【高中数学】利用导数研究函数零点问题
高中数学学科
利用导数研究函数零点问题
考点一研究函数零点个数
[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝1
3x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
[解](1)当a＝3时，f(x)＝1
3x3－3x2－3x－3，
f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.
当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，
3＋23)．
(2)证明：因为x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于x3
x2＋x＋1－3a＝0.
设g(x)＝x3
x2＋x＋1－3a，
则g′(x)＝x2x2＋2x＋3
x2＋x＋12≥0，
仅当x＝0时，g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－1
3＝－
6a－162－1
6<0，f(3a＋1)＝1
3>0，
故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
[对点训练]
设函数f(x)＝lnx＋m
x，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；高中数学学科
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x
3零点的个数．
解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋e
x(x>0)，
则f′(x)＝x－e
x2，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋e
e＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知g(x)＝f′(x)－x
3＝1
x－m
x2－x
3(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－1
3x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－1
3x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝2
3，
又∵φ(0)＝0.
结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，
①当m>2
3时，函数g(x)无零点；
②当m＝2
3时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0
3时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>2
3时，函数g(x)无零点；
当m＝2
3或m≤0时，函数g(x)
有且只有一个零点；高中数学学科
当0
3时，函数g(x)有两个零点．
考点二已知零点存在情况求参数范围
[典例](2019·重庆调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)
在1
3，3
上有两个零点，求实数a的取值范围．
[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，
f′(x)＝－2x－1＋1
x＝－2x2－x＋1
x，
令f′(x)＝0，得x＝1
2(负值舍去)，
当0
2时，f′(x)>0；
当x>1
2时，f′(x)<0.
∴f(x)
的单调递增区间为0，1
2，单调递减区间为1
2，＋∞.
(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－lnx
x.
令g(x)＝x－lnx
x，其中x
∈1
3，3
，
则g′(x)＝1－1－lnx
x2＝x2＋lnx－1
x2，令g′(x)＝0，得x＝1，当1
3≤x<1时，g′(x)<0；
当10，
∴
g(x)的单调递减区间为1
3，1
，单调递增区间为(1,3]，
∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数
f(x)
在1
3，3
上有两个零点，
g13＝3ln3＋13，g(3)＝3－ln3
3，
3ln3＋1
3>3－ln3
3，
∴实数a的取值范围是1，3－ln3
3.
[解题技法]
本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函数图象较为复杂，也没有固
定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：高中数学学科
(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满
足的条件，进而求出参数满足的条件；
(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，
推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多
次求导，层层推理得解．
[对点训练]
设函数f(x)＝lnx－x，若关于x的方程f(x)＝x2－10
3x＋m在区间[1,3]上有解，求m的取
值范围．
解：方程f(x)＝x2－10
3x＋m在区间[1,3]上有解，
即lnx－x2＋7
3x＝m在区间[1,3]上有解．
令h(x)＝lnx－x2＋7
3x，
则h′(x)＝1
x－2x＋7
3＝－3x＋12x－3
3x.
∴当x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表：
x11，323
23
2，33
h′(x)＋0－
h(x)4
3极大值ln3－2
∵h(1)＝4
3，h(3)＝ln3－2<4
3，h3
2＝ln3
2＋5
4，
∴当x∈[1,3]时，h(x)∈ln3－2，ln3
2＋5
4，
∴m的取值范围为ln3－2，ln3
2＋5
4.
[课时跟踪检测]
1．(2019·贵阳摸底考试)已知函数f(x)＝kx－lnx(k>0)．
(1)若k＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值．高中数学学科
解：(1)若k＝1，则f(x)＝x－lnx，定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝1－1
x，
由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)法一：由题意知，方程kx－lnx＝0仅有一个实根，
由kx－lnx＝0，得k＝lnx
x(x>0)．
令g(x)＝lnx
x(x>0)，则g′(x)＝1－lnx
x2，
当00；当x>e时，g′(x)<0.
∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝1
e.
当x→＋∞时，g(x)→0.
又∵k>0，∴要使f(x)仅有一个零点，则k＝1
e.
法二：f(x)＝kx－lnx，f′(x)＝k－1
x＝kx－1
x(x>0，k>0)．
当0
k时，f′(x)<0；当x>1
k时，f′(x)>0.
∴f(x)
在0，1
k上单调递减，在1
k，＋∞
上单调递增，
∴f(x)min＝
f1k＝1－ln1
k，
∵f(x)有且只有一个零点，∴1－ln1
k＝0，即k＝1
e.
法三：∵k>0，∴函数f(x)有且只有一个零点等价于直线y＝kx与曲线y＝lnx相切，
设切点为(x0，y0)，由y＝lnx，
得y′＝1
x
，∴k＝1
x0，
y0＝kx0，
y0
＝lnx0，∴k＝1
e，∴实数k的值为1
e.
2．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，
则f′(x)＝3x2＋2x－1，高中数学学科
由f′(x)>0，得x<－1或x>1
3，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)
和1
3，＋∞.
(2)函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的
实根．
令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x.
由g′(x)>0，得x<－2
3或x>0；
由g′(x)<0，得－2
3
所以函数g(x)
在－∞，－2
3和(0
，＋∞)上单调递增，在－2
3，0
上单调递减．
所以当x＝－2
3时，函数g(
x)取得极大值g－23＝4
27＋b；当x＝0时，函数g(x)取得极小
值为g(0)＝b.
要满足题意，则需g－23＝4
27＋b＝0或g(0)＝b＝0，
所以b＝－4
27或b＝0.
3．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.71828…是自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝
f(x)·x－1
2在区间[0,1]上零点的个数．
解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)<0，得x0，得x>lna，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞)．
(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝1
2，
先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数，
①当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0，
∴f(x)在[0,1]上有一个零点．
②当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，
∴f(x)在[0,1]上有一个零点．
③当1
而f(1)＝e－a－1，当e－a－1≥0，即1
高考数学第3章导数及其应用6第6讲利用导数研究函数零点问题教案理高三全册数学教案
第6讲 利用导数研究函数零点问题
数形结合法研究零点问题
[典例引领]
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
【解】 (1)F(x)＝ax2－2ln x，
其定义域为(0，＋∞)，
所以F′(x)＝2ax－2x
＝2（ax2－1）x(x＞0)．
①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞1a，
由ax2－1＜0，得0＜x＜1a，
故当a＞0时，F(x)在区间1a，＋∞上单调递增，在区间0，1a上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝2ln xx2在区间[2，e]上有两个不等解． 令φ(x)＝2ln
xx2，由φ′(x)＝2x（1－2ln
x）x4易知，φ(x)在(2，e)上为增函数，在(e，e)上为减函数，
则φ(x)max＝φ(e)＝1e，
而φ(e)＝2e2，φ(2)＝ln 22.
由φ(e)－φ(2)＝2e2－ln 22＝4－e2ln 22e2＝ln e4－ln 2e22e2＜ln 81－ln 272e2＜0，
所以φ(e)＜φ(2)．
所以φ(x)min＝φ(e)，
如图可知φ(x)＝a有两个不相等的解时，需ln 22≤a＜1e.
即f(x)＝g(x)在[2，e]上有两个不相等的解时a的取值范围为[ln 22，1e)．
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围．
利用函数性质研究函数零点
[典例引领] 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；
【高中数学】利用导数研究函数零点问题
高中数学学科
利用导数研究函数零点问题
考点一研究函数零点个数
[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝1
3x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
[解](1)当a＝3时，f(x)＝1
3x3－3x2－3x－3，
f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.
当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，
3＋23)．
(2)证明：因为x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于x3
x2＋x＋1－3a＝0.
设g(x)＝x3
x2＋x＋1－3a，
则g′(x)＝x2x2＋2x＋3
x2＋x＋12≥0，
仅当x＝0时，g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－1
3＝－
6a－162－1
6<0，f(3a＋1)＝1
3>0，
故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
[对点训练]
设函数f(x)＝lnx＋m
x，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；高中数学学科
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x
3零点的个数．
解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋e
x(x>0)，
则f′(x)＝x－e
x2，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋e
e＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知g(x)＝f′(x)－x
3＝1
x－m
x2－x
3(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－1
3x3＋x(x>0)．
高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
专题4 利用导数研究函数的极值和最值
专题知识梳理
1.函数的极值
（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。极大值与极小值统称为极值.
(2)判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
(3)求可导函数f(x)的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数 ;
①求出方程的定义域内的所有实数根；
①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
①根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值
（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;
（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．
（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：
①求在内的极值；
①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
考点探究 )(xfx0x0f(x)f(x0)f(x0))(xff(x0)x00x0)(0xf0x)(xf0x)(xf)(0xf)(xf0x0x)(xf)(0xf)(xf0x0x)(xf)(0xf)(xf¢f(x)=00)(xf)(xfIx0xÎIf(x)£f(x0))(0xfymax=f(x0))(xfIx0xÎIf(x)³f(x0))(0xfymin=f(x0)ba,)(xfba,)(xfba,)(xf(,)ab)(xff(a),f(b))(xfba, 考向1 利用导数研究函数的极值
专题11 利用导数解决零点问题(解析版)
专题11 利用导数解决零点问题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数ln1exfxxax
(1)当1a时，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；
(2)若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)2yx
(2)(,1)
【解析】
【分析】
（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对a分类讨论,对x分(1,0),(0,)两部分研究
(1)
()fx的定义域为(1,)
当1a时,()ln(1),(0)0exxfxxf,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx,所以切线斜率为2
所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为2yx
(2)
()ln(1)exaxfxx
2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx
设2()e1xgxax
1若0a,当2(1,0),()e10xxgxax,即()0fx
所以()fx在(1,0)上单调递增,()(0)0fxf
故()fx在(1,0)上没有零点,不合题意
2若10a,当,()0x,则()e20xgxax
所以()gx在(0,)上单调递增所以()(0)10gxga,即()0fx
所以()fx在(0,)上单调递增,()(0)0fxf
故()fx在(0,)上没有零点,不合题意
3若1a
(1)当,()0x,则()e20xgxax,所以()gx在(0,)上单调递增
(0)10,(1)e0gag
所以存在(0,1)m,使得()0gm,即()0fm
当(0,),()0,()xmfxfx单调递减
当(,),()0,()xmfxfx单调递增 所以
一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数零点(方程的根)问题)(压轴题)(解析版)高考数学高分必刷题
专题08一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴
题）
利用导数研究函数零点（方程的根）问题
①判断零点（根）的个数
②已知零点（根）的个数求参数
③已知零点（根）的个数求代数式的值
①判断零点（根）的个数
1．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知函数
31ln0
1
20
3xxx
fx
xx
，则函数
1gxfxx的零点个数为（）
A．1B．0C．3D．2
【答案】D
当0x时，1ln10xxx，得ln1x，即ex
，成立，
当0x时，31
210
3xx，得31
10
3xx，
设31
1
3gxxx，
0x
，
21110gxxxx
，得1x或1x（舍），
当
,1x时，()0gx¢
>，函数
gx单调递增，
当
1,0x时，()0gx¢
<，函数
gx单调递减，
所以1x时，函数取得最大值，5
10
3g，
010g，
350g，
根据零点存在性定理可知，
3,1x，存在1个零点，
综上可知，函数有2个零点.
故选：D
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））函数
2e1axfxx在定义域内的零点个数不可能是（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
2()2ee(2)eaxaxaxfxxaxxax，
若0a，则2()1fxx，有两个零点，
若0a，由()0fx
得0x或2
x
a，
若0a，在2
x
a或0a时，()0fx，2
0x
a时，()0fx
，
所以()fx在2
(,)
a和(0,)上递增，在2
(,0)
a上递减，
极小值(0)10f，极大值
2224
()1
ef
aa，(1)e10af，()fx
在(0,)上有一个零点，
2
ea时，
2224
()1
ef
aa0，()fx
在(,0)
上只有一个零点，这样共有2个零点；
利用导数研究函数零点问题附答案
1
利用导数研究函数零点问题附答案
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－12 B．13
C．12 D．1
解析：选C．由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝12.故选C．
2．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B．f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈0，23时，f′(x)<0；x∈23，＋∞时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f23＝59>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：
不符合题意，排除A、C．
当a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈－∞，－32时，f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f－32＝－54，则f(x)的大致图象如图(2)所示． 2
不符合题意，排除D.
3．已知函数f(x)＝a＋xln x(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．
高中数学导数求零点做题方法及例题
高中数学导数求零点做题方法及例题
《高中数学导数求零点做题方法及例题》
导数求零点是高中数学中的一个重要概念和解题方法。理解和掌握此方法，对于解决各种数学问题以及考试取得优异成绩都非常关键。本文将介绍导数求零点的做题方法，并通过例题加深理解。
首先，我们回顾一下导数的定义。在数学中，给定一个函数f(x)，若其在某一点x_0处的导数f'(x_0)等于0，那么x_0就被称为函数f(x)的一个零点。换句话说，零点就是函数曲线与x轴相交的点，即函数取值为零的位置。
那么，如何求解导数为零的点呢？我们可以运用微积分中的导数概念以及一些求根的方法，例如二分法、牛顿迭代法等。
下面以实际例题来说明导数求零点的做题方法。
例题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求其在(-∞,+∞)上的所有零点。
解：首先，我们需要求出导数f'(x)。对于f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求导后可得到f'(x)=3x^2-6x-9。
其次，我们将求得的导数f'(x)令为0，并解方程得到零点。即3x^2-6x-9=0，两侧同时除以3，化简得到x^2-2x-3=0。利用求根公式或配方法，解得x=-1，x=3。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在(-∞,+∞)上的零点为 x=-1 和 x=3。
通过此例题，我们可以总结出求导数零点的方法：
1. 求函数的导数。
2. 将导数等于0，即f'(x)=0，转化为方程。
3. 解方程得到零点。
导数求零点的方法在高中数学中经常出现，它常被应用于曲线的切线问题、函数图像的性质研究等。掌握此方法不仅可以提升解题效率，还可以更加深刻地理解函数的性质。
总结起来，导数求零点是一种常用的数学方法，通过对函数的导数进行求解得到函数的零点。掌握了此方法，我们可以在解决各种数学问题时更加轻松而高效。因此，同学们在学习数学时，应该注重理解和运用导数求零点的做题方法，才能在考试中取得好成绩。
第6讲利用导数研究函数零点问题
第6讲利用导数研究函数零点问题
利用最值(极值)判断零点个数[典例引领] 已知函数f(x)＝－12ax2＋(1＋a)x－ln x(a∈R)．(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a＝0时，设函数g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数g(x)在区间[12，＋∞)上有两个零点，求实数k的取值范围．【解】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数为f′（x)＝－ax＋1＋a－1x＝－(ax－1)(x－1)x(a＞0)，①当a∈(0，1)时，1a＞1.由f′（x)＜0，得x＞1a或a＜1.所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，＋∞；②当a＝1时，恒有f′（x)≤0，所以f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；③当a∈(1，＋∞)时，1a＜1.由f′（x)＜0, 得x＞1或x＜1a.所以f(x)的单调递减区间为(0，1a)，(1，＋∞)．综上，当a∈(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，＋∞；当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为(0，1a)，(1，＋∞)．(2)g(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在x∈[12，＋∞)上有两个零点，即关于x的方程k＝
2022届高中数学导数通关练习专题10 利用导数研究函数零点问题(解析版)
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一、单选题
1．若函数3
23
3xxxfxm在区间2,6有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．9,18B．25,33
C．5
9,
3
D．2
,18
3
2．若函数3()3fxxxa恰有1个零点，则实数a的取值范围是（）
A．
2，
B．
2，
C．
22，，
D．
22，
3．若关于x
的方程ln0xax有且只有2个零点，则a的取值范围是（）
A．1
(,]
eB．1
(,)
eC．1
(0,]
eD．1
(0,)
e
4．已知函数
2ln
2x
xfxexa
x（其中e
为自然对数的底数）有两个零点，则实数a
的取值范围是（）
A．21
,e
e
B．21
,e
e
C．21
,e
e
D．21
,e
e
5．已知函数
lnm
fxxm
x在区间
1e,e
内有唯一零点，则实数m
的取值范围为（）
A．
2ee
,1
e12
B．1e
,
e1e1
C．e
,1
e1
D．e
1,1
2
6．已知函数
21
()2fxaxx
x有且仅有两个零点，则实数a
（）
A．32
27B．32
27C．27
32D．27
32
7．若关于x
的不等式2lnln0xaxx有且仅有4个整数解，则实数a
的取值范围是（）
A．1111
ln,ln
2255
B．1111
ln,ln
2255
C．1111
ln,ln
5566
D．1111
ln,ln
5566
8．函数
axfxex
aR
有两个不同的零点，则实数a
的取值范围为（）
A．1
0,
e
B．1
,1
e
C．
1,e
D．1
,
e
二、多选题
《利用导数研究函数的零点问题》教学设计
1 《利用导数研究函数的零点问题》教学设计
授课班级：某高二（文）班
1．教学背景
1.1 学生特征分析
我所试讲班级是长沟中学高二文班，学生的平均年龄在16-17岁，多数学生对于所识记的材料，在再认和回忆时，没有歪曲、遗漏、增补和臆测，初步具备在知觉某一事物时，能根据自己已有的知识、经验对事物加以解释和判断；具有一定的比较与分类思维，但是抽象概括及分析综合思维欠缺。
学生已经系统的复习了函数、导数的相关知识，学生了解函数零点的定义，会利用导数求函数的单调区间和极值。对导数有了一定的理解，学习积极性比较高，利用导数这一工具对函数的性质研究比较好。但是理性思维比较欠缺，对于处理含参问题的能力还有待提高，把新问题转化问已解决问题的能力有待提高，缺乏选择解决问题策略的能力。由于是借班作课，师生接触少，师生之间的默契程度有待提高。
1.2教师特点分析
自己教学中的优势：注重学生自主学习、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：由于是借班作课，与学生有效沟通较少。
1.3 学习内容分析
1、内容分析：导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数的单调性、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具,对我们描绘函数图象带来极大方便，高考对导数的考查重在导数的应用，如求函数的单调区间、极值最值、解决实际问题及与不等式的结合。而利用导数对函数性质的研究有利于我们解决函数的零点问题。近几年高考也出现了一些函数零点问题或可转化为函数零点问题的题目，今年北京文科就出现了这样的题目，所以本节课从三次函数出发探究函数零点问题，以简单的含参数函数零点问题为载体，引导学生利用导数讨论函数的单调性、极值、最值解决问题，突出数形结合思想、转化思想的应用。
2、例题分析：
热身练习：求函数32()fxxxx的单调区间和极值，并试求此函数的零点。题目比较简单，学生可以独立完成，目的是让学生熟悉利用导数研究函数性质的基本过程；