小学几何之蝴蝶定理大全
实用文库汇编之小学奥数之几何蝴蝶定理问题
作者： 方升座作品编号： 58001984419960354 创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2CFEADB上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？CBE FDA例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
小学奥数之几何蝴蝶定理问题精编版
EFG的面积大6平方厘米。
ABC的面积是多少平方厘米?
A
F
G
BDEC
三、练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD订交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
2、以下图，BD，CF将长方形ABCD分红4块，△DEF的面积是4 cm2，△CED的面积6cm2。
4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
例12、
10厘米和12厘米，求暗影部
如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、以下列图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且
D
A
O
C
B
例10、左下列图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块暗影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中暗影部分的面积是多少？
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8、已知ABC中，ABAC12cm，ABC的面积是cm2，P是BC上随意一点，P到
AB,AC的距离是x, y，那么xy；
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延伸AB至D，使BD=AB；延伸BC至E，使CE=2BC；延伸CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
小学奥数之蝴蝶定理
小学奥数---蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CBEFDA1）Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
小学奥数几何之蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学奥数之几何蝴蝶定理问的题目
⼩学奥数之⼏何蝴蝶定理问的题⽬⼏何之蝴蝶定理⼀、基本知识点定理1：同⼀三⾓形中，两个三⾓形的⾼相等，则⾯积之⽐等于对应底边之⽐。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三⾓形△AED 的⾯积占三⾓形△ABC 的⾯积的2034153=?定理3：任意四边形中的⽐例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的⾯积之积等于左、右部分的⾯积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的⽐例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的⾯积⽐等于上、下边的平⽅⽐2）左、右部分的⾯积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三⾓形性质1） H hC cB bA a===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2C F E AD B C BEF D A定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB⼆、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分⾯积为5平⽅厘⽶，ABC 的⾯积是多少平⽅厘⽶？例2、有⼀个三⾓形ABC 的⾯积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三⾓形DEF 的⾯积.例3、如图，在三⾓形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为35，AB 上的⼀点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的⾯积是求三⾓形ABC的⾯积.例4如图，ABCD是直⾓梯形，求阴影部分的⾯积和。
（单位：厘⽶）例5、两条对⾓线把梯形ABCD分割成四个三⾓形。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
定理2：等分点结论（鸟头定理）如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的3 1 35 4 20定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）S1∶S2 =S4∶S3 或S1×S3 = S 2× S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 ）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）S1∶S3 =a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a 2∶b2ab∶abS1 : S2 = a : b4）S 的对应份数为（a+b）2定理 4：相似三角形性质2) S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理 5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ ECS △ BGA ∶ S △BGC = S △ AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例 1、如图， AD DB ， AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， 多少平方厘米？1) BCHABC 的面积是例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且AD 1 AB，21ABC中，，D为BC的中点， E 为AB上的一点，且BE= AB,已知四边3形EDCA的面积是35 ，求三角形ABC的面积.例4、例 1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平B三角形DEF 的面积.BE 1BC ，31CF CA ，求4例3、如图，在三角形方厘米？例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9 平方厘米，25 平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
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小学几何之蝴蝶定理大全
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b
定理2：等分点结论( 鸟头定理)
如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的
20
3
4153=
⨯
定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2）左、右部分的面积相等
3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab
4）S 的对应份数为（a+b ）2
定理4：相似三角形性质
1）
H
h
C c B b A a ===
2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2
定理5：燕尾定理
S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC
S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC
S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB
二、 例题分析
例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？
C
F
E
A
D
B
C
B
E F
D
A
例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1
4
CF CA =，求三角形DEF 的面积.
例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=1
3
AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.
例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平
方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB
面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9平方厘米，三角形BOC 的面积为25平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
25
9O D
C
B
A
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图）所示。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的
1
3
，且 2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
D
A
O
C
B
例10、左下图所示的ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知
两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2
，求CF 的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H 为AD边上的任一点。
求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
的面积比例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ADG
EFG ∆的面积大6平方厘米。
?的面积是多少平方厘米
ABC ∆ A
B
C
D
E
F G
三、 练习题
1、如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面积
=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？
2、如图所示，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，△DEF 的面积是4 cm 2
，△CED 的面积是6cm 2。
问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=
31BC ，CD=4
1
AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______.
D
E
C
B
A
5、如图所示，已知ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF 的面积是16平方厘米，求三角形ABE 的面积是多少平方厘米？
6、 如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方
厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？
8、 已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，ABC ∆的面积是
2cm ，P 是BC 上任意一点，P 到
2
16
8D
B
A
AB,AC的距离是,x y，那么x y
+=；
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。