9.2线面平行、面面平行Microsoft Word 文档
线线平行、线面平行、面面平行讲义-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
线线平行、线面平行、面面平行证明线线平行的方法： 1. 平行四边形的对边 2. 同位角相等 3. 同旁内角互补 4. 内错角相等 5. 三角形中位线 6. 梯形中位线 7. 梯形两底边8. 平行于同一条直线（基本事实4平行的传递性） 9. 垂直于同一条直线 10. 分线段对应成比例 11. 线面平行的性质定理 12.面面平行的性质定理线线平行面面平行线面平行13. 垂直于同一个平面（线面垂直的性质定理）证明线面平行的步骤：找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线 证：证明与已知直线平行 结论：由判定定理得出结论 证明面面平行的方法： 定义法： 1. 无公共点 2. 判定定理 3. 转化为线线平行 4. 平行平面传递性空间等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补例1.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.变式.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.例2.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点.求证：DE ∥平面ACC 1A 1.变式1.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .求证：MN ∥平面SBC .变式2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.变式3.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（）①//OM平面PCDOM平面PBC②//③//OM平面PDA ④//OM平面PBAA．1个B．2个C．3个D．4个例3.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.例4.如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.练习1.如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（）A．BM DECN平面AFB∥B．//C．ED与NF所成的角为60︒D．EN BC∥2.如图所示，D，E，F分别为三棱锥SABC的棱SA，SB，SC的中点，则下列说法错误的是（）A．DE//平面ABC B．EF//平面ABCC．平面DEF//平面ABC D．SA//BC3.在正方体1111-中，过11,,ABCD A B C DA C B三点的平面与底面ABCD的交线为l，则直线l与11A C的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）4.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．2B．98C．3D．625.如图，三棱锥P ABC-中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在线段PB上，满足//EF平面ABC，则BF FP=_______．:6.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N E 分别是11,,AB DD AA 的中点．(1)证明：平面//MNE 平面1BCD ；(2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值．8.已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，ARAB 的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，22DAAB BC CD ====，M 为PC 上一点，且2PM MC =．(1)求证：//PA 平面DMB ；(2)若PAD △为正三角形，PC PD =，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；(3)若点P 到底面ABCD 的距离为3，求三棱锥P DMB -的体积．10.查①②两个命题，①//m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒l ∥α;②////l m m α⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒l ∥α.，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为_____.11。
第九章立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质共63页文档
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE 的中点，求证：MN∥平面DAE.
证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面 ABE，
所以AE⊥BC. பைடு நூலகம்又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， 所以AE⊥BF. 又BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE. 又(2B)证E⊂法平一：面取BDCEE的，中所点P以，A连E结⊥PAB，EP.N，因为点N
(2019·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：两条平行线中一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面，故选B.
(2)∵AA1＝2，∴AD1＝ A1A2＋A1D12＝ 5.
同理，AE＝ 2 ，D1E＝ 3 .∴AD12＝D1E2＋AE2.∴
D1E⊥AE.
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
又D1E⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1E. 又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.
(2019·大连模拟)平面α∥平面β的一个充分 条件是
⇒a∥b
α∩β＝b
二、平面与平面平行 1．判定方法 (1)用定义：两个平面无公共点
(2)判定定理：
a∥β
b∥β
a⊂α ⇒α∥β
b⊂α
a∩b＝P
(3)其它方法： aa⊥⊥αβ⇒α∥β； αβ∥∥γγ⇒α∥β
a∥b
9.2空间的平行直线与异面直线-空间的平行直线20071108
CB
CD
3
H
求证：四边形EFGH是梯形. 证明：如图，连接BD 1 ∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH= BD. 2 2 CF CG 2 ，∴FG//BD,FG= BD. 又在△BCD 中， CB CD 3 3 根据公理4，EH//FG 又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等 ∴四边形EFGH是梯形.
A
D
B
讲解新课
(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另 两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的 锐角(或直角)相等.
Q a′ a
b
P
b′
讲解范例 例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD A 上的点，且 CF CG 2
CB CD 3
教学目的： 1.会判断两条直线的位置关系; 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行; 3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题; 4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的 结论哪些在立几中成立.
引入 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ 如图,把一张长方形的 纸对折两次，打开后得4个 全等的矩形，每个矩形的 竖边是互相平行的，再应 用平行公理，可得知它们 的折痕是互相平行的.
AA // DD, AA DD 同理 AA // EE , AA EE EE // DD, EE DD 即 DE ED 是平行四边形，
C'
E′
A'
D′
B' C
E
所以， BAC BAC ．
∴ ED ED ，∴ ADE ADE ，
a // c
c
a
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示： b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
α⊥βαβαβaab,，b,⇒⊥⊂=⋂⊥a。
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境兴趣导入介绍了解启观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱11A B与AD所在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．图9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？质疑引导分析思考发学生思考2*动脑思考探索新知在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.图9－13所示的正方体中，直线11A B与直线AD就是两条异面直线．这样，空间两条直线就有三种位置关系：平讲解说明思考带领行、相交、异面． 将两支铅笔平放到桌面上(如图9−14)，抬起一支铅笔的一端（如D 端），发现此时两支铅笔所在的直线异面．图9 −14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）．(1) (2)引领分析仔细分析关键 语句理解 记忆学生 分析5桌子BACD两支铅笔图9−15利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直线位置关系． *创设情境 兴趣导入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？观察教室内相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：1AA ∥1BB ，1CC ∥1BB ，并且有1AA ∥1CC ．质疑 引导分析 思考启发 学生思考7*动脑思考 探索新知由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线讲 思带图9−16。
线面平行性质定理
线面平行性质定理《线面平行性质定理》是数学中一个重要的定理。
它涉及到两组线段、两个面、以及它们之间的关系。
线面平行性质定理的基本内容是：如果两组线段分别在两个平面内，并且两个平面是平行的，那么这两组线段也是平行的。
线面平行性质定理是由于对数学中平行性质的研究而提出的。
古希腊几何学家们曾经研究过平行性质，比如亚里士多德和欧几里德。
他们的研究为测量几何图形的平行性提供了关键的思路，比如他们发现如果两条线段在同一条直线上，那么它们一定是平行的。
以及如果两条线的垂直平分线条对称，那么它们一定是平行的。
尽管古希腊几何学家们曾经提出了众多的定理来研究平行性质，但是线面平行性质定理却直到17世纪才被提出。
17世纪时，英国数学家亨利洛克斯顿提出了线面平行性质定理。
在他的定理中，如果两个线段分别位于两个平行的面上，那么他们一定是平行的。
以后，线面平行性质定理也受到了不断的改进和精化，使它变得更加完善。
19世纪末，约翰本尼斯特布鲁克斯森在他的《几何学教程》中提出了一种更为完善的线面平行性质定理。
线面平行性质定理主要用于几何图形中，它被广泛应用于几何设计、机械设计、建筑设计和建筑绘制等各种领域。
例如，在机械设计中，线面平行性质定理常用于规定机器的结构尺寸，以确保机器的部件之间处于平行关系。
同样，线面平行性质定理也可以用于绘制建筑图纸，确定建筑的结构尺寸，同时确保建筑物的主要部分之间保持平行关系。
线面平行性质定理是数学历史上重要的定理，它对于理解平行性质以及几何设计有着重要的意义。
它不仅可以用于各种几何图形中，而且也可以应用于建筑设计、机械设计、造型设计等各种领域，十分重要。
现在，线面平行性质定理也在各种数学课程中被教授，同时也是数学竞赛的重要考题之一。
总之，线面平行性质定理是数学的重要定理，是由古希腊几何学家的研究进一步发展作出的重要贡献。
它主要用于研究几何图形的平行性，广泛适用于机械设计、建筑设计和造型设计，为数学研究带来了重要的帮助。
9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质(1)
课题（任务）：直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质本节 1 课时，总计 3 课时。
教学目标：知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．教学重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．教学难点：异面直线的想象与理解．教学方法：多媒体教学、启发式教学、分层教学教学过程一、组织教学1.有效的备课2.有效的课前准备3.有效的课堂组织与生成以及恰当的处理4.有效的合作5.有效管理、监控和维持课堂秩序二、导入新课观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱11A B 与AD 所在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．图9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？签批日期：组长签名：*动脑思考 探索新知在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.图9－13所示的正方体中，直线11A B 与直线AD 就是两条异面直线．这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异面．将两支铅笔平放到桌面上(如图9−14)，抬起一支铅笔的一端（如D 端），发现此时两支铅笔所在的直线异面．图9 −14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）．(1) (2)图9−15利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直线位置关系．*创设情境 兴趣导入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？观察教室内相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：1AA ∥1BB ，1CC ∥1BB ，并且有1AA ∥1CC ．*动脑思考 探索新知 由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行．我们经常利用这个性质来判断两条直线平行．【想一想】空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明． *创设情境 兴趣导入图9−16桌子 B A C D 两支铅笔将平面α内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，将点D折叠到1D的位置(如图9−17)．此时A、B、C、1D四个点不在同一个平面内．图9−17*动脑思考探索新知这时的四边形AB C1D叫做空间四边形．【想一想】折叠过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？*巩固知识典型例题例1 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（如图9−18）．判断四边形EFGH是否为平行四边形？解联结BD．因为E、H分别为AB、DA的中点，所以EH为ABD∆的中位线．于是//EH BD且12EH BD=．同理可得//FG BD且12FG BD=．因此//EH FG且EH FG=．故四边形EFGH是平行四边形．*运用知识强化练习1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第2题图），说明为什么这些折痕是互相平行的？板书设计(多媒体显示）图9−18四、课堂小结1.直线与直线的位置关系2.直线平行公理3.空间等角定理五、拓展训练、作业(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题9.2 A组（必做）；9.2 B组（选做）教学反思学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见。
2021年高考数学 9.2(A)直线和平面平行、平面和平面平行课时提升作业 文(含解析)
2021年高考数学 9.2（A）直线和平面平行、平面和平面平行课时提升作业文（含解析）一、选择题1.若直线a⊥b,且a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )(A)b⊂α(B)b∥α(C)b⊂α或b∥α(D)b与α相交或b⊂α或b∥α2.(xx·重庆模拟)已知m,n表示直线,α,β表示平面,下列命题正确的是( )(A)若α∥β,m∥β,则m∥α(B)若α⊥β,m⊥β,则m∥α(C)若m∥n,n∥α,则m∥α(D)若α∩β=n,m⊄α,m∥n,则m∥α3.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,则下面命题中错误的是( )(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC=BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°4.已知直线a和平面α,β,α∥β,a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )(A)不一定存在与a平行的直线(B)只有两条与a平行的直线(C)存在无数条与a平行的直线(D)存在唯一一条与a平行的直线5.下列命题中不正确的是( )(A)若a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,则l⊂α(B)若a∥c,b∥c,则a∥b(C)若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α(D)若一直线上有两点在已知平面外,则直线上所有点在平面外6.如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知三角形A 1DE是三角形ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A,F不重合),则下列命题中正确的是( )①动点A1在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A1DE;③三棱锥A1-FED的体积有最大值.(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③二、填空题7.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊂α;③α∥β,当满足条件时,有m∥β.8.(xx·保定模拟)设互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ,给出下列三个命题.①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为.9.(能力挑战题)如图所示ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .三、解答题10.(xx·大连模拟)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为边长为2的正方形,PA=AD,PA⊥AD,且E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.(1)求证:BC∥平面EFG.(2)求三棱锥E-AFG的体积.11.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=2AB,AB∥DC,设E是DC上一点,试确定E点的位置,使D1E∥平面A1BD.12.(能力挑战题)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,侧面B1BCC1与底面ABC 所成的二面角为120°,E,F分别是棱C1B1,AA1的中点.(1)求AA1与底面ABC所成的角.(2)证明:A1E∥平面B1FC.答案解析1.【解析】选D.直线b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.2.【解析】选D.若α∥β,m∥β,则m∥α或m⊂α,故选项A错误;若α⊥β,m⊥β,则m∥α或m⊂α,故选项B错误;若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故选项C错误;若α∩β=n,则n⊂α,又∵m∥n,m⊄α,∴m∥α,故选项D正确.3.【思路点拨】由线面平行的判定定理和性质定理及异面直线所成的角的概念依次判断即可. 【解析】选C.由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC,可得AC∥截面PQMN,故B正确;由PN∥BD可知,异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,又四边形PQMN为正方形,所以PM与PN所成的角为45°,故D正确;而AC=BD没有论证依据.4.【解析】选D.设直线a和点B所确定的平面为γ,则α∩γ=a,记β∩γ=b,∵α∥β,∴a ∥b,且在平面γ内过B点与直线a平行的直线是唯一的,故存在唯一一条直线b与a平行.5.【解析】选D.∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈l,A∈a,B∈l,B∈b.∵a⊂α,b⊂α,∴A∈α,B∈α,∴l⊂α,故A正确;由平行公理知B正确;由线面平行的判定定理知C正确;若一直线上有两点在已知平面外,直线可以和平面相交,故D错误.6.【解析】选D.①中由已知可得平面A1FG⊥平面ABC,所以点A1在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥DE,BC平面A1DE,所以BC∥平面A1DE;③当平面A1DE⊥平面ABC时,三棱锥A1-FED的体积达到最大.7.【解析】由面面平行的定义知,两个平面平行,即两个平面没有公共点,所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,故应填②③.答案:②③8.【解析】①中,α与β可能相交,故①错;②中l与m可能异面,故②错;由线面平行的性质定理可知:l∥m,l∥n.所以m∥n,故③正确.答案:19.【解析】如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD,∴MN∥PQ.又MN∥AC,∴PQ∥AC,∵AP=,∴===,∴PQ=AC=a.答案:a10.【思路点拨】(1)在平面PAD中直线EF∥AD,再根据BC∥AD知BC∥EF,即可证明BC∥平面EFG.(2)将三棱锥E-AFG的体积转化为三棱锥G-AEF的体积求解即可.【解析】(1)∵E,F分别是线段PA,PD的中点,∴EF∥AD.又∵四边形ABCD为正方形,∴BC∥AD,∴BC∥EF.又∵BC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,∴BC∥平面EFG.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,即GD⊥平面AEF.又∵EF∥AD,PA⊥AD,∴EF⊥AE.又∵AE=EF=AD=1,GD=CD=1,∴V E-AFG=V G-AEF=×S△AEF×GD=××1×1×1=.【变式备选】(xx·聊城模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为C1B的中点,P为AB边上的动点.(1)当点P为AB的中点时,证明DP∥平面ACC1A1.(2)若AP=3PB,求三棱锥B-CDP的体积.【思路点拨】(1)利用线线平行,得到线面平行.(2)根据已知条件,证明线面垂直得到锥体的高,进而利用锥体体积公式得到结论.【解析】(1)连结DP,AC1,∵P为AB中点,D为C1B中点,∴DP∥AC1,又∵AC1⊂平面ACC1A1,DP⊄平面ACC1A1,∴DP∥平面ACC1A1.(2)由AP=3PB,得PB=AB=.过点D作DE⊥BC于E,则DE CC1,又CC1⊥平面ABC,∴DE⊥平面BCP,又CC1=3,∴DE=.则S△BCP=·2·sin60°=,∴V B-CDP=V D-BCP=··=.11.【解析】方法一:当E是DC的中点时,D1E∥平面A1BD.连接BE,因为DE∥AB,DE=AB,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD,BE=AD,所以A1D1∥BE,A1D1=BE,故四边形A1D1EB为平行四边形,所以D1E∥A1B.又A1B⊂平面A1BD,D1E平面A1BD,所以D1E∥平面A1BD.方法二:过D1作A1D的平行线交AD的延长线于H,过H作BD的平行线交DC于E,则D1E∥平面A1BD.证明:因为D1H∥A1D,所以D1H∥平面A1BD.同理,HE∥平面A1BD,又D1H∩EH=H,所以平面A1BD∥平面D1HE.又D1E⊂平面D1HE,所以D1E∥平面A1BD.【方法技巧】1.判断或证明线面平行的一般思路常用线面平行的判定定理及面面平行的性质定理判定线面平行,在运用定理时,要注意添加辅助线(面)是解决线面问题的关键.2.证明位置关系的思路【提醒】①在证明中所选用的定理(判定定理和性质定理)必须恰当;②在证题中要注意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系这三者之间的转化,实现转化的工具是判定定理和性质定理.12.【解析】(1)过A1作A1H⊥平面ABC,垂足为H.连接AH,并延长交BC于G,连接EG,于是∠A1AH 为A1A与底面ABC所成的角.因为∠A1AB=∠A1AC,所以AG为∠BAC的平分线.又因为AB=AC,所以AG⊥BC,BG=CG,因此,由三垂线定理得A1A⊥BC.因为A1A∥B1B,且EG∥B1B,所以EG⊥BC,于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角,即∠AGE=120°. 由四边形A1AGE为平行四边形,得∠A1AG=60°,所以,A1A与底面ABC所成的角度为60°.(2)设EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点,连接PF. 在平行四边形AGEA1中,因为F是A1A的中点,所以A1E∥FP.而FP⊂平面B1FC,A1E⊄平面B1FC,所以A1E∥平面B1FC.4K37596 92DC 鋜0A 29197 720D 爍 an#m1T。
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：9.2直线与平面平行、平面与平面平行(A、B)
§9.2直线与平面平行、平面与平面平行（A、B）本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.直线与平面的三种位置关系2.直线与平面平行的判定与性质（1）直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其他特殊位置关系的性质定理.①（定义）如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.②（判定定理）如果鑒生一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号语言表示，即bua, a//b=^a//a .③如果平面外的两条平行直线中有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行.④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面.⑵直线和平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.用符号语言表示为:a//a9 au卩,aC\p=b^a//b3・平面与平面的两种位置关系4.两个平面平行的判定与性质(1)两平面平行的判定①如果两个平面没有公茲區，那么这两个平面互相平行;②如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 即：a//a9 b//a9 a, bup，aQb =A=>a // p.③垂直于同一直线的两平面平行,即/丄a,④平行于同一平面的两个平面互相平行.即°〃八p // y=^a // p.⑵两平面平行的性质①如果两个平面平行，那么，其中一个平面内的直线_平行于另一个平面.即a//ft9 a(za=^a//fl②如果两个平行平面同时和第三个平面丿I变那么它们的交线平行.艮卩a〃“，«Ay=a, 0帥=bn____________ •〃“③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.即a//p, I丄问丄久思考探究1.若直线“平行于平面G内的无数条直线，是否一定有“〃0?提示：不一定，a有可能在平面Q内.2.若平面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 9．2 线面平行、面面平行 一、明确复习目标 1．掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系； 2．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题. 3．能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行”之间的相互转化.
二．建构知识网络
1．直线和平面的位置关系有： （1）直线在平面内； （2）直线和平面相交； （3）直线和平面平行： 定义——． 2．线面平行的判定方法： ①a∩α=ф⇒a∥α(定义法) ②判定定理； ③b⊥a, b⊥α, a⇒a∥α； ④∥,a⊂ ⇒a∥ ⑤空间向量证线面平行. 3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 4．判定平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线. 5．平行平面的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”. ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”. ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等. ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.
三、双基题目练练手
1．（2006重庆）对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l （ ） A．平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2
2．一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 （ ） A 异面 B 平行 C 相交 D 不能确定 3．(2005广东)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： ①若,,mlAAm点,则l与m不共面； ②若m、l是异面直线，//,//,lm且 ,nl且,,nlnmn则； ③若mlml//,//,//,//则； ④若,,lml∩m=点A,l//β,//,//m则 其中为假命题的是 （ ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如果//,AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段，AB⊥CD，且AB＝2，
直线AB与平面α成300角，那么线段CD的取值范围是 （ ） A.334,332 B.,1
C.332,1 D.,332 5．设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________. 6．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
◆答案提示：1-4.CBCD; 5. bacab; 6. 平面ABC、平面ABD 四、经典例题做一做
【例1】：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点. 证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ, ∵b∥α,b平面ABN,平面ABN∩α=OQ,
∴b∥OQ，又O为AB的中点， 3
∴Q为AN的中点. ∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ ∴a∥PQ. ∴P为MN的中点. 【例2】如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形. (1)求证：CD∥平面EFGH. (2)求异面直线AB、CD所成的角. (3)若AB＝a，CD=b，
求截面EFGH面积的最大值. （1）证明：∵截面EFGH是一个矩形， ∴EF∥GH， 又GH平面BCD. ∴EF∥面BCD，而EF面ACD， 面ACD∩面BCD=CD. ∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH. （2）解：由（1）知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.易得∠EFG=90. （3）答案：ab/4 ◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行线面平行”. 【例3】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. （1）求证：直线MN∥平面PBC； （2）求直线MN与平面ABCD所成的角
证明（1）：∵P—ABCD是正四棱锥， ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交 BC于点E，连结PE. ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA，
_ C _ B _ A _ O
_ N
_ M
_ E_ D
_ P
C A B E H F
G D 4
∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内， ∴MN∥平面PBC. 解（2）：由（1）知MN∥PE， ∴求MN与平面ABCD所成的角即可. 作PO⊥面ABCD于O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知
PO=22OBPB=2213. 由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE=865. 在△PEB中，∠PBE=60°， PB=13，BE=865，
根据余弦定理，得PE=891. 在Rt△POE中，PO=2213，PE=891， ∴sin∠PEO=PEPO=724. 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin724. ◆思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证线线平行. 求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角—转化为一个平面内的线线角. 【例4】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a. （1）求证：平面AD1B1∥平面C1DB； （2）求证：A1C⊥平面AD1B1； （3）求平面AB1D1与平面BC1D间的距离.
（1）证明：∵D1B1∥DB，∴D1B1∥平面C1DB.同理，AB1∥平面C1DB. 又D1B1∩AB1=B1，∴平面AD1B1∥平面C1DB.
AA
D
DB
BC
C11
111
MN
O
O 5
（2）证明：∵A1C1⊥D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，∴A1C1⊥D1B1. 同理，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1. ∴A1C⊥平面AD1B1. （3）解：设A1C∩平面AB1D1=M， A1C∩平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心. 则M∈AO1，N∈C1O，且AO1∥C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即
MN=A1M=NC=31A1C=33a. 五．提炼总结以为师 1.直线和平面平行的判定方法： 2．证明两平面平行的常用方法： 3．解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线线面面面；立体几何平面几何；从而使问题简
同步练习 9.2线面平行、面面平行 1.、是两个不重合平面，l,m是两条不重合直线，那么∥的一个充分条件是（ ） A.l,m,l∥,m∥ B.l,m,l∥m C.l⊥,m⊥,l∥m D.l∥,m∥,l∥m
2．(2005年高考·湖北卷·文8)已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： ①若cacbba//,,则； ②若cacbba则,,//； ③若baba//,,//则； ④若a与b异面，且与则ba,//相交； ⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设线段AB、CD是夹在两平行平面、之间的异面线段，点A、C，B、D，若M、N分别是AB、CD的中点，则有 （ ） A.MN=21(AC+BD B.MN>21(AC+BD)
C.MN<21(AC+BD) D.MN与21(AC+BD)大小关系不确定. 【填空题】 4．（2004全国Ⅰ）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α 6
上的射影有可能是 ①两条平行直线; ②两条互相垂直的直线； ③同一条直线； ④一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号） 5.（2005湖南）．已知平面,和直线，给出条件： ①//m；②m；③m； ④；⑤//. （i）当满足条件 时，有//m； （ii）当满足条件 时，有m. （填所选条件的序号） 6.以下六个命题： （1）垂直于同一条直线的两个平面平行； （2）平行于同一条直线的两个平面平行； （3）平行于同一平面的两个平面平行； （4）与同一条直线成等角的两个平面平行； （5）一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，则这两个平面平行； (6）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行.其中正确命题的序号是____________.
◆答案提示： 1-3．CAC； 4.①②④ 5.③⑤,②⑤ ; 6. 解：（1）、（3）
【解答题】 7.如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，
侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=36 a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD
解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD， ∴CD⊥PD∴CD∥EG. 又AB∥CD，∴EG∥AB. 若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，