2017届河南省部分重点中学高三上学期第一次联考数学(文)试题

2017届河南省部分重点中学高三上学期第一次联考数学（文）试题数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2.命题“()00x ∃∈+∞，，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．()0000ln 1x x x ∃∈+∞≠-，， B ．()0000ln 1x x x ∃∉+∞=-，， C ．()0ln 1x x x ∀∈+∞≠-，，D ．()0ln 1x x x ∀∉+∞=-，，3.已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a b c ，，的大小是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．c b a >>4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M 处的条件为（ ）A ．64?k <B ．64?k ≥C .32?k <D ．32?k ≥5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4πC .0D ．4π-6.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ） A ．6B ．7C .10D ．97.已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥； ②若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；③若m m n α⊥，∥，n β⊂，则αβ⊥； ③若m n ααβ= ∥，，则m n ∥，其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38.设x y ，满足约束条件4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1-9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底而129022AB AC BAC AA ==∠=︒=，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．4πB ．8πC .12πD ．16π10.在ABC △中，AB AC AB AC +=- ，3AB =，4AC =，则BC 在CA方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C .4-D ．511.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()250F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255y x +=B ．2213010y x +=C .213616y x 2+= D ．2214525y x +=12.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是( )A ．a b c <<B ．b c a <<C .c a b <<D ．a c b <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，3130AB AC B ==∠=︒，，，ABC △的面积为32，则C ∠= ．14.圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点()()0402A B --，，，，则该圆的标准方程为 . 15.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为 .16.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()04，上有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160180)，，[180200)，，[200220)，，[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，分组的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 19.（本小题满分12分）如图，AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上的动点，PA 垂直于O ⊙所在的平面ABC .（Ⅰ）证明：PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）设31PA AC ==，，求三棱锥A PBC -的高. 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:314C x y ++-=和圆()()222:454C x y -+-=. （Ⅰ）若直线l 过点()40A ，，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1xx f x e+=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）求()h x 的最大值；（Ⅲ）设()()'g x xf x =，其中()'f x 为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O ⊙直径，AC 是O ⊙切线，BC 交O ⊙与点E ．（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O ⊙切线； （Ⅱ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是222422x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()120f x x x a a =+-->，． （Ⅰ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．17届（高三）第一次联考数学（文）试卷试卷答案一、选择题 1-5:DCABB 6-10:BDADC 11、12：CD二、填空题13.60︒ 14.()()22235x y -++= 15.322+ 16.ln 21 , 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17.解（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=.化简得122a d +=， 解得111 , d=2a =，故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=.……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11b =，41515182b a +===，设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =，故{}n b 的前n 项和()11211n n n b q T q-==--.……………………………………12分由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得： 224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（Ⅲ）月平均用电量为[220 , 240)的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[240 , 260)的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[260 , 280)的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[280 , 300)的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[220 , 240)的用户中应抽取12555⨯=户.……………………12分19.解：证明：（1）∵AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥.…………………………1分 又∵PA 垂直于O 所在平面，BC ⊂平面O ∴PA BC ⊥.……………………………………2分 ∴PA AC A =∴BC ⊥平面PAC .……………………………………4分 又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC .…………………………6分（2）由⑴的结论平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，∴过A 点作PC 的垂线，垂足为D ，………………………………8分 在Rt ABC △中， 3 , 1PA AC ==，∴2PC =，…………………………9分 由AD PC PA AC ⨯=⨯， ∴13322PA AC AD PC ⨯⨯===, ∴A 点到平面PCB 的距离为32.…………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）直线l 的方程为0y =或724280x y +-=，…………………………6分 （Ⅱ）设点P 的坐标为() , m n ，直线12 , l l 的方程分别设为： ()()1 , y n k x m y n x m k -=--=--，0kx y n km --+-=，10mx y n k k--++=，由题意得224531111m n k n km k kk k --++--+-=++，化简得()23m n k m n --=--，或()85m n k m n -+=+-关于k 的方程有无穷多解， 2030m n m n --=⎧⎨--=⎩或8050m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，得点P 的坐标为51 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭………………12分 21.解：（Ⅰ）由()ln 1x x f x e +=，得()11f e=，……………………………………1分 ()1ln 'xx x xf x xe --=，所以()'10k f ==，………………………………3分所以曲线()y f x =在点()()1 , 1f 处的切线方程为1y e=.……………………4分 （Ⅱ）()1ln h x x x x =--，()0 , x ∈+∞，所以()'ln 2h x x =--.………………5分 令()'0h x =得，2x e -=，因此当()20 , x e -∈时，()'0h x >，()h x 单调递增； 当()2 , x e -∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减.……………………7分所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为()221h e e --=+.……8分 （Ⅲ）证明：因为()()'g x xf x =，所以()1ln xx x x g x e --=，0x >，()21g x e -<+， 等价于()21ln 1x x x x e e ---<+.……………………………………9分 由（Ⅱ）知()h x 的最大值为()221h e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+， 只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.…………………………10分 所以()221ln 11x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，()21g x e -<+.……12分 22.解：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，在Rt ABC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠， 连结OE ，OBE OEB ∠=∠，∵90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90DEC OEB ∠+∠=︒， ∴90OED ∠=︒,∴DE 是圆O 的切线.………………………………………………5分（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得23AB =，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE = ， ∴2212x x =-，解得3x =，∴60ACB ∠=︒，…………………………10分 23．解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为420x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为2222122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心22 , 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭到直线420x y -+=的距离为52512d ==>所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离……………………………………5分（Ⅱ）设22cos , sin 22M θθ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则cos sin 2sin 2 , 24x y πθθθ⎛⎫⎡⎤+=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭………………………………10分 24．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于 11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式()1f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.………………………………5分（Ⅱ）由题设可得，()12 , 1312 , 112 , x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为()()21 , 0 , 2 1 , 0 , , 13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以ABC △的面积为()2213a +.由题设得()22163a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为()2 , +∞.……………………10分。