《高等代数》：学习笔记

《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。

有些笔误也修正差不多了。

课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。

第一章 行列式§1.1 定义D =|2314|=2×4−3×1=5 A =[2314]≡(2314) 这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3这是三元线性方程组=|11a 12a 13a 22a 23a 3233|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和D =|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯|=(j 1,j 2,⋯,j n )j 1a 1j 1a 2j 2⋯a nj n§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变： D T =D2、k 可以乘上某行(列)： kD row i3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =06、某行乘以k 加到另一行：值不变D k×row i +row k =D右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式=ij|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)§1.6 范德蒙行列式|D|=|111⋯1a 1a 2a 3⋯a n a 12a 22a 32⋯a n 2⋯⋯a 1n−1a 2n−1a 3n−1|=∏(a i −1≤j<i≤na j )第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则D 1=|b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=D 1D,x 2=D 2D,x 3=D 3D.(D ≠0)§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。

如果线性方程组D ≠0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。

§2.3 数域 P ：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P 。

如实数R ，有理数Q ，复数C§2.4 n 维向量α=(a 1,a 2,a 3,⋯,a n ) (ε1,ε2,ε3,ε4,)=10000100001001数量乘积：k α 零向量：0负向量：−α行向量与列向量：αrow(column)余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式(同等于逆序数τ)表示所有可能的差 i>j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在1列)该解法适用于n 阶n 维基本向量组n 阶行列式§2.5 线性相关=k线性相关充要↔ k 有解充要↔ 可线性表出充要↔系数矩阵r=增广矩阵r向量组等价：(α1,α2,⋯,αn )互相线性表出↔ (β1,β2,⋯,βn )k 1α1+k 2α2+⋯+k s αs =0极大线性无关组：每个向量αi 都不能被前面某些向量线性表出例(α§2.6 秩rank=极大线性无关组的向量个数行秩＝列秩＝行列式秩(D 最高阶子式≠0)§2.7 求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵 增广矩阵A 初等变换→ 梯阵 第二步：求一般解 求x 1,x 2,⋯,x r 的一般解第三步：求特解γ0设自由x =0，求γ0第四步：求齐次的一般解 使常数b =0，求一般解x 1,x 2,⋯,x r 第五步：求基础解系 将εi 代入自由x ，求基础解系η1,η2,⋯,ηn−r第六步：答：得全部解=+k由向量组rank=n ，有唯一解 rank<n ，有无穷多解3≠k 1α1+k 2α2n-r 个详见书P154-155页 例6注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系η i ，又称特征向量εi 即n 维基本向量组常数项为0即x r+1,x r+2,⋯,x n−r第三章 矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵： s =n 系数矩阵： s ×n增广矩阵： s ×(n +b) 梯阵： 左下=0约化梯阵： 左下0，元首1 三角矩阵： 左下0，s =n对角矩阵： Λ除对角线，余为0 单位矩阵： E ，对角1 零矩阵： O ，全0 数量矩阵： kE 转置矩阵： A T分块矩阵：[⋮⋯∙⋯⋮]满秩矩阵： rank =n 逆矩阵： A −1 伴随矩阵： A ∗ 等价矩阵： A 初等变换↔ B初等矩阵： E 初等变换一次 正交矩阵： AA T =E ，|A |=±1 相似矩阵： A~B,B ＝X −1AX 约当形矩阵：二次形矩阵：详看§5.1实对称矩阵：实数，对角线对称 (半)正定矩阵：λ全(≥)>0 (半)负定矩阵：λ全(≤)<0 不定矩阵： λ不全>or <0 标准形矩阵：对角线1 or 0附2：一般n 维线性方程组、s×n 维矩阵、n 维向量组的表示法f (x 1,x 2,⋯,x n )={a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =b 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a s1x 1+a s2x 2+⋯+a sn x n =b sAX =B ↔[ a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯a s1a s2⋯a sn ] [ x 1x 2 ⋯x n ] =[ b 1b 2 ⋯b s ]β=k 1α1+k 2α2+⋯+k n αnα1=(a 11,a 21,⋯,a s1)α2=(a 12,a 22,⋯,a s2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯αn =(a 1n ,a 2n ,⋯,a sn )β=(b 1,b 2,⋯,b s )Rank 即矩阵的秩b 即系数左下：对角线左三角形 对角线上的元素 λ即特征值 注：s 为行数，n 为列数(未知数个数) 附：有的书行数用m 表示注：这个k i 既可理解为：基础解系ηi 的系数k i也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素λ1还可以理解为：二次型|λE −A |的特征值λ1(同上句)附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“α⃑ ”表示，我认为不错，不易混淆。

注：b i 全为0时，称齐次线性方程组 b i 不全为0时，称非齐次线性方程组§3.1 矩阵运算1、加(减)法：A±B性质：交换律：A±B=B±A结合律：A+(B+C)=(A+B)+C2、乘法：C=A×B性质：AB不一定=BA（当AB=BA，称可交换）AE=EA=A结合律：A(BC)=(AB)Ck次幂：A k∙A l=A k+l(A k)l=A kl非交换律：(AB)k≠A k B k§3.2 分块分块后矩阵的基本运算依然等价A∙B=[A1A2A3A4][B1B2B3B4]=[A1B1+A2B3A1B2+A2B4 A3B1+A4B3A3B2+A4B4]§3.3 逆矩阵伴随矩阵：A∗=[A11A21⋯A n1 A12A22⋯A n2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1n A2n⋯A nn]求逆公式：A−1=1|A|A∗§3.4 等价矩阵等价矩阵：A 初等变换→B初等矩阵：由E做1次初等变换标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r用单位矩阵求逆：[AE]行变换→[EA−1]各个元素对应相加（减），即a ij±b ij注：A的|row|=B的|column|例：AB=0−25−50−544−1]1、求a ij的代数余子式A ij2、对应的元素要转置c ij=a i1b1j+a i2b2j+⋯+a in b nj附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。

详见书P183页AB§3.5 正交矩阵性质:AA T =A T A =E |D|=±1=a b +a b +⋯+a b =0内积性质：正交化：单位化：=βi|βi |第四章 矩阵的对角化§4.1 相似矩阵A~B1、反身性：A~A2、对称性：A~B →B~A3、传递性：A~B,B~C →A~C4、行列式等值：|A |=|B|5、同时可逆or 不可逆6、B 1+B 2=X −1(A 1+A 2)X7、B 1B 2=X −1(A 1A 2)X8、kB 1=X −1(kA 1)X9、f(B)=X −1f(A)X 10、kE =X −1(kE)X对角矩阵： [a 1,a 2,a 3,⋯,a n ] 准对角矩阵：[A 1,A 2,A 3,⋯,A n ]向量组的内积内积公式 又称正交向量组，α,β一定线性无关 α1,α2,⋯,αn 线性无关，求正交化的β1,β2,⋯,αn 的公式详见书P219页 例1注：|βi |=√(β1,β1)正交向量组B =X−1AX11、有相同的特征多项式 12、有相同的特征值13、有相同的迹（即对角线元素个数）注：这里的A i 是指分块矩阵，不是代数余子式 这里我设ηi =(h 1i ,h 2i ,⋯,h si )，数学中并没有明确规定符号例：[ 1212√2201212√22012−120√2212−12√22 ]任意两行或列的内积必为0（又称归一化）222222β3=α3−c 3，且有矩形0β3α3c 3β2α分配律：(α+β)∙γ=(α,γ)+(β,γ) 结合律：(α,β)γ=α(β,γ) 交换律：αβ=βα§4.2 特征值和特征向量求全部特征向量的步骤：第一步：列出特证多项式=|λ−a 11a 12⋯−a 1n −a 21λ−a 22⋯−a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯−a n1−a n2⋯λ−a nn|=(λ1−d 1)(λ2−d 2)⋯(λ3−d n )第二步：求λ的解注：考虑是在Q 、R 、C 数域范围内，特征根的个数不同将λi 代入|λE −A |，求基础解系见§2.7第五步§4.3 对角化条件B=X −1AX§4.4 实对称矩的对角化求正交矩阵T 的步骤第一步：求特征值即|λE −A |，求λ见§4.2第二步：求λ1的特征向量λ1代|λE −A |，求基础解系α1见§2.7第五步第三步：求特征向量α1的正交化β1,β2,⋯,βn 见§3.5第四步：求单位化η1,η2,⋯,ηn 见§3.5第五步：重复第二、三、四步，with λ2,λ3,⋯,λn第六步：得正交矩阵T=[η1η2⋯ηn ]=[h 11h 12⋯h 1n h 21h 22⋯h 2n⋯⋯⋯⋯h n1h n2⋯h nn]n)特征矩阵属于λ1的特证向量：k 1α1+k 2α2+⋯ 属于λ2的特证向量：l 1β1+l 2β2+⋯详见书P241页 例1等价于基础解系，只是表示方法略不同A 与对角矩阵相似，称A 对角化充要：有n 充要：有n 个线性无关的特征向量，即n 个不同的特特征值X 即A 的特征向量构成的矩阵任何实对称矩阵都可以对角化详见书P257页 例1d i 是系数条件 注：有时候会有重复个相同的特征值的特征向量注：X ，即A 的特征向量构成的矩阵，X 不是唯一的。