数学分析-CALCULUS---深圳大学ppt课件
合集下载
大学一年级上学期-微积分PPT-CalculusI(2)
Example Let f(x)=│x│.Show that f (x) is not differentiable at 0.
Proof By Definition, we have
f (0) lim
f (0 h)
f (0)
lim
h .
h0
h0
h
f (x) lim f (x h) f (x) x I
h0
h
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
h
lim (x h)2 x2 2x
h0
h
The right-hand derivative of f at a ,is denoted by
f ’+(a)
f(a)
Chapter2 Derivatives
2.1 The Derivative as a function
The Tangent Problem
Let f be a function and let P(a, f(a)) be a point on the graph of f. To find the slope m of the tangent line l at P(a, f(a)) on the graph of f, we first choose another nearby point Q(x, f(x)) on the graph (see Figure 1) and then compute the slope mPQ of the secant line PQ.
f (a) lim f (a h) f (a) lim f (x) f (a)
h0
h
xa x a
f (x) x2
微积分CALCULUS.ppt
Solution:
a. Since g 32 ft/sec2 (9.8m/s2 ), V0 96 ft/sec and H0 112 ft, the height of the ball above the ground at time t is H (t) 16t 2 96t 112 feet. The velocity at time t is
c. Set v(t)=0, solve t=3. Thus, the ball is at its highest point when t=3 seconds.
d. The ball starts at H(0)=112 feet and rises to a maximum height of H(3)=256. So: The total distance travelled=2(256-112)+112 =400 feet.
acceleration acting on the object is the constant
downward acceleration g due to gravityistance is negligible). Thus, the height of the object
at time t is given by the formula
H
(t )
1 2
gt 2
V0t
H0
where H0 and V0 are the initial height and velocity of the object, respectively.
Example 10 Suppose a person standing at the top of a building 112 feet high throws a ball vertically upward with an initial velocity of 96 ft/sec.
微积分
极限的产生
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
编辑本段一阶微分与高阶微分
函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 即：d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0， 其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
编辑本段一阶微分与高阶微分
函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 即：d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0， 其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
微积分教学资料-calculusi
Therefore , by the definition of a limit,
lim [f(x)g(x)] lim f(x)lim g(x)
x a
x a
x a
LM
Direct Substitution Property
If f is a polynomial or a rational function
x a
n a
posi n titveeger
If lif m (x ) Lan lid g m (x ) M
x a
x a
both exist, then
li [ f m ( x ) g ( x ) ] li f ( m x ) li g ( m x ) L M
x a
lim sin x 1 x0 x
Caution: Notice the phrase “but x≠a” in the definition of limit.
This means that in finding the limit of f(x) as x approaches a, we never consider x=a.
7. lim c c xa
8.lim x a xa
9. lim x n a n , where n is a positive integer xa
10 . lim n x n a , where n is a positive integer xa
1.1li.m n f(x)nlim f(x) whenriesa
In fact, f(x) need not even be defined when x=a. the only thing that matters is how f is defined near a.
数学分析级数PPT课件
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
前页 后页 返回
*推论2设 un 为正项级数.
(i)若 lim u n 1q1,则 级 数 收 敛 ; u n
n
(ii)若 lim u n1q1,则 级 数 发 散 ; u n n
*例8 研究级数 1 b b c b 2 c b 2 c 2 b n c n 1 b n c n ( 8 )
( i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un1q, un
(5)
前页 后页 返回
则级数 un 收敛.
( i i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un11, un
(6)
则 级 数 u n 发 散 .
证 ( i ) 不 妨 设 不 等 式 ( 5 ) 对 一 切 n 1 成 立 , 于 是 有
则 级 数 u n发 散 .
( 1 0 )
前页 后页 返回
证 由(9)式有un l n , 因为等比级数 ln当 1l1 时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
于情形(ii), 由(10)式可得 un 1n 1.
显 然 当 n 时 ,u n 不可能以零为极限, 因而由级数
§2 正项级数
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.
一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法
*四、拉贝判别法
前页 后页 返回
一、正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数.
对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以
《数学分析》课件 (完整版)
第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析PPT电子课件教案-第十二章函数项级数
收敛性判定
柯西准则、狄利克雷定理、阿贝 尔定理等。
03 函数项级数的应用
在数学中的应用
函数项级数在数学分析中有着广泛的 应用，它可以帮助我们研究函数的性 质和行为。例如，通过函数项级数， 我们可以逼近复杂的函数，从而更容 易地研究它们的性质。此外，函数项 级数还在解决一些数学问题中发挥了 关键作用，例如求解微分方程和积分 方程。
函数项级数的性质
连续性
有界性
如果每个$a_n(x)$都是连续的，那么 级数的和也是连续的。
如果每个$a_n(x)$都是有界的，那么 级数的和也是有界的。
可微性
如果每个$a_n(x)$都是可微的，那么 级数的和也是可微的。
函数项级数的收敛性
收敛性定义
如果对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得 当$n geq N$时，对于所有的$x$ 都有$|S_n(x) - S(x)| < varepsilon$，则称级数收敛。
正项级数的比较判别法
比较判别法
如果对于所有的$ngeq 1$，都有 $frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，那么正项级 数$sum a_n$收敛。
比较判别法的证明
由于$frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，所以当 $ngeq 1$时，有$frac{a_{n+1}}{a_n}-1leq k-1<0$。因此，$frac{a_{n+1}}{a_n}$是单 调递减的。又因为$frac{a_{2}}{a_{1}}leq k<1$，所以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1leq k1<0$。因此，$frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单 调递减的。由于$frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所 以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$是单调递减的。由于 $frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所以 $frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单调递减的。因此， $sum a_n$是收敛的。
柯西准则、狄利克雷定理、阿贝 尔定理等。
03 函数项级数的应用
在数学中的应用
函数项级数在数学分析中有着广泛的 应用，它可以帮助我们研究函数的性 质和行为。例如，通过函数项级数， 我们可以逼近复杂的函数，从而更容 易地研究它们的性质。此外，函数项 级数还在解决一些数学问题中发挥了 关键作用，例如求解微分方程和积分 方程。
函数项级数的性质
连续性
有界性
如果每个$a_n(x)$都是连续的，那么 级数的和也是连续的。
如果每个$a_n(x)$都是有界的，那么 级数的和也是有界的。
可微性
如果每个$a_n(x)$都是可微的，那么 级数的和也是可微的。
函数项级数的收敛性
收敛性定义
如果对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得 当$n geq N$时，对于所有的$x$ 都有$|S_n(x) - S(x)| < varepsilon$，则称级数收敛。
正项级数的比较判别法
比较判别法
如果对于所有的$ngeq 1$，都有 $frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，那么正项级 数$sum a_n$收敛。
比较判别法的证明
由于$frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，所以当 $ngeq 1$时，有$frac{a_{n+1}}{a_n}-1leq k-1<0$。因此，$frac{a_{n+1}}{a_n}$是单 调递减的。又因为$frac{a_{2}}{a_{1}}leq k<1$，所以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1leq k1<0$。因此，$frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单 调递减的。由于$frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所 以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$是单调递减的。由于 $frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所以 $frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单调递减的。因此， $sum a_n$是收敛的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多
理解拉格朗日函数的引入
元 重点难点: 拉格朗日乘数法的应用,
函
拉格朗日函数的引入
数
微
分
学
.
5
第
§4 条 件 极 值
十
七 问题 做一个容量为V的长方体开口水箱, 问水箱
章
的长、宽、高各等于多少时, 其表面积最小?
多
元
函
数
微
分
学
.
6
第
§4 条 件 极 值
十
七 定义 对自变量有约束条件的极值问题称为条件极
多
fxx0,y0fyx0,y00.
元
函
数
微
分
学
.
8
第
十
七 极值充分条件 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域
章
U (P0)内具有二阶连续偏导数, 且P0是 f的稳定点.
多
则当H(P0)是正定矩阵时, f 在P0取得极小值;
元
当H(P0)是负定矩阵时, f 在P0取得极大值;
函 当H(P0)是当H(P0)是不定矩阵时, f 在P0不取极值.
第
十
七
级数与多元微积分
章
Series and Calculous in Several Variablesຫໍສະໝຸດ 多元函 数 微
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
分
学
.
1
第
十
七
第十八章 隐函数定理及其应用
章
多
§1 隐函数
元
§2 隐函数组
函
§3 几何应用
数
§4 条件极值
微
分
学
.
2
第
十
七
§1 可 微 性
章
章 值问题.
多
元 条件极值问题的一般形式为: 在条件组
函
k x 1 ,x 2 , L L ,x n 0 ,k 1 ,2 , L ,m ( m n )(2)
数 的限制下求目标函数
微
yfx1,x2,LL,xn
(3)
分 的极值.
学
.
7
第
十 七 章
极值必要条件 若函数 f 在点P0(x0, y0)存在偏导数, 且在P0取得极值, 则有
数 上的点到xy平面的最小距离和最大距离.
微 2. 设 x 1 L x n 1 ,x i 0 ,i 1 ,2 ,L ,n .证明不等式
分 学
x1x 11x2x12L.xnx1nn1 nn.
19
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 一、隐函数: 由方程所确定的函数.
章 二、隐函数定理: 条件: (i) F, Fx和Fy连续;
章 (i) 当 fx xP 0 0 , fx xfy y fx 2 yP 0 0 时, f 在点P0取得
多
极小值;
元 函
(ii) 当 fx xP 0 0 , fx xfy y fx 2 yP 0 0 时, f 在点P0取得
数
极大值;
微 (iii) 当 fxxfyyfx2 y P00时, f 在点P0不能取得极值;
多
一 可微性与全微分
元
二 偏导数
函
三 可微性条件
数
四 可微性几何意义及应用
微
分
学
.
3
第
十
七
§2 复 合 函 数 微 分 法
章
多
一 复合函数的求导法则
元
二 复合函数的全微分
函
数
微
分
学
.
4
第
§4 条 件 极 值
十
七 基本内容: 条件极值, 拉格朗日乘数法
章 基本要求: 掌握拉格朗日乘数解条件极值问题,
章
1111(x0,y0,z0,r0)
多
xyz r
元 下的极小值, 并证明不等式
函 数
31ab11c1 3 abc,
微 其中a, b, c为任意正实数.
分
学
.
18
第
§4 条 件 极 值
十 作业 P.169. 习题 1. (1), (3). 3.
七 章 补充作业 多 1. 设a0, 求曲线
元 函
x2 y2 2az, x2 y2 xy a2
多
(ii) F(x0, y0)0; (iii) Fy(x0, y0)0,
元 结论: F(x, y)0确定一个连续可微的函数 y f (x)
函 其导数为
数
微 分
y Fx . Fy
学
.
20
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 三、利用隐函数定理解题的一般步骤:
章 (i) 确定F, 求F对各变量的偏导数;
章 导数. 若D的内点 P 0 x1 (0),x2 (0),L,xn (0) 是极值点, 且
多
元 雅可比矩阵
函 数 微 分
1
x1
L
1
xn
M
M
(13)
m
L
m
学
x 1
x n P0
.
15
第
§4 条 件 极 值
十
的秩为m,
则存在常数
, (0) 1
2(0),L,
, (0)
m
使得
x1,L
,xn 0
学 的解.
.
16
第
§4 条 件 极 值
十 例1 用拉格朗日乘数法求水箱设计问题的解.
七 章 例2 抛物面
多
x2 y2 z
元 被平面
函
xyz1
数 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
微
分
学
.
17
第
§4 条 件 极 值
十
七 例3 求f (x, y, z) xyz在条件
分 学
(iv) 当 fxxfyyfx2 y P00时, 不能肯定 f 在点P0是否
取得极值.
.
11
第
§4 条 件 极 值
十 求函数
七
y f(x, y)
章 在约束条件
多
(x, y) 0
元 下的条件极值. 函
数
微
分
学
.
12
第
§4 条 件 极 值
十 方程
七
(x, y) 0
章 确定的隐函数y g(x)的导数为
数
微
分
学
.
9
第
十 称矩阵
七 章
多
HfP 0ffx yx xP P 0 0 ffx yy yP P 0 0ffx yx x
fxy fyyP 0
元 为 f 在点P0的黑赛(Hesse)矩阵.
函
数
微
分
学
.
10
第
十 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0)内具有
七 二阶连续偏导数, 且P0是 f 的稳定点, 则有
七
章
x 1 (0 ),L,x n (0 ),1 (0 ),L ,m (0 ) 为下述nm个方程
多
L
x1
f x1
m
k
k 1
k x1
0
元
L L L L L L L L
函 数 微
L
xn
f xn
m
k
k 1
k xn
0
L 1
1
x1 ,L
,xn 0
L L L L L L L L
分
L
m
m
多 (ii) 验证F(P0)0及F和F对各变量偏导数的连续性;
元 函
(iii) 验证在P0处F对某变量偏导数不等于0; (iv) 利用隐函数定理求导数.
数 微
注意: 当已知所给方程能够确定连续可微的隐函数
多 元
g(x) x (x) . y (x)
函
数
微
分
学
.
13
第
§4 条 件 极 值
十 平面曲线
七
F(x, y)0
章 上点P0(x0, y0)处切线的方向数为
多 元
FxP0,FyP0 .
函
数
微
分
学
.
14
第
§4 条 件 极 值
十 定理18.6 设在条件(2)的限制下, 求函数(3)的极值,
七 其中 f 与k(k 1, 2, , m)在D内有连续的一阶偏