2019-2020年高三数学人教版一轮课件：第五篇第2节等差数列
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《高三数学等差数列》课件
3
等差数列和等比数列的关系
探讨等差数列和等比数列之间的联系，以及如何利用这种联系解决问题。
等差列的应用
等差数列在数学竞赛中 的应用
展示一些以等差数列为基础的 数学竞赛题目，培养大家灵活 运用等差数列的能力。
等差数列在数学和物理 上的应用
介绍等差数列在数学和物理领 域的实际应用，包括序列分析 和运动问题。
《高三数学等差数列》 PPT课件
欢迎大家来到本次《高三数学等差数列》的PPT课件。我们将详细介绍等差 数列的基本概念、特殊性质、应用以及拓展知识。让我们一起探索这个困扰 很多同学的数学难题！
等差数列基本概念
等差数列定义及表示 方法
简明扼要介绍等差数列的 定义及不同表示方法，让 大家对等差数列有一个清 晰的认识。
模拟题讲解与实战演练
通过模拟题讲解和实战演练， 帮助大家进一步巩固和应用所 学的等差数列知识。
等差数列的拓展
非首项为整数的等 差数列
讨论非首项为整数的等差数 列的性质和特点，以及如何 求解相关问题。
公差为分数或小数 的等差数列
探究公差为分数或小数的等 差数列的特殊性质，解答相 关问题。
等差数列的广义和 及应用
公差的概念及求法
解释公差的概念，并分享 一些简便的方法用于计算 等差数列的公差。
等差数列的前n项和 公式
揭示等差数列前n项和公 式的推导过程，并展示实 际应用中的例子。
等差数列的特殊性质
1
等差中项的概念和求法
介绍等差中项的概念，并分享计算等差数列中项的方法。
2
等差数列反演法及应用
讲解用反演法求解等差数列中未知项的方法，以及在实际问题中的应用。
介绍等差数列的广义和公式， 讨论广义和在实际中的应用。
高中数学等差数列ppt课件
人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
高考数学一轮总复习第五章数列2等差数列课件高三全册数学课件
(2)因为{an}是等差数列，公差为 d，所以 a3(n＋1)－a3n＝3d(与 n 值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列．
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
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A.3
B.2
4
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C.3
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第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
高考数学一轮复习第五章数列2等差数列课件理高三全册数学课件
＋a3＋a10＝9，则 S9＝( D )
A．3
B．9
C．18
D．27
2021/12/13
第二十八页，共四十一页。
【解析】 (1)∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴ 由等差数列的性质可得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴ a2＋a14＝2a8＝48.故选 D.
2021/12/13
第二十六页，共四十一页。
(2)由n＋112n＋1<2nn1＋1
＝121n－n＋1 1，
可得数列a1n的前 n 项和 Sn＝a11＋a12＋…＋a1n≤16＋12×12－13
＋13－14＋…＋1n－n＋1 1＝16＋1212－n＋1 1<16＋14＝152，即
5 Sn<12.
2021/12/13
第七页，共四十一页。
2．若等差数列{an}的公差为 d，则数列{a2n－1}是( B )
A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．公差为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnd 的等差数列 D．非等差数列
解析：数列{a2n－1}其实就是 a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成 的数列，它们之间相差 2d.
2021/12/13
∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
2021/12/13
第十页，共四十一页。
解法 2：设等差数列{an}的公差为 d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3 ＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d，∵a1＝2， ∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
第八页，共四十一页。
知识点二 等差数列的通项公式与前 n 项和公式
高考数学一轮复习第五章数列52等差数列课件文aa高三全册数学课件
是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱( )
A．53
B．32
C．43
D．54
解析 (2)甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的 a1，
a2， a3，a4，a5 ，设公差为
d，由题意知
a1
＋
a2
＝
a3
＋
a4
＋
a5
＝
5 2
，
即
2a1＋d＝52， 3a1＋9d＝52，
a1＝43， 解得d＝－61，
2021/12/11
第二十一页，共五十页。
【变式训练】 (1)(2019·沈阳市质量监测)在等差数列{an}中，若 Sn 为前 n 项和，2a7＝a8＋5，则 S11 的值是( )
A．55 B．11 C．50 D．60
解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d5d＝5，则 S11＝11a1＋11×2 10d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55。故选 A。
答案 (1)an＝6n－3
2021/12/11
第十九页，共五十页。
(2)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五 人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、
乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，
且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”
A．127 B．129 C．10 D．12
解析 由 S8＝4S4，得 8a1＋8×2 7×1＝44a1＋4×2 3×1，解得 a1＝12， 所以 a10＝12＋(10－1)×1＝129。
答案 B
2021/12/11
第十四页，共五十页。
三、走出误区 微提醒：①错用公式致误；②求前 n 项和最值的方法不当致误；③错用 性质致误。 5．已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97
2019高三数学人教A版理一轮课件：第5章 第2节 等差数
(1)B
(2)A
[(1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为
a1＝－33， 解得 d＝7，
d ， 依 题 意
11×11－1 S11＝11a1＋ d＝22， 2 a4＝a1＋3d＝－12，
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an ＋1＝an＋ an ＋
2.(
) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( ) )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( )
5．(教材改编)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8 ＝________. 180 [由等差数列的性质， 得 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， ∴a5＝90， ∴a2 ＋a8＝2a5＝180.]
(对应学生用书第 81 页)
等差数列的基本运算
做 a，b 的 等差中项
．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d ，an＝am＋ (n－m)d .
na1＋an nn－1d 2 (2)前 n 项和公式：Sn＝ na1＋ ＝ . 2
3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差 为 md 的等差数列．