2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷(4)2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷

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密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（4）

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） 1．已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|++4=2a ，则a +b 等于（ ）

A ．﹣1

B ．0

C ．1

D ．2

2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1，则a 等于（ ）

A

． B

． C ．1 D ．2

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y

的方程组

只有正数解的概率为（ ）

A

．

B

． C ．

D ．

4．如图1，在直角梯形ABCD ，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B ﹣﹣C ﹣﹣D ﹣﹣A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图2，则△ABC 的面积为（ ）

A ．10

B ．16

C ．18

D ．32

5．关于x ，y 的方程x 2+xy +2y 2=29的整数解（x ，y ）的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组

二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废； 若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以 交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同 时报废，那么这辆车将能行驶 km ．

7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD=AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则

的值为 ．

8．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程（x ﹣a 1）（x ﹣a 2）（x ﹣a 3）（x ﹣a 4）（x ﹣a 5）=2009的整数根，则b 的值为 ．

9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则CE 的长等于 ．

10． 10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把

自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．

三、解答题（共4小题，满分80分）

11．已知抛物线y=x2与动直线y=（2t﹣1）x﹣c有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22=t2+2t﹣3．

（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

12．已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．13．如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．

14．n个正整数a1，a2，…，a n满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜a n=2009；且a1，a2，…，a n中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________

密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（4）答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） 1．已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|++4=2a ，则a +b 等于（ ）

A ．﹣1

B ．0

C ．1

D ．2

【解答】解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为，于是a=3，b=﹣2，

从而a +b=1．故选C ．

2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1，则a 等于（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．2

【解答】解：∵∠BAC=∠BCA=∠OBC=∠OCB ， ∴△BOC ∽△ABC ，所以

，即

， 所以，a 2﹣a ﹣1=0．由a ＞0，解得

．故选A ．

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组只有正数解的概

率为（ ）A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：当2a ﹣b=0时，方程组无解；

当2a ﹣b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x=，

y=

，

∵使x 、y 都大于0则有

＞0，

＞0，

∴解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3，而a ，b 都为1到6的整数，

所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10=13种；

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为

，故选D ．

4．如图1，在直角梯形ABCD ，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B ﹣﹣C ﹣﹣D ﹣﹣A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图2，则△ABC 的面积为（ ） A ．10

B ．16

C ．18

D ．32

【解答】解：根据图2可知当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，与△ABC 面积相等；且不变的面积是在x=4，x=9之间；所以在直角梯形ABCD 中BC=4，CD=5，AD=5． 过点D 作DN ⊥AB 于点N ，则有DN=BC=4，BN=CD=5， 在Rt △ADN 中，AN=

=

=3，所以AB=BN +AN=5+3=8

所以△ABC 的面积为AB•BC=×8×4=16．故选：B ．

5．关于x ，y 的方程x 2+xy +2y 2=29的整数解（x ，y ）的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组

【解答】解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为x 2+yx +（2y 2﹣29）=0． 由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数． 由△=y 2﹣4（2y 2﹣29）=﹣7y 2+116≥0，解得y 2≤．于是

显然，只有y 2=16时，△=4是完全平方数，符合要求． 当y=4时，原方程为x 2+4x +3=0，此时x 1=﹣1，x 2=﹣3； 当y=﹣4时，原方程为x 2﹣4x +3=0，此时x 3=1，x 4=3．

所以，原方程的整数解为

故选C ．

二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，