同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构

线性代数教学教案

第三章 向量组及其线性组合

授课序号01

,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭

维向量写成

),,n a

个分量，其中T

,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量

0⎪⎪⎪⎭

或()0,0,

,00=.

2n a ⎪⎪

⎪

⎭

称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：

由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：12

2,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭

β，k ∈

，则有

1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭

α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,

,n n n n b b

a a a

b a b a b b ⎛⎫

⎪ ⎪=++

+ ⎪ ⎪⎝⎭；

()1112122122

21212

,,

,n n n n n n n n a b a b a b a b a b

a b b b b a a b a b a b ⎛⎫

⎪⎪ ⎪

=⎪ ⎪⎪

⎪⎭

⎝⎭

. 二、向量组及其线性组合：

：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,

,n ααα，对于任意一组数,,

,n k k k ，表达式+n n k k α

,n α和一个,n k ，使得+

+n n k =βα，,

,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.

三、向量组的等价：

由向量组B 线性表示：,

,m αα是m ,

,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表

,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.

A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,

,m αα与向量组:B 2,,

,s βββ. 令矩阵),m A α，

),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程

=B

向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程

=BY A

四、主要例题：

1211222

221122n n n n m m mn n m

a x a x a x a x a x

b ++++

+=中第()121,2,

,i i i mi a a

i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

α，

维列向量

2m b ⎪⎪⎪⎭

， n n x β+=α12122

212

n n m m mn a a a a a ⎫

⎪⎪

⎪⎪⎭

，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪

⎪

-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫

授课序号02

,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线

性无关.

m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k ++

+=0ααα

有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个

,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性

如果向量组12,,

,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则

2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.

2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭

⎝⎭

e e ，对任意一组数12120001

001n n n n k k k k k k k ⎛⎫

⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=++

+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

e ，

0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.

221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα