线性代数教案正式打印版
(完整版)线性代数教案(正式打印版)

特征值与特征向量的求解方法
注意事项
在求解过程中,需要注意特征多项式f(λ)的根可能为重根,此时需要验证 是否满足定义中的条件。
在求解特征向量时,需要注意齐次线性方程组的基础解系的求法。
特征值与特征向量的应用举例
01
应用一
判断矩阵是否可对角化。若矩阵A有n个线性无关的特征向 量,则A可对角化。
02
图像处理
在图像处理中,经常需要对图像进行旋转、缩放等操作,这些操作可以通过矩阵对角化来实现。例如,将一个图像矩 阵与一个旋转矩阵相乘,就可以实现图像的旋转。
数据分析
在数据分析中,经常需要对数据进行降维处理,以提取数据的主要特征。通过对数据的协方差矩阵进行对角化,可以 得到数据的主成分,从而实现数据的降维。
REPORTING
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个重要分支,主 要研究向量空间、线性变换及其性质 。
本课程将系统介绍线性代数的基本概 念、理论和方法,包括向量空间、矩 阵、线性方程组、特征值与特征向量 、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程等领域的 基础课程,对于培养学生的抽象思维 、逻辑推理和问题解决能力具有重要 作用。
工具。
2023
PART 04
线性方程组与高斯消元法
REPORTING
线性方程组概念及解法
线性方程组定义
由n个未知数和m个线性方程组成的方程组,形如Ax=b,其中A为系数矩阵,x为未知数 列向量,b为常数列向量。
解的存在性与唯一性
当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩,且等于未知数个数n时,方程组有唯一解;当 秩小于n时,方程组有无穷多解;当秩大于n时,方程组无解。
要作用。
向量空间与子空间
《线性代数》教案

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标:使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法,培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象:本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式:采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章:线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章:线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章:特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章:线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章:线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授:通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法,使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论:组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论,提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习:布置适量的练习题,让学生通过自主练习巩固所学知识,提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩:考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面,占总评的30%。
2. 期中考试:考察学生对线性代数知识的掌握程度,占总评的40%。
3. 期末考试:全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力,占总评的30%。
五、教学资源1. 教材:推荐使用《线性代数》(高等教育出版社,同济大学数学系编)。
2. 辅助教材:可参考《线性代数教程》(清华大学出版社,谢乃明编著)。
3. 网络资源:推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛,拓展知识面。
4. 软件工具:推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件,辅助学习线性代数。
《线性代数》教案

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标(1)理解线性代数的基本概念和原理;(2)掌握线性代数的基本运算方法和技巧;(3)能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容(1)线性方程组;(2)矩阵及其运算;(3)线性空间和线性变换;(4)特征值和特征向量;(5)二次型。
二、第一章:线性方程组1. 教学目标(1)理解线性方程组的定义和性质;(2)掌握线性方程组的求解方法;(3)能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容(1)线性方程组的定义和性质;(2)线性方程组的求解方法:高斯消元法、克莱姆法则;(3)线性方程组的应用:线性规划、电路方程等。
三、第二章:矩阵及其运算1. 教学目标(1)理解矩阵的定义和性质;(2)掌握矩阵的运算方法;(3)能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容(1)矩阵的定义和性质;(2)矩阵的运算:加法、数乘、乘法;(3)矩阵的逆矩阵及其求法;(4)矩阵的应用:线性方程组、线性变换等。
四、第三章:线性空间和线性变换1. 教学目标(1)理解线性空间和线性变换的定义和性质;(2)掌握线性变换的表示方法;(3)能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容(1)线性空间的定义和性质;(2)线性变换的定义和性质;(3)线性变换的表示方法:矩阵表示、坐标表示;(4)线性变换的应用:图像处理、信号处理等。
五、第四章:特征值和特征向量1. 教学目标(1)理解特征值和特征向量的定义和性质;(2)掌握特征值和特征向量的求法;(3)能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容(1)特征值和特征向量的定义和性质;(2)特征值和特征向量的求法:幂法、矩阵对角化;(3)特征值和特征向量的应用:线性变换、振动系统等。
六、第五章:二次型1. 教学目标(1)理解二次型的定义和性质;(2)掌握二次型的标准形和规范形;(3)能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容(1)二次型的定义和性质;(2)二次型的标准形和规范形:配方法、矩阵的对角化;(3)二次型的应用:最小二乘法、优化问题等。
线性代数教案

线性代数教案一、教学目标通过本节课的学习,学生应能够:1. 了解线性代数的基本概念和相关术语;2. 理解线性方程组和矩阵的概念、性质和运算规则;3. 掌握矩阵的基本运算,包括矩阵的加法、数乘和矩阵乘法;4. 能够求解线性方程组,并应用到实际问题中。
二、教学重点与难点1. 教学重点:线性方程组和矩阵的概念及其运算规则;2. 教学难点:矩阵乘法的理解和应用。
三、教学过程1. 导入(5分钟)引入线性代数的概念,向学生介绍线性方程组和矩阵的相关背景知识,并激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解(20分钟)2.1 线性方程组的定义和解法- 介绍线性方程组的概念以及线性方程组的解的定义;- 分析线性方程组解的情况:无解、唯一解和无穷解;- 通过实例讲解线性方程组解的求解方法。
2.2 矩阵的定义和性质- 介绍矩阵的基本概念和符号表示方法;- 讲解矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法的规则;- 引导学生理解矩阵乘法的几何意义。
3. 实例分析与练习(25分钟)3.1 线性方程组的求解实例- 给出一些线性方程组的实际问题,引导学生运用所学知识解决;- 指导学生使用矩阵运算进行线性方程组的求解。
3.2 矩阵运算实例- 给出一些矩阵的实际运用问题,让学生通过实例进行练习;- 帮助学生熟练掌握矩阵的加法、数乘和矩阵乘法。
4. 拓展延伸(15分钟)通过引导学生思考,结合线性代数在实际问题中的应用,进一步拓展学生的知识面。
5. 归纳总结(10分钟)对本节课所学内容进行总结,强化学生对线性代数的理解和掌握。
四、教学评价1. 在教学过程中,观察学生的学习状态,及时给予指导和帮助;2. 布置相关习题,检验学生对所学知识的掌握情况;3. 根据学生的表现进行评价,及时给予反馈和指导。
五、教学资源准备1. 教材和课件;2. 相关实例分析的教学素材;3. 学生练习题、作业等。
总结:通过本节课的教学,学生能够理解线性代数的基本概念和相关术语,掌握线性方程组和矩阵的运算规则,并能够应用所学知识解决实际问题。
线性代数电子教案

3.三阶行列式定义:式的左边称为三阶行列式(3-th determinant ),通常也记为∆.在∆中,横的称为行(row ),纵的称为列(column ),其中a ij (i ,j =1,2,3)是数,称它为此行列式的第i 行第j 列的元素.式的右边称为三阶行列式的展开式.利用二阶行列式可以把展开式写成:323122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 若记 3332232211a a a a M =, 3331232112a a a a M =, 3231222113a a a a M =, 111111)1(M A +-=, 122112)1(M A +-=, 133113)1(M A +-=则有 131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++==∆ 其中 j A 1称为元素j a 1的代数余子式(algebraic complement minor)(3,2,1=j ),j M 1称为元素j a 1的余子式(complement minor),它是∆中划去元素j a 1所在的行、列后所余下的元素按原位置组成的二阶行列式.4.三元线性方程组的解法:引进了三阶行列式, 对于三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的解就可写成: ∆∆=11x ∆∆=22x ∆∆=33x .称也为方程组(1—4)的系数行列式,它是由未知数的所有系数组成的行列式, j ∆(j =1,2,3)是将∆的第j 列换成常数列而得到的三阶行列式。
5.三阶行列式对角线法则计算法则:如图1—1.例1 计算三阶行列式312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=。
大学线性代数教案

教案:大学线性代数课程名称:大学线性代数课程性质:专业基础课程授课对象:管理类专业学生教学目标:1. 掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
2. 能够运用线性代数知识解决实际问题。
3. 提高逻辑思维能力和数学素养。
教学内容:1. 线性方程组2. 矩阵及其运算3. 线性空间与线性变换4. 特征值与特征向量5. 二次型教学安排:共48课时,每课时45分钟。
第一章:线性方程组(8课时)1.1 线性方程组的定义及其解法1.2 矩阵的概念及其运算1.3 高斯消元法1.4 克莱姆法则第二章:矩阵及其运算(10课时)2.1 矩阵的概念2.2 矩阵的运算2.3 逆矩阵2.4 矩阵的行列式第三章:线性空间与线性变换(10课时)3.1 线性空间的概念3.2 线性变换的概念3.3 线性变换的性质3.4 线性变换的矩阵表示第四章:特征值与特征向量(8课时)4.1 特征值与特征向量的概念4.2 特征值与特征向量的求解4.3 矩阵的对角化4.4 二次型第五章:二次型(12课时)5.1 二次型的概念5.2 二次型的标准形5.3 二次型的判定定理5.4 二次型的最小值教学方法:1. 讲授法:通过讲解基本概念、理论和方法,使学生掌握线性代数的基本知识。
2. 案例教学法:通过分析实际问题,引导学生运用线性代数知识解决问题。
3. 讨论法:组织学生分组讨论,培养学生的合作精神和沟通能力。
4. 练习法:布置课后习题,巩固所学知识,提高解题能力。
教学评价:1. 平时成绩:考察学生的出勤、作业和课堂表现。
2. 期中考试:检查学生对线性代数知识的掌握程度。
3. 期末考试:全面考察学生的线性代数理论知识和应用能力。
教学资源:1. 教材:选用权威、实用的线性代数教材。
2. 课件:制作精美、清晰的课件,辅助教学。
3. 习题集:提供丰富的习题,帮助学生巩固知识。
4. 网络资源:利用网络平台,提供在线学习资料和交流平台。
课程总结:通过本课程的学习,使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法,能够运用线性代数知识解决实际问题,提高逻辑思维能力和数学素养。
线性代数教案(正式打印版)

第(1)次课授课时间()基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和:212221abab-,这就是公式(2)中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和:121211baba-,这就是公式(2)中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆:从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x (32==x x 或)例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-=第( 2 )次课授课时间()第( 3 )次课授课时间()1.教学内容:行列式按行(列)展开;2.时间安排:2学时;3.教学方法:讲授与讨论相结合;4.教学手段:黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第六节行列式按行(列)展开定义在n阶行列式中,把元素ija所处的第i行、第j列划去,剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式,称为ij a的余子式,记为ijM;而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零,即:nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则:ijijAaD=.证先证简单情形:nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形:定理行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式乘积之和,即按行:()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列:()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证:(此定理称为行列式按行(列)展开定理)nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1:335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3.证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中,记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以,当2=n n=2时,(4)式成立.现设(4)式对1-n时成立,要证对n时也成立.为此,设法把nD降阶;从第n行开始,后行减去前行的1x倍,有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL(按第一列展开,并提出因子1xxi-)第( 4 )次课授课时间()第(5)次课授课时间()基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵,或简称为矩阵;表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯;其中ij a表示A中第i行,第j列的元素。
(完整版)线性代数课程教案

重点
难点
教学重点:使学生掌握线性代数的基本概念、基本理论及基本方法,使学生初步掌握处理线性数量关系的基本思想和方法,培养学生运用线性代数方法分析问题和解决实际问题的能力。
教学难点:向量的线性相关性的性质的证明、线性方程组解的结构、二次型。
教材和参考书
1、中国人民大学出版社 赵树嫄主编《线性代数》(第三版)
克莱姆法则
教授思路,采用的教学方法和 辅助手段,板ห้องสมุดไป่ตู้设计,重点如何突出,难点如何解决,师生互动等
讲解法,详见课时教案。
本章思考题和习题
详见课时教案.
主要
参考资料
见参考书有关章节。
章节
§1.1行列式的概念
讲授主要内容
二、三阶行列式、n阶行列式的定义
重点
难点
二、三阶行列式
特殊行列式的值
要求掌握知识点和分析方法
二、三阶行列式、n阶行列式的定义、解二、三元线性方程组
教授思路,采用的教学方法和 辅助手段,板书设计,重点如何突出,难点如何解决,师生互动等
1、先由解二元一次方程组引入二阶行列式、再由解三元一次方程组引入三阶行列式。
2、分析三阶行列式的项与符号规律,引入排列及其逆序数,给出n阶行列式的定义。
3、本节重点是分析分析三阶行列式的项与符号规律以便引入n阶行列式,要把主要精力花在这一部分,利用对角线法则计算二阶三阶行列式不要太花时间、应强调对角线法则对于高阶行列式不适用。
4、在适当时候提出问题让学生思考,来解决师生互动问题。
作业布置
见作业册P6
章节
§1.2行列式的展开
§1.3行列式的性质
讲授主要内容
行列式的展开、余子式、代数余子式、行列式的性质
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第(1)次课授课时间()基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
~设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和:212221abab-,这就是公式(2)中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=,按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和:121211baba-,这就是公式(2)中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得;定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆:从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即·例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx(32==xx或)例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=` < " ·、$】第( 2 )次课授课时间()1. ~2.教学内容:对换;行列式的性质;3. 时间安排:2学时;4. 教学方法:讲授与讨论相结合;5. 教学手段:黑板讲解与多媒体演示.^基本内容备注第四节 对换、对换的定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对调,叫做相邻对换. 例:b b b a a a l 11 ——b b a b a a l 11.( ;] 【| ,(第( 3 )次课授课时间()1.:2.教学内容:行列式按行(列)展开;3.时间安排:2学时;4.教学方法:讲授与讨论相结合;5.教学手段:黑板讲解与多媒体演示.|基本内容备注(第六节行列式按行(列)展开定义在n阶行列式中,把元素ija所处的第i行、第j列划去,剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式,称为ij a的余子式,记为ijM;而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零,即:nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则:ijijAaD=.证先证简单情形:nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形:^定理行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式乘积之和,即按行:()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列:()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证:(此定理称为行列式按行(列)展开定理)nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1 :335111243152113------=D.【解:例2:21122112----=nD解:21122112----=nD2112211121---=+++n rr)1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3.证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxD()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中,记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以,当2=n n=2时,(4)式成立.】现设(4)式对1-n时成立,要证对n时也成立.为此,设法把nD降阶;从第n行开始,后行减去前行的1x倍,有()2n x -(按第一列展开,并提出因子1x x i -)1行列式一行(列)的各元素与另一行(列)对应第( 4 )次课授课时间()\ ;;…)|:第(5)次课授课时间()1.教学内容:矩阵;矩阵的运算;2.时间安排:2学时;^3.教学方法:讲授与讨论相结合;4.教学手段:黑板讲解与多媒体演示。
#基本内容备注第一节 矩阵一、矩阵的定义 称m 行、n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a212222111211为n m 矩阵,或简称为矩阵;表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211[或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯;其中ij a表示A中第i行,第j列的元素。
其中行列式mnmmnnaaaaaaaaa212222111211D=为按行列式的运算规则所得到的一个数;而nm⨯矩阵是nm⨯个数的整体,不对这些数作运算。
例如,公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。
设nmijaA⨯=)(,n mijbB⨯=)(都是nm⨯矩阵,当则称矩阵A与B相等,记成BA=。
二、特殊形式n阶方阵:nn⨯矩阵《行矩阵:n⨯1矩阵(以后又可叫做行向量),记为),,,(,21naaaA=列矩阵:1⨯m矩阵(以后又可叫做列向量),记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mbbbB21零矩阵:所有元素为0的矩阵,记为O对角阵:对角线元素为nλλλ,...,,21,其余元素为D的方阵,记为单位阵:对角线元素为1,其余元素为0的方阵,记为(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111E三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义:设变量myyy,...,,21能用变量nxxx,...,,21线性表示,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111这里ija()njmi,,2,1;,,2,1==为常数。
这种从变量nxxx,...,,21到变量myyy,...,,21的变换称为线性变换。
线性变换由m个n元函数组成,每个函数都是变量的一次幂,故而称之为线性变换。
上式的系数可构成一个nm⨯矩阵()()ijnmijmnmmnnaaaaaaaaaaaA==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯212222111211·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称之为线性变换的系数矩阵。
线性变换和系数矩阵是一一对应的。
如,直角坐标系的旋转变换(变量),(yx到变量),(yx''的变换)⎩⎨⎧+-=+=yxyyxxθθθθcossin'sincos'的系数矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcossinsincosA.恒等变换$⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mmxyxyxy2211的系数矩阵为例. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111E 同样,齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a与系数矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,也是一一对应的.非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A21212222111211也是一一对应的。
第二节 ^第三节矩阵的运算一、加法设n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(,都是n m ⨯矩阵,则加法定义为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111#| ^ } ;。