排列组合方法总结
考公排列组合篇章总结(思维导图)
给出情况求概率。
给出概率求概率。
满足条件的情况数
概率=
总情况数
概率=各步概率的乘积
概率=各类概率的和
概率=1-不满足条件的概率
排列组合
基础概念 常用方法 概率相关
排列公式 组合公式
Anm
= n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=
(n
n! − m)!
，n,m∈N
∗
,并且m≤n。
举例：A63
=6×5×4=120。（从下标开始乘，依次递减，乘上标那么多数。）
与顺序有关。
Cnm
=
Anm Amm
=
n(n
−
1)(n
−
2) ⋯ m!
全错位排列
当题目要求不能一一对应时，比如：n把钥匙对应n个锁，要求每个锁和一把不能 打卡它的钥匙放进一个信封，这就是全错位排列。
具体用法
错位排列用Dn
表示，Dn
表示n个数字的全错位排列。
记ห้องสมุดไป่ตู้：D1
=0，D2
=1，D3
=2，D4
=9，D5
=44，尤其是最后两个数考频很
高。
题型类别 基础公式
插空法
当题目中出现“间隔”“不相邻”“不连续”等要求时，考虑插空法。
具体用法
将可以相邻的元素进行排列，排列后形成若干空位。 将不相邻的元素插入形成的空位中。
插排法
题目形式为把n个相同的物品分给m个主体，要求每个主体至少分1个时，用插排 法。
具体用法
公式：Cnm−−11
若要求每个主体至少分a个，可以先给每个主体分（a-1）个，剩余物品分配时， 转化为每个主体至少分1个，再应用插板法解决。
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
重磅-MBA排列组合方法总结
MBA 排列组合方法总结一、【特殊元素、特殊位置】优先法在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。
例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）A 、240B 、256C 、264D 、288E 、320解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有14C ；最后排其他位置共计有34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 选D 二、【相邻问题】捆绑法题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种E 、72种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .三、【相离问题】插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例：七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A 、1440种B 、3600种C 、4800种D 、4820种E 、4880种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .四、【选排问题】先选后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法.例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 五、【相同元素分配问题】隔板法将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:11--m n C 。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
排列组合的公式总结
排列组合的公式总结排列组合是数学中一个有趣但有时也让人头疼的部分。
在咱们从小学到高中的数学学习旅程中，它可是个重要的角色。
先来说说排列的公式。
排列呢，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n,m) 。
它的公式是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子吧，咱们学校组织演讲比赛，从 10 个同学中选 3个同学先后上台演讲，那一共有多少种不同的安排顺序呢？这就是一个排列问题。
按照公式，A(10,3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 种。
也就是说，有 720 种不同的上台顺序。
再说说组合的公式。
组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 C(n,m) ，公式是 C(n,m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
比如说，咱们班要选5 个人参加数学竞赛，不考虑他们的参赛顺序，那一共有多少种选法？这就是组合问题。
C(20,5) = 20! / [5! × (20 - 5)!] ，算出来就是 15504 种选法。
排列和组合的区别，简单来说，排列讲究顺序，组合不讲究顺序。
就像分糖果，给小明、小红、小刚分 3 颗不同的糖果，如果考虑谁先拿谁后拿，那就是排列；要是不考虑谁先谁后，只看最后谁拿到了哪颗糖，那就是组合。
在实际做题的时候，大家可得擦亮眼睛，分清楚到底是排列还是组合。
我记得有一次考试，有一道题是从 8 个不同的水果里选 3 个装在一个果篮里，很多同学没搞清楚这是组合问题，用了排列的公式，结果就做错啦。
还有啊，做排列组合的题，有时候要分类讨论，有时候要用间接法。
比如说，计算从 1 到 20 这 20 个自然数中，能被 2 或 3 整除的数的个数。
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。
在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。
1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。
解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。
公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。
2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。
解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。
公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。
3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。
解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。
公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。
4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。
解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。
公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.排列组合问题的常见错误是重复和遗漏.弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.集合是常用的工具之一.为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位,有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时，合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。
二. “至少"型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个"型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中,将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本，有多少种不同分法?解：将6本书分成4份，先把书排成一排,插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三。
注意合理分类元素（或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。
再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××,5×××,共有：（个）；第二类：21××，23××,24××，25××，共有：（个)；第三类：203×，204×,205×，共有：(个）∴比2015大的四位数共有237个。
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排列组合方法总结(新导航用)
1、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。
例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ）
解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的
元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有1
4C ；最后排其他位置共计有34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C
2、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排
法种数有（ ）
解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，
3、【相离问题】插空法
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的
几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ）
解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2
6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种
4、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法.
例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有2
4C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.
5、【相同元素分配问题】隔板法
将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插
入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:1
1--m n C 。
如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵
例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案
故共有不同的分配方案为为6984C =种
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以n n A ，n 为均分的组数），避免重复计数。
例：6本不同的书平均分成3组，每堆2本的分法数有（ ）种
解析：分三步取书得224426C C C 中分法，但是这里出现重复计数的现象。
除去重复计数3
3A ，即共有33
224426A C C C 7、【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组
例：将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分
配方案有( )种
A 、4
441284C C C B 、44412843C C C C 、4431283
C C A
D 、444128433C C C A 答案：A 8、【可重复的排列问题】求幂法（分步）
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n m 种方法.
例：把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种
9、【“至少”“至多”问题等用】排除法（也可用分类列举法）
例：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，
则不同的取法共有（ ）种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，
故不同的取法共有33394570C C C --=种,选.C
解析2：正向思考，至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；
甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C .
10、【多元问题】分类列举法
例：（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位
数字的共有( )
解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
55A ,113113113134
3333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B （2）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取， 3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为：
01234555555532C C C C C C +++++=个.。