力学量的平均值波函数随时间演化方程
第4章 力学量随时间的演化和对称性
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
力学量期望值随时间的变化 守恒定律
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
Hˆ ]
[Lˆx ,
1
2r2
Lˆ2 ]
1
2r2
[Lˆx ,
Lˆ2 ]
0
同理 [Ly , L2] [Lz , L2] 0
所以
d Lˆ2 1 [Lˆ2 , Hˆ ] 0 dt i
d Lˆx dt
1 i
[Lˆx , Hˆ ] 0
d Lˆy dt
1 i
[Lˆy , Hˆ ] 0
d Lˆz dt
②力学量的可能测值的几率分布不随时间变化
如：（i）自由粒子动量
Hˆ 1 pˆ 2
2
d p 1 [ pˆ Hˆ ] 0 dt i
动量守恒 （ii）粒子在中心力场中运动的角动量
Hˆ
2
2r2
r
(r 2
) r
量子力学中的时间演化与薛定谔方程
量子力学中的时间演化与薛定谔方程量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论框架，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，时间演化是一个重要的概念，而薛定谔方程则是描述量子系统时间演化的基本方程。
在经典力学中，我们可以通过牛顿第二定律来描述物体的运动。
而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它包含了粒子的位置和动量信息。
薛定谔方程就是描述波函数随时间演化的方程。
薛定谔方程的一般形式可以写作：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
这个方程可以看作是量子力学中的运动方程，它告诉我们波函数随时间如何变化。
薛定谔方程的解决方法有很多种，其中最常见的是分离变量法。
通过将波函数Ψ分解成位置和时间的乘积形式，我们可以将薛定谔方程分解为两个独立的方程，一个是关于位置的方程，另一个是关于时间的方程。
这样，我们可以分别解出它们的解析解，然后将它们组合起来得到波函数的解。
薛定谔方程的解决方法还包括数值解法和近似解法。
数值解法通过离散化的方法，将薛定谔方程转化为一个矩阵方程，然后利用数值计算方法求解。
近似解法则是在一些特定情况下，对薛定谔方程进行近似处理，得到近似的解析解。
薛定谔方程的时间演化是量子力学中的一个基本概念。
它告诉我们波函数随时间如何变化，从而揭示了量子系统的动力学性质。
根据薛定谔方程，我们可以计算出波函数在任意时间的值，从而得到粒子的位置、动量等物理量的概率分布。
薛定谔方程的时间演化还可以用于描述量子系统的演化过程。
例如，在一个封闭的量子系统中，如果系统的哈密顿量不随时间变化，那么根据薛定谔方程，系统的波函数将保持不变。
这就是所谓的定态解，它描述了系统处于一个稳定的状态。
然而，如果系统的哈密顿量随时间变化，那么根据薛定谔方程，系统的波函数将随时间演化。
这种演化可以描述系统从一个态向另一个态的转变过程。
例如，在一个受到外界扰动的量子系统中，系统的波函数将随时间逐渐演化到一个新的稳定态。
第五章 力学量随时间的演化与守恒量详解
第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。
一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。
[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂1ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。
2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。
(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。
量子力学 第4章
证 明： 引 入 任 意 波 函 数 ψr ˆ ˆ ˆ P[ H ( r )ψ( r )] H ( r )ψ( r ) ˆ ˆ ˆ H ( r )ψ( r ) H ( r ) Pψ( r ) ˆ， H ˆ ] 0 所 以 [P ˆ又 不 显 含 时 间 ˆ是 守 恒 力 学 量 P ， 所 以P 。 ˆ 与H ˆ 可 以 有 共 同 的 本 征 函。 宇称守恒时 ，P 数 也就是讲 ， ˆ 的 本 征 函 数 具 有 确 定宇 我们可以让 H 的 称， 而 且 它 的 宇 称 态 不 随间 时而 改 变 。 这 就 是 宇 称 守 恒 的 意。 义
最后得到
d 1 A A [ A, H ] dt i t
当力学量不显含时间时，
这就是力学 量平均值随 时间的变化
d 1 A [ A, H ] dt i
二、守恒量 1. 守恒力学量的定义 若一个力学量的平均值不随时间变化,则该力学量是一个守 恒力学量. 换句话说 若
d A 0 则A是守恒力学量. dt
2. 推论: 若 A 不显含t，而且[A，H]=0 则A是守恒力学量。
即: 这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。这样
的定义与经典力学相吻合,因为宏观量可以看作是微观量的 平均值. 可以证明守恒力学量测量值的概率分布也不随时间改娈.
关于量子体系的守恒量的几点说明
量子体系的守恒量不一定取确定值，即体系的状 态并不一定就是某个守恒量的本征态。 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在这个本征态；若初始时刻体系并不处在守恒 量A的本征态，以后的状态也不是A的本征态。量子 体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 与定态区分： 定态：体系的一种特殊的状态－能量本征态。 在定态下，一切力学量（不显含t）的平均值和测量 概率分布都不随时间改变。 守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿 量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随 时间改变。
38力学量平均值随时间的变化
1
[F, H ]
dt t ih
如果算符不显含时间,
F t
0
则
dF
1
[F, H ]
dt ih
若
[F, H] 0
则
dF 0
dt
(3.8-4) (3.8-5)
(3.8-6) (3.8-7)
(3.8-8)
满足上式的力学量,称为体系的运动恒量。
守恒量的特点
守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下：
（1）其平均值不随时间而变化；
§3.8力学量平均值随时间的变化 守恒定律
在波函数 描写的状态中,力学量的平均值为
F *(x,t) F (x,t)dx
因波函数是时间的函数,所以
(3.8-1)
d F d
*(x,t) F (x,t)dx
dt dt
* F dx
*
F
dx
*
F
dx
t
t
t
(3.8-2)
由 Schro&&dinger 方程
t
)
(rv,
t
)
(rv,
t
)
对应 P的本征值 1的态，称寄宇称
得出另一态，称其无确定宇称来自称守恒若体系哈密顿量具有空间反演不变性
H
(rv)
H
(rv)
则
PH
H
P
即
[P, H ]
0，亦即 P
是一个守恒量，或者说
H
描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。
（2）其概率分布不随时间而变化。
证明特点（2）：
因为 [F, H ] 0
，故
F
,
H
具有共同本征函数系n
量子力学_4.1 力学量随时间的演化
4
相似.
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
2
式 3 代入式
，得
d m 2 r F r dt
2
5
上式即谓Ehrenfest定理.其形式也与经典Newton方 程相似.
但是, 只当 F r 可以近似代之为 F r 时,波 r 包中心 的运动规律才与经典粒子相同. 那么, 在什么条件下可以做这种近似呢?
i i t
1 1 A , HA , AH , i i t
1 A , A , H , i t
1 A A, H i t
7
时 ， 才 此时,式 可 才与经典Newton方程形式上完全相同. 5 近 由此可以看出： 似 7 要求 式在整个运动过程中成立，就要满 代 足以下条件. 之 为
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害. (b) V 在空间变化较缓慢（在波包范围中变化 很小）. 从式（7）还可以看出 ,如果 V x a bx cx2 a, b, c为常量 . 所以对于线性势或谐振子势，条件
级一般是简并的.
推论
如果体系有一个守恒量 F ，而体系的某条能 级不简并（即对应于某能量本征值 E ，只有一个 本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态.
例如 一维谐振子势 2 不简并的,而空间反射 P 为守恒量, P, H 0, 所以 能量本征态必为 的本征态,即有确定宇称. P
按4.1节式 3 ,粒子坐标和动量的平均值随时 间变化如下: d 1 r r, H p m 2 dt i
3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律
②,力学量的可能测值的几率分布不随时间变化
第三章 量子力学中的力学量
6/17
Quantum mechanics
§3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律
1 2 ˆ ˆ H p 如:(1),自由粒子动量 2 ˆ 1 dp dp 1 ˆ ˆ ˆ ˆ [ p, H ] 0 [ p, H ] 0 dt i dt i
16/17
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
Changing of average value of mechanical quantities with time
二、守恒量与对称性的关系 Relation between symmetry &quantities of conservation
第三章 量子力学中的力学量
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则
Note
ψ i Hψ t
A 0 t
d 1 A (t ) [ A, H ] dt i
若
[ A, H ] 0
d A (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质 选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψk Ekψk , Aψk Akψk
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定 能级不简并，则必有
ˆψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F’
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确定的 宇称。事实上，也确是如此，
Hψ ( t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ),ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
ψ2ψ1 ψ1ψ2
/ 1 2 / 2 1
两边同时积分得
ψ1 Cψ 2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数Ψ
ˆ E , F ˆ F H
又因为 [G, H]=0, 则ˆψ G ˆH ˆ Eψ EG ˆψ ˆG ˆψ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
守恒的条件？
d A A (t ) , A , A , dt t t t A H , A , A , t t i 1 A , HA 1 ( , AH ) , i i t 1 A A 1 ( , [ A, H ] ) , [ A, H ] i t t i
体系的任意量子态可表示为
ψ (t ) ak (t )ψk , ak (t ) (ψk ,ψ (t ))
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为
a k (t )
2
则该概率随时间的变化为
da k d 2 a k (t ) ak 复共轭项 dt dt ψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 t
2
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 i r p [ r p , H ] [ r p, p ] [ r p,V ( r )] dt 2m p2 i r V m d 对定态有 r p0 dt
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量
守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为
A(t ) ψ (t ), Aψ (t )
Pψn ( x) ψn (x) (1) ψn ( x)
n
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并 也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简 并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H p / 2m V (r )
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变