2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式与线性规划热点难点突破文含解析
2019年高考数学全国卷大纲及考试说明分析解读
空间想象能力、数据处理能力以及应用意识和创新 意识. 案例一 推理论证能力：推理是思维的基本形式之一， 它由前提和结论组成；论证是由已有的正确的前提 到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演 绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括形式划 分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直
接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再 运用演绎推理进行证明，演绎推理是考查的考点.
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解 决这一类题的通用方法，也即一解多题.
（2018 全国Ⅱ理 20，12 分）
四 贴近生活实际 体现应用价值
全国卷在数学试题的设计上紧密结合社会实际和 考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中 的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强 应用的特点，很好地体现了“立德树人”的教育理 念. 例如（2017 全国Ⅰ理 12）
（2017 年版）的颁布，意味着 2019 年高考 命题必然会适度接轨新高考，体现从知识立 意、能力立意向素养立意转化的趋势，发挥 高考的导向作用.为此，我们需要深度解读 《考试大纲》所蕴含的命题导向、命题思路 以及更深层的含义，强化能力，提高素养， 科学备考. 《考试大纲》 、 《考试说 明》 、 《试题分析》三者的关系： 《考试大纲》 是高考的纲领性文件， 《考试说明》和《试题
例 3 （2019 益阳高三调研 12）
例 4 （2018 河南省实验中学月考一 12）
例5
六构建解决数学问题的模式识别能力
当遇到一道数学题目时，你的第一反 应是什么?当然是迅速形成解题方案.在经过 审题并且理解题意后，立即思考问题属于哪 一部分（代数部分、立体几何部分、三角部 分、解析几何部分等等） 、哪一章节? 与这 一章节的哪个类型比较接近?解决这个类型 有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这
高考数学重点难点知识结构
盘点2019年高考数学重点难点知识结构因为基础知识融汇于主干内容之中，主干内容又是整个学科知识体系的重要支撑，理所当然是高考的重之中重。
2019年高考数学重点难点内容包括：函数、不等式、三角、数列、解析几何、向量等内容。
现分块阐述如下：1.函数函数是贯穿中学数学的一条主线，近几年对函数的考察既全面又深入，保持了较高的内容比例，并达到了一定深度。
题型分布总体趋势是四道小题一道大题，题量稳中有变，但分值基本在35分左右。
选填题覆盖了函数的大部分内容，如函数的三要素，函数的四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)与函数图像、常见的初等函数，反函数等。
小题突出考察基础知识，大题注重考察函数的思想方法和综合应用。
2.三角函数三角部分是高中数学的传统内容，它是中学数学重要的基础知识，因而具有基础性的地位，同时它也是解决数学本身与其它学科的重要工具，因此具有工具性。
高考大部分以中低档题的形式出现，至少考一大一小两题，分值16分左右，其中三角恒等变形、求值、三角函数的图象与性质，解三角形是支撑三角函数的知识体系的主干知识，这无疑是高考命题的重点。
3.立体几何承载着空间想象能力，逻辑推理能力与运算能力考察的立体几何试题，在历年的高考中被定义于中低档题，多是一道解答题，一道选填题;解答一般与棱柱，棱锥有关，主要考察线线与线面关系，其解法一般有两种以上，并且一般都能用空间向量方法来求解。
4.数列与极限数列与极限是高中数学重要内容之一，也是进一步学习高中数学的基础，每年高考占15%。
高考以一大一小两题形式出现，小题主要考察基础知识的掌握，解答题一般为中等以上难度的压轴题。
由于这部分知识处于交汇点的地位，比如函数、不等式，向量、解几等都与它们有密切的联系，因此大题目具有较强的综合性与灵活性和思维的深刻性。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题22不等式选讲(热点难点突破)理(含解析)
不等式选讲1．不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________．解析 a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.答案 a ≥12．设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．解析(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](22＋22＋12)≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81. 答案 93．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________． 解析 ∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，即－2，3是方程f (x )＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，∴|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.答案 14．若不等式|x ＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵|x ＋1x|≥2， ∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.答案 (1，3)5．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4.即－3≤m ≤5.答案 [－3，5]6．设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1，3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵1ax 2－bx ＋c <0的解集是(－1，3)， ∴1a >0且－1，3 是1a x 2－bx ＋c ＝0的两根，则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab 2＝1， 且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又∵7＋|t |≥7>1，1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，∴|t |<3，即－3<t <3.答案 (－3，3)8．设函数f (x )＝|x －a |＋1，a ∈R .(1)当a ＝4时，解不等式f (x )<1＋|2x ＋1|； (2)若f (x )≤2的解集为[0,2]，1m ＋1n＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥3＋2 2.(2)依题可知|x －a |≤1⇒a －1≤x ≤a ＋1，所以a ＝1，即1m ＋1n ＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝3＋2n m ＋m n≥3＋2 2 当且仅当m ＝1＋2，n ＝1＋22时取等号． 9．设函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|(a >0)，g (x )＝x ＋2.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤g (x )的解集；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，|2x －1|＋|2x ＋1|≤x ＋2⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12－4x ≤x ＋2⇒无解，⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <122≤x ＋2⇒0≤x <12，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥124x ≤x ＋2⇒12≤x ≤23综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0≤x ≤23.(2)|2x －a |＋|2x ＋1|≥x ＋2，转化为|2x －a |＋|2x ＋1|－x －2≥0.令h (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|－x －2，因为a >0，所以h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ＋a －3，x ≤－12－x ＋a －1，－12<x <a 23x －a －1，x ≥a 2，在a >0下易得h (x )min ＝a 2－1，令a 2－1≥0，得a ≥2.10．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解 (1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a .∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5，∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t 2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)．∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t 2＋1；当t ＝2时x ∈[2，＋∞)．11．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )>2的解集；(2)∀x ∈R ，使f (x )≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．(2)易得f (x )min ＝－52，若∀x ∈R 都有f (x )≥t 2－112t 恒成立，则只需f (x )min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.12．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式f (x )＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x－1，x ≤－5，9，－5<x <4，2x ＋1，x ≥4.又|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－12，2x ＋1，x >12，所以若f (x )＝|2x ＋1|，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．(2)因为f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9，∴f (x )min ＝9.所以若关于x 的不等式f (x )<a 的解集非空，则a >f (x )min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞)．13．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|.(1)试求f (x )的值域；(2)设g (x )＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若任意s ∈(0，＋∞)，任意t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)函数可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－2，2x ＋1，－2≤x ≤1，3，x >1.∴f (x )∈[－3，3]．(2)若x >0，则g (x )＝ax 2－3x ＋3x ＝ax ＋3x－3≥23a －3，即当ax 2＝3时，g (x )min ＝23a －3， 又由(1)知f (x )max ＝3.若∀s ∈(0，＋∞)，∀t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，则有g (x )min ≥f (x )max ，∴23a －3≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞)．14．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥12，－3x －1，－2≤x ＜12，3－x ，x ＜－2， 所以原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －3≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ＜12，－3x －1≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[6，＋∞)．(2)只要f (x )max ＜t 2－3t ，由(1)知f (x )max ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52. 15．设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.16．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.17．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．(2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立)因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)．18．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件． 解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y 4＝1. 由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y≥12＋12 y x ·x y＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号． 要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立， 只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323， 当x ＝83，y ＝43时等号成立． 19．知函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )≤9；(2)若方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )≤9，即|2x －4|＋|x ＋1|≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，3x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－3x ＋3≤9，解得2<x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x <－1.∴不等式的解集为[－2,4]．(2)当x ∈[0,2]时，f (x )＝5－x .由题意知，f (x )＝－x 2＋a ，即a ＝x 2－x ＋5，x ∈[0,2]，故方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，即函数y ＝a 和函数y ＝x 2－x ＋5的图象在区间[0,2]上有交点， ∵当x ∈[0,2]时，y ＝x 2－x ＋5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.20．f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，由f (x )≤4，得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1；当1<x <2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1<x <2；当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4.综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]．(2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |，得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2，即为|2x ＋a |＋|4－2x |≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立，而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|，当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立，所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2，解得－1≤a ≤43或a ∈∅.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43.21．函数f (x )＝|2x ＋1|.(1)求不等式f (x )≤8－|x －3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24.(1)解 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋－x或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，2x ＋1＋－x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x >3，2x ＋1＋x －3≤8，即不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103.(2)证明 ∵m >0，n >0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×m ＋3n24，即m ＋3n ≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝2时取等号，∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当(2m ＋1)(－6n ＋1)≤0，即n ≥16时取等号，又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时，取等号，∴f (m )＋f (－3n )≥24.22．函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a .(1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f (x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a <0，2＋a ≥0，故a 的取值范围为[)－2，－1.23．函数f (x )＝x 2＋|x －2|.(1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2(a >0，b >0，c >0)对任意x ∈R 恒成立，求证：ab ·c <7232.(1)解 由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2－x >－2x ，解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明 当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4；当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以f (x )的最小值为74.因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74.又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ≥42abc 2，且等号不能同时成立，所以42abc 2<74，即ab ·c <7232.24.数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．(2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a －a ＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式与线性规划热点难点突破文含解析
不等式与线性规划1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a>0.3bC ．a >bD.3a >3b解析 因为a >b ，而对数函数要求真数为正数，所以ln a >ln b 不成立； 因为y ＝0.3x是减函数，又a >b ，则0.3a<0.3b，故B 错； 当a ＞b ＞0时，a >b ，则a ＞b ，故C 错；y ＝x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则a >b ，即3a >3b 成立，选D.答案 D2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ， 又b ＝(lg e)2<lg 10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <124．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.答案 C5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．22D.655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立； ②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f (x )>0得32x－(k ＋1)·3x＋2>0， 解得k ＋1<3x＋23x， 而3x＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．8 D ．82解析 ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0且Δ＝4－4ac ＝0.∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)， ∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4，故选A. 答案 A9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n2＋n ＋22个区域，选C.答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③ D ．③④⑤11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b2c <a2cD.a －cac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －cac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b2c <a2c 不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：正数x ，y 满足x ＋y ＝1，当a >0时，1x ＋a y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ，当且仅当y ＝a x 时取等号，因为1x ＋ay≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，∴1＋a ＋2a ≥4，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．当a ≤0时显然不满足题意，故选D.答案：D14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B.答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x －y≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1)，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分条件可举反例，令a ＝b ＝－10，此时a <1b ，b <1a ，但ab ＝100>1，所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的充分条件．反之，a ，b 为实数，当0<ab <1时，说明a ，b 同号．若a >0，b >0，则a <1b 或b <1a ；若a <0，b <0，则a >1b 或b >1a .所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的必要条件．综上可知“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的既不充分也不必要条件． 答案：D18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x＋1＋9x ＋1－5≥2＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －y≥－12x －y≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈[1,5]，∴a >2x－x 成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A.答案：A21．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn ＞0.由均值不等式，可得n m ＋mn≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：222．设P (x ，y )是函数y ＝2x (x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 223．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥x，3x ＋2y≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题19概率与统计热点难点突破理含解析
概率与统计．在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了门选修课供该校学生选择，现有名同学参加该校选课走班的活动，要求这名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这名同学选课的种数为( )．．．．答案解析因为将个人分成组有两种情形，＝＋＋＝＋＋，所以这名同学选课的种数为·＝，故选.．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出位男生和位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为( )．．．．．将，，，，这名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有一名同学的排法有( )．种．种．种．种答案解析当，之间为时，看成一个整体进行排列，共有·＝(种)，当，之间不是时，先在，之间插入，中的任意一个，然后在之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有··＝(种)，所以共有种不同的排法．．的展开式中的常数项为( )．－．．．答案解析由二项式的通项公式为＋＝·－，当－＝时，解得＝，当－＝－时，解得＝，所以展开式中的常数项为－·＋·＝－＋＝.．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( )．－．．．－．二项式的展开式中，其中是有理项的共有( )．项．项．项．项答案解析二项式的展开式中，通项公式为＋＝·－·＝·，≤≤，∴当＝时满足题意，共个．．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )．种．种．种．种答案解析《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里(最后一个空不排)，有种排。
2019年高考数学全国卷大纲及考试说明分析解读
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解 决这一类题的通用方法，也即一解多题.
（2018 全国Ⅱ理 20，12 分）
四 贴近生活实际 体现应用价值
全国卷在数学试题的设计上紧密结合社会实际和 考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中 的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强 应用的特点，很好地体现了“立德树人”的教育理 念. 例如（2017 全国Ⅰ理 12）
例 3 （2019 益阳高三调研 12）
例 4 （2018 河南省实验中学月考一 12）
例5
六构建解决数学问题的模式识别能力
当遇到一道数学题目时，你的第一反 应是什么?当然是迅速形成解题方案.在经过 审题并且理解题意后，立即思考问题属于哪 一部分（代数部分、立体几何部分、三角部 分、解析几何部分等等） 、哪一章节? 与这 一章节的哪个类型比较接近?解决这个类型 有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这
例如（2017 全国Ⅰ理 20）
2.综合考查素养
全国卷中试题的问题情境更加丰富，设 问方式更加新颖，综合、灵活地考查了考生 的数学素养及学习新知识的能力.
例1 （2018 全国Ⅲ理7 文9 ）
三 注重能力立意 突出通性通法
1.注重能力立意 全国卷以能力立意为核心，重点考查考 生的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、 空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力以 及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较好的 考查. 2.突出通性通法
是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本 数学思想. 解读一 参数思维：是指在解题过程中，通过 适当引入一些与题目研究的数学对象发生联 系的新变量（参数） ，以此作为媒介，再进 行分析和综合，从而解决问题.运用参数解题 的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式热点难点突破理含解析
不等式1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．<B ．ab <b 21a 1bC ．－ab <－a 2D ．－<－1a 1b【答案】D2．已知a ∈R ，不等式≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )x －3x ＋aA ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)【解析】∵－2∉p ，∴<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.－2－3－2＋a【答案】D3．设函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3)【解析】由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)＝3，即f (x )>3，如果x <0，则x ＋6>3，可得－3<x <0；如果x ≥0，则x 2－4x ＋6>3，可得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A ．【答案】A4．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式>0的解集为( )ax 2＋bxx －1A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，∴a <0，＝－2，∴b ＝－2a ，∴＝.∵b a ax 2＋bx x －1ax 2－2axx －1a <0，∴<0，解得x <0或1<x <2.故选B ．x 2－2xx －1【答案】B5．若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515【解析】因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max，(xx 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，x x 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x＋315当且仅当x ＝时等号成立，∴a ≥.1x 15【答案】A6．若关于x ，y 的不等式组Error!表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A ．或 B ．或12141218C ．1或D ．1或1214【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为；当k ＝1时，表示区域的面积为，故选A ．1214【答案】A7．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17【解析】解法一(图解法)：已知约束条件Error!所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－x ＋过点B (3,0)时，z 取得最小25z5值2×3＋5×0＝6.解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件Error!所表示的平面区域的顶点分别为A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6,17，故z 的最小值为6.【答案】B8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5) B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【解析】关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<x <a ；当a <1时，不等式的解集为a <x <1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D ．【答案】D9．若实数x ，y 满足Error!则z ＝的取值范围是( )2y2x ＋1A ．B ．[43，4][43，4)C ．[2,4]D ．(2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB )所示，其中A (1,2)，B (0,2)．z ＝＝＝，则z 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与点M 所连直线的斜率．2y 2x ＋1y x ＋12y －0x －(－12)(－12，0)可知k MA ＝＝，k MB ＝＝4，结合图形可得≤z <4.2－01－(－12)432－00－(－12)43故z ＝的取值范围是.2y 2x ＋1[43，4)【答案】B10．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．5＋2 B ．822C．5D ．9【答案】D11．已知实数x ，y 满足Error!且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3C ．D ．53【解析】如图，作出不等式组Error!对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，为6，即x ＋y ＝6.由Error!得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方．则(x ＋5)2＋y 2的最小值为2＝5.故选A ．(|－5|12＋22)【答案】A12．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9 C ．6D ．1【解析】∵正数a ，b 满足＋＝1，∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，∴b >1，a >1，则＋≥21a 1b 1a 1b 1b 1a 1a －19b －1＝2＝6，∴＋的最小值9 a －1 b －1 9ab － a ＋b ＋1(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)1a －19b －1为6，故选C ．【答案】C13．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝2”的一个充分不必要条件是( )2xy A ．x ＝y B ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1【解析】∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥2，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2，且y ＝1”是“x ＋2y ＝2”2xy 2xy 的充分不必要条件．故选C.【答案】C14．已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －2y 的最大值是( )(12)A. B.132116C ．32 D ．64【解析】解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y(12)(12)经过点A(1,3)时取得最小值，即u min＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即z max＝－5＝32，故选C.(12)解法二 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝x－2y的最大值在区域的顶点处(12)取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得Error!解得A(1,3)，(1，－32)116代入可得z＝32；联立得Error!解得B，代入可得z＝；联立得Error!解得C(－2,0)，代入可得z＝4.(12)通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.【答案】C15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元 B．16万元C．17万元 D．18万元【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，Error!z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由Error!得Error!∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.【答案】D16．已知函数f (x )＝x ＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )axA. B.1232C ．1 D ．2【解析】由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋＋2≥2＋2，当且仅当x ＝时取等号；②当x <0时，a xa a f (x )＝x ＋＋2≤－2＋2，当且仅当x ＝－时取等号．所以Error!解得a ＝1，故选C.axa a 【答案】C17．不等式组Error!的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≥3；p 3：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥；23p 4：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≤－2.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3【解析】不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由Error!解得Error!所以M .由图可知，当直线z ＝x －2y 过点M 处时，z 取得最小值，且z min ＝(43，13)(43，13)－2×＝，所以真命题是p 2，p 3，故选A.431323【答案】A18．已知实数x ，y 满足Error!且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5 B ．3C. D.53【解析】作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ＝6.由Error!得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D (－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为2＝5.故选A.(|－5＋2×0|5)【答案】A19．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B ．(－∞，2]C ．(－2,2) D ．(－2,2]【解析】当a ＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；当a ≠2时，函数y ＝(a －2)x 2－2(a －2)x －4是二次函数，若不等式恒成立，则a －2<0且Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上a 的取值范围为(－2,2]．故选D.【答案】D20．若变量x ，y 满足条件Error!则xy 的取值范围是( )A ．[0,5] B.[5，354]C. D ．[0,9][0，354]【解析】依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x ＝1，y ＝0时取得)；xy ≤x (6－x )≤2＝9，即xy ≤9，当x ＝3，y ＝3时取等号，即xy 的[x ＋(6－x )2]最大值为9，故选D.【答案】D21．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9 D ．c >9【答案】C22．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.<1a 1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<a【解析】∵0<a <b <1，∴0<b －a <1－a ，∴lg(b －a )<0<a ，故选D.【答案】D23．不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________________．【解析】原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．【答案】(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)24．已知函数f (x )＝sinπx (0<x <1)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则＋的最小值为________．4a 1b【解析】画出函数图象，由于f (a )＝f (b )，故a 和b 关于直线x ＝对称，∴a ＋b ＝1，12∴＋＝(a ＋b )＝5＋＋≥5＋4＝9.等号成立的条件为当且仅当a ＝2b .故＋的最小值为9.4a 1b(4a ＋1b )4b a a b 4a 1b【答案】925．已知集合，则M ∩N ＝________.【答案】(2，52]26．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．【解析】设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则Error!z ＝2x ＋y ，作出Error!表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.【答案】36027．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________．【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝，∴x ＋y ＝＋≥2＝(当且仅当x ＝时，等号成13(1x －x )2x 313x 2922322立)，故x ＋y 的最小值是.223【答案】 223。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 选修系列(第2部分：不等式选讲)
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第2部分：不等式选讲）一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m 是“|x-y|＜2m ”(x,y,a,m ∈R)的（A ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||x a m y a m-<⎧⎨-<⎩与|x-y|＜2m 的关系即得答案。
解答：选A 。
|||()()|||||2,||,||||23,1,2, 2.5,||252,||5,|| 2.5,||||||2.x y x a y a x a y a m m m x a m y a m x y m x y a m x y m x a x a m x a m y a m x y m -=---≤-+-<+=∴-<-<-<===-=-=<=-=-<=-<-<-<且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法〖例〗解下列不等式： 2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2| 5.x x x x x x x <-≤+>+-≤+-++<思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。
（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。
（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|f x a a a f x a ≤>⇒-≤≤去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。
（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。
解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3x x ->⎧⎨-≤⎩即13,15x x x <>⎧⎨-≤≤⎩或解得-1≤x ＜1或3＜x ≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.（2）由不等式|25|7x x +>+，可得250257x x x +≥⎧⎨+>+⎩或250,25(7)x x x +<⎧⎨+<-+⎩解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}（3）原不等式⇔①229093x x x ⎧-≥⎪⎨-≤+⎪⎩或②2290,93x x x ⎧-<⎪⎨-≤+⎪⎩ 不等式①⇔3333 4.34x x x x x ≤-≥⎧⇔=-≤≤⎨-≤≤⎩或或 不等式②⇔332 3.32x x x x -<<⎧⇔≤<⎨≤-≥⎩或∴原不等式的解集是{x|2≤x ≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。
高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题
高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．1．一元二次不等式的求解步骤： 一变、二求、三画、四结论． 2．一元二次不等式恒成立的条件设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x轴上方⇔f (x )min ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴下方⇔f (x )max ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0.3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线． 【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.【必备方法】1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M 和给定含参数的不等式f (x )＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M 是f (x )＞0的解集，则由M ＝{x |f (x )＞0}来求； (2)若f (x )＞0在M 上有解，则由M ∩{x |f (x )＞0}≠∅来求； (3)若f (x )＞0在M 上恒成立，则由M ⊆{x |f (x )＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．命题角度一 一元二次不等式[命题要点] ①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法． 【例1】► 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.[思路分析] 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a ＞0，a ＝0，a ＜0的情况和方程ax 2－(2a ＋1)x ＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解 不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0， 即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＜0.①若0＜a ＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫2，1a ；②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＞0.由于1a＜2，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 【方法支招】含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【突破训练1】 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a ＝________.解析 由题意，可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.由不等式解集的特点可得a ＞0且1a ＝12，故a ＝2.答案 2命题角度二 含参不等式恒成立问题[命题要点] 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．【例2】► (2012·镇江质量检测)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．[思路分析] 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．解析 先将不等式整理为关于a 的一元二次不等式为a 2－λba ＋8b 2－λb 2≥0，对任意a ∈R 恒成立，所以λ2b 2－4(8b 2－λb 2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b 2≤0，对任意b ∈R 恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案 －8≤λ≤4【方法支招】 含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【突破训练2】（2012年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（ ）A ．21xe x x ++…B 211124x x <-+C ．21cos 12x x -… D ．21ln(1)8x x x +-…【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cg x x '=-+≥，所以当[0x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…,故选C【方法支招】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 命题角度三 线性规划问题[命题要点] 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．【例3】► (2012·苏锡常镇调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．[审题视点] 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m ，n 的关系式，再利用线性规划知识解决．解析 因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4,2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧22m －n ≥8－2n－42m －n ≥8－2n，所以m ，n 满足的不等式为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥24m －3n ＋4≤0n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，nm 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案 －803【方法支招】 线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值．【突破训练3】（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- C ．[1,6]-D ．3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时,直线z x y -=3的截距最小,此时z 最大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时,直线截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A.解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实 一、注意解不等式不能漏解【例1】► 不等式(x －4)x 2－3x －4≥0的解集是________．解析 当x 2－3x －4＞0时，x －4≥0，解得x ≥4；当x 2－3x －4＝0，即x ＝－1或4时，原不等式也成立，所以解集是{x |x ≥4或x ＝－1}．答案 {x |x ≥4或x ＝－1}【小提示】：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x －4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论.否则，本题会出现下面的错误：因为\r(x2－3x －4)≥0，所以x －4≥0，解得x ≥4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】► 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)的一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围是________．解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)开口向上，纵截距是－1，一个零点在区间(1,2)内，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f 1＝a ＋b －1＜0f 2＝4a ＋2b －1＞0，作出点(a ，b )对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值－1(取不到)，即a －b ∈(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)【小提示】：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】► 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析 由OC →＝λOA →＋μOB →两边平方得OC →2＝(λOA →)2＋(μOB →)2＋2λμOA →·OB →，即为1＝λ2＋μ2＋2λμcos 〈OA →，OB →〉，所以cos 〈OA →，OB →〉＝1－λ2－μ22λμ∈(－1,1)，又λ，μ∈(0，＋∞)，所以化简即得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＞1－1＜λ－μ＜1，作出可行域如图目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义是区域上的点(λ，μ)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到λ－μ＋1＝0的距离为2，且取不到，故λ2＋(μ－3)2的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)【小提示】对目标函数λ2＋μ－32的几何意义要理解正确，表示点0，3到λ－μ＋1＝0的距离的平方，如果忘记平方，就会出现2，＋∞的错误，所以考虑问题要细心.1．(2011·南京模拟)已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A 、B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析 若A ，B 的交集是空集时，即x 2＋2x ＋a ＜0在1≤x ≤2上恒成立．令f (x )＝x 2＋2x ＋a ，因为对称轴为x ＝－1，所以y ＝f (x )在集合A 上递增，所以f (2)＜0即可，所以a ＜－8，所以A ，B 的交集不是空集时，实数a 的取值范围是a ≥－8.答案 [－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 93．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e ac.作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]．答案 [e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解析 根据不等式的基本性质求解.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13，x 3y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy ∈[2,27]，x 3y的最大值是27. 答案275．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2]。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式与线性规划教学案文含解析
不等式与线性规划【2019年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求．(2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题. 【重点、难点剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解． 2．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b . (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．②a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)． ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s24； ②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p. 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－abx＋zb，可知zb是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.【题型示例】题型一、不等式的解法及应用【例1】【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【变式探究】【2016高考新课标1卷】若,则( )（A）（B）（C）（D）【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________．解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.答案 {x |－1＜x ＜2}【变式探究】已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x2＋1>1y2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．【变式探究】 (1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎭⎫0，12成立，则a 的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x<－1，或x>12，则f (10x )>0的解集为______． 【答案】(1)[－52，＋∞) (2){x |x <－lg 2}【解析】(1)设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其对称轴为x ＝－a 2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是减函数，若满足题意应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，即－52≤a ≤－1.若－a2≤0，即a ≥0时，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是增函数，又f (0)＝1>0成立，故a ≥0.若0<－a 2<12，即－1<a <0，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a24－a22＋1＝1－a24≥0成立，故－1<a <0.综上，有a ≥－52.另解 也可转化为：a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，x ∈(0，12)恒成立，利用单调性求解．(2)依题意知f (x )>0的解为－1<x <12，故0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．题型二、简单的线性规划问题【例2】（2018年全国I卷）设变量满足约束条件A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，A，本题选择C选项。
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不等式与线性规划1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a>0.3bC ．a >bD.3a >3b解析 因为a >b ，而对数函数要求真数为正数，所以ln a >ln b 不成立； 因为y ＝0.3x是减函数，又a >b ，则0.3a<0.3b，故B 错； 当a ＞b ＞0时，a >b ，则a ＞b ，故C 错；y ＝x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则a >b ，即3a >3b 成立，选D.答案 D2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ， 又b ＝(lg e)2<lg 10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <124．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4} 解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.答案 C5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．22D.655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立； ②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f (x )>0得32x－(k ＋1)·3x＋2>0， 解得k ＋1<3x＋23x，而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．8 D ．82解析 ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0且Δ＝4－4ac ＝0.∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)， ∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4，故选A. 答案 A9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n2＋n ＋22个区域，选C. 答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③ D ．③④⑤11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b2c <a2cD.a －cac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －cac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b2c <a2c不一定成立． 答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：正数x ，y 满足x ＋y ＝1，当a >0时，1x ＋a y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ，当且仅当y ＝a x 时取等号，因为1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，∴1＋a ＋2a ≥4，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．当a ≤0时显然不满足题意，故选D. 答案：D14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B.答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x －y≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1)，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分条件可举反例，令a ＝b ＝－10，此时a <1b ，b <1a ，但ab ＝100>1，所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的充分条件．反之，a ，b 为实数，当0<ab <1时，说明a ，b 同号．若a >0，b >0，则a <1b 或b <1a；若a <0，b <0，则a >1b 或b >1a .所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的必要条件．综上可知“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的既不充分也不必要条件． 答案：D18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x＋1＋9x ＋1－5≥2＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －y≥－12x －y≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈[1,5]，∴a >2x－x 成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A.答案：A21．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________． 解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn ＞0.由均值不等式，可得n m ＋mn≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：222．设P (x ，y )是函数y ＝2x (x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 223．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥x，3x ＋2y≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。