统计量及其分布

设总体X的分布为 设总体 的分布为F(x),则样本 1,X2,…,Xn)的联合分 的分布为 ,则样本(X 的联合分 布为 F ( x1 , x 2 ,, x n ) = P( X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x 2 , X n ≤ x n )
= P( X 1 ≤ x1 ) P( X 2 ≤ x 2 ) P( X n ≤ x n )
= 是连续型时, X~f(x),则样本的联合密度为 是连续型时 ,
i =1
f ( x1 , x2 ,, xn ) = ∏ f ( xi )
i =1
n
总体,样本, 总体,样本,样本观察值的关系 总体 理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值,去推断总 样本观察值, 统计是从手中已有的资料 样本观察值 体的情况——总体分布.样本是联系两者的桥梁.总 总体分布. 体的情况 总体分布 样本是联系两者的桥梁. 体分布决定了样本取值的概率规律, 体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到 样本观察值的规律, 样本观察值的规律,因而可以用样本观察值去推断总 体.
1 X = n
∑
i =1
n
Xi
常用于估计总体分布的均值,或 检验有关总体分布均值的假设.
n
1 2 S = n 1
∑
i =1
( X i X )2
用于估计总体分布的方差.式中的n-1称为S2 的自由度(式中含有 独立变量的个数),S称为样本标准差,又称为标准误.
3.样本矩:
1 n k (k = 1,2, …) α = X K 阶原点矩: α nk = n ∑ X i 阶原点矩: n1 i =1 1 n K 阶中心矩: mnk = ∑( X i X ) k (k = 1,2,) m = n 1s2 ≠ s2 阶中心矩: n i=1 n2
2( X1 ) (X 2 ) + (X 3 )
2 2
的分布
~ N (0,1)
X i ~ N ( ,σ 2 )
Xi
X1
σ
i=1,2,3
2 2
σ
~ N (0,1)
X1
X2 X3 ~ χ 2 ( 2) + σ σ
~ t (2)
σ
X 2 X 3 + σ σ
t1 p (n)
t p (n)
(三) F—分布 三 分布
1,定义 若X~χ2(n1),Y~χ2(n2) ,X,Y独立,则 , 独立, , 独立
X n1 F= ~ F (n1 , n2 ) Y n2
称为第一自由度为n1 ,第二自由度为 2的F—分布, 第二自由度为n 分布, 称为第一自由度为 分布 其概率密度为
max{X 1 , X 2 , , X 5 }
X
二,几个常见的抽样分布 (一) χ2—分布 分布 1,定义:设n个r.v. X1,X2,…,Xn,Xi~N(0,1), ,定义: 个 , i=1,2,…,n 则
χ 2 = ∑ X i2 ~ χ 2 (n)
i =1
n
称为自由度为n的 分布. 称为自由度为 的χ2分布.
g(X1,X2,…,Xn)
其中g(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的连续函数. 其中 是 的连续函数. 的连续函数 如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有未知参数,称g(X1,X2,…,Xn) 中不含有未知参数, 如果 中不含有未知参数 为统计量. 为统计量. 不含未知参数的样本的函数) (不含未知参数的样本的函数)
如 X ~ N ( ,σ )
2
, σ 2 未知, 未知,
n
(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本 为 的一个样本
1 X = ∑ Xi n i =1
X
1
n
∑X
i =1
2 i
均为统计量
σ
2
X i2 ∑
不是统计量
已知, 未知, 若已知,σ2未知, (X1,X2,…,X5)为X的一个样本 已知 为 的一个样本
从本质上讲, 从本质上讲,总体就是所研究的随机变量或随 机变量的分布. 机变量的分布.即一个具有确定概率分布的随 机变量. 机变量.
二,样本及样本分布 从总体X中抽出若干个个体称为样本, 中抽出若干个个体称为样本 从总体 中抽出若干个个体称为样本,一般记为 (X1,X2,…,Xn).n称为样本容量.而对这 个个体的一次 称为样本容量. . 称为样本容量 而对这n个个体的一次 具体的观察结果——(x1,x2,…,xn)是完全确定的一组数值 具体的观察结果 是完全确定的一组数值 但它又随着每次抽样观察而改变. ,但它又随着每次抽样观察而改变.(x1,x2,…,xn)称为样 称为样 本观察值. 本观察值. 如果样本(X1,X2,…,Xn)满足 如果样本 满足 (1)代表性:样本的每个分量 代表性: 代表性 Xi与X有相同的分布; 有相同的分布; 有相同的分布 (2)独立性: X1,X2,…,Xn是相 独立性: 独立性 互独立的随机变量, 互独立的随机变量, 则称样本(X 则称样本 1,X2,…,Xn)为简单 为简单 随机样本. 随机样本.
P( X = x) =
λx
x!
e
λ
x = 0,1,2,
n
P( X 1 = x1 , X 2 = x2 ,, X n = xn ) = ∏ P( X = xi )
i =1
=∏
i =1
n
λ
xi
xi !
e
λ
=
λ
∑ xi
i =1
n
x1! x2 ! xn !
e
nλ
三,样本的数字特征 设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的简单随机样本. 1.样本均值: 2.样本方差:
2
2
2
2( X1 ) (X 2 ) + (X 3 )
2 2
~ t (2)
t(n) 的概率密度为 n +1 Γ( ) n +1 2 t 2 (1 + ) 2 , ∞ < t < ∞ f (t ) = n n nπ Γ( ) 2
2,基本性质 ,基本性质: (1) f(t)关于 关于t=0(纵轴 对称; 纵轴)对称 关于 纵轴 对称; (2) f(t)的极限为 的极限为N(0,1)的密度函数,即 的密度函数, 的极限为 的密度函数
i =1
n
n ∏ λe λxi f ( xi ) = i =1 0
n
xi > 0(i = 1,2,, n) 其他
λ ∑ xi λn e i =1 = 0
xi > 0(i = 1,2, , n) 其他
某商场每天客流量X服从参数为 的泊松分布, 服从参数为λ的泊松分布 例3 某商场每天客流量 服从参数为 的泊松分布,求 的联合分布律. 其样本(X 的联合分布律 其样本 1,X2,…,Xn)的联合分布律. 解
n
第二节 统计量与抽样分布
一,统计量定义
样本是我们进行分析和推断的起点, 样本是我们进行分析和推断的起点,但实际上我们并不直接用样本进行推 而需对样本进行"加工" 提炼" 断,而需对样本进行"加工"和"提炼",将分散于样本中的信息集中起 为此引入统计量的概念. 来,为此引入统计量的概念.
(X1,X2,…,Xn)
= F ( x1 ) F ( x2 ) F ( xn ) = ∏ F ( xi )
i =1 n
当总体X是离散型时,其分布律为 P( X = xi ) = pi i = 1,2, 当总体 是离散型时, 是离散型时 样本的联合分布律为
P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X n = x n ) = P( X 1 = x1 ) P ( X 2 = x 2 ) P ( X n = x n )
2,性质 , (1) E ( χ ) = n
2
D ( χ 2 ) = 2n
(2)
χ2分布的可加性
X ~ N ( ,σ 2 )
2
X 1 ~ χ 2 (n1 )
X 2 ~ χ 2 (n2 )
X1,X2 相互独立,则X1+X2 ~χ2(n1+n2) 相互独立, 例4
求 X 1 + X 2 + X 3 的分布. 的分布.
n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方 和服从χ2(n). .
χ2—分布的密度函数 曲线 分布的密度函数f(y)曲线 分布的密度函数
n y 1 1 n/2 y2 e 2, y > 0 f ( y) = 2 Γ( n / 2) 0, y≤0
2 2
(X1,X2,X3)为X的一个样本 为 的一个样本
, 因为(X 解 因为 1,X2,X3)为X的一个样本 Xi~N(0,1),i=1,2,3 为 的一个样本 则
Xi
σ
σ
σ
σ
~ N (0,1) i=1,2,3
X1 X 2 X 3 ~ χ 2 (3) + + σ σ σ
f ( x1 , x2 , , xn ) = ∏ f ( xi )
i =1
=∏
i =1
n
1 e 2π σ
2
( xi ) 2 2σ 2
n
1 = e 2π σ
∑ ( xi ) 2 2σ 2
i =1
1
例2 设某电子产品的寿命X服从指数分布,密度函数 设某电子产品的寿命 服从指数分布, 服从指数分布
2 2 2
3,χ2分布表及有关计算 , (1)构成 P{χ2(n)<λ}=p,已知 可查表 构成 可查表(P299)求得 求得λ; ,已知n,p可查表 求得 (2)有关计算 有关计算
P χ 2 ( n) < λ = p