形各顶点的坐
数学人教版必修2(A) 空间直角坐标系(共2课时)
空间直角坐标系第一课时 空间直角坐标系教学要求： 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。
教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.复习准备：1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图，,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点，分别以OD,O ,A ,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴.y 轴.z 轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
2. 右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
3.有序实数组1）.间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标 思考：原点O 的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。
3）.例题1：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论：若以C 点为原点，以射线BC 、CD 、CC 1 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。
）4.练习：V-ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。
新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）
新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学人教A版2019必修第二册 空间点 直线 平面之间的位置关系 同步练习(解析版)
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。
人教A版高中数学必修二4.3.空间直角坐标系课件
【变式练习】 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|
=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.
分别写出点C，B′，P的坐标. z
答案：ห้องสมุดไป่ตู้
D
A
P
C
B
AO x
Cy B
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图（1）是食 盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 1 的小正
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是 以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
P
O y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x, y, z)
确定的点M. z
R
pO x
M y
Q
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组 (x, y, z)
来表示，有序实数组 (x, y, z) 叫做点M在空间直角坐标 系中的坐标，记作M (x, y, z).其中 x, y, z
分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.
关于谁对称谁 不变
在空间直角坐标系中，若 已知两个点的坐标，则这两点 之间的距离是惟一确定的，我 们希望有一个求两点间距离的 计算公式，对此，我们从理论 上进行探究.
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
高中数学 431空间直角坐标系练习 新人教A版必修2 试题
空间直角坐标系练习题班级姓名一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1、在空间直角坐标系中,有( )坐标轴A:一个 B:两个 C:三个 D:四个2、在空间直角坐标系中,有( )张坐标平面.A:一个 B:两个 C:三个 D:四个3、坐标平面将空间分成( )个空间区域-卦限A: 两个 B:四个 C:六个 D:八个。
4、有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。
其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、45、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（）A、（12，1，1） B、（1，12，1） C、（1，1，12） D、（12，12，1）6、点M（0，0，6）的位置是（）A、在ox轴上B、在oy轴上C、在oz轴上D、在面xoy上7、已知M（-2，2，5）,N（0，-2，3）,则线段MN的中点坐标为（）A、 (-1,0,4)B、 (-2,0,4)C、 (-1,2,4)D、 (-1,0,5)8、过点A(-2,1,3),且与面xoy垂直的直线上点的坐标满足（）A、 x=-2 B 、 y=1 C、 x=-2或y=1 D、x=-2且y=1 9、在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到平面yOz的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. √1410、设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )A.垂直于xOz平面的一条直线B.平行于xOz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面二、填空题：11、将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的。
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4.5空间直角坐标系练习
{ 基■曲标體H
1•点P(2, -3,1)关于坐标原点的对称点是().
A (-2,-3,-1) B.(-2,3, -1)
C (2, -3,-1) D. (-2,3,1)
【解析】点P(2, -3,1)关于坐标原点的对称点是(-2,3, -1).故选B.
【答案】B
2. 设点
A(3,2,1),点B(1,0,5),点C(0,2,1),若AB 的中点为M 则|CM| 等于().
A.3
B.
C.2
D.3
【解析】因为AB中点M的坐标为(2,1,3),所以|CM|==3,故选A
【答案】A
3. 在Rt△ ABC中，/ BAC=0°,A(2,1,1), R1,1,2),
C(x,0,1),则x= .
2 2 2
【解析】由题意可知|AB| +|AC| =|BC| ,
2 22 222 22 2
即(1 -2) +(1 -1) +(2 -1) +(x-2) +(0-1) +(1 -1) =(x-1) +(0-1) +(1 -2) ? x=2. 【答案】2
4. (1)求证：以A(,1,2),耳2,4,), C(,4,2)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
(2)已知三点A(1,,2)、巳,,1) 、C(3,2,6).
求证:A B C三点在同一条直线上.
【解析】(1)由两点间距离公式得
|AB|=3, |BC|=3, |AC|=3,
2 2 2
•••|AC|=|BC| 且|AC| +|BC| =|AB| ,
•••△ ABC是等腰直角三角形.
(2)由两点间距离公式得|AB|= , |BC|=, |AC|= , • |AB|+|AC|=|BC| ,即A, B, C三点在同一条直线上.
i Is*RKfia
5. 在空间直角坐标系中，已知点F(x, y, z),关于下列叙述：
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x, -y , z);
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是R(x,-y,-z);
③点P关于y轴对称的点的坐标是P s(x, -y , z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x，-y , -z).
其中正确叙述的个数是().
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】由空间对称知：①②③错,④正确.
【答案】C
6. 点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P,点P关于平面xOz的对称点为巳则户冋等于().
A.2
B.2
C.2
D.2
【解析】由题意得P(-1,2, -3), P2(1, -2,3),
•••|P1P2|==2,
故选D.
【答案】D
7. _________________________________________________________________________ 已知空间点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则点A到平面yOz的距离是_______________________ .
【解析】V |AB|=2,
2 2 2 2
•••(x-2) +(1-3) +(2-4) =24,即(x-2) =16,
二x=- 2 或x=6,
二点A到平面yOz的距离为2或6.
【答案】2或6
8.在四面体P-ABC中, PA PB PC两两垂直，设|PA|=|PB|=|PC|=a ,求点P到平面ABQ的距离.
【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,
则P(0,0,0), A a,0,0), B(0, a,0), C(0,0, a).
过P作PH!平面ABC交平面ABC于H则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
V|PA|=|PB|=|PC| ,「.H ABC的外心.
又丁厶ABC为正三角形，
• H ABC的重心，可得H点的坐标为(,,)，
•|PH|==a,
•••点P到平面ABC勺距离为a.
: 塚
9.已知点A(3,0,1)和点B(1,0, -3),且M为y轴上一点.若厶MAB为等边三角形，则M点坐标为.
【解析】设点M的坐标为(0, y,0).
•••△ MAE为等边三角形，
•••|MA|=|MB|=|AB| ,
V|MA|=|MB|==,
|AB|==,
•=,解得y=±,
故M点坐标为(0,,0)或(0, -,0).
【答案】(0, ± ,0)
10.如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱
(1)
⑵
⑶
当占
■=1
八、
、
当占
■=1
八、
、
当占
■=1
八、、
P为对角线
P在对角线
P在对角线
【解析】由已
知
AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.
AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究|PQ|的最小值.
AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.
A(a,a,0), C(0, a,0), D(0, a, a), 00,0, a),
⑴当点P为对角线AB的中点时，
点P 坐标为(,,),
设Q(0，a，z)，则|PQ|=，
当乙=时，|PQ|取最小值a,此时Q为CD的中点.
⑵当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0, a,),
设AP： AB=K 贝卩x p=a(1 -k), y p=a(1 -k), z p=ak,
所以P点的坐标为(a(1 -k), a(1 -k), ak), 所以|PQ|=,
当k=,即P为AB的中点时，|PQ|取最小值a.
⑶当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时, 设AP：AB=k, 贝设P(a(1-k), a(1-k), ak), Q(0, a, z), 所以
|PQ|=,
所以当k=, 且z=ak=,
即当P、Q分别为AB CD中点时,|PQ|取最小值a.。