浅谈有限元方法的核心思想
对有限元的认识
对有限元的认识
有限元是一种用于数值计算和模拟的数学方法，它在工程、科学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
有限元的核心思想是将一个复杂的连续体或系统划分为许多小的单元，这些单元通过节点相互连接。
通过对每个单元进行简单的数学分析，可以得到整个系统的近似解。
这种离散化的方法使得对复杂问题的求解变得更加容易和高效。
有限元方法的优点之一是能够处理复杂的几何形状和边界条件。
无论是二维平面问题还是三维空间问题，有限元都可以灵活地适应各种几何结构，并考虑不同的边界条件和载荷情况。
有限元还提供了强大的数值求解能力，可以计算结构的应力、应变、变形和温度分布等物理量。
通过有限元分析，可以预测物体的行为和响应，帮助工程师和科学家进行设计优化、故障分析和性能评估。
此外，有限元软件的发展使得有限元的应用变得更加便捷和高效。
这些软件提供了友好的用户界面和可视化工具，使得用户能够轻松地建立模型、施加边界条件和进行后处理分析。
然而，有限元方法也存在一些局限性，例如对复杂问题的计算成本较高、对模型的准确性和可靠性要求较高等。
因此，在应用有限元方法时，需要合理选择单元类型、网格密度和求解算法，以确保计算结果的准确性和有效性。
总的来说，有限元是一种非常重要的数值分析方法，它为工程师、科学家和研究人员提供了强大的工具来解决复杂的实际问题。
随着计算技术的不断发展，有限元方法将在各个领域继续发挥重要的作用。
有限元法分析
有限元法的分析从百度等搜索到的资料以及老师在课上对有限元法的相关介绍我们可以得知，有限元法是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中带有特定边界条件的偏微分方程问题。
而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。
有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。
有限元法用于解决工程问题的微分方程的近似解，主要考虑怎么分割单元。
比如，可以分割为长方形单元、三角形单元等形状的单元，不同形状的分割的出来的结果也是不尽相同的，边界条件也会影响有限元法的解。
有限元法是将问题先分解，再进行合并，网格划分是分解，从单刚到总刚是合并，我们将这些复杂的处理量交给计算机处理，把一个困难的问题转化成一个个小的简单的问题交给计算机处理，最终得到问题的解，因此，有限元法可以说是将一个大问题转化为若干个简单问题的叠加的方法。
有限元法再物理原理上的理解可以概括为，“求解使系统能量泛函数极小值的系统状态”。
这个角度是根据划分的网格和网格内部的特定点建立相应函数。
在数学原理上，有限元法是求解满足特定微分方程的数值解。
这个角度上可以看作是加权残值的一种形式，将甲醛积分时的权函数与拟合解函数的试函数取为相同的函数。
有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。
有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。
有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。
因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。
单元之间通过节点相连接。
由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。
有限元理论
有限元理论
有限元理论（finite element theory）是一种数值分析方法，它的核心思想是将实体的几何形状分解为若干有限的元素，以及在这些元素上建立一系列的数学方程，从而确定这些元素的性质。
有限元理论主要用于分析复杂几何形状实体的力学、热力学等性质。
有限元理论的应用覆盖面很广，可用于分析各种结构物的变形、振动、强度和稳定性，还可以用于分析流体的流动特性，从而提高设计的效率和准确性。
在有限元理论中，实体的几何形状被划分为几何单元，比如点、线、面和体，每个单元又由若干个有限元素构成。
为了求解几何形状实体的变形、振动、强度和稳定性，需要建立若干个有限元素的数学方程，从而确定各有限元素的性质，从而求解实体的整体性能。
有限元理论可以使用计算机求解，其优点是准确、快速。
另外，有限元理论还可以用来分析复杂的材料性质，比如金属、塑料等，从而更好地了解这些材料的性能，提高设计的效率和准确性。
总之，有限元理论是一种有效的数值分析方法，它可以用来分析复杂的几何形状实体的力学、热力学等性质，并可以用于分析各种材料的性质，从而提高设计的效率和准确性，因此在工程设计中受到了广泛的应用。
有限元核心思想
由实际的物理模型中推导出来得平衡方程 式被使用到每个点上,由此产生了一个方 程组(一般为线性方程组).这个方程组 可以用线性代数的方法来求解. 有限元分析通常借助计算机软件完成,著 名工程软件有 MSC NASTRAN,ADINA, NASTRAN,ADINA, LS-DYNA,ANSYS,ABAQUS,2DLS-DYNA,ANSYS,ABAQUS,2Dsigma等. sigma等.
5,程序面向用户的开放性 给用户一个开放的环境,允许用户根 据自己的实际情况对软件进行扩充,包括 用户自定义单元特性,用户自定义材料, 用户自定义流场边界条件,用户自定义结 构断裂判据和裂纹扩展规律等等.
近年来有限元分析在机械制造,材料加工, 航空航天,汽车,土木建筑,电子电器, 国防军工,船舶,铁道,石化,能源,科 学研究等各个领域的得到广泛使用.
3,由求解线性问题发展到求解非线性问题 随着科学技术的发展,线性理论已经远远不 能满足设计的要求,许多工程问题如材料的破坏 与失效,裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决, 必须进行非线性分析求解,例如薄板成形就要求 同时考虑结构的大位移,大应变(几何非线性) 和塑性(材料非线性);而对塑料,橡胶,陶瓷, 混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑 性,蠕变效应时则必须考虑材料非线性.国外较 好软件的共同特点是具有高效的非线性求解器, 丰富而实用的非线性材料库,ADINA还同时具有 丰富而实用的非线性材料库,ADINA还同时具有 隐式和显式两种时间积分方法.
目的:在工程设计阶段时期分析应力和应 变是否满足工程的要求. 关键词: 外力(荷载) 内力 位移 杆件 结构力学 ห้องสมุดไป่ตู้力 应变 弹性力学 强度 刚 度 有限元分析
外力:作用在物体外部的力.(重力等) 内力:在外力作用下,物体内部不同部分 之间的相互作用力.物体横截面上的合力. 位移:在外力作用下物体的整体变形量. 杆件:长度远远大于横截面高度的构件. 结构力学:研究有许多杆件组成的杆系的 内力,位移.
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素，然后利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元，每个单元都是一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。
然后在每个单元内部建立一个数学模型，利用数学方法对这些单元进行计算，最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法的核心是建立数学模型。
在建立数学模型的过程中，需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。
通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数，可以得到准确的分析结果。
有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。
由于有限元分析方法将结构分割成小的单元，因此可以处理各种复杂的结构，比如曲面、异形、空腔等。
这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。
另外，有限元分析方法还可以进行结构优化。
通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数，可以对结构进行优化，使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，尽可能地减小材料消耗，降低成本。
当然，有限元分析方法也有一些局限性。
比如，在处理非线性、大变形、大变位等问题时，需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应，这会增加分析的复杂度。
另外，有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响，需要谨慎选择这些参数。
总的来说，有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法，它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
通过合理地建立数学模型、选择合适的参数，可以得到准确的分析结果，为工程设计和科学研究提供有力的支持。
对有限元的认识
对有限元的认识有限元是一种数值分析方法，用于计算和求解复杂的物理问题。
它在工程、科学和其他领域中广泛应用。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题离散化为有限数量的简单元素，然后通过求解这些元素的行为来获得整个系统的行为。
有限元方法的基本步骤包括对问题进行建模、离散化、求解和后处理。
首先，需要将实际问题抽象为数学模型，并确定模型中的物理量和边界条件。
然后，将问题的几何区域分割成一系列小的、简单的元素。
每个元素都有一组节点，节点之间通过连接关系形成了整个系统。
接下来，需要定义在节点上的适当数学函数来近似描述问题的解。
通过将这些函数与元素的物理行为相结合，可以建立一个离散的方程组。
求解这个方程组可以得到问题的数值解。
最后，通过对数值解进行后处理，可以获得感兴趣的物理量和结果。
有限元方法的优点之一是它的适应性和灵活性。
它可以处理各种不规则的几何形状和复杂的物理行为。
此外，有限元方法还可以处理多物理场的耦合问题，如结构-流体相互作用、热-力相互作用等。
这使得有限元方法在解决实际工程问题时非常有用。
然而，有限元方法也有一些局限性。
首先，它需要对问题进行合适的离散化，这可能需要一些经验和专业知识。
其次，有限元方法的计算量通常较大，特别是在处理大规模问题时。
此外，有限元方法对网格的质量和精细度要求较高，这可能会增加计算的复杂性和时间成本。
总的来说，有限元方法是一种强大而广泛应用的数值分析工具。
它在解决工程和科学问题时具有重要的作用，并且在不断发展和改进中。
对于那些希望深入了解和应用数值分析的人来说，有限元方法是一个必须掌握的重要工具。
有限元分析原理
有限元分析原理有限元分析是一种工程数值分析方法，用于求解结构、流体、热传导等领域的复杂问题。
它通过将整个问题分解为有限数量的小元素，利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个系统的行为。
有限元分析原理是有限元方法的基础，下面将对其进行详细介绍。
有限元分析的基本原理是将连续的问题离散化为有限数量的小元素，然后利用数学方法对这些小元素进行计算。
这些小元素通常是由节点和单元组成，节点是问题的离散点，而单元则是连接这些节点的小区域。
通过对每个单元的行为进行分析，可以得出整个系统的行为。
在有限元分析中，通常会使用一些数学模型来描述问题的行为。
这些数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，可以描述结构的刚度、流体的流动、热传导等各种物理现象。
通过将这些数学模型与有限元离散化方法相结合，可以得出问题的数值解。
有限元分析的核心思想是将复杂的问题简化为小的、简单的元素，然后通过对这些元素进行计算，得出整个系统的行为。
这种离散化的方法使得原本复杂的问题变得更容易处理，同时也为分析提供了更多的灵活性和精度。
在实际工程中，有限元分析被广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等领域。
它可以帮助工程师们更好地理解和预测系统的行为，从而指导工程设计和优化。
同时，有限元分析也为新材料、新结构的设计提供了重要的工具和方法。
总的来说，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化和数学建模的方法，帮助工程师们更好地理解和预测系统的行为。
有限元分析原理是有限元方法的基础，对其进行深入的理解和掌握，对于工程技术人员来说至关重要。
通过不断地学习和实践，我们可以更好地运用有限元分析方法，为工程实践提供更多的帮助和支持。
有限元分析总结
有限元分析总结引言有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种广泛应用于工程、物理学等领域的计算方法，用于模拟和分析复杂结构的行为。
通过将复杂结构离散为许多小的有限元件，然后利用数值方法求解这些元件的行为，从而得到整个结构的行为情况。
本文将对有限元分析的原理、应用和优缺点进行总结。
有限元分析原理有限元分析的核心思想是将连续结构离散化，并假设每个小元素的行为是线性的。
然后，通过构建结构的刚度矩阵和荷载向量的方程组，利用数值计算方法求解节点的位移和应力分布。
具体的步骤如下：1.确定要分析的结构的几何形状，将其划分为有限数目的小单元，例如三角形或四边形元素。
2.在每个小单元内，选取适当的插值函数来估计位移和应力分布。
3.根据连续性条件，建立整个结构的刚度矩阵。
刚度矩阵的元素代表了各节点的相互作用关系。
4.构建荷载向量，其中包括外界载荷和边界条件。
5.求解线性方程组，得到结构的节点位移和应力分布。
6.进一步分析节点位移和应力数据，得到结构的各种性能指标。
有限元分析应用有限元分析在工程领域有着广泛的应用，例如：•结构强度分析：通过有限元分析可以评估结构在受载情况下的应力和变形情况，以及可能的破坏模式。
•热传导分析：有限元分析可以模拟热传导过程，预测物体内部的温度分布，以及热传导对结构性能的影响。
•流体力学分析：有限元分析可以描述流体的流动行为，例如流体中的速度、压力分布等。
•多物理场耦合分析：如结构与热传导、流体力学等多个物理领域的耦合问题，可以利用有限元分析进行综合分析。
有限元分析优缺点有限元分析作为一种数值计算方法，具有一些明显的优点和缺点：优点：•可以模拟和分析复杂结构的行为，如非线性和非均匀材料，不规则几何形状等。
•可以提供详细的节点位移和应力分布数据，对结构性能进行深入分析。
•可以快速进行多次迭代计算，探索不同设计参数对结构性能的影响。
•可以进行实时动态仿真和优化，为工程设计提供重要的支持。
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3“光滑边界” 和 与CAD的交互问题 其实这个算不上有限元的核心思想，不过是现在有限元研究热的不能再热的领域了，就是 Hughes提出的“NURBS”有限元法，它的原理是用空间样条曲线来划分单元。如第一幅图所示， 传统的有限元在处理不规则边界的时候一般都是较多的单元和用三角单元，多边形单元来解决， 而且单元控制点都是和单元在一个平面上。 而NURBS 单元的控制点脱离了单元本身，并且利 用B-spline理论
元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
发展NURBS的另外一个好处是，在建模中常用的CAD软件是用B- spline来进行模型建立基础的，而NURBS 正 好也是用用B-spline作为basis。 所以CAD和NURBS的交互可以非常简单和高效的，甚至可以说是无缝连接。因此 在工业界中十分复杂的模型都可以用CAD进行建模，再用NURBS进行有限元计算，如下图。现在成吨的有限元 paper都来自这个领域，因为有限元的基本理论基本已经成熟和robust，利用高性能计算机进行大尺度(largescale)和高复杂结构模拟也是有限元发展的一个主要方向。
元计算科技发展有限公司是一家既年青又悠久的科技型企业。年青是因为她正处在战略重组 后的初创期，悠久是因为她秉承了中国科学院数学研究所在有限元和数值计算方面所开创的光荣 传统。元计算的目标是做强中国人自己的计算技术，做出中国人自己的CAE软件。
元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
浅谈有限元方法的核心思想
有限元法(Finite Element Method)是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数 值方法, 用来解决力学，数学中的带有特定边界条件的偏微分方程问题(PDE)。而这些偏微分方 程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。有限元和计算机发展共同构成了现 代计算力学 (Computational Mechanics)的基础。有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散 化”， 所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。
1数值近似
由于在有限元法被发明之前，所有的力学问题和工程问题中出现的偏微分方程只能依靠单纯的解 析解(Analytical Solution)得到解答。这种方法对数学要求很高，而且非常依赖于一些理想化的假定 (Assumption)。比如在土木工程中梁柱计算中出现的平截面假定，小应变假定，理想塑性假定。这些假 定其实是和实际工程问题有很大偏差的，而且一旦工程问题稍微复杂一些我们就不能直接得到解析解， 或者解析解的答案误差过大。而有限元法把复杂的整体结构离散到有限个单元(Finite Element)，再把这 种理想化的假定和力学控制方程施加于结构内部的每一个单元，然后通过单元分析组装得到结构总刚 度方程，再通过边界条件和其他约束解得结构总反应。总结构内部每个单元的反应可以随后通过总反 应的一一映射得到，这样就可以避免直接建立复杂结构的力学和数学模型了。其总过程可以描述为： 总结构离散化 — 单元力学分析 — 单元组装 — 总结构分析 — 施加边界条件 — 得到结构总反应 — 结构内部某单元的反应分析 在进行单元分析和单元内部反应分析的时候，形函数插值(shape function interpolation)和 高斯数值 积分(Gaussian Quadrature)被用来近似表达单元内部任意一点的反应，这就是有限元数值近似的重要体 现。一般来说，形函数阶数越高，近似精度也就越高，但其要求的单元控制点数量和高斯积分点数量 也更多。另外单元划分的越精细，其近似结果也更加精确。但是以上两种提高有限元精度的代价就是 计算量几何倍数增加。
3-D 单元 (3-D element) —— 立体结构 (3-D problem) 三角体 (tetrahedrons element) 立方体单元 (hexahedrons element) 多边体单元 (polyhedrons element) 具体的分类和单元形状见下图
可以看到每种单元又可以提高形函数的阶数(控制点 node 数量)来提高精度。很多有限元研 究也集中在这个领域。比如研究新的单元引用于结构动力反应以减小数值震荡，比如用3-D单 元去模拟梁单元等等。其实理论上来说这个领域以是无限的。
2离散化
离散化和相应单元特性和收敛研究也是有限元中一个重要研究领域，总的来说，有限单元和 他们组装成的总体结构主要分为：
1-D 单元 (1-D element)
杆单元 (bar element) —— 桁架 (truss) 梁单元 (beam element) —— 框架 (frame) 板单元 (plate element) —— 壳体 (shell) 2-D单元 (2-D element) —— 平面应力体(plain stress)和平面应变体(plain strain) 三角单元 (triangle element) 四边形单元 (quadrilateral element) 多边形单元 (polygonal element)
Thank you
P.S. ：需要提到一点的是，没有高性能计算机技术的大力发展，就不可能有有限元的发展。有限元的理论最 早是出现在 1960年代，直到1970之后才随着计算机的发展而迅速发展。而现在发展迅速的计算力学也是得益于 高性能计算机的发展。可能当某一天计算机处理速度可以强大到我们可以用最复杂，最密集的单元完美快速地 模拟任意结构，我们也不用再操心精度问题了。 所以我觉得有限元的核心还需要加上计算机技术的发展吧。
为了提高数值近似精度同时尽量较少地提高计算量，有限元法经历了很多发展和改良。下 图就是一典型的有限元问题，因为模型中间空洞部分几何不规则性，结构用有限三角单元划分。 由于在靠外区域，结构反应变化程度不是很大，因此划分的单元比较大和粗糙，而在内部，应 力变化比较大，划分也比较精细。而在左边单元划分最密区域，有应力集中现象(如裂纹问题 的奇异解现象)，所以又有相应的高级理论(比如non-local theory)来指导这部分的单元应力应变 计算。结构被选择性地离散，和高级理论构成了有限元发展的主要研究方向。