第二章 波函数和薛定谔方程
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量子力学习题及答案
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第二章 波函数和薛定谔方程b
第二章 波函数和薛定谔方程§2.1 学习指导本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。
根据实验，微观粒子具有波粒二象性。
经典波一般用振幅(,)A r t v 与位相(,)r t ϕv来描述，它们可以统一写为(,)(,)(,)i rt r t A r t e ϕψ=v v v ，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数(,)r t ψv 来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。
经典情况下，模方2|(,)|r t ψv表示波的强度；量子情况下，2|(,)|r t ψv表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。
波函数随时间的变化由薛定谔方程确定。
按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。
在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。
按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态。
在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。
散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。
真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动。
近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。
一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。
本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1）波函数波函数(,)r t ψv是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。
实际体系波函数满足平方可积条件，即22(,)r t d N τψ=<∞⎰⎰⎰v 。
2）波函数的意义波函数的模方2(,)(,)w r t r t =ψv v （2-1）给出t 时刻粒子出现在位置r v邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件2(,)1r t d τψ=⎰⎰⎰v (2-2)未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。
量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
第二章波动方程和薛定谔方程
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
又有
i − E 't h p
∗
， ，
c ( p, t ) = ∫ Ψ ( x, t ) ψ p ( x )dx
i − E 't h p
则： c( p, t ) = ∫ ψ p ' ( x )e
ψ p ∗ (x )dx
。
= δ p − p' e
(
)
i − E 't h p
３
所以在动量表象中，粒子具有确定动量 p ' 的波函数是以动量 p 为变量的 δ 函数。 例 2、 作一维运动的粒子被束缚在 0 < x < a 的范围内， 已知其波函数为： ψ(x ) = A sin 求： （1）归一化常数 A； （2）粒子在 0 到
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
又有
i − E 't h p
∗
， ，
c ( p, t ) = ∫ Ψ ( x, t ) ψ p ( x )dx
i − E 't h p
则： c( p, t ) = ∫ ψ p ' ( x )e
ψ p ∗ (x )dx
。
= δ p − p' e
(
)
i − E 't h p
３
所以在动量表象中，粒子具有确定动量 p ' 的波函数是以动量 p 为变量的 δ 函数。 例 2、 作一维运动的粒子被束缚在 0 < x < a 的范围内， 已知其波函数为： ψ(x ) = A sin 求： （1）归一化常数 A； （2）粒子在 0 到
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
第二章波函数与薛定谔方程2
2 d 2 [ V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x ) 2 2 dx 2 d 2 [ V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y ) 2 2 dy 2 d 2 [ V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 dz
II III
A sin x A2 cos x 1 B1e x B2 e x
C1 , B1 0
要保证有限则
e 另外，此时，
x
应趋于零，因此
I III 0 II A1 sin x A2 cos x
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统 计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零 根据波函数连续性条件：
设：V ( x, y, z) V1 ( x) V2 ( y) V3 ( z)
令： ( x, y, z) X ( x)Y ( y)Z ( z)
2 2 V ( x, y, z ) ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2
2 2 d2 d2 d2 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) V1 ( x ) V2 ( y ) V3 ( z ) ( x , y , z ) E ( x , y , z ) dx dy dz
等式两边除以 x, y, z ) X ( x)Y ( y)Z ( z ) （
1 X 1 2 d 2 X V1 ( x ) 2 2 dx Y 1 2 d 2 Y V2 ( y ) 2 2 dy Z 2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 2 dz
波函数及薛定谔方程习题解
2
即：
| A |2 = 1 ，因此 A = 2 λ 3 = 2λ λ 3 4λ
∫
( x > 0) ( x ≤ 0)
2
∞
0
x n e − ax dx =
n! a n +1
⎧ ⎪2λ λ xe − λ x 归一化的波函数为：ψ ( x) = ⎨ ⎪ ⎩0
（2）粒子坐标的概率分布函数为： w( x ) =| ψ ( x ) | = ⎨ （3）由
⎧4λ 3 x 2 e −2 λ x ⎩ 0
( x > 0) ( x ≤ 0)
d w( x) = 4λ 3 (2 xe−2 λ x − 2λ x 2 e−2 λ x ) = 0 ， dx
有： x1 = 0, x2 = ∞, x3 = 1/ λ ，据题意取 x3 = 1/ λ 。 2 、 一 个 势 能 U ( x) =
解： U ( x )与t 无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为
−
a a ≤x≤ 2 2 a | x |> 2
d2 − ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 μ dx 2
在各区域的具体形式为 Ⅰ： x < −
2
a 2
−
d2 ψ 1 ( x) + U ( x)ψ 1 ( x) = Eψ 1 ( x) 2 μ dx 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E2 t) ；
E
t) ；
E1 E
t ) + u ( x) exp(−i E
t ) + u ( x) exp(i
t) 。
解：判断是否定态可从下面三个方面来进行：1）能量是否为确定值；2）概率是否与时间无 关；3）概率流密度是否与时间无关 先看ψ 1 ( x, t ) = u ( x) exp(ix − i
即：
| A |2 = 1 ，因此 A = 2 λ 3 = 2λ λ 3 4λ
∫
( x > 0) ( x ≤ 0)
2
∞
0
x n e − ax dx =
n! a n +1
⎧ ⎪2λ λ xe − λ x 归一化的波函数为：ψ ( x) = ⎨ ⎪ ⎩0
（2）粒子坐标的概率分布函数为： w( x ) =| ψ ( x ) | = ⎨ （3）由
⎧4λ 3 x 2 e −2 λ x ⎩ 0
( x > 0) ( x ≤ 0)
d w( x) = 4λ 3 (2 xe−2 λ x − 2λ x 2 e−2 λ x ) = 0 ， dx
有： x1 = 0, x2 = ∞, x3 = 1/ λ ，据题意取 x3 = 1/ λ 。 2 、 一 个 势 能 U ( x) =
解： U ( x )与t 无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为
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a a ≤x≤ 2 2 a | x |> 2
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在各区域的具体形式为 Ⅰ： x < −
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d2 ψ 1 ( x) + U ( x)ψ 1 ( x) = Eψ 1 ( x) 2 μ dx 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E2 t) ；
E
t) ；
E1 E
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t ) + u ( x) exp(i
t) 。
解：判断是否定态可从下面三个方面来进行：1）能量是否为确定值；2）概率是否与时间无 关；3）概率流密度是否与时间无关 先看ψ 1 ( x, t ) = u ( x) exp(ix − i
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
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规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质 上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正 确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方 程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方 程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路：
系数。
势垒的投射
第二章 波函数和薛定谔方程 （小结）
一.波函数统计解释 二.态迭加原理 三.薛定谔方程 四.粒子流密度和粒子数守恒定律 五.定态薛定谔方程 六.一维无限深势阱 七.线性谐振子 八.势垒贯穿 几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应， 数学：厄米方程，厄米方程多项式 势垒。P244。 超越方程曾书p34，一维有限深势阱。
量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体 系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。 2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加 原理：
衍射图样的产生证实了干涉项的存在。 3、态的迭加原理
如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi
也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处 在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的 各个态Ψi。
4、说明：
（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解
为某一个算符本征态的迭加。 （2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的 迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。
§2.7 一维势场中的粒子能量的一般性质
一维问题的一般性质：七条性质（见曾谨言教 程）。
§2.8 一维(无限深)势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。 金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为 零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方 势阱形式。 二、微分方程 三、一维无限深势阱求解 四、宇称
经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可
能的波动过程。如：惠更斯原理。
描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相
同？
二、量子力学的态的迭加原理
1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2
线性相加，φ=aφ1+bφ2, 相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射 就是用波的迭加原理加以说明的。
2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n
很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。 4. 熟记有关结论。
四、S维各项同性谐振子 五、位移谐振子 六、耦合谐振子（对角化解耦） Summary: 1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的 宇称。
可证： 2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。
态。
重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。
二、本征方程、本征函数与本征值
算符 本征方程：
λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。
ψλ：本征值为λ的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个
本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的
不同本征函数数目为N，则称N重简并。
三、 定态情况下的薛定谔方程一般解
§2.10 势垒贯穿
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率
穿过势垒。
例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加 上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使 电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。 应用: 1973年:固体中的隧道效应, 半导体中的隧道效应. 约朔夫森, 江琦, 迦埃非. 1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜. 鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
§2.1. 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 用波函数 描述微观客体的运动状态。
例：一维自由粒子的波函数 推广 ：三维自由粒子波函数
2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数 之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件：一般情况下， 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
说明：
1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为
体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解
称为
能量的本征函数（energy eigenfunction）。 2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可 用分离变量。 3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 （或几率流密度和几率守恒定律）
本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起 来。
由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎 样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。
设ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则 =几率密度(w)； dV= dV的几率； q=电荷密度(ρ)； qdV=dV的电荷。 几率流密度（J）含义=单位时 间垂直流过单位面积几率。
四、波函数标准条件：连续，单值，有限。 单值与有限，由波函数的统计含义所定。， 连续，由几率的连续方程所确定。 另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。 说明： 几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一 些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动 来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。
是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。 处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点 处找到粒子的概率最大。按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的 区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠 释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率 （考研究生题）。 3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间 距只和振子的固有频率有关。 4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子 能谱的两大特点。均是波动性的体现。 5、熟练掌握本节内容。 6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。
§2.2.、态的迭加原理
态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作
一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加
深对态迭加原理的理解。
一、量子态和波函数
用波函数 Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给
定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为
。
波函数的统计解释也是波粒二项性的一种体现。
1997年：量子隧道效应。 经典物理无法理解势垒贯穿。∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节 介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
1、 一维方势垒 2、 求解 3、 势垒贯穿几率
讨论:
1.经典:E<U0 时, 无反射.
(1)量子力学:有反射.
(2)共振透射, 研究D, Dmax=1条件:
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life？》
薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉 克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理 学奖
第二章 波函数和薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。
这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。
主要介绍： 1.二个基本假设： A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。 B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。 2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题： A. 一维无限深势阱 B. 一维谐振子 C. 势垒贯穿（隧道效应）
§2.9 线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位
移满足方程： 谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比 如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振 动。双原子分子的振动可化为谐振子。 这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与 能量，并作些讨论. 三．谐振子的几率分布 结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。
其中： 所以：
定义：几率流密度
得几率的连续方程：
二、几率守恒定律 对几率的连续方程：
两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：
表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向 体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定 律，两者是等价的。
几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。 三、质量、电荷守恒定律 1．mW：质量密度，mJ：质量流密度。 质量守恒定律 2．qW：电荷密度，qJ：电流密度。 电荷守恒定律
§2.3. 薛定谔方程
系数。
势垒的投射
第二章 波函数和薛定谔方程 （小结）
一.波函数统计解释 二.态迭加原理 三.薛定谔方程 四.粒子流密度和粒子数守恒定律 五.定态薛定谔方程 六.一维无限深势阱 七.线性谐振子 八.势垒贯穿 几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应， 数学：厄米方程，厄米方程多项式 势垒。P244。 超越方程曾书p34，一维有限深势阱。
量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体 系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。 2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加 原理：
衍射图样的产生证实了干涉项的存在。 3、态的迭加原理
如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi
也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处 在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的 各个态Ψi。
4、说明：
（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解
为某一个算符本征态的迭加。 （2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的 迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。
§2.7 一维势场中的粒子能量的一般性质
一维问题的一般性质：七条性质（见曾谨言教 程）。
§2.8 一维(无限深)势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。 金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为 零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方 势阱形式。 二、微分方程 三、一维无限深势阱求解 四、宇称
经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可
能的波动过程。如：惠更斯原理。
描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相
同？
二、量子力学的态的迭加原理
1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2
线性相加，φ=aφ1+bφ2, 相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射 就是用波的迭加原理加以说明的。
2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n
很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。 4. 熟记有关结论。
四、S维各项同性谐振子 五、位移谐振子 六、耦合谐振子（对角化解耦） Summary: 1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的 宇称。
可证： 2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。
态。
重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。
二、本征方程、本征函数与本征值
算符 本征方程：
λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。
ψλ：本征值为λ的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个
本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的
不同本征函数数目为N，则称N重简并。
三、 定态情况下的薛定谔方程一般解
§2.10 势垒贯穿
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率
穿过势垒。
例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加 上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使 电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。 应用: 1973年:固体中的隧道效应, 半导体中的隧道效应. 约朔夫森, 江琦, 迦埃非. 1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜. 鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
§2.1. 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 用波函数 描述微观客体的运动状态。
例：一维自由粒子的波函数 推广 ：三维自由粒子波函数
2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数 之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件：一般情况下， 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
说明：
1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为
体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解
称为
能量的本征函数（energy eigenfunction）。 2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可 用分离变量。 3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 （或几率流密度和几率守恒定律）
本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起 来。
由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎 样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。
设ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则 =几率密度(w)； dV= dV的几率； q=电荷密度(ρ)； qdV=dV的电荷。 几率流密度（J）含义=单位时 间垂直流过单位面积几率。
四、波函数标准条件：连续，单值，有限。 单值与有限，由波函数的统计含义所定。， 连续，由几率的连续方程所确定。 另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。 说明： 几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一 些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动 来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。
是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。 处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点 处找到粒子的概率最大。按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的 区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠 释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率 （考研究生题）。 3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间 距只和振子的固有频率有关。 4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子 能谱的两大特点。均是波动性的体现。 5、熟练掌握本节内容。 6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。
§2.2.、态的迭加原理
态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作
一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加
深对态迭加原理的理解。
一、量子态和波函数
用波函数 Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给
定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为
。
波函数的统计解释也是波粒二项性的一种体现。
1997年：量子隧道效应。 经典物理无法理解势垒贯穿。∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节 介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
1、 一维方势垒 2、 求解 3、 势垒贯穿几率
讨论:
1.经典:E<U0 时, 无反射.
(1)量子力学:有反射.
(2)共振透射, 研究D, Dmax=1条件:
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life？》
薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉 克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理 学奖
第二章 波函数和薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。
这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。
主要介绍： 1.二个基本假设： A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。 B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。 2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题： A. 一维无限深势阱 B. 一维谐振子 C. 势垒贯穿（隧道效应）
§2.9 线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位
移满足方程： 谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比 如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振 动。双原子分子的振动可化为谐振子。 这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与 能量，并作些讨论. 三．谐振子的几率分布 结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。
其中： 所以：
定义：几率流密度
得几率的连续方程：
二、几率守恒定律 对几率的连续方程：
两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：
表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向 体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定 律，两者是等价的。
几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。 三、质量、电荷守恒定律 1．mW：质量密度，mJ：质量流密度。 质量守恒定律 2．qW：电荷密度，qJ：电流密度。 电荷守恒定律
§2.3. 薛定谔方程