2019高考双曲线单元测试题

2019高考双曲线单元测试题
1.双曲线的渐近线为（）
A． B． C． D．
2.A已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（）
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（）
A． 2 B． C． D．
4.已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
5.已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为（）
A． B．C． D．
6．斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. [2，+∞） B. （2，+∞） C. D.
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为（），抛物线
的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.
8.若双曲线与双曲线的焦距相等，则实数的值为（）
A. -1
B. 1
C. 2
D. 4
9．已知点是双曲线（，）右支上一点，是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（）
A. B. C. D.
10.已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
11.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
12.已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
二、填空题
13. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________．
14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．
15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________
16.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
三、解答题
17.已知三点P、、.
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程.
18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．
19.已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切．
20.已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.
21.已知双曲线的左右两个顶点是，，曲线上的动点关于轴对称，直线
与交于点，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.
22.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
1.双曲线的渐近线为（）
A． B． C． D．
【答案】A
2.A已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则
的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为点到渐近线的距离为1，所以b=1，因为c=,所以a=1，因此的方程为，选A.
3.双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（）
A． 2 B． C． D．
【答案】C
4.已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
【解析】
由方程表示双曲线，焦点坐标在y轴上，可知，
则c2=a2+b2=25，即，
故双曲线的焦点坐标为：，
故选：C．
5.已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
6．斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. [2，+∞） B. （2，+∞） C. D.
【答案】D
【解析】∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴＞，
∴e==＞．
∴双曲线离心率的取值范围是（，+∞）．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为（），抛物线
的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.
【答案】A
8．若双曲线与双曲线的焦距相等，则实数的值为（）A. -1 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】由题意得，选C.
9．已知点是双曲线（，）右支上一点，是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(c, c)，
代入双曲线方程，
可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，
故选：D.
10.已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于
双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
11已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.
方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.
12.已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空题
13. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________．【答案】
【解析】
因为方程表示双曲线，
所以，即.
14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．【答案】
15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________
【答案】4
【解析】
由题意，双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式得，
即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.
16.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
三、解答题
17.已知三点P、、.
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程.
【答案】(1) ;(2) -.
（2）∵双曲线焦点在轴上，故设所求双曲线的标准方程为-，由双曲线的定义知，
，
∴，，
故所求双曲线的标准方程为-.
18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．
【答案】(1);(2)
（2）因为等轴双曲线的渐近线方程为，
点在第一象限且是渐近线上的点，
∴设点坐标为，
∵等轴双曲线，所以，
不妨设），
所以，，
又因为，所以，
所以，
解得（舍去负值），
所以点的坐标为．
19.已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
（2）设直线的方程为，则，，的中点为
由得
∴，
∵，即
∴（舍）或
∴，点的横坐标为
20.已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.
因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.
故椭圆的方程为.
设，，
根据根与系数的关系得，.
则.
因为，即.
整理得.
令，则.
所以.
等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.
故的最大值为.
21.已知双曲线的左右两个顶点是，，曲线上的动点关于轴对称，直线
与交于点，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2） .
（2）过的直线若斜率不存在则或3，设直线斜率存在，
，则
22.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）;（Ⅲ）.
（Ⅱ）设P（），
则=，.
因为点P在双曲线上，所以.
因此，即
（Ⅲ）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得
所以，所以
故恒成立.。