常用统计量
数理统计定理及公式
3、贝叶斯风险
风险函数(, ) = ,(, )- = ∫ (, )(|)关于 再求期望，得
() = ∫ (, ) π() = ∬ (, )(|)π()
= ∬ (, )() (|) = ∫ () ∫ (, ) (|)
1、假设检验的基本概念
（1）拒绝域： = {: ∈ Ω，使0 否定}
1, ∈
（2）检验函数δ() = {
0, ∉
（3）两类错误的概率及检验水平
①第一类错误（弃真）②第二类错误（存伪）
③检验水平：检验犯第一类错误的概率
（4）势函数()
{
() = , ∈ 0
（1）矩估计法（以样本 k 阶矩估计总体 k 阶矩）
= ∫ () = ̅
1
2 = ∫ 2 () = ∑ 2 = 2 + ̅ 2
=1
{
⋮
（2）极大似然估计法
似然函数（联合密度）() = ∏=1 ( ; )
()
= 0，解得̂即为最大似然估计量，当求导无解时，结合次序统计量的概念及的
4、有效估计（方差达到罗-克拉默下界的估计）
（1）信息不等式
2
ln(; )
2 ln(; )
() = E *
+ = −E *
+
2
（2）罗-克拉默下界
D(()) ≥
1
()
（3）有效估计⇒最小方差无偏估计；但最小方差无偏估计⇏有效估计
5、区间估计
（1）置信度：1 −
①~(0,1)，Y~ 2 ()且独立，则 =
√/
~()
② = 0, = −2
统计量公式
统计量公式统计量是一种用于描述和总结数据集的数值指标或函数。
它们可以对数据进行量化和比较，从而得到有关数据分布和关系的信息。
以下是一些常见的统计量和它们的公式：1.平均数（Mean）：平均数是一组数据的总和除以数据的个数。
公式为：μ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n，其中x₁，x₂，...，xₙ为数据集中的观测值，n为观测值的个数。
拓展：除了算术平均数，还有几种不同的平均数，如加权平均数、几何平均数和调和平均数。
2.中位数（Median）：中位数是将一组数据按升序或降序排列后，位于中间位置的观测值。
若数据个数n为奇数，则中位数为第(n+1)/2个观测值；若n为偶数，则中位数为第n/2和n/2+1个观测值的平均值。
拓展：除了中位数，还有四分位数、百分位数等分位数，从而可以描述数据的分布和位置。
3.方差（Variance）：方差衡量了数据集的离散程度，它表示每个观测值与平均值之间的差异的平方的平均值。
公式为：σ² = Σ (xᵢ- μ)² / n，其中xᵢ为观测值，μ为平均数，n为观测值的个数。
拓展：方差的开平方称为标准差，它将方差的测量单位换成了与原始观测值相同的单位，更易于解释和比较。
4.相关系数（Correlation coefficient）：相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强度和方向。
常用的是皮尔逊相关系数，其公式为：r = Σ (xᵢ - μₓ)(yᵢ - μᵧ) / (nσₓσᵧ)，其中xᵢ和yᵢ为两个变量的观测值，μₓ和μᵧ为两个变量的平均值，σₓ和σᵧ为两个变量的标准差。
拓展：除了皮尔逊相关系数，还有斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等其他类型的相关系数。
这些统计量广泛用于统计学和数据分析中，可以帮助我们理解和解释数据的特征和关系。
同时，也有其他更多的统计量公式和概念，根据不同的数据类型和问题，可以选择适当的统计量来进行分析。
常用统计量与计算方法
代入公式（3—5）得：
Md
L
i
n
15 68
( c) 57 ( 16) 70.5
(天)
f2
20 2
即间隔时间的中位数为70.5天。
L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数
n — 总频数（即总次数）
c — 小于频数最多所在组的累加频数
19
（三）众数 (mode) M0 (书 P17)
26
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求 出各个观测值与平均数的离差，（x x） ，称为 离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即Σx（ x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ（x x ）来 表 示 资料中所有观 测值的总偏离程度。
注： 小样本的自由度为n-1
x x 2
n 1
n 30
35
标准差的计算方法
上述计算方法需先求出平均数（一般为约数），容易 引起计算误差，因此采用原始数据进行计算 (书P20)
大样本： S x 2 x 2 / n
n
小样本： S x 2 x 2 / n
n -1
为简化计算过程，若试验观测数值较大（小）时，可将各观测值
乙组的变异明显低于甲组， R 不能反映 组内其它数据的 变异度 25
二、变异数
缺点
c. 样本较大时, 抽到较大值与较小值的可能性也较大， 因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不宜用 极差来比较分布的离散度。
当资料很多，而又要迅速对资料的变异程度作出判断 用途 时，有时可先利用极差判断。
名词解释统计量
名词解释统计量
统计量是统计学中的一个重要概念，指的是通过对样本数据进行相应计算得出的数值，用以描述样本数据的某种特征或性质。
在统计学中，我们通常经常需要对数据进行总结和描述，从而更好地理解数据的分布和特征。
统计量就是通过对样本数据进行计算，得出能够代表样本的某种特征的数值。
常见的统计量包括均值、中位数、方差、标准差、百分位数等。
这些统计量能够帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度、分布形态等信息。
均值是最常见的统计量，它是样本数据的平均值。
通过计算所有数据的总和，然后除以数据的个数，得到均值。
均值能够反映数据的集中趋势，如果均值较大，说明数据整体较大；如果均值较小，说明数据整体较小。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数能够反映数据的中间位置，对于存在极端值或异常值的数据，中位数更能代表典型值。
方差和标准差是用来衡量数据的离散程度的统计量。
方差是数据与
均值之差的平方的平均数，标准差是方差的平方根。
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
百分位数是反映数据位置的统计量，表示有百分之多少的数据小于或等于该数值。
常用的百分位数有四分位数，分别是将数据分为四等分的数值。
第一四分位数表示25%的数据小于或等于该值，第二四分位数就是中位数，第三四分位数表示75%的数据小于或等于该值。
通过计算这些统计量，我们能够更全面地理解数据的特征，进而作出更准确的分析和决策。
统计量的选择应根据具体问题和数据类型来确定，合理使用统计量可以提高对数据的理解和应用能力。
统计量公式
统计量公式统计量是统计学中常用的概念，它用来描述和总结数据的特征和分布情况。
统计量可以帮助我们更好地理解数据，并从中提取出有用的信息。
在实际应用中，统计量是进行数据分析和推断的重要工具，它们可以帮助我们做出准确的决策和预测。
常见的统计量包括均值、中位数、众数、标准差、方差、偏度和峰度等。
下面分别介绍这些统计量的计算公式和含义。
1. 均值：均值是一组数据的平均数，用于表示数据的集中趋势。
计算公式为：均值 = 总和 / 观测值的个数。
均值可以帮助我们了解数据的平均水平，并可以用来对比不同数据集之间的差异。
2. 中位数：中位数是一组数据排序后的中间值，它能够较好地反映数据的分布情况，相对于均值更具有鲁棒性。
如果数据个数为奇数，中位数就是排序后的中间值；如果数据个数为偶数，中位数就是排序后中间两个数的平均值。
3. 众数：众数是一组数据中出现频率最高的值，用于描述数据的集中程度。
一个数据集可能存在多个众数，也可能没有众数。
4. 标准差：标准差衡量了数据的波动程度，也就是数据的离散程度。
标准差越大，数据的离散程度就越大；标准差越小，数据的离散程度就越小。
标准差的计算公式为：标准差 = 平方根（方差）。
5. 方差：方差衡量了数据的离散程度，它是各个观测值与均值之差的平方和的平均值。
方差越大，数据的离散程度也越大；方差越小，数据的离散程度也越小。
6. 偏度：偏度用于衡量数据分布的不对称程度。
如果数据分布左偏，即数据的尾部向左拉长，偏度为负数；如果数据分布右偏，即数据的尾部向右拉长，偏度为正数。
7. 峰度：峰度用于衡量数据分布的尖锐程度。
正态分布的峰度为3，如果数据分布的峰度大于3，则分布更为尖锐；如果峰度小于3，则分布较为平缓。
统计量的计算和使用可以帮助我们深入了解数据，从而做出正确的决策。
在不同的领域和问题中，我们可以根据需要选择相应的统计量来分析数据，并且可以结合其他统计方法进行更深入的研究。
同时，统计量的计算结果也需要综合考虑其他因素，如样本的大小和数据的分布特点，以保证统计结果的可靠性和有效性。
统计学中statistic
统计学中statistic统计学是一门应用数学，它研究如何从数量数据中得出结论和推断。
它是现代科学中不可缺少的一个领域，同时也是决策、政策制定和商业决策等领域的重要工具。
在统计学中，statistic（统计量）是一个重要的概念，本文将对该概念做详细的解释。
统计量是指对样本进行运算得到的结果。
简单的说，统计量就是对样本数据进行数字摘要的方法。
这些数字描述了数据的一些重要特征，如中心位置、离散程度、形状等，同时也可以用来推断总体的特征。
因此，统计量是进行统计推断的重要工具。
统计量的选择通常需要考虑数据的类型、数据的分布以及研究的目的等因素。
下面我们将介绍几个常用的统计量及其作用。
1. 均值（mean）均值是最常用的统计量之一，它表示所有数据的平均值。
在统计学中，均值可以帮助我们了解数据的集中程度，即数据的中心位置。
一般来说，如果数据分布比较对称，均值就是一个比较好的中心位置的估计值。
然而，如果有极端值存在，均值可能无法准确描述数据的中心位置。
2. 中位数（median）中位数是将所有数按大小排序后中间那个数。
中位数可以帮助我们摆脱极端值的影响，从而更准确地估计数据的中心位置。
此外，中位数也是一种较为稳健的统计量，这意味着它对异常数据的影响比均值小，因此更加适合处理含有异常值的数据。
3. 众数（mode）众数是数据集中出现次数最多的数。
与均值和中位数不同的是，众数用来描述数据的形状，具有一定的参考价值。
在实际应用中，众数常常被用来探索数据的模式和趋势，以及识别数据中的异常值。
4. 方差（variance）方差是衡量数据分散程度的统计量，用于衡量每个观察值与其均值的偏离程度。
如果数据的方差较小，意味着数据分布比较集中；而数据的方差较大，则表示数据分布比较分散。
方差的计算公式是每个数据与其均值的差的平方的平均值。
方差的计算通常需要使用样本方差和总体方差两种形式。
5. 标准差（standard deviation）标准差是方差的平方根，是一种常用的数据分散程度的度量。
常用的6个统计量
常用的6个统计量说明6个基本统计量(平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差)的数学内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.数学内涵:在初中阶段，数据处理中，平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差是六个基本的统计量。
三“数”:平均数、众数、中位数为统计的平均量，是描述一组数据的集中趋势的统计指标，它们从不同的侧面概括了一组数据，都可作为一组数据的代表。
平均数、中位数、众数之间可以互相相等也可以不相等。
1、平均数:是把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，是反映样本或总体的平均水平的特征数，平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化，平均数受较大数和较小数的影响较大。
平均数又分为算术平均数和加权平均数。
2、众数:是指一组数据中出现次数最多的数据。
一组数据可以有不止一个众数也可以没有众数。
众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势3、中位数:是指将一组数据按大小顺序排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数据称为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间的两个数据的平均数称为这组数据的中位数。
一组数据的中位数是唯一的。
三“差”:极差、方差、标准差是统计量中的变异量，是反映数据波动大小的离散程度的，通过三个不同的计算形式来刻画一组数据不同的波动情况。
1、极差:是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
它计算方便，只对极端值敏感，只是粗略地反映这组数据的波动范围。
2、方差:是指各数据与平均数的差的平方的平均数。
它主要是衡量这组数据的波动大小的，即数据的稳定性。
一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小。
要比较数据的稳定性，一般会用到方差。
3、标准差:是指方差的算术平方根。
标准差也是用来表示一组数据的波动大小的量。
在实际问题中，极差和方差经常结合起来共同去更全面地描述一组数据的波动情况。
统计学术语
统计学术语1. 平均数：平均值，又称平均算术，是统计学中分析数据及描述数据特征的常用统计量。
2. 中位数：中位数是一组有序数据中居于中间位置的数据项。
3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据项即为众数。
4. 极差：极差是最大值减去最小值的结果，用来表示一组数据范围大小的统计量。
5. 标准差：标准差是一组数据离均值偏差程度的反映，用来衡量一组数据离散程度。
6. 方差：方差是一组数据平均分布情况的反映，用来衡量一组数据离散度。
7. 协方差：协方差是一组数据关联和变化特征的反映，用来统计数据间的线性相关程度。
8. 相关系数：相关系数是对数据关联程度的反映，用来统计数据间的线性相关性。
9. 相关分析：相关分析是统计学中的研究方法，用来研究两个或两个以上变量之间的关系和联系。
10. 误差估计：误差估计是统计学及其应用中经常使用的统计量，用来研究某统计量的估计值和真实值之间的差异。
11. 测度：测度是衡量变量本质特征的方法，可以用来研究变量的取值范围大小、数据的分布特点等。
12. 抽样技术：抽样技术是指在样本中抽取部分数据进行定量研究的方法，使用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和多方抽样等。
13. 模拟：模拟是指根据现实中或实验中的相关数据，以近似真实环境的方式模拟出理论模型，计算机模拟是应用最广泛的一种数学模拟方法。
14. 回归分析：回归分析是指研究两变量或多变量之间相互关系，并用线性等数学模型对该关系进行拟合和估计的统计学分析方法。
15. 分类分析：分类分析是对对象进行分组的统计学分析方法，可以使用适当的统计方法进行分类比较，以揭示不同群体之间的差异。
16. 抽象数量分析：抽象数量分析是指使用抽象的统计模型分析实验数据的方法，准确确定模型参数，有效地估计观察值。
17. 分位数：分位数是一组有序数据中，从最小到最大排列后比例所处位置的数值，它可以用来衡量数据中位置分布的特点。
18. 箱线图：箱线图是一种用来表示数据分布特征的统计图，可以观察分布的中位数、四分位数等重要信息。
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统计学基本概念
13.3常用统计量
统计量
设想你参加了一次考试，在知道自己得到了78分后，希望了解自己的成绩在班级上处于什么水平。
你会怎样做？
你对自己未来工作收入的预期是什么？
定义：设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，若样本函数(),,,12n T T X X X = 中不含有任何未知参数，则称T 为统计量。
统计量的分布称为抽样分布。
**********************************************************
强国知十三数：境内仓口之数，壮男壮女之数，老弱之数，官士之数，以言说取食者之数，利民之数，马牛刍藁之数。
欲强国，不知国十三数，地虽利，民虽众，国愈弱至削。
国无怨民曰强国。
兴兵而伐，则武爵武任，必胜；按兵而农，粟爵粟任，则国富。
兵起而胜敌，按兵而国富者，王。
（秦·商鞅《商君书》）
商鞅（前390～前338年），卫国家，思想家，著名法
家代表人物。
应秦孝公求贤令入秦，说服秦孝公变法图强。
孝公死后，受到贵族诬害以及秦惠文王的猜忌，车裂而死。
其在秦执政二十余年，秦国大治，史称“商鞅变法”。
**********************************************************
统计量是对样本的一种加工。
常用的统计量有样本均值、样本方差等。
定义设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，则12n X X X X n +++= =1
1n i i X n =∑称为样本均值。
定理设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值，
（1）若总体()2,~σμN X ，则~,2X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝
⎭；证明：,,,12n X X X 相互独立，()2~,1,2,k X N k n
μσ= ()()()1212n n E X E X E X X X X n E n n n μμ++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
()()()22121222n n Var X Var X Var X X X X n Var n n n n σσ++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
（2）若总体分布不是正态分布，已知()μ=X E ，()2σ=X D ，则n 较大时，X 的渐近分布为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n N 2,σμ，常记为~,2X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 。
**********************************************************定义设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值，则
()22
111n i i S X X n ==--∑称为样本方差。
定理设总体X 具有二阶中心矩，()μ=X E ，()2Var X σ=<+∞，,,,12n X X X 为来自该总体的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()22E S σ=。
样本方差是总体方差的无偏估计，样本均值是总体期望的无偏估计。
**********************************************************
()22
111n i i S X X n ==--∑，则()22E S σ=证明：()E X μ=，
()2Var X n σ=，()()()()()2211
n n i i i i i E X X E X E X X E X
==⎡⎤-=---⎣⎦∑∑()()()()()()()()221
112n n n i i i i i i i E X E X E X E X E X E X X E X ===⎡⎤=-+--⋅-⋅-⎣⎦∑∑∑()()()()()1112n n n i i i i i i Var X Var X E X nE X X E X
===⎡⎤⎛⎫=+-⋅-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
∑∑∑()2n n Var X σ=+⋅()()()()
2E nX nE X X E X ⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦
()().221n n Var X n σσ=-⋅=-*********************************************************其他常用的统计量
设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本
样本k 阶原点矩1
1n k k i i a X n ==∑样本k 阶中心矩()1
1n k k i i b X X n ==-∑，其中,,,12n X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值。
**********************************************************。