【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用版)：导数选填题(解析版)
专题22不等式选讲【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题22 不等式选讲
一、解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a，b，c均为正数，且222
43abc，证明：
(1)23abc；
(2)若2bc
，则11
3
ac
．
【答案】(1)见解析： (2)见解析：
解析：(1)证明：由柯西不等式有
22
22222
21112abcabc
，
所以23abc
，当且仅当21abc
时，取等号，所以23abc
；
(2)证明：因为2bc
，0a，0b，0c
，由(1)得243abcac，
即043ac
，所以11
43ac
，
由权方和不等式知2
2212
11129
3
444acacacac
，
当且仅当12
4ac
，即1a
，1
2c
时取等号，
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a，b，
c
都是正数，且333
2221abc，证明：
(1)1
9abc；
(2)1
2abc
bcacab
abc
；
【答案】解析：证明：因为0a
，0b
，0c
，则3
20a
，3
20b
，3
20c，
所以333
333
222
3
222
3abc
abc
，
即
1
21
3abc
，所以1
9abc
，当且仅当333
222abc
，即
31
9abc
时取等号．
小问2
详解】【
证明：因为0a
，0b
，0c
，
所以
2bcbc
，
2acac
，
2abab，
所以3
2
22aaa
bc
bcabc
，3
2
22bbb
ac
acabc
，3
2
22ccc
ab
ababc
333333
2222221
22222abcabcabc
bcacab
abcabcabcabcabc
当且仅当abc
时取等号．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
专题06数列解答题2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题06 数列解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记
nS
为数列
na
的前n
项和．已知2
21n
nS
na
n
．
(1)证明：
na
是等差数列；
(2)若
479,,aaa
成等比数列，求
nS
的最小值．
【答案】(1)证明见解析：； (2)78．
解析：(1)
解：因为2
21n
nS
na
n
，即2
22
nnSnnan①，
当2n
时，2
1121211
nnSnnan
②，
①
②得，2
2
112212211
nnnnSnSnnannan
，
即
12212211
nnnannana
，
即
1212121
nnnanan
，所以
11
nnaa
，2n
且N*n，
所以
na
是以1
为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得
413aa
，
716aa
，
918aa
，
又
4a
，
7a
，
9a
成等比数列，所以2
749aaa，
即2
111638aaa，解得
112a
，
所以13
nan
，所以2
21
125125625
12
222228nnn
Snnnn
，
所以，当12n或13n
时
min78
nS
．
【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第17题
2．(2022新高考全国II卷·第17题)已知
na
为等差数列，
nb
是公比为2的等比数列，且
223344ababba
．
(1)证明：
11ab
；
(2)
求集合
1,1500
kmkbaam
中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)9
．
解析：(1)设数列
na
的公差为d
，所以，
1111
1111224
283adbadb
adbbad
，即可解得，
11
2d
ba
，
所以原命题得证．
（2
）由(1)
专题15三角函数解答题【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题15 三角函数解答题
三角函数解答题
一、解答题
1．(2022年全国乙卷理科·第17题)记ABC
的内角,,ABC
的对边分别为,,abc
，已知
sinsin()sinsin()CABBCA
．
(1)证明：222
2abc；
(2)
若25
5,cos
31aA
，求ABC
的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
解析：【小问1详解】
证明：因为
sinsinsinsinCABBCA
，
所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC
，
所以222222222
2
222acbbcaabc
acbcab
acbcab
，
即222222
222
22acbabc
bca
，
所以222
2abc；
【小问2详解】
解：因为25
5,cos
31aA
，
由(1)得22
50bc，
由余弦定理可得222
2cosabcbcA，
则50
5025
31bc
，
所以31
2bc
，
故2
22
2503181bcbcbc
，
所以9bc
，
所以ABC
的周长为14abc
．
【题目栏目】三角函数\
三角函数的综合问题
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第17题
2．(2022新高考全国II卷·第18题)记ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为
边长的三个正三角形的面积依次为
123,,SSS
，已知
12331
,sin
23SSSB
．
(1)求ABC
面积；
(2)
若2
sinsin
3AC
，求b．
【答案】(1
)2
8
(2
)1
2
解析：(1)由题意
得2222
12313333
,,
22444SaaSbSc，则
222
1233333
4442SSSabc，
即222
2acb
，由余弦定理得222
cos
2acb
B
ac
，整理得cos1acB
专题18 圆锥曲线选择题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题18 圆锥曲线选择题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第8题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CDAB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA．当2,60OAAOB时，s( )
A. 11332B．11432C．9332D．9432
【答案】B
解析：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，所以OCAB，
又CDAB，所以,,OCD三点共线，
即2ODOAOB，
又60AOB，
所以2ABOAOB，
则3OC，故23CD，
所以22231143222CDsABOA．
故选：B．
【题目栏目】直线与圆\圆的方程\圆的方程
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第8题
2．(2022年全国乙卷理科·第11题)双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为D．过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为( ) A．52 B．32 C．132 D．172
【答案】C
解析：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，
若,MN分别在左右支，
因为1OGNF，且123cos05FNF，所以N在双曲线的右支，
又OGa，1OFc，1GFb，
设12FNF，21FFN，
在12FNF△中，有212sinsinsinNFNFc，
故122sinsinsinNFNFc即sinsinsinac，
所以sincoscossinsinsinac，
而3cos5，sinac，cosbc，故4sin5，
专题09平面向量2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题09平面向量
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,ab
满足||1,||3,|2|3abab
，则
ab
( )
A．2
B．1
C．1D．2
【答案】C
解析：∵2
22
|2|||44
abaabb
，
又∵||1,||3,|2|3,
abab
∴9
1443134
abab，
∴
1ab
故选：C．
【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题
2．(2022新高考全国II卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t
abcab
，若,,
acbc
，则t
( )
A．6
B．5C．5D．6
【答案】C
解析：
3,4ct
,cos,cos,acbc
,
即93163
5tt
cc
,解得5t
． 故选C．
【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第4题
3．(2022新高考全国I卷·第3题)在ABC
中，点D在边AB上，2BDDA
．记CAmCDn
，，则CB
( )
A．32mn
B．23mn
C．32mn
D．23mn
【答案】B
解析：因点D在边AB上，2BDDA
，所以
2BDDA
，即
2CDCBCACD
，
所以CB
3232CDCAnm
23mn
． 故选：B．
【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理
【题目来源】2022新高考全国I卷·第3题
4．(2020年新高考I卷(山东卷)·第7题)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则
APAB
的取
值范用是( )
为
专题17立体几何解答题-【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题17 立体几何解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第18题)在四棱锥PABCD中，PD底面
,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥．
(1)证明：BDPA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
2．(2022年全国乙卷理科·第18题)如图，四面体ABCD
中，,,ADCDADCDADBBDC
，E
为AC
的中点．
(1)证明：平面BED
平面ACD
；
(2)设2,60ABBDACB
，点F在BD
上，当AFC△
的面积最小时，求CF
与平面ABD所成
的角的正弦值．
3．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，PO
是三棱锥PABC
的高，PAPB，ABAC
，E是PB
的中点．
(1)证明：//OE
平面PAC
；
(2)若30ABOCBO
，3PO
，5PA
，求二面角CAEB
正弦值．
4．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱
111ABCABC
的体积为4，
1ABC
的面积为22．
(1)求A到平面
1ABC
的距离；
(2)设D为
1AC
的中点，
1AAAB
，平面
1ABC
平面
11ABBA
，求二面角ABDC
的正弦值．
5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥QABCD
中，底面ABCD是正方形，若
2,5,3ADQDQAQC．
(1)证明：平面QAD
平面ABCD；
(2)求二面角BQDA
平面角的余弦值．
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD
的中点．的
的
(1)证明：OACD；
(2)若OCD是边长为1等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，
求三棱锥ABCD的体积．
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平
面PAD与平面PBC的交线为l．
专题06数列解答题-2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题06数列解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记nS为数列
na的前n项和．已知2
21n
nS
na
n．
(1)证明：
na是等差数列；
(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．
2．(2022新高考全国II卷·第17题)已知
na为等差数列，
nb是公比为2的等比数列，且
223344ababba．
(1)证明：11ab；
(2)求集合
1,1500
kmkbaam中元素个数．
3．(2022新高考全国I卷·第17题)记nS为数列
na的前n项和，已知11,n
nS
a
a
是公差为1
3的等差数
列．
(1)求
na的通项公式；
(2)证明：
12111
2
naaa．
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记nS是公差不为0的等差数列
na的前n项和，若35244,aSaaS．
(1)求数列
na的通项公式na；
(2)求使nnSa成立的n的最小值．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列
na满足11a，11,,
2,.n
n
nan
a
an
为奇数
为偶数
(1)记2nnba，写出1b，2b，并求数列
nb的通项公式；
(2)求
na的前20项和．
6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}
na满足24320,8aaa．
(1)求{}
na
的通项公式；
(2)记mb为{}
na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列{}mb的前100项和100S．
7．(2020新高考II卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}
na满足24320,8aaa．
(1)求{}
na通项公式；
(2)求1
12231(1)n
nnaaaaaa
．
8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记nS为数列
na的前n项和，nb为数列
nS的前n项积，已知21
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编
【2023年真题】
1. （2023·新高考II卷 第6题） 已知函数()lnx
fxaex
在区间(1,2)
单调递增，则a的最小值为（ ）
A. 2
e B. e C. 1
e
D. 2
e
2.（2023·新课标I卷 第11题）（多选） 已知函数()fx
的定义域为R，22
()()()fxyyfxxfy
，则（ ）
A. (0)0f
B. (1)0f
C. ()fx
是偶函数 D. 0x
为()fx
的极小值点
3.（2023·新课标II卷 第11题）（多选）若函数
2()ln(0)bc
fxaxa
xx
既有极大值也有极小值，
则( )
A. 0bc
B. 0ab
C. 2
80bac D. 0ac
4. （2023·新课标I卷 第19题） 已知函数
(1)
讨论()fx
的单调性；
(2)
证明：当0a时，3
()2lna+.
2fx
5.（2023·新高考II卷 第22题）(1)
证明：当01x
时，2
xxsinxx
；
(2)
已知函数2
()(1)fxcosaxlnx
，若0x
是()fx
的极大值点，求a的取值范围.
【2022年真题】
6.（2022·新高考I卷 第7题）设0.1
0.1ae，1
9b
，ln0.9c，则( )
A. abc
B. cba
C. cab
D. acb
7.（2022·新高考I卷 第10题）（多选）已知函数3
()1fxxx
，则
( )
A. ()fx
有两个极值点 B. ()fx
有三个零点
C. 点(0,1)
是曲线()yfx
的对称中心 D. 直线2yx
是曲线()yfx
的切线
8.（2022·新高考I卷 第15题）若曲线()x
yxae
有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________.
9.（2022·新高考II卷 第15题）曲线ln||yx
经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，
专题04导数及其应用选择填空题(解析版)
1 / 29 大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新课标文科卷）
专题04导数及其应用选择填空题
1．【2022年全国甲卷文科08】当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+𝑏𝑥取得最大值−2，则𝑓′(2)=（ ）
A．−1 B．−12 C．12 D．1
【答案】B
【解析】
因为函数𝑓(𝑥)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，𝑓(1)=−2，𝑓′(1)=0，而𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−𝑏𝑥2，所以𝑏=−2,𝑎−𝑏=0，即𝑎=−2,𝑏=−2，所以𝑓′(𝑥)=−2𝑥+2𝑥2，因此函数𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，𝑥=1时取最大值，满足题意，即有𝑓′(2)=−1+12=−12．
故选：B.
2．【2021年全国乙卷文科12】设𝑎≠0，若𝑥=𝑎为函数𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−𝑎)2(𝑥−𝑏)的极大值点，则（ ）
A．𝑎<𝑏 B．𝑎>𝑏 C．𝑎𝑏<𝑎2 D．𝑎𝑏>𝑎2
【答案】D
若𝑎=𝑏，则𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−𝑎)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故𝑎≠𝑏.
依题意，𝑥=𝑎为函数𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−𝑎)2(𝑥−𝑏)的极大值点，
当𝑎<0时，由𝑥>𝑏，𝑓(𝑥)≤0，画出𝑓(𝑥)的图象如下图所示：
由图可知𝑏<𝑎，𝑎<0，故𝑎𝑏>𝑎2. 真题汇总
2 / 29 当𝑎>0时，由𝑥>𝑏时，𝑓(𝑥)>0，画出𝑓(𝑥)的图象如下图所示：
由图可知𝑏>𝑎，𝑎>0，故𝑎𝑏>𝑎2.
综上所述，𝑎𝑏>𝑎2成立.
故选：D
3．【2019年新课标3文科07】已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（ ）
A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1
2022年高考数学真题：函数与导数(解析版)
第
2讲函数与导数
一、单选题
1．（
2022·全国
·高考真题）已知函数
()fx
的定义域为
R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf
，则
22
1()
kfk
（）
A．3
B．
2C．
0D．
1
【答案】
A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数
fx
的一个周期为6，求出函数一个周期中的
1,2,,6fff
的值，即可解出．
【详解】
因为
fxyfxyfxfy
，令1,0xy
可得，
2110fff
，所以
02f
，令0x可得，
2fyfyfy
，即
fyfy
，所以函数
fx
为偶函数，令1y
得，
111fxfxfxffx
，即有
21fxfxfx
，从而可知
21fxfx
，
14fxfx
，故
24fxfx
，即
6fxfx
，所以函数
fx
的一个周期为6．
因为
210121fff
，
321112fff
，
4221fff
，
5111fff
，
602ff
，所以
一个周期内的
1260fff
．由于
22除以
6余
4，
所以22
1123411213
kfkffff
．
故选：
A．
2．（
2022·全国
·高考真题（理））已知函数(),()fxgx
的定义域均为
R，且
()(2)5,()(4)7fxgxgxfx
．若()ygx
的图像关于直线
2x对称，(2)4g
，则22
1()
kfk
（）
A．
21B．
22C．23
D．
24
【答案】
D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到()(2)2fxfx
，从而得到
352110fff
，
462210fff