专题06 三角形综合的压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
1挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编
专题06三角形综合的压轴真题训练
一．全等三角形的判定与性质
1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的
内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．
∵I是△ABD的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵AB＝AC，AI＝AI，
∴△BAI≌△CAI（SAS），
∴IB＝IC，
∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，
∴△IDT≌△IDE（AAS），
∴DE＝DT，IT＝IE，
∵∠BEI＝∠CTI＝90°，
∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），
∴BE＝CT，
2设BE＝CT＝x，
∵DE＝DT，
∴10﹣x＝x﹣4，
∴x＝7，
∴BE＝7．
故选：B．
2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为
AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，
则四边形ACGH周长的最小值是（）
A．24B．22C．20D．18
【答案】B
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
3∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B
重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A
1处，连接A
1B，将A
1B绕
点B顺时针旋转90°得到A
2B，连接A
1A，A
1C，A
2C．给出下列四个结论：
①△ABA
1≌△CBA
2；②∠ADE+∠A
1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，
则CP+A
1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A
1BE
的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）
【答案】①②③
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠A
1BA
2＝∠ABC＝90°，
∴∠ABA
1＝∠CBA
2，
∵BA
1＝BA
2，
∴△ABA
1≌△CBA
2（SAS），故①正确，
过点D作DT⊥CA
1于点T，
∵CD＝DA
1，
∴∠CDT＝∠A
1DT，
∵∠ADE＝∠A
1DE，∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDT＝45°，
∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA
1＝90°，
4∴∠CDT＝∠BCA
1，
∴∠ADE+∠BCA
1＝45°，故②正确．
连接PA，AC．
∵A，A
1关于DE对称，
∴PA＝PA
1，
∴PA
1+PC＝PA+PC≥AC＝，
∴PA
1+PC的最小值为，故③正确，
过点A
1作A
1H⊥AB于点H，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝A
1E＝AD•tan30
°＝，
∴EB＝AB﹣AE＝1
﹣，
∵∠A
1EB＝60°，
∴A
1H＝A
1E•sin60
°＝
×
＝，∴
＝×（1
﹣
）×
＝，故④错误．
故答案为：①②③．
4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD
为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．
【答案】3
或．
【解答】解：如图，E点在AD的右边，
5∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD＝2，
∵BD＝2CD，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，
∴等边三角形ABC的边长为3，
如图，E点在AD的左边，
同上，△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠EBD＝120°，
过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，
∴EF
＝BE
＝CD，BF
＝BE
＝CD，
6∴CF＝BF+BD+CD
＝CD，
在Rt△EFC中，CE＝2，
∴EF2+CF2
＝CE2
＝4，
∴
+＝4，
∴CD
＝或CD
＝﹣（舍去），
∴BC
＝，
∴等边三角形ABC
的边长为，
故答案为：3
或．
5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P
是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，
则线段OF长的最小值是．
【答案】2
【解答】解：方法一：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF，
如图，当点F
1在x轴上时，△P
1AF
1为等边三角形，
则P
1A＝P
1F
1＝AF
1，∠AP
1F
1＝60°，
∵AO⊥P
1F
1，
∴P
1O＝F
1O，∠AOP
1＝90°，
∴∠P
1AO＝30°，且AO＝4，
7由勾股定理得：P
1O＝F
1O
＝，
∴P
1A＝P
1F
1＝AF
1
＝，
∴点F
1
的坐标为（，0），
如图，当点F
2在y轴上时，
∵△P
2AF
2为等边三角形，AO⊥P
2O，
∴AO＝F
2O＝4，
∴点F
2的坐标为（0，﹣4），
∵tan∠OF
1F
2
＝
＝＝，
∴∠OF
1F
2＝60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F
1F
2时，线段OF最短，
设直线F
1F
2的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线F
1F
2的解析式为y＝x﹣4，
∵AO＝F
2O＝4，AO⊥P
1F
1，
∴F
1F
2＝AF
1
＝，
在Rt△OF
1F
2中，
设点O到F
1F
2的距离为h，则
×OF
1×OF
2
＝×F
1F
2×h，
∴
××4
＝
××h，
解得h＝2，
即线段OF的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，
过点B作BP′⊥x轴于点P′，
8∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF，∠PAF＝60°，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，
∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，
在△BAP和△OAF中，
，
∴△BAP≌△OAF（SAS），
∴BP＝OF，
∵P是x轴上一动点，
∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，
∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，
∴BP
′＝OB
＝×4＝2，
∴OF的最小值为2，
故答案为2．
二．勾股定理
6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代
数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称
之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼
接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT
的面积分别为
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：三角形及全等三角形(共30题)(解析版)
专题
15三角形及全等三角形（
30题）一、单选题1．（
2023·吉林长春
·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径
AB的卡钳，卡钳交叉点
O为AA
、
BB
的中点，只要量出
AB的长度，就可以道该零件内径
AB的长度．依据的数学基本事实是（）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】
A
【分析】根据题意易证
SASAOBAOB
≌
，根据证明方法即可求解．
【详解】解：
O为
AA、
BB的中点，
OAOA
，
OBOB，
AOBAOB
∵（对顶角相等），
在AOB
与AOB
△中，
OAOA
AOBAOB
OBOB
，
SASAOBAOB
△≌△
，
ABAB
，
故选：
A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
2．（
2023·四川宜宾
·统考中考真题）如图，ABCD∥，且40A，
24D，则
E等于（）
A．40
B．32C．
24D．16
【答案】
D
【分析】可求40ACD，再由ACDDE，即可求解．
【详解】解：ABCD∥∵，
40ACDA，
ACDDE∵，
2440E，
16E．
故选：
D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
3．（
2023·云南
·统考中考真题）如图，AB、
两点被池塘隔开，、、ABC三点不共线．设ACBC、的中点分别
为MN、．若3MN米，则AB（）
A．
4米
B．
6米
C．
8米
D．
10米
【答案】
B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解
∶∵ACBC、的中点分别为MN、，
∴MN是ABC的中位线，
∴26(ABMN
米)
，
故选：
B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解
2023年中考数学二轮专项练习：三角形的综合题(含答案)
2023年中考数学二轮专项练习：三角形的综合题
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD═70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足
为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．如图，六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶，∠𝐷的外角都相等，即
∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠𝐷𝐸𝐹和∠𝐸𝐹𝐴的平分线交于点P，则∠𝑃的度数是（ ）
A．55°B．56°C．57°D．60°
3．如图，直线 𝑦=𝑘
1𝑥+2 与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数 𝑦=𝑘
2
𝑥
在第一象限内的图象交于点B，连接 𝐵𝑂 ，若
𝑆
△𝑂𝐵𝐶=1，𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝑂𝐶=1
3 ，则
𝑘
1、
𝑘
2
的值是（ ）
A．1、-3B．1、3C．2、3D．3、-1
4．已知等腰△ABC的两边分别是方程x
2-10x+21=0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17B．13C．11D．13或17
5．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD上除端点
外的任意一点，过点O作𝑂𝐹⊥𝑂𝐸交CD于点F，若𝐴𝐵=6，则四边形EOFD的面积为
（ ）A．18B．9C．6D．不能确
定
6．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．45°C．36°或45°D．45°或72°
7．如图所示，在长方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐵=22
，在线段 𝐵𝐶 上取一点 𝐸 ，连接
𝐴𝐸 、 𝐸𝐷 ，将 △𝐴𝐵𝐸 沿 𝐴𝐸 翻折，点 𝐵 落在点 𝐵′ 处，线段 𝐸𝐵′ 交 𝐴𝐷 于点 𝐹.
将 △𝐸𝐶𝐷 沿 𝐷𝐸 翻折，点 𝐶 的对应点 𝐶′ 恰好落在线段 𝐸𝐵′ 上，且点 𝐶′ 为 𝐸𝐵′
的中点，则线段 𝐸𝐹 的长为（ ）
专题06 分式 专题训练 中考数学2023年真题 专项汇编(全国通用)(含解析)
专题06 分式 专题训练 中考数学2023年真题 专项汇编（全
国通用）（含答案）
1．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列各式计算结果正确的是（
）
A．B．C．D．
2．（2023·广东·统考中考真题）计算的结果为（
）
A．B．C．D．
3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（
）
A．B．C．
D．
4．（2023·山东·统考中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（
）
A．B．C．D．且
5．（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（
）
A．B．C．D．
6．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的个数是（
）．
①；②；③；④．
A．4B．3C．2D．1
7．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知，计算的值
是（
）
A．1B．C．2D．
8．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（
）
A．B．C．
D．
9．（2023·山东聊城·统考中考真题）的值为（
）
A．0B．1C．D．2
325xxx932
2
22xx11
2
2
32
aa
1
a26
a5
a6
a
0
22
233356
842
3232623
2x
xx
2x0x2x
0x2x
2
3
3y
x
x
6
xy5
xy25
xy26
xy
|2023|2023
202311
203
2321
20
2
20232023
2
10xx2
221
121
xx
xxxx
1
2
6
2
3a
a
a3
25
aa
22
()()ab
ab
abab
0
1
1
3
0
2023
11
2023
10．（2023·广西·统考中考真题）若分式有意义，则x的取值范围是（
）
A．B．C．D．
11．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·四川遂宁·统考中考真题）纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫
米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中
2023年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专题提升训练+
2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合压轴题》
专题提升训练（附答案）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，连接AD，交y轴于点E，点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD交x轴于F，连接EF、AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设△AOQ外接圆圆心为H，当sin∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标．
2．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在直线PB上是否存在点M，使得△BCM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，点D为AB的中点，直线QD与直线BC的夹角为锐角B，且tanβ＝3，求点Q的坐标．
3．如图，已知点A（﹣1，0），点B在y轴正半轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，连接BD，二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B，D，顶点为E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接BE，DE，判断△BDE的形状，并求tan∠BDE的值；
（3）在第二象限内有一动点P，使得∠APB＝∠EDC，连接DP，线段DP是否存在最大值？如果存在，请求出最大值，如果不存在，请说明理由．
4．如图1，直线y＝﹣x﹣3分别交x轴，y轴于点B，C，经过点B，C的抛物线y＝x2+bx+c交x轴正半轴于点A．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，D是第三象限内的抛物线上动点，DE∥y轴交直线BC于点E，若△CDE是等腰三角形，求点D坐标；
（3）F是抛物线的顶点，直线BC上存在点M，使tan∠FMO＝，请直接写出点M坐标．
全等三角形(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）
全等三角形（优选真题60道）
一．选择题（共14小题） 1．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△
DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角
形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 2．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只
要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，
从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
{𝑂𝐴=𝑂𝐴′∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴′𝑂𝐵′𝑂𝐵=𝑂𝐵′，
压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全
2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）
题型一： 二次函数与平行四边形存在性问题
例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．
（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：二次函数与矩形存在性问题
例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三: 二次函数与菱形存在性问题
例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B（4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当√5𝑃𝐷+𝑃𝐸的最大值时，求此时点P的坐标和√5𝑃𝐷+𝑃𝐸的最大值；
（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
三角形相似综合训练-2023年中考数学拉分专题(教师版含解析)
专题02 三角形相似综合训练
1．如图，在矩形ABCD中，将ADC△绕点D逆时针旋转90得到FDEBFE，、、三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是( )
①ACBE；BCGGAD②；③点F是线段CD的黄金分割点；④2CGDGEG
A．①②③ B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D 【详解】证明： FDEADC≌，
∴ADDFDCDEDEFDCA，，，
又∴四边形ABCD是矩形，
∴90ADC，
∴90DACDCA，
即90DAGDEF，
∴90AGE，
即ACBE，故①正确；
∴ACBE，
∴90BGC，
即BGC是直角三角形，而AGD不是直角三角形，
∴②错误；
在RtFCB和RtFDE△中，
∴BFCEFC，
∴RtFCBRtFDE∽，
∴FCBCDFDE，
∴BCADDFDEDC，，
∴FCDFDFDC，
∴点F是线段CD的黄金分割点，∴③正确；
在线段EF上作EGCG，如图所示，连接DG，
∴DCDEDEFDCA，，
∴DEGDCG，
在DCG△和DEG中， DCDEDCGDEGCGEG，
∴SASDCGDEG≌（），
∴DGDGCDGEDG，，
∴90CDGGDA，
∴90EDGGDA，
∴90GDG，
∴GDG是等腰直角三角形，
∴2GGDG，
∴EGCG，
∴2EGEGGGCGDG，∴④正确，
故选：D．
【我思故我在】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用．
2．如图，在ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，//DEBC，M为BC边上一点(不与B、C重合)，连结AM交DE于点N，则( )
备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)6选择压轴题含详解
专题06选择压轴题
1．（2022•杭州）如图，已知ABC内接于半径为1的O，(BAC是锐角），则ABC的面积的最大值为(
)
A．cos(1cos)B．cos(1sin)C．sin(1sin)D．sin(1cos)
2．（2021•杭州）已知
1y和
2y均是以x为自变量的函数，当xm时，函数值分别是
1M和
2M，若存在实数m，使
得120MM，则称函数
1y和
2y具有性质P．以下函数
1y和
2y具有性质P的是()
A．2
12yxx和
21yxB．2
12yxx和
21yx
C．
11y
x和21yxD．
11y
x和21yx
3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数2
11yxax，2
22yxbx，2
34yxcx，其中a，b，
c是正实数，且满足2bac．设函数
1y，
2y，
3y的图象与x轴的交点个数分别为
1M，
2M，
3M，()
A．若
12M，
22M，则
30MB．若
11M，
20M，则
30M
C．若
10M，
22M，则
30MD．若
10M，
20M，则
30M
4．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知ab，设函数()()yxaxb的图象与x轴有M个交点，函数
(1)(1)yaxbx的图象与x轴有N个交点，则()
A．1MN或1MNB．1MN或2MN
C．MN或1MND．MN或1MN
5．（2018•杭州）如图，在ABC中，点D在AB边上，//DEBC，与边AC交于点E，连接BE．记ADE，BCE
的面积分别为1S，
2S，()
A．若2ADAB，则
1232SSB．若2ADAB，则
1232SS
C．若2ADAB，则
1232SSD．若2ADAB，则
1232SS
6．（2022•上城区一模）在直角坐标系中，一次函数12(0)ykxkk的图象记作G，以原点O为圆心，作半径
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型 题型解读｜模型构建｜通关试练
三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，
三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特
征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小
题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE）
∠ADB=∠ADC=90° BD=CD
S△ABD=S△ADC
C∆ACD−C∆ABD=AC−AB ∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC AD=DB AE=EC
DE=12 BC DE∥BC 模型02 与三角形有关的角的应用
（1）三角形的内角：
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平
行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法
求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
（2）三角形的外角：
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)等腰三角形与直角三角形(共26道)(解析版)
等腰三角形与直角三角形(共26道)
一、单选题
1(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点．
若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为()
A.1B.2C.1或32D.1或2
【答案】D
【分析】根据题意易得AB=23,AC=4，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：∵∠B=90°,∠A=30°,BC=2，∴AB=3BC=23,AC=2BC=4，
∵点D为AB的中点，
∴AD=12AB=3，
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1，
①当点E为AC的中点时，如图，
∴AE=12AC=2，
②当点E为AC的四等分点时，如图所示：∴AE=1，
综上所述：AE=1或2；
故选D．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含
30
度直角
三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．
2(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中
点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB=4，CE=10，则AG=()
·1·
A.2B.2.5C.3D.3.5
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得BG=BF=5，在Rt△ABG中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：∵矩形ABCD中，∴∠ABC=∠BAC=90°，
∵F为CE的中点，CE=10，
∴BG=BF=12CE=5，在Rt△ABG中，AG=BG2-AB2=52-42=3，
故选：C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长
等于斜边的一半”是解题的关键.
3(2023·北京·统考中考真题)如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB
三个结论：①a+ba2+b2；③2a+b>c；
上述结论中，所有正确结论的序号是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③