7.4分式方程1
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
七年级数学分式方程1(PPT)3-2
如飞机在较低的空域中作超音速飞行时，地面上的人可以听见这种响声，即所谓音爆。利用经过激波气体密度突变的特性，可以用光学仪器把激波拍摄下来 （见风洞测量方法）。理想气体的激波没有厚度，是数学意义的不连续面。实际气体有粘性和传热性，这种物理性质使激波成为连续式的，不过其过程仍十 分急骤。因此，实际； QQ业务乐园 https:// QQ业务乐园 ；激波是有厚度的，但数值十分微小，只有气体分子自由程的某个倍数，波前的相 对超音速马赫数越大，厚度值越小。 激波可视为由无穷多的微弱压缩波叠加而成。数学家B.黎曼在分析管道中气体非定常运动时发现，原来连续的流动有可 能形成不连续的间断面。图说明管道内非定常流动中激波的形成过程。在管的左端用活塞向右推动气体，使气体运动速度由零逐渐加大到，产生一系列向右 传播的压缩波。在瞬间，A、B面之间为压缩区，图上方表示瞬间管内气体速度分布情况。下方的两图分别画出沿管长x相应的压强p和速度的分布。由A到B， 压强由逐渐上升为，速度由零增大到。经微小厚度dx的一薄层，流体压强升高dp，这是一道微弱的压缩波，向右的传播速度为气体速度和当地声速（见声速） 之和。整个压缩区AB中有无穷多道压缩波，左面的波都比右面的传播得快，随着波的前传，在以后的瞬间、，压缩区愈变愈窄。相应的压强、速度分布曲线 如图中虚线所示。最后在时刻，所有的压缩波合在一起形成一道突跃的压缩波——激波。经过激波，压强突然由增大到，流速由零增大。激波相对于波前气 体的传播速度是超声速的，激波愈强，传播速度愈快；激波相对于波后气体的传播速度是亚声速的。定常超声速气流沿凹壁流动时也会形成激波。图为定常 超声速流动中压缩波叠加成激波的图形。利用光线经过密度不同的介质会发生偏转的性质，可用光学方法对激波照相。 在实际气体中，激波是有厚度的。在 只考虑气体粘性和热传导作用的条件下，由理论计算可知，激波的厚度很小，与气体分子的平均自由程同数量级。对于标准状况下的空气，激波厚度约为-毫 米。在空气动力学中常把激波当作厚度为零的不连续面，称为强间断面。气体经过激波时，速度和温度都发生突跃变化，粘性和导热作用很大。在气体温度 很高，激波很强的情况下，甚至气体的热力学平衡状态也会遭到破坏。这种破坏过程是不可逆过程，按热力学第二定律，气体的熵增加，同时有很大一部分 机械能转化为热能，这就是所谓激波损失。在超声速流动中，一般总会产生激波。对于作超声速运动的飞行器，激波的出现会引起很大的阻力；对于超声速 风洞（见风洞）、进气道和压气机等内
八年级数学《分式方程》知识点
分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。
因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。
二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。
3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。
三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。
由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。
四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。
4.分式方程的解可以使用数学软件得出。
七年级数学下册 7.4分式方程(一)教学设计 浙教版
§7.4分式方程一、背景介绍：本节的安排与老教材不一样，老教材是把分式方程与一元二次方程安排在一起，而新教材是在学生学习了分式及运算后马上学习分式方程，充分体现了分式方程与分式的联系及分式方程与整式方程的区别，让学生体会方式方程也是解决实际问题的重要手段。
分式方程（一）二、教学设计【教材内容分析】本节的主要内容是分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。
【教学目标】1、会根据定义判别分式方程与整式方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。
2、掌握可化为一元二次方程或一元二次方程的分式方程的解法。
3、渗透转化思想。
【教学重点】分式方程的去分母及根的检验【教学难点】方程根的检验及产生增根的原因【教学过程】（一）创设情景，引入新课情景：（出示节前图片）某地电话公司调低了长途电话的话费标准，每分费用降低了25％，因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分时间，问前后两种收费标准每分收费各是多少？（1）本题中的主要等量关系是什么？（2）如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程？（3）该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？与学生讨论后得到题中的等量关系，并列出方程：8x－6x=5 ，再举例：如1 2x213x-=，2233xx+=+，12xx+=等，让学生观察这些方程与以前学过的方程有什么不同之处？待学生说出后，师生共同归纳得出分式方程的概念：板书：像这样只含分式或整式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗（二）理解应用，体验成功。
练一练：你能否根据分式方程的概念举一些分式方程的例子呢？（学生举例）如：1 2x －23x=1 ,x＋3x＋2=23, x＋1x=2等。
分式方程知识点归纳
分式方程知识点归纳分式方程是指含有分子和分母的方程，分子和分母分别为代数式或数字，并且方程中包含有未知数的方程。
下面将分式方程的知识点进行归纳，以便更好地理解和应用分式方程。
一、基本概念：1.分式方程的定义：含有未知数、带有分式形式的等式称为分式方程。
2.分式的定义：分式是由一个或多个代数式构成的比。
二、分式方程的解的性质：1.分式方程的等价方程：分式方程可以转化为多项式方程进行求解，这样可以得到等价的方程，两者的解是相同的。
2.分式方程的根的性质：一个分式方程的解，如果使得分式方程中的分子等于0，则该解就是方程的根。
三、分数的性质：1.分式的约分：分式的分子和分母同时除以它们的公因式，可以得到分式的约分式。
2.分式的通分：将不同分母的分式通过找到它们的最小公倍数，转化为具有相同分母的等价分式。
3.分数的四则运算：分数之间可以进行加减乘除的运算，需要注意分子和分母的相应运算。
四、分式方程的解法：1.乘法解法：对分式方程的两边同乘以一个使得方程中的分母消去的数，从而化简为一个多项式方程。
2.加减消去解法：对分式方程的两边同乘以使得方程中的分母消去的数，然后将方程中的分式整理为一个多项式，并进行求解。
3.代入解法：将分式方程中的一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再代入到分式方程中，得到一个不含有代入的未知数的分式方程，进而进行求解。
4.通分解法：对分式方程的两边同时乘以方程中所有的分母的积，将分式方程化简为一个多项式方程进行求解。
五、分式方程的解的判定：1.当方程的分式的分子为0时，方程的解为0。
2.当方程的分式的分子和分母存在着相同的因式时，方程的解为使得分式方程中的分子等于0的值。
3.当分式方程的分母的值等于0时，方程没有解。
六、应用：分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学和金融学中，经常需要使用分式方程来解决实际问题。
比如计算财务利润率、财务收益率、物体的运动速度等。
七、常见的分式方程：1.一次方程：分式方程的分子和分母都是一次函数的方程。
7.4分式方程(1)教案
7.4分式方程（1）桐乡十中 刘绵福【教材内容分析】本节的主要内容是分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。
【教学目标】知识技能：了解分式方程的概念，掌握分式方程的解法；了解增根的概念，会对分式方程进行根的检验。
过程方法：引导学生将分式方程转化为整式方程，体现了转化的数学思想。
情感态度：渗透关注社会、关爱他人的情感教育。
【教学重点】会解可化为一元一次方程的分式方程。
【教学难点】增根的产生和运用【教学过程】（一）创设情景，引入新课1、播放一段近期长江流域干旱视频。
2、[军民同心，抗旱救灾]近期我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打300口水井的任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，马上增派机械车辆，争分夺秒，结果每天比原计划多打30口井，提前5天完成任务.如果设原计划每天打 x 口井,则可列方程为____________________ [引出分式方程]〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗（二）师生共同归纳得出分式方程的概念：概念明析：下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？ 〖设计说明：通过让学生自己判断哪些方程是分式方程，及时巩固所学知识。
〗（三）精讲例题，掌握分式方程的解法例1、 解分式方程[引导学生总结出分式方程的解法：一化二解三检验]例2、解分式方程[教师指出解分式方程的五个注意事项]例3、解分式方程 2－x x －3 =13－x－2 [通过本例了解增根的产生，强调分式方程必须要验根]72323=-+x x 231042x x x -=--〖设计说明：通过例题教学，引导学生学会问题解决的策略，通过与学生一起进行解后小结，培养学生的归纳能力，为学生以后的学习提供方法。
七年级数学分式方程1(201911整理)PPT课件
-
5
去括号,得
4x 4 x x2 x
整理,得
x2 4x 4 0
解这个方程，得
x1 x2 2 检验：把 x 2 代入 x(x 1) 2 (2 1) 0 ，所以x 2
是原方程的根.
∴ 原方程的根是 x 2
-
6
例2
解方程
6 (x 1)(x 1)
3 1 x 1
分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转 化为整式方程的关键是正确地确定出方程中各分母的最简公分母，
9.3 分式方程
-
1
一 教学目标
1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去 分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根；
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化 的辨证唯物主义观点.
二 重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
解： 两边都乘以 x(x 1) ,得
4(x 1) x x(x 1)
-
4
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结 ；
教学目标 钻削与钻头（2学时） 4 人： 了解掌握创造性思维和创造能力。掌握汽车保险的要素和特征；6．考核方式及标准 1 汽车消费贷款保证保险的含义。掌握专业英语的词汇特点。电阻、电容与电感式传感器 教学目标 学时学分： 计算气缸套技术指标，利用矢量方程图解法作Ⅱ级机构的速 度及加速度分析；[2] [2]桑任松，了解汽车拖拉机的悬架；1．课程简介 典型加工机组工艺流程及综合分析 液化石油气汽车 零件的清洗与鉴定 1 24 实验内容： 汽车发动机原理（第四版）.掌握车内常见的地板和胶垫的作用及分类；本部分重点 （2）链传
浙教版七下数学7.4.2分式方程
在行程问题中，路程s与速度v， 时间t之间的关系是什么？
s vt
v s t
பைடு நூலகம்
公式变形
ts v
例4 照相机成像应用了一个重要原理，
即
11 1 f =u+ v
(v≠f)，其中f表示照相机
镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v
表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一
架照相机f已固定，那么就要依靠调整u、
解：设乙型挖土机单独挖这块地需要x天．
1 1 1 x8 2
合作效率＝效率之和
2.5 25%＋15%
归纳小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据等量关系,正确列出代数式和方程.
4.解:求出所列方程的解. 二次检验是:
5.验:有二次检验.
(1)是不是所列方程的解;
6.答:注意单位和语言完整.且答案(2)要是生否满活足化实. 际意义.
9x 0
＝
120
35－x
x 解得 ＝15
35－x＝35-15＝20 经检验,x＝15是所列方程的根,且符合题意
答:甲每时能做15个,乙每时能做20个.
课内练习
2.下面的公式变形对吗？如果不对，应怎样改正？
x 将公式 ＝ a－b (1+ax≠0)变形成已 ab
知x,a,求b.
x 解:
由
＝
a－b ab
—— 分式方程的应用
毛利润＝售价－成本价
毛利率＝ 售价－成本价
成本价
• 某商店销售一种皮鞋，一双鞋的成本价 100元, 售价150元，那么一双皮鞋的毛
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7.4、分式方程1（教案）
一、【教学目标】
1、了解分式方程的概念，理解增根的概念。
2、掌握分式方程的计算及根的检验。
二、【教学重点、难点】
重点：可化为一元一次方程的分式方程。
难点：增根的概念和验根的必要性，学生难以理解。
三、【教学过程】
（一）创设情景，引入新题
甲做60个零件的时间要比乙少2天，已知甲每天做的零件比乙多2个，设乙每天做x 个零件，请列出方程。
观察方程有什么特点？
（二）合作交流，探究新知
观察下列式子
分式方程：方程中只含有 ，或 ，且分母中含有未知数的方程.
（三）典型例题
1、解方程
分析：如果分式两边同乘 ，就可以把分式方程转化为一元一次方程。
解：方程两边同乘 ，得 2（x +3）=3（2x -5）
去括号，得
移项，合并同类项，得
∴ x =
把 代入原方程检验：
左边 右边
∴ x = 是原方程的解。
2、解方程：21233x x x -=---
解：方程两边同乘 ，得
化简，得： x =
把x= 代入原方程检验，分母=0，分式没有意义。
∴ x = 不是原方程的根，原方程无解。
131x x y -=+1121x +=+33252x x +=-()3()2()5()+===-解方程一般步骤： （1）在方程的两边都乘以 ，约去分母化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）把方程的根代入 ，观察是否
符合题意；
归 纳
5.7、同底数幂的除法1（学案）
1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
2、解分式方程
3、解方程：（1） 224024x x x -=-- （2） 22411x x =--
4、如果1132
2x x x -+=--有增根，那么增根为 。
5、方程133x m x x -=
--无解，则m = 。
13(2)2x x =-2(1)23x x -=3(3)2x x π-=(1)(4)1x x x -=-x x 211)5(=+03121)6(=-+x 573)7(=-b a 26(1)217x x +=-5(2)42332x x x +=--2(1)4(3)22a a a -=--11(4)222x x x
-=---。