波函数和薛定谔方程-力学量算符
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
量子力学的五个基本假设
量子力学的五个基本假设
量子力学五大假设是指微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述；微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程；力学量由相应的线性厄米算符表示；力学量算符之间有确定的对易关系；全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性。
量子力学的理论框架是由下列五个假设构成的：
（1）波函数假设：微观体系的运动状态被一个属于
希尔伯特空间波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。
（2）演化假设：微观体系的运动状态波函数随时间的演化满足薛定谔方程。
（3）算符假设：力学量用厄米算符表示。
（4）量子测量假设：当对一个量子体系进行某一力学量的测量时，测量结果一定为该力学量算符的本征值当中的某一个，测量结果为|k>的概率为|<k|ψ>|的平方,当测量完成后，该量子体系塌缩至|k>,（即不管再对该量子态重新测量多少次，测得的该力学量的值一定为第一次所测得的值k）。
（5）全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，它提出了一种新的描述方式——波函数。
波函数是量子力学的核心概念，它可以用来描述粒子的位置、能量、动量等性质。
而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的数学表达式。
本文将重点讨论波函数与薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数的概念与性质波函数（ψ）是量子力学中对粒子状态的描述。
它是一个复数函数，包含了粒子位置、能量等信息，并且满足归一化条件，即在整个空间内的积分平方和为1。
波函数的模的平方，即|ψ|²表示粒子在某个位置上的出现概率密度。
波函数具有叠加原理，也就是说多个波函数可以叠加形成新的波函数。
这个叠加过程可以用波函数的线性组合来表示，其中各个波函数所对应的系数表示了它们的相对贡献程度。
二、薛定谔方程的形式与意义薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，它是由薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程的一般形式为：Ĥψ = Eψ其中Ĥ为哈密顿算符，E为能量本征值，ψ为波函数。
这个方程描述了体系中的粒子在不同的势场中的运动规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用1. 原子结构与电子行为在原子结构研究中，波函数被用来描述电子在原子核周围的分布情况。
薛定谔方程可以求解出不同原子的能级和电子轨道分布，从而解释和预测原子光谱的性质。
2. 材料物性与波函数分析波函数可以用来研究材料的结构和物性。
通过计算材料中的波函数，可以得到材料的能带结构、电子密度分布等信息，从而揭示其导电性、磁性等特性。
3. 量子力学中的粒子碰撞在粒子碰撞研究中，波函数描述了入射粒子和出射粒子之间的相互作用。
利用薛定谔方程求解波函数，可以计算出散射截面、角分布等碰撞参数。
4. 量子计算和量子通信波函数的叠加性为量子计算和量子通信提供了基础。
量子计算利用波函数的叠加原理，利用量子态的叠加特性进行并行运算，从而加快计算速度；量子通信利用波函数的纠缠性质，实现了安全的信息传输。
波函数薛定谔方程
(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
波函数和薛定谔方程
b a
Ò
S
r r r J (r , t ) dS
得
dJ x ( x, t ) = J x (a, t )- J x (b, t )
J x (a, t )和 J x (b, t ) 分别表示流入和流出Vab
r d 3r r r , t d r=( ) dt 蝌 V
抖 2 y* * y y =y + y 抖 t t t
对于一维的薛定谔方程
抖 ih y ( x, t ) = 抖 t 轾 h2 2 犏 + U ( x, t ) y ( x, t ) 犏 2m x 2 臌
则对于上式，可写为
抖 r ( x, t ) + 抖 t x J x ( x, t ) = 0
有
ì ï 抖 y ih 2y i ï = - Uy ï 2 ï 抖 t 2m x h ï í ï 抖 y* ih 2 y * i * ï = + U y ï 2 ï t 2m x h ï î 抖
不稳定粒子
发生衰变、或湮灭-再生过程的 粒子，则
P (t ) =
ò
¥
么？
守恒性
归一化条件是非相对论性粒子概率意义 的自然要求，也是薛定谔方程的结果。
r d 3r r r , t d r® 0 ( ) ò dt ¥
ò
+
-
y (x, t ) dx = e- t t
2
P (t )是粒子出现在全空间的概率， t 为粒子衰变的寿命。
算符
在位形空间里，描述动量的函数不再 是一般的函数，而是微分算符
ˆx px ? p - ih ¶ ¶x
第6章 波函数和薛定谔方程
说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。 2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。
归一化波函数：
2
在全空间任一粒子出现几率为1，则：
r , t
d 1
——归一化条件
dτ为空间体积元，3维情况下dτ=dxdydz（与相体积元区别）。 满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能 i 用上式归一化，例如前面介绍的 pr Et
第2节 波函数的统计解释
因为粒子具有波粒二象性——引入波函数。波恩对波函数做 出如下解释： 根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。 解释：粒子的波函数ψp(r,t)，通常为复数，其强度为 |ψp(r,t)|2=ψp*(r,t)ψp(r,t)，为非负实数。在空间体积元dτ=dxdydz中， 找到粒子的概率与|ψp(r,t)|2成正比，与体积元dτ成正比：
说明： 1，用ψp(r,t)可以表示出粒子的ν和λ特征。这是一个猜想，其 有效性需要后面的推论来验证。 2，ψp(r,t)的物理意义，下一节介绍。
2 p 2 pn 3，相关公式 h n
h 2
E E 2 2 h
4，将由ψp(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础， 进而确定粒子的全部微观性质。 问题：自由粒子的波函数ψp(r,t)如何得到力学量？ 波函数ψp(r,t)对x求偏导，再乘以 -iħ ，则：
i t
这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示 对函数的操作过程。 由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数， 则： i i i i y t x z ——对应力学量的算符。
其他算符： 利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获 得所有的力学量算符。
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波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
[解]首先将归一化，求归一化系数A。
（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。
讨论：①一维的傅里叶变换的系数是而不是。
②傅里叶变换式中的t可看成参变量。
因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。
2．设在时，粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。
[解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。
任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。
知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而，粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故粒子动能的平均值为。
方法二：直接积分法根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而则有及。
讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。
②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。
③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。
3．一维谐振子处在的状态，求：（1）势能的平均值；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值[解]先检验是否归一化。
是归一化的。
（1）.其中应用及（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数其中，（3）其中由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势能的平均值相等。
4．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
[解]一维谐振子的波函数为式中为厄密多项式。
对于第一激发态故处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值，必须满足即有讨论：①在处有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当及时，几率，故和几率的关系大致如图示。
②假如过渡到经典情况，相当于，这时。
这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。
5．设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动量几率分布函数。
[解] 先检验是否归一化。
这表明是归一化的。
（1）（2）这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。
（3）选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有其中令，且应用了再令则6．粒子在势能为的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中[解]势能与坐标的关系如图示，按值的不同可分为三个区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
分别应用薛定谔方程，有Ⅰ：，其中：Ⅱ：其中：Ⅲ：其中：它们的解分别为，边界条件：当；则当，；则连接条件（波函数的标准条件）在处，在处，在处，在处，在上面四个式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而故其中令于是有由，得由可得讨论：①对于束缚态的问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。
然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。
这种方法具有一般性。
②把Ⅰ、Ⅲ两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问题变为只有一个任意常数的问题。
而在区域Ⅱ中没有边界条件。
又因所要求的结果具反三角函数的形式，因此把Ⅱ的解写成三角函数的形式。
原则上，写面指数或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。
7．粒子处在势能为的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。
[解]对区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别有Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：其解分别为边界条件：当时，当时，；于是连接条件：当时，，，当时，，，上列四式可重写为齐次方程式为下：这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有解之得它与三式决定粒子的能量。
8．求三维谐振子的能级，并讨论它的简并情形。
[解]三维谐振子的哈密顿为其中如果哈密顿可以分离变量，就必然有及因此可以设定薛定谔方程的解为且则有两边均除以得：要上式两边相等，必须今、、三份分别相等，亦即故有它们分别为沿、、方向的线谐振子方程，它们的能量分别为因此三维谐振子的能量为其中为正整数。
由N确定后，由于可以有不同的组合，因此就对应于不同的状态，这就是简并。
简并的重数可以决定如下：当时，可取，故有个可能值。
当时，可取，有个可能值。
……当时，只能取0，即只有一个可能值。
当和都确定后，由于的限制，也确定了，因此并不增加不同组合的数目。
故N确定以后，、、的可能组合数目，即简并重数为讨论：①若哈密顿本身可以分离变量，总可以有及。
这个结论是具有普遍性的。
只要注意到我们在证明这个结论时并没有涉及谐振子的哈密顿的具体形式，就能够看出这一点。
②以上讨论假定了谐振子在三个方向的频率相同。
一般地说，各方向的频率是可以不同的，对此，我们也可以用完全类似的方法来讨论。
9．一粒子在三维势场中运动，求粒子的能量和波函数。
[解]我们先来证明一个一般的结论：若哈密顿可写成、、之和，即则所对应的本征能量为波函数为其中、、；、、分别满足一维薛定谔方程（1）（2）（3）把上面三式写成（1）′（2）′（3）′（1）′式乘；（2）′式乘；（3）′式乘；然后三式相加得到：即这就是我们所要证明的结论。
于是我们就把一个解三维的薛定谔方程的问题归结为求解三个一维薛定谔方程的问题。
只要求得、和以有、和，就不难求出和。
对于方向的薛定谔方程（1）′，相当于求解一维无限深势阱下粒子的能量和波函数。
利用教材§10的结论，把（10—26）、（10—27）和（10—28）式中的用a来代替，可得到（n是整数）对于y方向的薛定谔方程（2）′，同理有（m是整数）对于方向的薛定谔方程，由于，这表明粒子在方向可以自由运动，其解为平面波解，即有是连续谱因此则有下列几种可能当，时讨论：若势阱宽度仍为a和b，但区间是由，不难证明，这时E仍如上式所示，但波函数只有一种，为式中、均为整数。
10．设在附近运动的粒子受到弹性力作用，相应的势能是，已知满足对应于这个势能的薛定谔方程的波函数是，其中；是n级厄密多项式，当时，；；；（1）试由薛定谔方程计算相应于本征函数的本征能量；（2）利用公式求时的平均势能（3）求时的平均动能。
[解]（1）本征能量由定态薛定谔方程决定。
（a）求：有而代入薛定谔方程得（b）故（c）（d）同理可得依此类推可得：（2）求平均势能（a）时，（b），（c），（d）（3）求平均动能（a）（b）（c）（d）讨论：①通过本题可以看到，只要已知本征波函数和体系的哈密顿算符的形式，要求体系对应于这些本征函数的本征能量，只需代入薛定谔方程通过微分运算求出。
因此解薛定谔方程求本征函数和本征能量E的困难，事实上何求本征函数上。
一旦已知本征函数，本征能量就容易求出了。
②事实上，受到弹性力作用的体系，相当于一维谐振子，本征函数就是谐振子的本征函数，这只须取就可看出。
因此算出的能量自然就是谐振子的本征能量，这和我们直接运算得出的结果一致。
③计算结果表明，对于在弹性力作用的体系（一维谐振子）算出的势能平均值总是等于总能量的一半，不管处在哪个能级，都有相同的结论，即这从物理上看显然是非常合理的。
11．粒子在势能的捧力场中运动，求能量，的情况下，粒子的能量和状态。
[解]径向方程为当时，方程简化为在处，波函数为，则有令，则方程变为即有其中在处，令，则有其中解上面两个方程得，故边界条件：当时，为有限，故于是当时，为有限，故于是连接条件：当时，于是，故解上面两式消去和得故得此外，再注意到从上面两式用图解法求出和，从而确定粒子的能量。
由及波函数的归一化条件可以确定和，从而粒子状态的波函数就可以确定。
12．粒子在半径为a，高为d的圆筒中运动，在筒的势能为零，在筒壁和筒外势能为无限大，求证：（1）粒子的波函数是其中是柱面坐标，为m阶贝塞尔函数的第个根。
（2）粒子的能量是[解]筒外势能为无限大，故粒子在筒运动的薛定谔方程用圆柱坐标表示为：用分离变量法，设代入上式，可以得到则有上面第一式的解为，其中利用边界条件：当时，当时，因而再令代入上面的第二式，可再分离变量得这第一式的解为其中现在令于是第二式改写为这是一个m阶贝塞尔方程，其解为当时，诺意曼函数，故当时，，故令为m阶贝塞尔函数的第t个根，则有综合上面几个式子，得到粒子的波函数为其中C可由归一化条件决定。
粒子的能量为13．设粒子在一维无限深阱中运动，如果粒子的状态由波函数描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。
[解] 一给无限深势阱式中a为势阱宽度。
粒子具有一定能量的状态为本征态，它满足本征方程粒子在阱时有代入本征方程得其解为能量为任意状态，可视为一系列本征态的线性迭加，亦即只要求出各个，就可以求出能量的各个可能值及相应的几率。
方法一：本题的较简单，容易化为若干正弦函数的迭加故，能量可能值，能量可能值方法二：一般方法因为由于三角函数的正交性故即得及讨论：比较上面两种方法可以看出，如果比较简单，能够较容易地把它展开为本征函数的组合时，就可以不必利用比较麻烦的积分方法求，但方法一只有在特殊情况下才能使用。
14．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。
[解] 先把波函数归一化，求归一化系数A。
故而能量的几率分布为能量的平均值为由于故讨论：由于几率分布与成反比，可看出能级愈低，几率愈大。
当时，几率，故知粒子绝大部分可能处于这个态。
15．设两个方形势垒的形状分别是；求粒子连续贯穿两个方形势垒的贯穿系数。
[解]现在讨论的显然是，的较小的一个情况。
按照贯穿系数的定义：其中和分别表示粒子贯穿第一个方势垒的贯穿系数和粒子贯穿第二个方势垒的贯穿系数，注意到故。