第2章 波函数与薛定谔方程
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第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
第二章 波函数和薛定谔方程
n 2
{
n/2 n 1 / 2
(n为偶数) n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En1 En
E0 1 2
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章-波函数和薛定谔方程
n
n
一维定态薛定谔方程的几个定理 第5*节——一维定态薛定谔方程的几个定理 5*节 一维 一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 定理1 定理 一维束缚定态非简并 束缚态
h2 d 2 − + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 µ dx 2
第5节 定态薛定谔方程
习题p52 2.1和2.2题 习题p52 2.1和2.2题 加 2
v 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 Ψ (r , t ) = ψ ( r ) f ( t )
r v t与r是独立变量=>E是常数=>f ( t ) ~ e − iEt / h ⇒ Ψ (r , t ) = ψ ( r )e 是独立变量=>E是常数=> => 由德布罗意关系知E是系统的能量。 由德布罗意关系知E是系统的能量。 r r − iEt / h v 为定态波函数。 定态波函数 Ψ (r , t ) = ψ ( r )e ，也称ψ (r ) 为定态波函数。 由这种波函数描述的状态， 定态——由这种波函数描述的状态，其能量为确定值。 由这种波函数描述的状态 其能量为确定值。 h2 2 r r r − ∇ + V ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r ) 定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
第3(2)节 态叠加原理 3(2
为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 线性叠加态
态叠加原理： 是系统可能的状态， 态叠加原理：如果 Ψn , n = 1,2,3,L是系统可能的状态，则它们的
Ψ = ∑ cn Ψn
n
也是系统的的一个可能状态。 也是系统的的一个可能状态。其中
n
一维定态薛定谔方程的几个定理 第5*节——一维定态薛定谔方程的几个定理 5*节 一维 一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 定理1 定理 一维束缚定态非简并 束缚态
h2 d 2 − + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 µ dx 2
第5节 定态薛定谔方程
习题p52 2.1和2.2题 习题p52 2.1和2.2题 加 2
v 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 Ψ (r , t ) = ψ ( r ) f ( t )
r v t与r是独立变量=>E是常数=>f ( t ) ~ e − iEt / h ⇒ Ψ (r , t ) = ψ ( r )e 是独立变量=>E是常数=> => 由德布罗意关系知E是系统的能量。 由德布罗意关系知E是系统的能量。 r r − iEt / h v 为定态波函数。 定态波函数 Ψ (r , t ) = ψ ( r )e ，也称ψ (r ) 为定态波函数。 由这种波函数描述的状态， 定态——由这种波函数描述的状态，其能量为确定值。 由这种波函数描述的状态 其能量为确定值。 h2 2 r r r − ∇ + V ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r ) 定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
第3(2)节 态叠加原理 3(2
为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 线性叠加态
态叠加原理： 是系统可能的状态， 态叠加原理：如果 Ψn , n = 1,2,3,L是系统可能的状态，则它们的
Ψ = ∑ cn Ψn
n
也是系统的的一个可能状态。 也是系统的的一个可能状态。其中
第二章 波函数和薛定谔方程
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个 位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。 2 例如平面波。此时 | (r , t ) | 代表“相对几率密度”。
四、自由粒子的波函数
证明1：单电子衍射 电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成衍射图 样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳 定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源： 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
A cos(k r t )
一般地，我们用复数形式
Ae
i ( k r t )
则自由粒子的平面波
i ( p r Et ) (r , t ) A e
有关实验：
电子双缝干涉
1.与宏观粒子运动不同。
2.电子位置不确定。
3.几率正比于强度，即
观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们 把由 (r , t ) 描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各 力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的）， 而把 称为态函数。 (r , t )
二 .态迭加原理
经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性
对微观粒子的波动性，其实质也是波的迭加性 经典物理：波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代
p的相对几率
当动量连续变化时
(r , t )
c( p) p (r , t )dpx dpy dpz
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个 位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。 2 例如平面波。此时 | (r , t ) | 代表“相对几率密度”。
四、自由粒子的波函数
证明1：单电子衍射 电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成衍射图 样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳 定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源： 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
A cos(k r t )
一般地，我们用复数形式
Ae
i ( k r t )
则自由粒子的平面波
i ( p r Et ) (r , t ) A e
有关实验：
电子双缝干涉
1.与宏观粒子运动不同。
2.电子位置不确定。
3.几率正比于强度，即
观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们 把由 (r , t ) 描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各 力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的）， 而把 称为态函数。 (r , t )
二 .态迭加原理
经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性
对微观粒子的波动性，其实质也是波的迭加性 经典物理：波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代
p的相对几率
当动量连续变化时
(r , t )
c( p) p (r , t )dpx dpy dpz
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
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第二章 薛定谔方程
本章我们将以微观粒子的波粒二象性为依据，引 进描述微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性
质，建立非相对论量子力学的基本方程——薛定
谔方程。
1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 薛定谔方程 4 定态薛定谔方程
1
§2.1 波函数的统计解释
为了表示微观粒子的波粒二相性，可以用平面波来 描写自由粒子，其频率和波长与自由粒子的能量和
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
这里假定了波函数已归一化。又如势能V(r)的平
均值为
2 3 V (r ) V (r )d r
但不能象求势能平均值这样求动量的平均值，即
2 3 p ( r ) p( r ) d r
这是因为由于波粒二象性，粒子在空间“某一点 的动量”的说法是无意义的。
动量通过德布罗意关系联系起来，它们都是常数。
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它 的动量和能量不再是常数，这时粒子就不能用平面 波来描述。而必须用较复杂的波来描述。在一般情 况下，我们用一个函数表示描述粒子的波，并称这
个函数为波函数，用 ( x, y, z, t ) 来表示。而描写自
由粒子的德布罗意平面波是波函数的一个特例。
1 取有限值,
2
但不排除个别奇点的存在
2 可归一化，但
3
2
单值
4 在一定的条件下要求波函数及其各阶导数连续
14
四、动量分布几率
我们已经看到，按照波函数的统计解释，在空间r
点找到粒子的几率∝|ψ(r)|2 。现在我们要问，如果
测量粒子的其他力学量，几率又如何分布呢？我 们现以最常碰到的动量为例进行讨论。
( p , t ) 成正比是自然的。这已为晶
e
ip r / 的成分，所以粒子的
2
它代表
五、力学量的平均值与算符的引入
粒子处于波函数ψ(r)所描述的状态下，虽然不是 所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的 几率分布，因而有确定的平均值。如位置x的平
17
均值为
2 3 x (r ) xd r
( r , t )
1 i ( pr Et ) / 3 ( p，t )e d p 3/ 2 ( 2 )
16
与|ψ(r)|2表示粒子在坐标空间中的几率密度相似，
2 ( p , t ) 用来表示粒子的动量几率密度分布，
ψ(r) 中含有平面波
动量的几率与 体衍射实验所证明。
全确定。与此类似，还可以讨论粒子的其他力学量
测量值的几率分布（详见后）。概括起来，当ψ(r)
给定后，粒子所有的力学量测量值的几率分布都确 定下来。从这个意义上讲，ψ(r)完全描述了一个三
24
维空间中粒子的量子态。所以也将波函数称为态
函数。
( p )也完全描述了粒子的量 同样我们也可以说， ( p 子态。因为给定 )后，不仅动量的测量几率分 2 布(∝ ( p ) )完全确定，而且其位置的测量几率
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
( r )
1 ip r / 3 ( p )e d p 3/ 2 ( 2 )
其逆 ( p )
1 ip r / 3 ( r ) e d r 3/ 2 ( 2 )
若考虑随时间变化，则为
(r , t ), ( p, t )
8
波函数在空间中某点的强度(波函数的模方)与在 该点找到粒子的几率成正比。即
ψ (x, y, z, t) dxdydz
2
表示t 时刻在点(x，y，z)附近的体元dτ=dxdydz 中 找到粒子的几率。 按照这种解释，描述粒子的波乃是几率波。波函 数ψ(x，y，z) 即为几率波幅。几率波的概念正确 的把物质粒子的波动性与原子性统一了起来，它 已为大量实验所证实。
9
2 用波函数的统计解释就容易说明电
子的衍射实验
10
3 波函数的归一化
据波函数的统计解释，很自然要求该粒子（不产 生，不湮灭）在空间各点的几率总和为1，即要求 波函数满足条件 2 3 3 ( r ) d r 1 ( d r dxdydz )
( 全)
这称为波函数的归一化条件。但应强调，对于几 率分布来说，重要的是相对几率分布，不难看出， ψ(r)与Cψ(r) (C为常数)所描述的相对几率分布是完 全相同的。它们描述同一个几率波。波函数具有 常数因子不定性。这与经典波具有着本质
11
的区别，经典波幅的大小决定波动的能量。经典 波不可归一化。若波函数ψ(r)未归一化，显然则 有 2 3 (r ) d r A 0
( 全)
但ψ(r)与A-1/2ψ(r) 描述的是同一个几率波。ψ(r)没 有归一化，而A-1/2ψ(r) 是归一化的。
1
(全)
A
(r ) d 3 r 1
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r Nhomakorabea20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
量子力学提出后，许多悬而未决的问题很快得以 解决，令人心悦诚服。但完全弄清这个理论的物 理含义却花了稍长的时间，量子理论的解释及内 部的自洽是在1927年玻恩(Born)对波函数的统计 解释提出之后才得以解决的。本节我们在分析波 动、粒子两重性矛盾的基础上介绍波函数的统计 解释。 人们对物质粒子波动性的理解曾经历过一场激烈 的论争。主要有如下两种观点。
分布(∝|ψ(r)|2 )也是完全确定的(Fourier变换相联 系)，它的其他力学量测量值的几率分布也可类似 给出。因此粒子的量子态既可以用ψ(r)来描述，
也可以用 ( p ) 来描述(还可以用其他力学量为自变
量的函数来描述)，它们彼此之间有确定的的变换 关系，彼此完全等价。它们描述的都是同一个
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
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§2.2 态叠加原理
1 量子态及其表象
从上节已经看出，对一粒子，当描述它的波函数ψ(r)
给定后，测量位置时，|ψ(r)|2就代表粒子出现在r点的
2 几率密度；测量动量时， ( p )就代表测得其动量为 p ) ψ(r) 的Fourier 变换，由ψ(r) 完 p的几率密度。 ( 是
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按前所述，给定波函数ψ(r)之后，测得粒子动
量在(p,p+dp) 中的几率为
2 ( p ) dp ，其中
( p )
1 ip r / 3 ( r )e d r 3/ 2 ( 2 )
( p ) 来间接的计算动量的平均值 因此可借助于
p
按照已为衍射实验证明的de Broglie关系，若ψ为一
个平面单色波(波长λ，频率ν)，则相应的粒子动量
p=h/λ,能量E=hv。但在一般情况下，ψ是一个波包， 它由许多平面单色波叠加而成，即
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含有各种频率的分波，因而相应粒子的动量(能量)
有一个分布。按照傅里叶变换，ψ(r，t) 可展成不
同频率单色波的叠加，即
此外在电子衍射实验中，电子波打到晶体表面后 发生衍射，衍射波将沿不同方向传播，如果按电 子波包的观点，空间不同方向测到的只能是“电 子的一部分”，但实验上测到的总是一个个的电 子，各具有一定的质量和电荷等。 物质波包的观点显然是夸大了粒子的波动性，抹 杀了它的粒子性。是带有片面性的。
5
2 把波动看成是大量电子分布于空间而形成的疏密波 这显然夸大了粒子性，而抹杀了其波动性。这与单 个电子具有波动性（可控制电子束疏到几乎是一个 个的电子，当时间足够长时仍会出现衍射花样）是 矛盾的。
ˆ 3 ˆ ) A * (r ) A (r )d r ( , A
是与力学量A相应的算符
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若波函数未归一化，则
ˆ ) /( , ) A ( , A
力学量用不可交换位置的算符来表示，这是量子 力学的一个基本假设。对于有经典对应的力学量 的算符的表示及其力学量与算符的内在深刻关系， 我们下面继续讨论。 体系的能量与哈密顿算符
本章我们将以微观粒子的波粒二象性为依据，引 进描述微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性
质，建立非相对论量子力学的基本方程——薛定
谔方程。
1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 薛定谔方程 4 定态薛定谔方程
1
§2.1 波函数的统计解释
为了表示微观粒子的波粒二相性，可以用平面波来 描写自由粒子，其频率和波长与自由粒子的能量和
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
这里假定了波函数已归一化。又如势能V(r)的平
均值为
2 3 V (r ) V (r )d r
但不能象求势能平均值这样求动量的平均值，即
2 3 p ( r ) p( r ) d r
这是因为由于波粒二象性，粒子在空间“某一点 的动量”的说法是无意义的。
动量通过德布罗意关系联系起来，它们都是常数。
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它 的动量和能量不再是常数，这时粒子就不能用平面 波来描述。而必须用较复杂的波来描述。在一般情 况下，我们用一个函数表示描述粒子的波，并称这
个函数为波函数，用 ( x, y, z, t ) 来表示。而描写自
由粒子的德布罗意平面波是波函数的一个特例。
1 取有限值,
2
但不排除个别奇点的存在
2 可归一化，但
3
2
单值
4 在一定的条件下要求波函数及其各阶导数连续
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四、动量分布几率
我们已经看到，按照波函数的统计解释，在空间r
点找到粒子的几率∝|ψ(r)|2 。现在我们要问，如果
测量粒子的其他力学量，几率又如何分布呢？我 们现以最常碰到的动量为例进行讨论。
( p , t ) 成正比是自然的。这已为晶
e
ip r / 的成分，所以粒子的
2
它代表
五、力学量的平均值与算符的引入
粒子处于波函数ψ(r)所描述的状态下，虽然不是 所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的 几率分布，因而有确定的平均值。如位置x的平
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均值为
2 3 x (r ) xd r
( r , t )
1 i ( pr Et ) / 3 ( p，t )e d p 3/ 2 ( 2 )
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与|ψ(r)|2表示粒子在坐标空间中的几率密度相似，
2 ( p , t ) 用来表示粒子的动量几率密度分布，
ψ(r) 中含有平面波
动量的几率与 体衍射实验所证明。
全确定。与此类似，还可以讨论粒子的其他力学量
测量值的几率分布（详见后）。概括起来，当ψ(r)
给定后，粒子所有的力学量测量值的几率分布都确 定下来。从这个意义上讲，ψ(r)完全描述了一个三
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维空间中粒子的量子态。所以也将波函数称为态
函数。
( p )也完全描述了粒子的量 同样我们也可以说， ( p 子态。因为给定 )后，不仅动量的测量几率分 2 布(∝ ( p ) )完全确定，而且其位置的测量几率
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
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注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
( r )
1 ip r / 3 ( p )e d p 3/ 2 ( 2 )
其逆 ( p )
1 ip r / 3 ( r ) e d r 3/ 2 ( 2 )
若考虑随时间变化，则为
(r , t ), ( p, t )
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波函数在空间中某点的强度(波函数的模方)与在 该点找到粒子的几率成正比。即
ψ (x, y, z, t) dxdydz
2
表示t 时刻在点(x，y，z)附近的体元dτ=dxdydz 中 找到粒子的几率。 按照这种解释，描述粒子的波乃是几率波。波函 数ψ(x，y，z) 即为几率波幅。几率波的概念正确 的把物质粒子的波动性与原子性统一了起来，它 已为大量实验所证实。
9
2 用波函数的统计解释就容易说明电
子的衍射实验
10
3 波函数的归一化
据波函数的统计解释，很自然要求该粒子（不产 生，不湮灭）在空间各点的几率总和为1，即要求 波函数满足条件 2 3 3 ( r ) d r 1 ( d r dxdydz )
( 全)
这称为波函数的归一化条件。但应强调，对于几 率分布来说，重要的是相对几率分布，不难看出， ψ(r)与Cψ(r) (C为常数)所描述的相对几率分布是完 全相同的。它们描述同一个几率波。波函数具有 常数因子不定性。这与经典波具有着本质
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的区别，经典波幅的大小决定波动的能量。经典 波不可归一化。若波函数ψ(r)未归一化，显然则 有 2 3 (r ) d r A 0
( 全)
但ψ(r)与A-1/2ψ(r) 描述的是同一个几率波。ψ(r)没 有归一化，而A-1/2ψ(r) 是归一化的。
1
(全)
A
(r ) d 3 r 1
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r Nhomakorabea20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
量子力学提出后，许多悬而未决的问题很快得以 解决，令人心悦诚服。但完全弄清这个理论的物 理含义却花了稍长的时间，量子理论的解释及内 部的自洽是在1927年玻恩(Born)对波函数的统计 解释提出之后才得以解决的。本节我们在分析波 动、粒子两重性矛盾的基础上介绍波函数的统计 解释。 人们对物质粒子波动性的理解曾经历过一场激烈 的论争。主要有如下两种观点。
分布(∝|ψ(r)|2 )也是完全确定的(Fourier变换相联 系)，它的其他力学量测量值的几率分布也可类似 给出。因此粒子的量子态既可以用ψ(r)来描述，
也可以用 ( p ) 来描述(还可以用其他力学量为自变
量的函数来描述)，它们彼此之间有确定的的变换 关系，彼此完全等价。它们描述的都是同一个
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
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子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
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§2.2 态叠加原理
1 量子态及其表象
从上节已经看出，对一粒子，当描述它的波函数ψ(r)
给定后，测量位置时，|ψ(r)|2就代表粒子出现在r点的
2 几率密度；测量动量时， ( p )就代表测得其动量为 p ) ψ(r) 的Fourier 变换，由ψ(r) 完 p的几率密度。 ( 是
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按前所述，给定波函数ψ(r)之后，测得粒子动
量在(p,p+dp) 中的几率为
2 ( p ) dp ，其中
( p )
1 ip r / 3 ( r )e d r 3/ 2 ( 2 )
( p ) 来间接的计算动量的平均值 因此可借助于
p
按照已为衍射实验证明的de Broglie关系，若ψ为一
个平面单色波(波长λ，频率ν)，则相应的粒子动量
p=h/λ,能量E=hv。但在一般情况下，ψ是一个波包， 它由许多平面单色波叠加而成，即
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含有各种频率的分波，因而相应粒子的动量(能量)
有一个分布。按照傅里叶变换，ψ(r，t) 可展成不
同频率单色波的叠加，即
此外在电子衍射实验中，电子波打到晶体表面后 发生衍射，衍射波将沿不同方向传播，如果按电 子波包的观点，空间不同方向测到的只能是“电 子的一部分”，但实验上测到的总是一个个的电 子，各具有一定的质量和电荷等。 物质波包的观点显然是夸大了粒子的波动性，抹 杀了它的粒子性。是带有片面性的。
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2 把波动看成是大量电子分布于空间而形成的疏密波 这显然夸大了粒子性，而抹杀了其波动性。这与单 个电子具有波动性（可控制电子束疏到几乎是一个 个的电子，当时间足够长时仍会出现衍射花样）是 矛盾的。
ˆ 3 ˆ ) A * (r ) A (r )d r ( , A
是与力学量A相应的算符
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若波函数未归一化，则
ˆ ) /( , ) A ( , A
力学量用不可交换位置的算符来表示，这是量子 力学的一个基本假设。对于有经典对应的力学量 的算符的表示及其力学量与算符的内在深刻关系， 我们下面继续讨论。 体系的能量与哈密顿算符