八年级数学培优第1讲 梯形蝴蝶定理
偏差描述蝴蝶模型
偏差描述蝴蝶模型蝴蝶模型公式推导过程：S1和S2的的三角形是相似的，所以面积比=边长比的平方即a²：b²。
设梯形高为h，S3+S2=1/2，bh=S4+S2，所以S3=S4。
设S4三角形高为h1（底为OB），可知S3：S1=S4：S1=OB：OA。
因为S1和S2的的三角形是相似三角形，S4：S1=OB：OA=b：a，所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。
梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
相似图形，面积比等于对边比的平方也就是S1：S2=a²/b²。
相关息：这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页（P39-40）上。
有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。
这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。
一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型不多说了，应该知道吧《咏素蝶》随风绕绿蕙，碧雀饮青微。
第23集蝴蝶定理
第23集蝴蝶定理
一·蝴蝶定理
1815年英国伦敦出版社的著名数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下问题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被冠以“蝴蝶定理”美名的原因。
由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，蕴理深刻，200多年来引无数数学家为止驻足，为之浮想联翩。
时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的60多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。
【证明】
利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净利索，内涵丰富。
若将圆的方程换成椭圆、双曲线或抛物线，则得到对应于这些曲线中的蝴蝶定理。
二·蝴蝶定理的推广
对蝴蝶定理的研究至今仍然没有结束，有人称之为欧氏平面内一颗璀璨的明珠。
蝴蝶定理曾经在北京高考和山东高考数学中出现过，可见其魅力不衰。
三·典例精析
【解析】
蝴蝶定理，butterfly theorem，古典欧式几何最精彩的结果之一。
1815年首次被一个自学成才的中学数学教师W·霍纳以初等方式证明。
足可见，任何高等数学，都离不开初等数学的基础。
任何学霸之路，都离不开定理公式的熟练叠加。
梯形的蝴蝶模型的推导过程
梯形的蝴蝶模型的推导过程嘿，朋友们！今天咱们来捣鼓捣鼓梯形的蝴蝶模型推导，这就像是一场奇妙的数学魔术揭秘呢。
想象一下，梯形就像一个怪模怪样的舞台。
上底和下底呢，就好比是舞台的两条边，一长一短，还挺有个性。
我们先在这个梯形舞台里画两条对角线，这对角线一出现啊，就像在舞台上拉了两根超级重要的钢丝。
这时候，梯形就被分成了四个三角形，这四个三角形就像四个性格各异的小演员。
咱们先来看相对的那两个三角形，它们之间的关系可有趣了。
我们从面积的角度出发，就像在衡量每个小演员占舞台多大地方似的。
因为这梯形的上底和下底平行呀，就好像是两条永远不会相交的铁轨。
根据三角形面积公式和相似三角形的一些特性（这里的相似就像是双胞胎一样有着神秘的联系），会发现沿着对角线分割出来的上下两个小三角形面积之比，就等于上底和下底的比。
这就好比说，因为上底和下底这两个“舞台边”长度不同，导致这两个小三角形占的“地盘”比例也跟着不一样。
然后呢，再看那两对翅膀一样的三角形（相邻的三角形），它们的面积关系更是奇妙。
这两对“翅膀”的面积啊，那是相等的呢。
这就像是两个小演员被施了魔法，必须保持一样的“分量”。
你可以把它想象成在这个梯形舞台上的一个神秘平衡法则。
要是把整个梯形的面积看作是一个大蛋糕，那这四个三角形就像把蛋糕切成了不同大小的几块。
通过一些数学公式的魔法棒挥舞（其实就是推导过程啦），我们可以用梯形的上底、下底和高来准确算出每个三角形的面积，就像精准地算出每个小演员的舞台地盘到底有多大。
这梯形蝴蝶模型的推导啊，就像是在一个充满奇幻规则的数学游乐场里玩耍。
每个元素都像是游乐场里的一个小设施，相互关联又充满乐趣。
通过这些看似神奇的推导，我们就能把梯形里这些三角形的关系搞得清清楚楚，就像我们彻底摸清了这个奇特梯形舞台上小演员们的所有秘密一样，是不是超级有趣呢？。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来想象一下一只美丽的蝴蝶。
蝴蝶定理的图形就有点像一只蝴蝶展开的翅膀。
那它到底是怎么回事呢？蝴蝶定理通常是指在一个梯形中，连接两条对角线，形成的四个三角形。
其中，相对的两个三角形的面积是相等的。
比如说，梯形ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，那么三角形 AOD 和三角形BOC 的面积是相等的。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来一起探究一下。
为了更好地理解，我们可以假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么梯形的面积就可以表示为（a ＋ b）× h ÷ 2。
三角形 ABD 的面积是 b × h ÷ 2，三角形 ACD 的面积是 a × h ÷ 2。
因为三角形 ABD 和三角形 ACD 都共用了三角形 AOD 上面的那个顶点，并且它们的底边分别是梯形的上底和下底，高都是梯形的高。
所以，三角形 ABD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形ACD 的面积减去三角形 AOD 的面积。
这也就意味着三角形 AOB 的面积等于三角形 DOC 的面积。
是不是觉得有点神奇？在实际的解题中，蝴蝶定理可是非常有用的。
比如说，当我们知道了梯形中一部分三角形的面积，就可以通过蝴蝶定理快速求出其他三角形的面积。
举个例子，如果在一个梯形中，三角形AOD 的面积是6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 8 平方厘米，并且上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，求梯形的面积。
首先，根据蝴蝶定理，我们知道三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积乘积等于三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积乘积。
因为三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 8 平方厘米，所以三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积乘积就是 6×8 ＝ 48 平方厘米。
风筝模型和梯形蝴蝶定理
风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）① S : S 2 S 4 : S 3 或者 S ② AO:OC S i S 2 ： S 4 S 3 风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：① S 1 : S 3② S ：S 3： S 2:S 42 2a :b :ab:ab ;③S 的对应份数为 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）结论，往往在题目中有事半功倍的效果.例题精讲【例11 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角CCa 2: b 2形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 AC BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千 米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米?的面积；（2） AG:GC【巩固】 【例2】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC【巩固】 在^ABC 中-BD =2:1,DCAE =I ：3，求OB =?ECOEB如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形ABC 的面积.如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于0点，△ CEF 、△ OEF 、△ ODF 、△ BOE 的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求 △ OCF 的面积；⑵求 △ GCE 的面积.如右上图，已知BO=2DO CO=5AO 阴影部分的面积和是 11平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
小学数学中的蝴蝶模型
小学数学中的蝴蝶模型
蝴蝶模型，又称梯形蝴蝶定理，是指在一个梯形中连接对角线后形成四个三角形。
梯形蝴蝶定理是平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
具体解释为：如上图所示，AC和BD是梯形ABCD的两条对角线，由于AD∥BC，△ABC和△DBC同底等高，则它们的面积相等。
而△BOC是上述两个三角形的公共部分，此时△AOB和△DOC的面积也相等。
从图上可以看出，△AOB和△DOC形似蝴蝶的两个翅膀，则此关系称为蝴蝶定理。
应用举例如图所示，为并列摆放的两个正方形，求图中阴影面积。
解：为方便描述图形间的关系，标注字母如下
因此，在梯形GBCF中，GC和BF为两条对角线，△BOG和△FOC满足蝴蝶定理关系，则它们面积相等，那么就可以将△FOC的阴影部分面积转化为△BOG的空白部分面积，此时两块阴影图形的面积之和就是△BCD的面积，因此
S△BCD=6×6÷2=18（cm2）。
蝴蝶定理的证明及推广[优秀范文五篇]
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蝴蝶定理的证明及推广[优秀范文五篇]第一篇：蝴蝶定理的证明及推广校选课《数学文化》课程论文一蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2，作OU⊥AD，OV⊥BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于∠EUO=∠EMO=90︒∠FVO=∠FMO=90︒得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。
则∠AUM=∠EOM，∠MOF=∠MVC:∆MV又:MAD::MCB，U、V为AD、BC的中点，从而∆MUA，∠AUM=∠MVC则∠EOM=∠MOF，于是ME=MF。
[1]证法2过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则∠FMD'=∠EMD，MD=MD'○1联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即PC'=CQ。
又111∠CFP=QB+PC）=QB+CC'+CQ）=BC'=∠BD'C' 222故M、F、B、D'四点共圆，即∠MBF=∠MD'F而∠MBF=∠ED M○2由○1、○2知，∆DME≅∆D'MF，故ME=MF。
证法3如图4，设直线DA与BC交于点N。
对∆NEF及截线AMB，∆NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有FMEANBFMEDNC⋅=1，⋅⋅=1MEANBFMEDNCF由上述两式相乘，并注意到-图3=NC⋅ NBNA⋅NDFM2ANNDBFCFBF⋅CF=⋅⋅⋅=得 ME2AEEDBNCNAE⋅EDPM+MF)(MQ-MF)PM2-MF2(==22PM-MEMQ+MEPM-ME 化简上式后得ME=MF。
[2] 2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
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八年级数学培优第一讲梯形蝴蝶定理
如图，在梯形中，存在以下关系：
1.S3=S4
2.S1×S2=S3×S4
3.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
例1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例2、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方
厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例3、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成
四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD
的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是
多少平方千米？
例4、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例5、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所
示。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的1
3
，且
2
AO=，3
DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
例6、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形
BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的
面积大10cm2，求CF的长。
例7、E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
25
9
O
D
C
B
A
D
A
O
C B
【精选习题】
1、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于F，设S四
边形EADF
=S1，S△BDF=S2，S△BCF=S3，S△CEF=S4。
则下列正确的是（）A．S1S3＜S2S4B．S1S3=S2S4C．S1S3＞S2S4D．不能确定
2、如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和
△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是cm2。
3、如图3，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中
点。
连接AO并延长交BC于D，连接CO并延长交AB于F，求四
边形BDOF的面积。
4、如图，D是BE的中点，EC=2EF，AF=2FD，若S△DEF=2，求S△ABC.
5、如图在四边形ABCD中点M为AD的中点，点N为BC的中
点，若S四边形ABCD=1。
求四边形BMDN的面积？
A
D
E
F
M
A
D
6、 如图 已知AD=
31AB ， BE=31BC ，CF=31AC 。
求证： S∆DEF=3
1S∆ABC 。
7、 已知, △ABC 中,AB=AC=10,且S △ABC =75,且P 为底边BC 上一动点，
PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ． 求证：PD+PE 的值
8、 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的
高AM 为h 。
（1）“若点P 在边BC 上（如图1），此时h 3=0，可得结论：h 1+h 2+h 3=h”。
请说明理由。
（2）当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，
h 1、h 2、h 3与h 之间怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。
A
D
F E D A E F D
M A B P C E D
M B P C
E
F
D M
A B C。