鲁教版特殊平行四边形综合试题

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鲁教版(五四制)数学八年级下册第六章特殊平行四边形测试题

第六章特殊平行四边形测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2．小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD 是矩形.小刚补充的条件是：∠A=∠B ；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°.你认为下列说法正确的是（）A.小刚和小东都正确B.仅小刚正确C.仅小东正确D.小刚和小东都错误3. （2015年玉林、防城港）如图1，在□ABCD 中，BM 平分∠ABC ，交CD 于点M ，且MC=2，□ABCD 的周长是14，则DM 的长为（） A ．1 B ．2 C ．3D ．44. （2015年徐州）如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为边AD 的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长为（）MCD BA图1图2图3A．3.5 B．4 C．7 D．145. （2015年日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD成为正方形（如图3）．现有下列四种选法，你认为其中错误．．的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6. （2015年安顺）如图4，点O是矩形ABCD对角线的交点，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．23B．323C．3D．67. 如图5，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°8. 如图6，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO=6 cm，BC=8 cm，则四边形DEFG的周长是（）A.14 cmB.18 cmC.24 cmD.28 cm9. 如图7，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，图6图5图4B ，D ，已知AB=BC=CD=DA=5 km ，村庄C 到公路l 1的距离为4 km ，则村庄C 到公路l 2的距离是（）A. 3 kmB. 4 kmC. 5 kmD. 6 km10. （2015年丹东）如图8，过矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接AE ，CF ．若AB=3，∠DCF=30°，则EF 的长为（） A. 2B. 3C.23D.3二、填空题（每小题4分，共32分）11. 如图9，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4 cm ，BD=8 cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．12. 如图10，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC ＋BD ＝24 cm ，△OAB 的周长是18 cm ，则EF ＝ cm ．图7O DCBA图9图4FE ODCBA 图10图1113. 如图11，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC 的长为．14. 如图12，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是______.15. 如图13，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD 的周长为________.16. （2015年吉林）如图14，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为_______．17. （2015年贵港）如图15，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形CDE ，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为．18. 如图16，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连接AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形.其中正确的是 .（填序号）三、解答题（共58分）19. （8分）如图17，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE ＝AB ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ．（1）猜想AD 与CF 的大小关系；y OxCD AB图14图15图12图13（2）请证明上面的结论．20. （9分）（2015年河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图18所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．（1）在方框中填空，补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为______________________．21. （9分）（2015年郴州）如图19，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.⑴求证：△AOE≌△COF；⑵当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由.图1922. （10分）如图20，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形吗？为什么？23.（10分）在一张长12 cm、宽5 cm的长方形纸片内，要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（如图21-①），小明同学沿长方形的对角线AC折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（如图21-②）.请问小颖和小明同学的折法中，哪个菱形面积较大？24. （12分）如图22-①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图22-②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，那么MP与NQ是否相等？并说明理由．附加题（15分，不计入总分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？参考答案一、1. C 2.Ａ 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. A 9. B 10. A二、11. 16 12. 3 13. 4 14. 菱形15.2016.（4，4）17. 30°18. ①②③三、19.（1）解：AD＝CF．（2）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥DC.所以∠AED＝∠FDC，AB＝CD．又DE＝AB，所以DE＝CD．因为CF⊥DE，所以∠CFD＝∠A＝90°．所以△ADE≌△FCD．所以AD＝CF．20. 解：（1）CD 平行（2）证明：如图，连接BD．在△ABD和△CDB中，AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，所以△ABD≌△CDB.所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.所以AB∥CD，AD∥CB.所以四边形ABCD是平行四边形．（3）平行四边形的对边相等21.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAO=∠FCO.因为O是AC的中点，所以AO=CO.又∠EOA=∠FOC，所以△AOE≌△COF.（2）解：当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.理由：由（1）知△AOE≌△COF，所以OE=OF.又AO=CO，所以四边形AFCE是平行四边形.所以当EF⊥AC时，平行四边形AFCE是菱形.22.（1）证明：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形. 因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC，OD=OB，AC=BD.所以OA=OD.所以四边形AODE是菱形．（2）解：四边形AODE是矩形.理由：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，即∠AOD=90°. 所以四边形AODE 是矩形． 23. 解：小颖的折法：S 菱形EFGH ＝21×12×5＝30（cm 2）；小明的折法：设BE ＝x cm ，则AE ＝CE=（12－x ）cm. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得（12－x ）2＝52+x 2，解得x ＝24119，则EC ＝24169. 所以S 菱形AECF ＝24169×5＝24845（cm 2）. 因为30<24845，所以小明折出的菱形面积较大. 24.（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAE=∠D=90°.所以∠DAF+∠BAF=90°.因为AF ⊥BE ，所以∠ABE+∠BAF=90°.所以∠ABE=∠DAF.所以△ABE ≌△DAF.所以AF=BE. （2）解：MP=NQ ．理由：过点A 作AF ∥MP 交CD 于点F ，过点B 作BE ∥NQ 交AD 于点E ，则与（1）的情况完全相同，可得AF=BE ，从而MP=NQ. 附加题解：（1）OE ＝OF ．证明：因为CE 是∠ACB 的平分线，所以∠1＝∠2．因为MN ∥BC ，所以∠1＝∠3．所以∠2＝∠3．所以OE ＝OC ．同理可证OC ＝OF ．所以OE ＝OF ．（2）四边形BCFE 不可能是菱形．理由：若四边形BCFE 为菱形，则BF ⊥EC ，而由已知易得FC ⊥EC ，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同时垂直于一条直线，所以四边形BCFE 不可能是菱形．（3）当点O 运动到AC 中点时，OE ＝OF ，OA ＝OC ，则四边形AECF 为平行四边形，易证∠ECF ＝90°，所以四边形AECF 为矩形.要使AECF 为正方形，必须EF ⊥AC ．因为EF ∥BC ，所以只要AC ⊥BC 即可，所以△ABC 应是以∠ACB 为直角的直角三角形．所以当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．初中数学试卷金戈铁制卷。

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习试题(含答案解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．482、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果D 为边AB 上的中点，那么下面结论错误的是（）A ．12CD AB = B ．12CB AB = C ．∠A ＝∠ACD D ．∠ADC ＝2∠B3、如图，菱形OABC 的边OA 在平面直角坐标系中的x 轴上，60AOC ∠=︒，4OA =，则点C 的坐标为（）A ．(2,B ．()2C ．(D ．()2,24、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB =AD ，连接BD ，∠BAD 的角平分线交BD 、BC 分别于点O 、E ，若EC =3，CD =4，则BO 的长为（）A ．4B ．C ．D ．5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的点A 和点C 分别落在x 轴和y 轴正半轴上，AO ＝4，直线l ：y ＝3x +2经过点C ，将直线l 向下平移m 个单位，设直线可将矩形OABC 的面积平分，则m 的值为（）A ．7B ．6C ．4D ．86、如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，8AC =，12BD =，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（）A ．BC ．D 7、矩形ABCD 的对角线交于点O ，∠AOD =120°，AO =3，则BC 的长度是（）A ．3B ．C ．D ．68、下列关于ABCD 的叙述，正确的是（）A ．若AC BD =，则ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形D ．若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形9、下列命题是真命题的有（）个．①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．A ．1B ．2C ．3D ．4 10、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量对角线是否互相平分B ．测量一组对角是否都为直角C ．测量对角线长是否相等D ．测量3个角是否为直角第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若BE ＝2，则EF 的长为___．2、在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形n 1n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、…在直线1上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是________．3、如图在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若12AB =cm ，16BC =cm ，则EF =________cm ．4、如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为_______5、直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为_____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．2、如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：12OM AB=．3、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A B'，则A B'与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD ＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为；(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值；(3)的最小值．⊥，点E，F分别为垂足．4、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF AD(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．5、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和B的延长线上点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．(1)求证：△ADE≌ABF；(2)若BC=4，DE=1，求△ABF的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【详解】解：如图，当BD＝6时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∵AB＝5，∴AO，∴AC＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．2、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为边AB 上的中点，12AD BD CD AB ∴===，故A 选项正确，不符合题意； A ACD ∴∠=∠，故C 选项正确，不符合题意；DCB B ∠=∠，2ADC DCB B B ∴∠=∠+∠=∠，故D 选项正确，不符合题意；只有当30A ∠=︒时，12CB AB =，故B 选项错误，符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3、A【解析】【分析】如图：过C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，然后求得∠OCE =30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE ，最后运用勾股定理求得CE 即可解答.【详解】解：如图：过C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，∵菱形OABC ，4OA =∵60AOC ∠=︒，∴∠OCE =30°∵OC =4∴OE =2∴CE ==∴点C 的坐标为(2,.故选A .【点睛】本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE 、CE 的长度是解答本题的关键.4、C【解析】【分析】连接DE ，因为AB =AD ，AE ⊥BD ，AD ∥BC ，可证四边形ABED 为菱形，从而得到BE 、BC 的长，进而解答即可．【详解】解：连接DE ．在直角三角形CDE 中，EC =3，CD =4，根据勾股定理，得DE =5．∵AB =AD ， AE 平分BAD ∠∴AE ⊥BD ，BO =OD ，∴AE 垂直平分BD ，∠BAE =∠DAE ．∴DE =BE =5．∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠AEB ，∴∠BAE =∠AEB ，∴AB =BE =5，∴BC =BE +EC =8，∴四边形ABED 是菱形，由勾股定理得出BD =∴1.2BO BD == 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE 是关键．5、A【解析】【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221m ⨯+-=，∴7m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．6、A【解析】【分析】取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得122HP OC==，HP AC∥，可得EH＝6，90EHP∠=︒，由勾股定理可求PE的长．【详解】解：如图，取OD的中点H，连接HP∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点∴OH =3，OE =3，122HP OC ==，HP AC ∥ ∴EH ＝6，90EHP ∠=︒在Rt HPE △中，由勾股定理可得：∴PE =故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．7、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB 为等边三角形，则可求得AC 的长，在Rt △ABC 中，由勾股定理可求得BC 的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，OA =12AC ，OB =12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵∠AOD =120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．8、A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【详解】=，解：ABCD中，AC BD∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；=，ABCD中，AB AD∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；⊥，ABCD中，AB BC∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；⊥，ABCD中，AC BD四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．9、B【解析】【分析】根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；④四条边都相等的四边形是菱形，正确；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选：B．【点睛】此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．10、D【解析】【分析】矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．【详解】解：A 、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；B 、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；C 、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；D 、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．二、填空题1、5【解析】【分析】由旋转的性质可得AF AG =，DAF BAG ∠=∠，90D ABG ∠=∠=︒，由“SAS ”可证GAE FAE ∆≅∆，可得EF GE ，由勾股定理可求解．【详解】解：由旋转的性质可知：AF AG =，DAF BAG ∠=∠，90D ABG ∠=∠=︒，180ABG ABE ∠+∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，四边形ABCD 为正方形，90BAD ∴∠=︒．又45EAF ∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒．45BAG BAE ∴∠+∠=︒．GAE FAE ∴∠=∠．在GAE ∆和FAE ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()GAE FAE SAS ∴∆≅∆，EF GE ∴=，2EF GE GB BE DF ∴==+=+，222EF CF EC =+，222(2)(6)(62)DF DF ∴+=-+-，3DF ∴=，5EF ∴=，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．2、()12,21n n --【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．【详解】解：当y =0时，有x -1=0，解得：x =1，∴点A 1的坐标为（1，0）．∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∴点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∴B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∴Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数），故答案为：()12,21n n --【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．3、5【解析】【分析】在Rt △ABC 中，先利用勾股定理求出矩形的对角线的长，再根据三角形中位线定理可得出EF 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，()20cm =，∴矩形ABCD 中，BD =20cm ，DO =10cm ，∵点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，∴EF 是△AOD 的中位线，∴EF =12OD =12×10=5（cm ），故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质的运用，解答本题需要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4、45︒或135︒【解析】【分析】分两种情况分析：当点E 在BC 下方时记点E 为点1E ，点E 在BC 上方时记点E 为点2E ，连接1BE ，2BE ，根据垂直平分线的性质得11E B E C =，22E B E C =，由正方形的性质得AB BC =，90ABC ∠=︒，由旋转得1BC E C =，2BC E C =，故1E BC ，2E BC 是等边三角形，1ABE ，2ABE 是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可．【详解】如图，当点E 在BC 下方时记点E 为点1E ，连接1BE ，∵点1E 落在边AD 的垂直平分线，∴11E B E C =，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =，∵BC 绕点C 旋转得1CE ， ∴1BC E C =，∴1E BC 是等边三角形，1ABE 是等腰三角形， ∴1160CBE BE C ∠=∠=︒，19060150ABE ∠=︒+︒=︒， ∴11(180150)215AE B BAE ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∴111601545AE C BE C AE B =∠-∠=︒-︒=︒，当点E 在BC 上方时记点E 为点2E ，连接2BE ， ∵点2E 落在边AD 的垂直平分线， ∴22E B E C =，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =，，∵BC 绕点C 旋转得2CE ， ∴2BC E C =，∴2E BC 是等边三角形，2ABE 是等腰三角形， ∴2260CBE BE C ∠=∠=︒，2906030ABE ∠=︒-︒=︒，∴22(18030)275AE B BAE∠=∠=︒-︒÷=︒，∴2226075135AE C BE C AE B=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：45︒或135︒．【点睛】本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质、旋转的性质，以及等边三角形与等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．5、13 2【解析】【分析】根据勾股定理先计算斜边长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，计算中线的长．【详解】∵直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，13=，∴斜边上的中线长为132cm，故答案为：132．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算斜边长是解题的关键．三、解答题1、AF=BE，AF⊥BE，证明见解析．【解析】先根据正方形的性质证得AE=DF，然后再证明△AEB≌△AFD可得∠ABE=∠FAD，然后再根据直角三角形的性质证得∠AOE=90°即可．【详解】解：AF⊥BE，AF=BE,证明如下：证明：∵正方形ABCD∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°∵CF=DE∴AE=AD-DE,DF=DC-CF∴AE=DF在△AEB和△AFD中AB=AD, ∠D=∠BAD, AE=DF∴△ABE≌△DAF（SAS）∴∠ABE=∠FAD，AF=BE∵∠BAD=90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠FAD+∠AEB=90°∴∠AOE=90°，AF⊥BE．∴AF=BE，AF⊥BE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意证得△ABE≌△DAF成为解答本题的关键．2、见解析【分析】证明△ABE≌△BCF，再推导出∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，M点是斜边AB中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABO+∠CBF＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°．在Rt△ABO中，M点是斜边AB中点，∴12OM AB．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线性质，解决线段间的倍分关系，要先观察线段所在图形的特征，借助全等三角形或特殊三角形的性质求解．3、【解析】【分析】（1）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得△CPA’是等腰直角三角形，然后得到△BEA’是等腰直角三角形，从而求得A’B的值；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A’E，然后根据勾股定理即可求得A’B，从而求得AP＋BP的值；（3）设AC＝5m−3，PC＝1，则PA BD＝8−5m，PD＝3，则PB，结合（2）即可求解．(1)解：作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C∴△CPA’是等腰直角三角形，∴∠CA’P=45°∵A’E∥l，∴∠CA’E=90°∴∠BA’E=45°∴△BEA’是等腰直角三角形，∵A’E=CP+DP=3∴BE=A’E=3∴A’B=∴AP+BP= A’B故答案为：(2)作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，即BE＝3，在Rt△A’BE中，A’B∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝故答案为：(3)如图3，设AC ＝5m −3，PC ＝1，则PA设BD ＝8−5m ，PD ＝3，则PB ，∵DE ＝AC ＝5m −3， ∴BE ＝BD ＋DE ＝5，A ’E ＝CD ＝PC ＋PD ＝4，∴PA ＋PB 的最小值为A ’B=【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．4、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,AB CD B D =∠=∠，再根据垂直的定义可得90AEB CFD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，再根据平行线的性质可得90EAF ∠=︒，然后根据矩形的判定即可得证．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD B D ∴=∠=∠，,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，90B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE CDF AAS ∴≅．(2)证明：,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEC AFC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，18090EAF AEC ∴∠=︒-∠=︒，∴在四边形AECF 中，90AEC AFC EAF ∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．5、 (1)证明见解答；(2)2．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得出答案；（2）根据正方形的性质求出AB 的长度，根据全等三角形的性质求出BF 的长度，即可确定三角形ABF 的面积．(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∠D =∠ABF =90°，在△ADE 和△ABF 中，AD AB ADE ABF DE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；(2)∵DE =1，BC =4，∴BF =1，AB =4，∴S △ABF =12×1×4=2，【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是要牢记正方形的性质和全等三角形的判定定理．。

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元综合练习(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元综合练习（附答案）1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90°D．CE⊥DE4．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形6．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm27．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．8．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．9．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD 上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．10．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．12．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝．13．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．14．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN ＝．15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为．16．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．17．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．18．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于度．19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．20．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．21．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．23．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP＝BM+2FN．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．26．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．27．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．28．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．参考答案1．解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选：D．2．解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．故选：B．4．解：连接BP，过C作CM⊥BD，∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC＝BC×PQ×+BE×PR×＝BC×（PQ+PR）×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ+PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，又∵BC＝CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴CM＝BD＝，即PQ+PR值是．故选：D．5．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．6．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠F AN＝∠F AN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．7．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．8．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，∴CE＝CF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，则a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④说法正确，故答案为：①②④．10．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．故答案是：6．11．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．12．解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD、AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，∴∠EAB＝∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴EB＝GD，∵四边形ABCD是正方形，AB＝，∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，∵AG＝1，∴OG＝OA+AG＝2，∴GD＝＝，∴EB＝．故答案为：．13．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠F AE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EF A，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠F AE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EF A（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故答案为：①③④．14．解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴＝13．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．15．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，∴它们的一半分别为2和，∵22+（）2＝32，∴两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴S＝4×2＝4．故答案为：4．16．解：在正方形ABCD中，∵∠ABD＝∠CBD＝45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF＝∠AEF＝90°，∠BMN＝∠QMN＝90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE＝BE＝AE＝AB，BM＝MN＝QM，同理DQ＝MQ，∴MN＝BD＝AB，∴＝＝，故答案为：．17．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案为：．18．解：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，∵∠CBF＝20°，∴∠ABE＝70°，∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，故答案为：6519．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故答案为：．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝．22．解：（1）∵AF＝FG，∴∠F AG＝∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠F AG，∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，∵DE∥BC，∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，∴△ECG≌△GHD（AAS）；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC＝GP，而AG＝AG，∴△CAG≌△P AG，∴AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△DPG，∴EC＝PD，∴AD＝AP+PD＝AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．23．解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠1＝∠2＝22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD＝∠1+∠FCD＝90°∴∠3＝∠1＝22.5°∴∠P＝67.5°又四边形ABCD为正方形，∴∠ACP＝45°+22.5°＝67.5°∴∠P＝∠ACP∴AP＝AC又AC＝AB＝4∴AP＝4，∴S△APC＝AP•CD＝4×4＝8；（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP＝CF在CN上截取NH＝FN，连接BH∵FN＝NH，且BN⊥FH∴BH＝BF∴∠4＝∠5∴∠4＝∠1＝∠5＝22.5°又∠4+∠BFC＝∠1+∠BFC＝90°∴∠HBC＝∠BAM＝45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH＝BM∴CF＝BM+2FN∴CP＝BM+2FN．24．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．26．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°综上所述，∠EFC＝120°或30°．27．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．28．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO﹣AE＝OB﹣BF＝CO﹣CG＝DO﹣DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2．。

精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合练习试卷(含答案详解)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（）A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°2、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．四边形OCPD是菱形B．CP=2QCC．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP3、下列命题中是真命题的选项是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．三条边都相等的四边形是菱形；③事件发生的概率与实4、下列说法：①不可能事件发生的概率为0；②随机事件发生的概率为12验次数无关；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是必然事件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④5、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（）A．3 B．C．D．66、已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BEF的面积为（）A．6 B．7.5 C．12 D．157、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ．若AB =6，BC =8，则PE +PF 的值为（）A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.48、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．169、如图，在MON ∠的两边上分别截取OA ，OB ，使OA OB =；再分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；再连接AC ，BC ，AB ，OC ．若2AB =，4OC =，则四边形AOBC 的面积是（）A ．B ．8C ．4D ．5210的正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且EF AB ⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（）A ．1B ．2C 1D ．14第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝2，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C 恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为 __________________．2、如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若12AB=cm，16BC=cm，则EF=________cm．3、将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为_____°．4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm．5、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF AD⊥，垂足为点F．若AF=，53EC=，则正方形ABCD的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF．(1)若∠BAE＝50°，求∠DGF的度数；(2)求证：DF＝DC．CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N 2、如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若∠ABC ＝72°，求∠ABE 的度数．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,4)A ，C ，B 两点分别是x ，y 轴正半轴上的动点，且满足90BAC ∠=︒．(1)写出BOA ∠的度数；(2)求BO OC +的值；(3)若BP 平分OBC ∠，交OA 于点P ，PN y ⊥轴于点N ，AQ 平分BAC ∠，交BC 于点Q ，随着C ，B 位置的变化，NP AQ +的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．4、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上．（1）计算AC 2+BC 2的值等于_____；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB 为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC 2+BC 2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．5、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A B'，则A B'与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD ＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为；(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值；(3)的最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC =45°和BE =BC ，进而证明∠BEC =67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AD ，∠DBC =45°，∵BE =AD ，∴BE =BC ，∴∠BEC =∠BCE =（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC ⊥BD ，∴∠COE =90°，∴∠ACE =90°﹣∠BEC =90°﹣67.5°=22.5°，故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．2、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．3、∴OM ＝12CD ＝故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC 的长是关键．3．C【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．【详解】解：A ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B ．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C ．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D ．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．4、C【解析】【分析】根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）1=；②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）0=；③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0P <（A ）1<，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①不可能事件发生的概率为0，说法正确；②随机事件发生的概率为0到1，故说法错误；③事件发生的概率与实验次数无关，故说法正确；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是随机事件，故说法错误．正确的说法有：①③．故选：C ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．5、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6、B【解析】【分析】根据翻折的性质可得，BE＝DE，设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32＋x2＝（9−x）2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，由矩形的性质可得∠FED＝∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE＝BF，即可得出答案．【详解】解：设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，根据勾股定理可得，32＋x2＝（9−x）2，解得：x＝4，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，∵AD∥BC，∴∠FED＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，×5×3＝7.5．∴S△BFE＝12故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．7、C【解析】【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求【详解】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC，∴S△AOD=14S矩形ABCD=12，OA=OD=5，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12OA（PE+PF）=12×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=245=4.8．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8、B【解析】【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的周长为8，∴菱形的面积=2×2=4，故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．9、C【解析】【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．【详解】根据作图，AC BC OA==，∵OA OB=，∴OA OB BC AC===，∴四边形OACB是菱形，∵2AB=，4OC=，∴12442OACBS=⨯⨯=菱形．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．10、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．二、填空题1【解析】【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝BC'，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'CK股定理求出CN＝53，最后用面积建立方程求出MN即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，∵2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形，∴BF是正方形ABEF的对角线，∴∠EBF＝45°，BF＝∵C'是BF的中点，∴BC'＝12BF，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，在Rt△BHC'中，BH＝C'H＝2BC'＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，在Rt△CHC'中，CC'，由折叠知，CK＝12CC'设CN＝x，则HN＝3﹣x，∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，∴12+（3﹣x）2＝x2，∴x＝53，∴CN＝53，连接CM，∵S△CMN＝12CN•CD＝12MN•CK，∴MN＝CN CDCK⋅52⨯，．此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC'是解题的关键所在．2、5【解析】【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出矩形的对角线的长，再根据三角形中位线定理可得出EF的长．【详解】解：在Rt△ABC中，()20cm=，∴矩形ABCD中，BD=20cm，DO=10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF=12OD=12×10=5（cm），故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质的运用，解答本题需要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3、120【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=AD=AE=12DE，由∠D=60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD=60°，∠ACF=30°，再由三角形的外角性质可求出∠BFC的度数．解：∵∠DCE=90°，点A是DE的中点，DE，∴AC=AD=AE=12∵∠D=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ACF=∠DCE-∠ACD=30°，∵∠FAC=90°，∴∠BFC=∠FAC+∠ACF=90°+30°=120°故答案为：120【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识，求出∠ACF=30°是解题的关键．4、8【解析】【分析】根据矩形的性质可得三角形AOB为等边三角形，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB 为等边三角形，∴∠BAO =60°，在直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，∠BAO =60°，∴∠ACB =30°，∵AB =4cm ，则AC =2AB =8cm ．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含30°角直角三角形的性质，矩形的性质有：矩形的四个角都为直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．5、49【解析】【分析】延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=︒，∴BME 是等腰直角三角形，∴3EM BM ==，在Rt EMC 中，4CM =，∴347BC BM CM =+=+=，∴22749ABCD S BC ===正方形．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．三、解答题1、 (1)∠DGF =25°；(2)见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AB =AE ，AD =AG ，∠BAD =∠EAG =∠AGF =90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案；（2）证出四边形ABDF 是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．(1)解：由旋转得AB =AE ，AD =AG ，∠BAD =∠EAG =∠AGF =90°，∴∠BAE =∠DAG =50°，∴∠AGD =∠ADG =180502︒-︒=65°，∴∠DGF=90°-65°=25°；(2)证明：连接AF，由旋转得矩形AEFG≌矩形△ABCD，∴AF=BD，∠FAE=∠ABE=∠AEB，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB=DC．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．2、 (1)见解析(2)∠ABE＝18°【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，再证△ECB≌△ECD（SAS），得出BE＝DE，根据MN垂直平分线段CD，得出EC＝ED即可；（180°﹣72°）＝54°，根据EB＝EC，求出（2）根据等腰三角形内角和可求∠BAC＝∠BCA＝12∠EBC ＝∠ECB ＝54°即可．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ACD ，在△ECB 和△ECD 中，CE CE ECB ECD CB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ECB ≌△ECD （SAS ），∴BE ＝DE ，由作图可知，MN 垂直平分线段CD ，∴EC ＝ED ，∴BE ＝CE ．(2)解：∵BA ＝BC ，∠ABC ＝72°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝12（180°﹣72°）＝54°，∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝54°，∴∠ABE ＝∠ABC ﹣∠EBC ＝18°．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题关键．3、 (1)45BOA ︒∠=；(2)8BO OC +=；(3)NP AQ +的值为4，不变，见解析【解析】【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，由点(4,4)A ，得到OA 是BOC ∠的角平分线，由此得到45BOA ︒∠=；（2）由（1）得四边形AEOF 为正方形，证明△BAF ≌△CAE ，得到BF=CE ，根据BO OC OF OE +=+求出结果；（3）过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，延长NP 交AE 于K ，则四边形OEKN 为矩形，由OBP BOA CBP ABC ∠+∠=∠+∠推出AB=AP ，证明ΔΔAQB AKP ≅，得到AQ AK =，证明ΔAKP 是等腰直角三角形，得到AK=PK ，由此得到AQ PK =，依据NP AQ NP PK NK +=+=求出结果．(1)解：过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，如图1所示：点(4,4)A ，4AE AF ∴==，OA ∴是BOC ∠的角平分线，90BOC ∠=︒，45BOA ∴∠=︒；(2)解：由（1）得：四边形AEOF 为矩形，4AE AF ==，∴四边形AEOF 为正方形，4AE AF OE OF ∴====，90EAF ∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAF FAC FAC CAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAF CAE ∴∠=∠，AE x ⊥轴，AF y ⊥轴，90BFA CEA ∴∠=∠=︒，在ΔBAF 和CAE ∆中，BAF CAE AF AEBFA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ΔΔBAF CAE ASA ∴≅，BF CE ∴=，448BO OC OF BF OC OF CE OC OF OE ∴+=++=++=+=+=；(3)解：随着C ，B 位置的变化，NP AQ +的值为4，不变，理由如下：过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，延长NP 交AE 于K ，如图2所示：则四边形OEKN 为矩形，90AKP ∴∠=︒，4NK OE ==，由（2）得：ΔΔBAF CAE ≅，AB AC ∴=，90BAC ∠=︒，ΔBAC ∴是等腰直角三角形，45ABC ACB ∴∠=∠=︒， BP 平分OBC ∠，OBP CBP ∴∠=∠，45BOA ABC ∠=∠=︒，OBP BOA CBP ABC ABP ∴∠+∠=∠+∠=∠，BPA OBP BOA ∠=∠+∠，BPA ABP ∴∠=∠，AB AP =∴，PN y ⊥轴，45BOA ∠=︒，ΔONP ∴是等腰直角三角形，45NPO ∴∠=︒，45APK NPO ∴∠=∠=︒， AQ 平分BAC ∠，BAC ∆是等腰直角三角形，AQ BC ∴⊥，90AQB AKP ∴∠=∠=︒，在ΔAQB 和ΔAKP 中，45AQB AKP AB AP ABQ APK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ΔΔAQB AKP ASA ∴≅，AQ AK ∴=，90AKP ∠=︒，45APK ∠=︒，ΔAKP ∴是等腰直角三角形，AK PK ∴=，AQ PK ∴=，4NP AQ NP PK NK ∴+=+==．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．4、 11 见解析【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．【详解】解：（1）AC2+BC2）2+32＝11；故答案为：11；（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．5、【解析】【分析】（1）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得△CPA’是等腰直角三角形，然后得到△BEA’是等腰直角三角形，从而求得A’B的值；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A’E，然后根据勾股定理即可求得A’B，从而求得AP＋BP的值；（3）设AC＝5m−3，PC＝1，则PA BD＝8−5m，PD＝3，则PB，结合（2）即可求解．(1)解：作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C∴△CPA’是等腰直角三角形，∴∠CA’P=45°∵A’E∥l，∴∠CA’E=90°∴∠BA’E=45°∴△BEA’是等腰直角三角形，∵A’E=CP+DP=3∴BE=A’E=3∴A’B=∴AP+BP= A’B故答案为：(2)作A’E∥l，交BD的延长线于E，如图3，∵AA’⊥l，BD⊥l，∴DE⊥A’E∴四边形A’EDC是矩形，∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，即BE＝3，在Rt△A’BE中，A’B∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝故答案为：(3)如图3，设AC＝5m−3，PC＝1，则PA设BD＝8−5m，PD＝3，则PB，∵DE＝AC＝5m−3，∴BE＝BD＋DE＝5，A’E＝CD＝PC＋PD＝4，∴PA＋PB的最小值为A’B=【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．。

鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节测评试题(含答案及详细解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．四边形OCPD是菱形B．CP=2QCC．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP2、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm 3、下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是13．B．若AC、BD为菱形ABCD的对角线，则AC BD⊥的概率为1．C．概率很小的事件不可能发生．D．通过少量重复试验，可以用频率估计概率．4、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（）A．6.5B．8 C．10D．125、如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90︒时，它是矩形6、菱形周长为20，其中一条对角线长为6，则菱形面积是（）A ．48B ．40C ．24D ．127、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．128、如图．在长方形纸片ABCD 中，AB =12，AD =20，所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．点P ，Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为（）A ．8B ．10C ．12D ．169、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A B C ．4.5 D ．4.310、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（）A ．20B ．40C ．60D ．80第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、长方形纸片ABCD 按图中方式折叠，其中,EF EC 为折痕，如果折叠后',',A B E 在一条直线上，那么CEF ∠的大小是________度．2、如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ，当126BED ∠=︒时，EDA ∠的度数为______．3、如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8．如果E、F 分别是AD 、BC 上的点，且EF 经过AC 中点O ，G ，H 是对角线AC 上的点．下列判断正确的有______．①在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是平行四边形；②在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是矩形；③在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是菱形；④当AG =54时，存在E 、F 、G ，H ，使得四边形EGFH 是正方形．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A 的坐标为（12，13），则点C 的坐标是___．5、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5cm AB =，则矩形对角线BD 的长为_______cm ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：线段m ．求作：矩形ABCD ，使矩形宽AB ＝12m ，对角线AC ＝m ．2、如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线分别交边BC ，AD 于点E ，F ，连结AE ，CF ．(1)求证：△AOF ≌△COE ；(2)当∠OAF ＝∠OFA 时，求证：四边形AECF 是矩形．3、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD'于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．(1)求证AE＝EC；(2)求阴影部分的面积．4、已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，12CD AB=，求证：DF⊥CE．5、如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH 的中点．(1)求证：AE=CE；(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．2、A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵BD＝CD，∴DE=1AB，2∵△ABC的周长为20，即AB+BC+AC=20cm，∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝1（AB+BC+AC）=10cm，2故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．3、B【解析】【分析】概率是指事情发生的可能性，等可能发生的事件的概率相同，小概率事件是指发生的概率比较小，不代表不会发生，通过大量重复试验才能用频率估计概率，利用这些对四个选项一次判断即可．【详解】A项：掷一枚质地均匀的骰子，每个面朝上的概率都是一样的都是16，故A错误，不符合题意；B项：若AC、BD为菱形ABCD的对角线，由菱形的性质：对角线相互垂直平分得知两条线段一定垂直，则AC⊥BD 的概率为1是正确的，故B正确，符合题意；C项：概率很小的事件只是发生的概率很小，不代表不会发生，故C错误，不符合题意；D项：通过大量重复试验才能用频率估计概率，故D错误，不符合题意．故选B【点睛】本题考查概率的命题真假，准确理解事务发生的概率是本题关键．4、A【解析】【分析】由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．【详解】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD，又∵E是边AD的中点，∴OE=12AD=12×13=6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG=OE=6.5．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是矩形，故本选不项符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．6、C【解析】【分析】由菱形对角线互相垂直且平分的性质、结合勾股定理解得4OA =，继而解得AC 的长，最后根据菱形的面积公式解题．【详解】解：如图，6BD =，菱形的周长为20，5AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，132OB DB ∴==，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理得4OA =，则8AC =，所以菱形的面积11682422AC BD =⋅=⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7、B【解析】【分析】根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形ADCB 为菱形， OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠，()CFO AEO ASA ≅,∴CFO AOE S S =,∴CFO BOF BOC S S S +=, ∴1111··6864242BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC ∆的面积为解题关键．8、A【解析】【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，∴BC=AD=20，当p与B重合时，BA′=BA=12，CA′=BC-BA′=20-12=8，②当Q与D重合时，由折叠得A′D=AD=20，由勾股定理，得CA，CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．9、A【解析】【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC ＝DC ，每一个角都是直角可得∠B ＝∠DCF ＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE ≌△DCF ，得∠BCE ＝∠CDF ，进一步得∠DHC ＝∠DHE ＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE === ∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10、B【解析】【分析】根据菱形的面积公式求解即可．【详解】×10×8＝40．解：这个菱形的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．二、填空题1、90【解析】【分析】根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．【详解】如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，∴CEF ∠=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键． 2、18°##18度【解析】【分析】由“SAS ”可证△DCE ≌△BCE ，可得∠CED =∠CEB =12∠BED =63°，由三角形的外角的性质可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD =BC =AB ，∠DAE =∠BAE =∠DCA =∠BCA =45°，在△DCE 和△BCE 中，CD BC BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴∠CED =∠CEB =12∠BED =63°，∵∠CED =∠CAD +∠ADE ，∴∠ADE =63°-45°=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE ≌△BCE 是本题的关键．3、①②④【解析】【分析】如图，矩形ABCD ，O 为对角线的交点，由中心对称性证明：,OE OF = 所以当OG OH =时，四边形EGFH 是平行四边形，当OE OG OF OH 时，四边形EGFH 是矩形，当,,OG OH EF AC 四边形EGFH 是菱形，再利用正方形的性质求解,AG 从而可得答案.【详解】解：如图，矩形ABCD ，O 为对角线的交点，由中心对称性可得：,OE OF =所以当OG OH =时，四边形EGFH 是平行四边形，所以AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是平行四边形；故①符合题意；当OE OG OF OH 时，四边形EGFH 是矩形，而OE 不是定值，所以在AC 上存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是矩形；故②符合题意；当,,OG OH EF AC四边形EGFH 是菱形，而AC 位置确定，所以EF 唯一，所以在AC 上不存在无数组G 、H ，使得四边形EGFH 是菱形，故③不符合题意；如图，当四边形EGFH 是正方形时，,,,EG GF FH EH OE OF OG OH EF GH,FA FC由矩形ABCD 可得：90,6,8,,ABC AB DC AD BC OA OC 226810,,5,ACAG CH OA OC 2226+8,AF AF 25,4AF 2225155,44OF OG 1555,44AG 所以当AG =54时，存在E 、F 、G ，H ，使得四边形EGFH 是正方形，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，掌握“特殊四边形的判定与性质”是解本题的关键.4、（0，-5）【解析】【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】解：∵A（12，13），∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=13，在Rt△ODC中，5OC，=∴C（0，-5）．故答案为：（0，-5）【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5、5【解析】【分析】由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO=AB的长，即可求BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5，∴BD=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题1、见详解【解析】【分析】先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．【详解】解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，则四边形ABCD为所求作矩形；∵AD∥BC，CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AB=12m，AC=m，∴矩形的宽与对角线满足条件，∴四边形ABCD为所求作矩形．【点睛】本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．2、 (1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 为平行四边形形，可得//AD BC ，所以FAC ECA ∠=∠，∠=∠AFE CEF ，再根据O 是对角线AC 的中点，可得OA OC =，进而证明AOF COE ∆≅∆；（2）根据矩形的判定可得出答案．(1) 解：证明：四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，FAC ECA ∴∠=∠，∠=∠AFE CEF ， O 是对角线AC 的中点，OA OC ∴=，在AOF ∆和COE ∆中，FAC ECA AFE CEF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOF COE AAS ∴∆≅∆；(2)解：证明：OAF OFA ∠=∠，OA OF ∴=，AOF COE ∆≅∆，OE OF ∴=，OA OC =，∴四边形AECF 为平行四边形，AC EF =，∴四边形AECF 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用三角形和四边形的知识．3、 (1)证明见解析 (2)275cm 4【解析】【分析】（1）先根据折叠的性质可得EAC DAC ∠=∠，再根据矩形的性质、平行线的性质可得DAC ACB ∠=∠，从而可得EAC ACB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）设cm AE EC x ==，从而可得(8)cm BE x =-，先在Rt ABE △中，利用勾股定理可得x 的值，再利用三角形的面积公式即可得．(1)证明：由折叠的性质得：EAC DAC ∠=∠，四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴，DAC ACB ∴∠=∠，EAC ACB ∴∠=∠，AE EC ∴=．(2) 解：四边形ABCD 是长方形，90B ∴∠=︒，设cm AE EC x ==，则(8)cm BE BC EC x =-=-，在Rt ABE △中，222AB BE AE +=，即2226(8)x x +-=，解得254x =，即25cm 4EC =，则阴影部分的面积为21125756(cm )2244EC AB ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．4、见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE =12AB ，再求出DE =CD ，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【详解】证明：在△ACB 中，CE 是中线，∴点E 为AB 边的中点∵AD 是BC 边上的高， ∴△ADB 是直角三角形∴DE =12AB ，∵CD =12AB ，∴DC =DE ，∵F 是CE 中点，∴DF ⊥CE ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．5、 (1)见解析(2)AE 2+ GF 2=EG 2，证明见解析【解析】【分析】（1）根据“SAS ”证明△ADE ≌△CDE 即可；（2）连接CG ，可得CG =GF =GH =12FH ，再证明∠ECG =90°，然后在Rt △CEG 中，可得CE 2+CG 2=EG 2，进而可得线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠ADE =∠CDE ，在△ADE 和△CDE 中AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CDE ，∴AE =CE ；(2)AE 2+ GF 2=EG 2，理由：连接CG∵△ADE ≌△CDE ，∴∠1=∠2．∵G为FH的中点，FH，∴CG=GF=GH=12∴∠6=∠7．∵∠5=∠6，∴∠5=∠7．∵∠1+∠5=90°，∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，∴AE2+ GF2=EG2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．。

鲁教版(五四学制)八年级数学下册《第六章特殊的平行四边形》同步单元综合训练(附答案)

2021年度鲁教版八年级数学下册《第六章特殊的平行四边形》同步单元综合训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF ＝∠A．则下列结论错误的是（）A．AE＝BF B．∠ADE＝∠BEFC．△DEF是等边三角形D．△BEF是等腰三角形2．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE 的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm4．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM＝AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD＝120°5．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．6．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．158．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A 为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．139．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（）A．4B．4 C．2D．211．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（）A．16 B．8 C．16D．812．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）A．2 B．4 C．8 D．1613．能判定一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直14．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．415．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°16．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．17．如图，在正方形ABCD中，正方形的边长为4a，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，判断△AEF的形状并说明理由．18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．19．下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形20．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形21．已知四边形ABCD是矩形，当补充条件（用字母表示）时，就可以判定这个矩形是正方形．22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果AB＝AC＝BC＝10，求四边形AEDF的面积S．23．如图，在菱形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F．（1）证明：△ADE≌△CBF；（2）连接AF、CE，四边形AECF是菱形吗？说明理由．24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：四边形ABED是矩形；（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．25．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．27．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．28．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．参考答案1．解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ADC，AB∥CD，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，同理：∠DBF＝60°，即∠A＝∠DBF，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∠BDE+∠BDF＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，∵在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝BF，故A正确；∵∠EDF＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴C正确；∴∠DEF＝60°，∴∠AED+∠BEF＝120°，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°，∴∠ADE＝∠BEF；故B正确．∵△ADE≌△BDF，∴AE＝BF，同理：BE＝CF，但BE不一定等于BF．故D错误．故选：D．2．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴根据三角形中位线定理可得：BC＝2OM＝10，则菱形ABCD的周长为40cm．故选：A．4．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM＝CN，BM＝DN，∵AD＝BC，∴AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM＝AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA＝∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA＝∠NMC，∴∠MNA＝∠NMA，∴AM＝AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD＝120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．6．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．7．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．8．解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16．故选：A．9．解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．故选：A．10．解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，∴OA＝OB＝AC＝2，又∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝2．∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝＝2故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝OB＝OC，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝AO＝4，∴BD＝8，∴AB＝＝＝4，∴矩形的面积＝4×4＝16，故选：C．12．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，∴BD＝AC＝2AB＝816，∴BD＝2BO，即2BO＝16．∴BO＝8．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝4．故选：B．13．解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，∵EC＝1，∴GB＝DE＝1，∴AE＝AG＝5，即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴∠DAE＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠F AE＝∠F AG＝45°，AF＝AF，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，故②正确；∴AF＝＝＝，故③错误；∴GF＝3+＝，∴S△AEF＝S△AGF＝AB×GF＝4×＝，故④正确．所以正确的有①②④，共3个．故选：C．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．16．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．17．解：△AEF为直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4a，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E是BC的中点，且CF＝CD，∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2＝AB2+BE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，同理在Rt△EFC，Rt△ADF中，可得EF2＝CE2+CF2＝（2a）2+a2＝5a2，AF2＝AD2+DF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，∴AE2+EF2＝AF2，∴△AEF为直角三角形．18．解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°∴∠EAG+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝45°．19．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．20．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．21．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，故补充的条件为：AB＝AD．22．解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB＝AC＝BC＝10，∴EF＝5，AD＝5，∴菱形AEDF的面积S＝．23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，同理∠BCF＝90°．∴∠EAD＝∠BCF．在△AED和△CFB中∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，∠EAD＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF．（2）解：结论：四边形AECF是菱形．理由：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即AC⊥EF，由（1）△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠BFC，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．24．（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∵DB＝DC，E是BC的中点，∴∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∴∠DBE＝60°，∵DB＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴BD＝BC＝DC＝2，∵Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝1，AB＝，∴在Rt△ABC中，AC＝＝．25．（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO＝OC，∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD＝＝＝15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．26.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．27．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠EFC，∵E为BC的中点，∴BE＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），（2）证明：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，∵BE＝CE，∴四边形ABFC为平行四边形，∵AE＝EF＝AF，AE＝BC，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形；（3）解：当△ABC为等腰三角形时，即AB＝AC时，四边形ABFC为正方形；理由如下：∵AB＝AC，四边形ABFC是矩形，∴四边形ABFC为正方形．28．（1）证明：∵∠ACB＝90°，DF⊥AC，∴DF∥BC，∵点D是AB中点，∴F是AC的中点，∴AF＝CF，∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠DAF，在△CEF和△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（ASA），∴EF＝DF，∴四边形AECD是平行四边形，又∵DF⊥AC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：当∠BAC＝45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：∵四边形AECD是菱形，∴∠EAC＝∠BAC＝45°，∴∠EAD＝90°，∴四边形AECD是正方形．29．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝。

八下第6章特殊平行四边形专题一特殊平行四边形的性质与判定的综合应用习题鲁教版五四制

3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC， OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC， ∴菱形AECF是正方形．
当∠CPG＝90°时，∠CPH＝90°＝∠CPG. ∵CP＝CP，∴△CPH≌△CPG(SAS)，∴CH＝CG. ∵在正方形ABCD中，DC＝BC， ∴DH＝BG，∴BG＝GF，由(1)知四边形BEFG是矩形， ∴四边形BEFG是正方形．
6 四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点． (1)若AC＝EC，如图①，求证：四边形BECD为平行四
(3)连接AE，AF，当点O运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：当点O运动到AC的中点时，OA＝OC. 又∵OE＝ OF，∴四边形AECF是平行四边形．由(1)知OF＝OC， ∴OA＝OC＝OE＝OF.∴OA＋OC＝OE＋OF，即AC＝ EF，∴四边形AECF是矩形．
7 如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 △ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系，并加以证明．【解】OE＝OF. 证明：∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝ ∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∴∠OCE＝∠OEC， ∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC， ∴ AF ＝ 12 BP ＝ PF ， AD ∥ EF ， ∴ ∠ 3 ＝ ∠ 4 ， ∠ 1 ＝ ∠ 4 ， ∴ ∠ 1 ＝ ∠ 3. ∵ ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴ ∠ 2 ＝ ∠ 3. 又 ∵ PF ＝ FP ， ∴ △ APF ≌ △ EFP ， ∴ AP ＝ EF. 又 ∵ AP ∥ EF ， ∴ 四边形 AFEP 是平行四边形．

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习试卷

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD 、BE 为折痕，则∠EBD 的度数（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°2、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝6，F 为DE 的中点．若OF 的长为1，则△CEF 的周长为（）A ．14B ．16C ．18D ．123、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（）A．55°B．70°C．110°D．60°4、如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90 时，它是矩形5、如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A 作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（）A．3：5 B 2 C．1：2 D．）：16、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1 B．2 C D．7、已知锐角∠AOB，如图．（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．四边形OCPD是菱形B．CP=2QCC．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP8、如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（）A．26 B．49 C．52 D．649、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF 沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1 B C D．210、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（）度A．30°B．45°C．50°D．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为___km．2、定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为6，中心为O ，在正方形外有一点P ，6OP =，当正方形绕着点O 旋转时，则点P 到正方形的最短距离d 的最大值为______．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，且顶点B 的坐标是（1，2），如果以O 为圆心，OB 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点P ，那么点P 的坐标是_______．4、如图，矩形纸片ABCD ，AD ＝4，AB ＝2，点F 在线段AD 上，将△ABF 沿BF 向下翻折，点A 的对应点E 落在线段BC 上，点M ，N 分别是线段AD 与线段BC 上的点，将四边形CDMN 沿MN 向上翻折，点C 恰好落在线段BF 的中点C '处，则线段MN 的长为 __________________．5、矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，∠ACB =40°，则∠AOB =_________°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点M 为BC 边上的中点．(1)如图1，若点D 、点E 分别为线段AC 、AB 上的点，且DC EA =，连接MD 、ME ，求证：ME MD ⊥；(2)如图2，若点D 为线段AC 上的点，点E 为线段AB 延长线上的点，且DC EB =，30AED ∠=︒，连接ED ，交BC 于点N ，EF 是AED ∠的角平分线，交AM 于点F ，连接AN 、FD ，探究线段AN 、FD 、AC 之间的数量关系，并给出证明．2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD//BC(1)在图中，用尺规作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交BD 、BC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DF ，证明四边形ABFD 为菱形．3、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．4、如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AD 边的中点，连接BM ，CM ，且BM ＝CM ．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．5、如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′=180°×12=90°．故选B ．【点睛】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：22ED CF EF ==，结合图形得出CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，再由中位线的性质得出22BE OF ==，在Rt CED 中，利用勾股定理确定10ED =，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD 中，BO DO =，BC CD =，90BCD ∠=︒，∵F 为DE 的中点，O 为BD 的中点，∴OF 为DBE 的中位线且CF 为Rt CDE 斜边上的中线，∴22ED CF EF ==，∴CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，∵1OF =，∴22BE OF ==，∵6CE =，∴268BC BE CE =+=+=，∴8CD BC ==，在Rt CED 中，90ECD ∠=︒，8CD =，6CE =，∴10ED ==，∴CEF 的周长为10616EF EC FC ED EC ++=+=+=，故选：B ．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．3、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，255∠=︒，170∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．4、C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是矩形，故本选不项符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．5、D【解析】【分析】由BE 平分ABD ∠，BF AG ⊥得BA BG =，根据正方形的性质得90BOE AOG ∠=∠=︒，BO AO =，故BEO AGO ∠=∠，根据AAS 得BOE AOG ≅，故EO GO =，设2AB AD BG a ===，进而可用含a 的式子表示出线段AO 和EO 的长，要求:ABG BEG S S 的比值即求AO 和EO 的比值，代入即可求解．【详解】∵BE 平分ABD ∠，BF AG ⊥，∴ABG 是等腰三角形，∴BA BG =，四边形ABCD 是正方形，∴90BOE AOG ∠=∠=︒，BO AO =，∴90BOE BFG ∠=∠=︒，∴BEO AGO ∠=∠，在BOE △与AOG 中，BEO AGO BOE AOG BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BOE AOG AAS ≅，∴EO GO =，设2AB AD BG a ===，则AC BD ==，∴AO BO =，∴(2EO GO BG BO a ==-=， ∵12ABG S BG AO =⋅⋅，12BEGS BG EO =⋅⋅，∴:::(21):1ABG BEG S S AO EO a ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6、C【解析】【分析】根据正方形的性质得到AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠DAF ，求得∠AOB =90°，根据三角形的面积公式得到OA =1，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，在△ABE 与△DAF 中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠ABE =∠DAF ，∴∠ABE +∠BAO =∠DAF +∠BAO =90°，∴∠AOB =90°，∵△ABE ≌△DAF ，∴S △ABE =S △DAF ，∴S △ABE -S △AOE =S △DAF -S △AOE ，即S △ABO =S 四边形OEDF =1，∵OA =1，∴BO =2，∴AB故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE ≌△DAF 是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．8、C【解析】【分析】证EFG GMH ∆≅∆，推出6FG MH ==，4GM EF ==，则216EF =，236HM =，再证22222EG EF FG EF HM =+=+，代入求出即可．【详解】解：如图，正方形A ，C 的边长分别为4和6，4EF ∴=，6MH =，由正方形的性质得：90EFG EGH GMH ∠=∠=∠=︒，EG GH =，90FEG EGF ∠︒∠+=，90EGF MGH ∠+∠=︒，FEG MGH ∴∠=∠，在EFG ∆和GMH ∆中，EFG GMHFEG MGHEG GH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EFG GMH AAS ∴∆≅∆，6FG MH ∴==，4GM EF ==，22416EF ∴==，22636HM ==，∴正方形B 的面积为22222163652EG EF FG EF HM =+=+=+=，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明EFG GMH∆≅∆．9、D【解析】【分析】由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，∴B'E=2AE，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，∴2（3-x）=x，解得x=2．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．10、B【解析】【分析】根据正方形的性质以及HL 判定，可得出△ABF ≌△AGF ，故有∠BAF =∠GAF ，再证明△AGE ≌△ADE ，有∠GAE =∠DAE ，即可求∠EAF =45°【详解】解：在正方形ABCD 中，∠B =∠D =∠BAD =90°，AB =AD ，∵AG ⊥EF ，∴∠AGF =∠AGE =90°，∵AG =AB ，∴AG =AB=AD ，在Rt △ABF 与Rt △AGF 中，AB AGAF AF =⎧⎨=⎩∴△ABF ≌△AGF ，∴∠BAF =∠GAF ，同理可得：△AGE ≌△ADE ，∴∠GAE =∠DAE ；∴∠EAF =∠EAG +∠FAG 1452BAD ︒=∠=，∴∠EAF =45°故选：B【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF ≌△AGF ．二、填空题1、1.2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．【详解】解：∵M是公路AB的中点，∴AM=BM，∵AC⊥BC，∴CM=AM=BM，∵AM的长为1.2km，∴M，C两点间的距离为1.2km．故答案为：1.2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．2、3【解析】【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，求出d的值即可得出答案【详解】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE最大，∵正方形ABCD边长为6，O为正方形中心，∴AE=3，∠OAE=45°，OE⊥AB，∴OE=3，∵OP=6，∴d=PE=6-3=3；故答案为：3【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大时点P的位置是解题的关键．3、0）【解析】【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，∵OB∴OP∴点P0）．故答案为：0）．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．4【解析】【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝BC'，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'CK股定理求出CN＝53，最后用面积建立方程求出MN即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，∵2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形，∴BF是正方形ABEF的对角线，∴∠EBF＝45°，BF＝∵C'是BF的中点，∴BC'＝12BF，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，在Rt△BHC'中，BH＝C'H'＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，在Rt△CHC'中，CC'，由折叠知，CK＝12CC'设CN＝x，则HN＝3﹣x，∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，∴12+（3﹣x）2＝x2，∴x＝53，∴CN＝53，∵S △CMN ＝12CN •CD ＝12MN •CK ，∴MN ＝CN CD CK ⋅52⨯，．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC '是解题的关键所在．5、80【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB OC =，再根据等边对等角可得OBC ACB ∠=∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB OC ∴=，40OBC ACB ∴∠=∠=︒，404080AOB OBC ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：80．本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是熟记各性质．三、解答题1、 (1)见解析(2)22AC AN FD =+，见解析【解析】【分析】（1）连接AM ，证明()MEA MDC SAS ≅△△，根据等角的余角相等即可证明90EMD AMC ∠=∠=︒，进而可得ME MD ⊥；（2）过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q ，证明()EBN DGN AAS ≅△△，进而证明DF 是ADE ∠的角平分线，EF 是AED ∠的角平分线，可得FH FP FQ ==，结合含30度角的直角三角形的性质，可得2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++，进而可得22AC AN FD =+(1)证明：连接AM ，∵点M 为等腰直角ABC 为斜边BC 上的中点，∴AM BC ⊥，AM MC =，45MAE MCD ∠=∠=︒，∵DC EA =，∴()MEA MDC SAS ≅△△∴EMA DMC ∠=∠∴EMA AMD DMC AMD ∠+∠=∠+∠即90EMD AMC ∠=∠=︒，(2)过D 作DG AC ⊥，交BC 于点G ，过F 分别作FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，垂足分别为P 、H 、Q∵在等腰直角ABC 中，45C ∠=︒，且DG AC ⊥，∴GDC 为等腰直角三角形，∴GD CD =，∵DC EB =，∴GD EB =，90BAC ∠=︒BA AC ∴⊥DG EA ∴∥BEN GDN ∴∠=∠又ENB DNG ∠=∠∴()EBN DGN AAS ≅△△∴EN DN =，∴2ED AN =，∵EF 是AED ∠的角平分线，而45MAB MAD ∠=∠=︒，∴DF 是ADE ∠的角平分线，在Rt ADE △中，90EAD ∠=︒，30AED ∠=︒∴60ADE ∠=︒∴30FDH ∠=︒∵FP AD ⊥，FH ED ⊥，FQ AB ⊥，∴FH FP FQ ==，EH EQ =，AP AQ =，DP DH =，∴2AC AB AC AE AD QE QA AP PD =+=+=+++22HE HF HF HD DE HF AN FD =+++=+=+.即22AC AN FD =+.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE ≌△FBE ，即可得出AE =EF ，进而利用菱形的判定方法得出答案．(1)（1）如图：EF 即为所求作(2)证明：如图，连接DF ，∵AD //BC ，∴∠ADE =∠EBF ，∵AF 垂直平分BD ，∴BE =DE ．在△ADE 和△FBE 中，ADE FBE DE BEAED BEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FBE （ASA ），∴AE =EF ，∴BD 与AF 互相垂直且平分，∴四边形ABFD 为菱形．此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．3、10cm【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．4、 (1)见解析(2)AD =2AB ，理由见解析【解析】【分析】（1）由SSS 证明△ABM ≌△DCM ，得出∠A =∠D ，由平行线的性质得出∠A +∠D =180°，证出∠A =90°，即可得出结论；（2）先证明△BCM 是等腰直角三角形，得出∠MBC =45°，再证明△ABM 是等腰直角三角形，得出AB =AM ，即可得出结果．(1)证明：∵点M 是AD 边的中点，∴AM =DM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中，AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），∴∠A =∠D ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：∵△BCM是直角三角形，BM=CM，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠MBC=45°，由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠AMB=∠MBC=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB=AM，∵点M是AD边的中点，∴AD=2AM，∴AD=2AB．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．5、AF=BE，AF⊥BE，证明见解析．【解析】【分析】先根据正方形的性质证得AE=DF，然后再证明△AEB≌△AFD可得∠ABE=∠FAD，然后再根据直角三角形的性质证得∠AOE=90°即可．【详解】解：AF⊥BE，AF=BE,证明如下：证明：∵正方形ABCD∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°∵CF=DE∴AE=AD-DE,DF=DC-CF∴AE=DF在△AEB和△AFD中AB=AD, ∠D=∠BAD, AE=DF∴△ABE≌△DAF（SAS）∴∠ABE=∠FAD，AF=BE∵∠BAD=90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠FAD+∠AEB=90°∴∠AOE=90°，AF⊥BE．∴AF=BE，AF⊥BE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意证得△ABE≌△DAF成为解答本题的关键．。

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全章综合测评题
一、选择题
1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）。

A、对角线互相平分
B、对角线相等
C、对角互补
D、对角线互相垂直
2、如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（）。

A、135°
B、120°
C、112.5°
D、67.5°
第2题图第3题图
3、将一矩形纸片对折后再对折，如图（1）、（2），然后沿图（3）中的虚线剪下，得到①、②两部分，将②展开后得到的平面图形一定是（）。

A、平行四边形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
4、已知菱形ABCD的面积为96cm2，对角线AC的长为16cm，则此菱形的边长为（）。

A 、32cm B、10cm C、14cm D、20cm
5、顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是（）。

A、AB=CD
B、AC=BD
C、A D∥BC
D、AC⊥BD
6、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A 落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）
A、2cm
B、3cm
C、4cm
D、5cm
第6题图第8题图第11题图
7、下列说法中，错误的是（）
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C、四个角都相等的四边形是矩形
D、邻边相等的菱形是正方形
8、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH
为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（）
A、一组对边平行而另一组对边不平行
B、对角线相等
C、对角线互相垂直C、对角线互相平分
9、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形。

甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，
连接AN、CM，
则四边形ANCM是菱形。

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE、BF，分别交BC、AD于E、F，连接EF，
则四边形ABEF是菱形。

根据两人的作法可判断（）。

A、甲、乙均正确
B、甲正确，乙不正确
C、乙正确，甲错误
D、甲、乙均错误
第9题图
10、一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（）
A、12
B、96
C、48
D、24
二、填空题
11、将一矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=____________.
12、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10cm，∠ACB=30°，
则∠AOB=_________，AD=_________cm.
13、如图，在菱形ABCD中，F为边BC的一点，DF与对角线AC交于点M，过
M 作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.若CE=1，则AD=___________。

第12题图第13题图第14题图
14、如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，则∠AED=_________.
15、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面
积为_______________.
16、将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，A3,……，A
n
分别是正方形的中心，则2015个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_________cm2.
第15题图第16题
三、解答题
17、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）
作一个菱形，使它的两条对角线长分别为a，b. 18、如图，△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，连接AE、DF。

（1）AE、DF有什么关系？
（2）△ABC满足什么条件时，A E⊥DF?
（3）△ABC满足什么条件时，AE=DF?
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
第18题图
19、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点。

（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）若AD=2AB，四边形MENF是什么特殊四边形？
第19题图
20、如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF。

（1）求证：BE=DF
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM。

判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论。

第20题图21、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，
且△ACE是等边三角形。

（1）求证：AD=DC
(2 ) 若∠AED=2∠EAD，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形？并证明你的猜想。

第21题图。