等差数列
(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 则此数列是等差数列，d 为公差； (3)若d＝0，则该数列为常数列．
(2)对于数列{an}，若an－an－1＝d(d是与n无关的数或字母)，n≥2，
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项。 7 ，8 ，9； 12，9，6； 3 b,3 3b,3 5b.
例2. 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31，求通项 公式。 解： 依题意得 a1+4d = 10 a1+11d = 31
解得：a1= -2 , d = 3;
即这个等差数列的首项是-2，公差是3。
所以数列an 的通项公式为：an =-2+3(n 1)=3n 5
点评：等差数列中，首项与公差是关键点。
例题：已知数列an 满足a1 2, an 1
2an an 2
1 (1)数列 是否为等差数列？说明理由 an (2)求an
例3 数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1(n≥2)， 其中a4=365． (1)求a1，a2，a3； an (2)若存在一个实数λ，使得 { 为等差数 } n 列，求λ的值； 3
10 15 20 25 30 0，5，____,____,____,____,____, …… 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5
①
② ③
10072，10144，10216，10288，10360.
④
0，5，10，15，20，25， …… 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5
a10=3
第9项开始为正数
例3. 三个数成等差数列，它们的和为18，它们的
平方和为116，求这三个数.
注意：要合理运用等差中 变式拓展3
课堂小结
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2.等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
推导出公式： an＝am＋(n－m)d . 3.等差中项： an an 1 an 1 2
an a1 d n1
an am d nm
1. 性质
课本P39 练习4 , 5
在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
例1. 在等差数列{an}中
(1) 若a5＝a, a10＝b, 求a15； (2) 若a3＋a8＝m, 求a5＋a6.
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d ,
……… 由此可知等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
0，5，10，15，20，25， …… 公差 d = 5； 48，53，58，63 公差 d = 5； 18，15.5，13，10.5，8，5.5 公差 d = -2.5； 公差 d = 72； ② ③
作业:P40 1,
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2). 2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 推导出公式：an＝am＋(n－m)d . 3.等差中项： an an 1 an 1 2
复习引入
4. 有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
2A=a+b
ab A a , A, b 成等差数列. 2
一般地，如果等差数列 {an} 的首项是 a1 ， 公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得 到 a a d , a a d , a a d , .
2 1 3 2 4 3
所以 a2 a1 d , a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d ,
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
练习1 : 在等差数列an 中 已知a2 a3 a23 a24 48, 求a13
练习2：已知a1，a2，a3，……，a30为等差数列， 若a3＋a21=30，则a18＋a6＝？
a20 8 (20 1) (3) 49.
得
(2)由 a1 5, d 9 (5) 4, 得这个数列的通项公 式为 an 5 4(n 1) 4n 1. 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 401 4n 1 成立。 解这个关于n的方程，得n＝100，即-401是这个数 列的第100项。
也就是说，这些数列有一个共同特点：从第 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公 差通常用字母d表示。d可正可负可为0!
判定下列数列是否是等差数列？如果是请指出公差。 (1) 10. 9 ，8，7，6，5，4，……； 是,d=-1 (2) 1，1，1，1，……；是, d=0 (3) 1，0，1，0，1，……；不是 (4) 1，2，3，2，3，4，……；不是 (5) a, a, a, a, ……. 是,d=0
1 a 3 95, a 2 23, a1 5; 2
问鼎P119 9
作业：P120 8
b2 b1
3 A. 4
4 B. 3
2 C. 3
D.不能确定
1 3、设数列{an}是等差数列， a1 25 , a10 是第一 个比1大的项，则公差d的取值范围是 D 8 2 8 3 8 3 A.( ,) B.(, ) C.( , ) D.( , ] 75 25 75 25 75 25 4、若lg2，lg(2x-1)，lg(2x+3)成等差数列，则x的 值等于 ． log25
例2. 已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中 p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗？ 如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一 次型函数，那么这个数列必定是等差数列.
an a1 d n1
an am d nm
练习： 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2－2n，求
公差 d = 5； 从第二项起，每一项与前一项的差都等于5；
② ③ 公差 d = 5； 公差 d = -2.5；
①
从第二项起，每一项与前一项的差都等于5； 从第二项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；
10072，10144，10216，10288，10360.
公差 d = 72； ④
从第二项起，每一项与前一项的差都等于72.
变式：求a19 =？
练习
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝ 2005，则n＝( C ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670 2. 在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列， 则插入的7个数的第四个数是( D ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 3. 一等差数列-23，-20，-17，…中， 求： (1)第10项； (2)第几项开始为正数？
证数列{an}成等差数列，并求其首项、公差、通项
公式.
三、课堂练习
1、设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12， 前三项的积为48，则它的首项是 B A．1 B．2 C．4 D．6 2、若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1， b2，b3，y各成等差数列，那么 a 2 a1 等于 B
①
10072，10144，10216，10288，10360.
④
变式：已知数列an , 且a1 1, an 1 an 3, 求数列的第20项
例1 (1)求等差数列8，5，2，…的第20项； (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？ 如果是，是第几项？ 解： (1)由a1 8, d 5 8 3, n 20,
等差数列
数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。
2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
等差数列公式大全
等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（ （注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。
8、 在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。
等差数列的性质及应用
等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。
它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。
2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。
二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。
例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。
2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。
3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。
例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。
三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。
求第5年的降雨量。
解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。
2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。
求这4次考试的平均分。
解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。
平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。
由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。
等差数列
(2) 4, 8, 12, 16, 20 ,…
a1 4 d a 2 a1 4 an a1 (n 1)d 4 (n 1) 4
a n 4n
(3) 7, 4, 1, -2, -5, …
a1 7 d a 2 a1 3 an a1 (n 1)d 7 (n 1) ( 3)
Sn
n(a1 a n )
求和公式2： S n na 1
d
例 在等差数列中： (1)已知 a1 5, a10 15，求 S10 ； (2)已知 a1 5, d 3，求 S 20 .
解 (1)S10
10 (a1 a10 ) 2 10 (5 15) 2
四、前n项的求和公式
Sn a1 a 2 a 3 an
求和公式1：
Sn
n(a1 a n ) 2
例 求1ห้องสมุดไป่ตู้100的所有整数之和.
解 a1 1、d 1
S100 100 (1 100) 2
50 101 5050
2 将 an a1 (n 1)d 代入，得： Sn n(a1 a1 (n 1)d) 2 2na 1 n(n 1)d 2 n(n 1) 2
Sn 999 n(a1 a n ) 2 n( 20 54) 2
n 27
a 27 a1 26d
54 20 26d
d
34 26
17 13
4.在等差数列中 a15 10, d 2, 求S16 .
解 a15 a1 14d
10 a1 14 2 a1 38
a1 a4 a1 a1 3d 2a1 3 ( 2) 10 a1 8
等差数列定义
等差数列定义
等差数列是一种常见的数列，其定义为：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如，数列 1，4，7，10，13，16 就是一个等差数列，其中，公差为 3。
等差数列的通项公式是：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示等差数列的第 n 项，a1 表示等差数列的第一项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。
等差数列的性质有：
1. 公差相等性质：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，公差相等。
2. 首项性质：等差数列的第一项称为首项，通常用 a1 表示。
3. 末项性质：等差数列的最后一项称为末项，通常用 an 表示。
4. 项数性质：等差数列中项的数量称为项数，通常用 n 表示。
5. 总和性质：等差数列的前 n 项和称为总和，通常用 Sn 表示。
通过这些性质，可以求解等差数列的各种问题。
例如，可以根据已知的等差数列前几项和公差，求出数列的通项公式和第 n 项的值；也可以根据已知的等差数列前几项，求出数列的前 n 项和。
等差数列在数学中有广泛的应用，例如在科学和工程中，可以用等差数列描述时间、距离、速度等变化规律；在金融领域中，可以用等差数列描述资金的增长和降低等变化规律。
等差数列公式大全
等差数列公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（ （注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a m n --=q p a a q p --=d 6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。
8、 在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d9、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小10、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系： ①当n 为奇数时，n s =21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法： ⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列 ⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。
等差数列的概念
等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。
它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。
一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。
数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。
公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。
2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。
3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。
4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。
总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。
这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。
三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。
1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。
通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。
2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。
例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。
3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。
例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。
四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。
例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。
解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。
第2讲 等差数列
知识归纳一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．2．等差中项：如果三数a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.二、等差数列的通项公式等差数列{a n }的通项a n ＝a 1＋(n －1) d ＝a m ＋(n －m )d.推导方法：累加法a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. 三、等差数列的前n 项和公式 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d. 推导方法：倒序相加法． 四、用函数观点认识等差数列 1．a n ＝nd ＋(a 1－d)(一次函数)．2．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n(常数项为零的二次函数)．五、等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列，证明一个数列为等差数列，一般用定义法；(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)通项公式法：a n ＝kn ＋b(k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (5){a n }是等差数列⇔{S nn }是等差数列．六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋a n ；若2m ＝p ＋q ，则有 a p ＋a q ＝2a m ，(p ，q ，m ，n ∈N *)． 2．任意两项的关系在等差数列{a n }中，m 、n ∈N *，则a m －a n ＝(m －n)d 或a m ＝a n ＋(m －n)d 或a m －a nm －n＝d. 3．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.等差数列的依次n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，……第2讲 等差数列为等差数列，公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．4．设等差数列{a n}的公差为d，那么(1)d>0⇔{a n}是递增数列，S n有最小值；d<0⇔{a n}是递减数列，S n有最大值；d＝0⇔{a n}是常数数列．(2)数列{λa n＋b}仍为等差数列，公差为λd.(3)若{b n}，{a n}都是等差数列，则{a n±b n}仍为等差数列．(4)项数为n的等差数列中，n为奇数时，S奇－S偶＝a n+12，S奇S偶＝n＋1n－1.S n＝na中＝na n+12.n为偶数时，S偶－S奇＝n2d.(5)若{a n}与{b n}为等差数列，且前n项和分别为S n与S′n，则a mb m＝S2m－1S′2m－1.误区警示1．用a n＝S n－S n－1求a n得到a n＝pn＋q时，只有检验了a1是否满足a n，才能确定其是否为等差数列，前n项和是不含常数项．．．．．的n的二次函数时，{a n}才是等差数列．2．在讨论等差数列{a n}的前n项和S n的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形．3．如果p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则a p＋a q＝2a r，而不是a p＋a q＝a2r.方法技巧一、函数思想等差数列的通项是n的一次函数，前n项和是n的二次函数，故有关等差数列的前n项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．[例1]已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a5＝11，则a n＝__________.二、等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.[例2]有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数．典例讲练等差数列的通项已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8 D ．等差数列且公差为9①在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18②已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n }是等差数列，则a 11等于( )A.0B.16C.13D.12等差数列的前n 项和①等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66②设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn }的前n项和，求T n .①已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12B ．1C ．2D ．3②已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6 B ．S 5<S 6 C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6等差数列性质的应用已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m>1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 为( ) A ．10 B ．19 C ．20D ．39①等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70D ．75②在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( )A. 3 B ．－1 C ．1D.33有关等差数列的最值问题等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？①若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值②已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21综合应用设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1、a 2、a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．①数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11②设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n <1.课堂巩固1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．452．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．53．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( ) A ．2n －3 B ．2n －1 C ．2n ＋1 D ．2n ＋34．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5.设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.136.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．187.已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．248.已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．49.设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( ) A ．22 B ．21 C ．20D ．1910.已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝A.1B.34C.12D.3811.已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m)y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( ) A.921 B.1021 C.1121D.202112.设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.13.已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：记A(m ，n)表示第m 行的第n 个数，则A(21,12)＝________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …14.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15.已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( ) A ．－2或－3 B ．2或3 C ．－2 D ．316.已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P(1，a n )，点Q(2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．117.数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.18.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且 b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.31020．将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32D ．3321．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．205822．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i<4?B ．i<5?C ．i≥5?D ．i<6?23．已知函数f(x)＝sinx ＋tanx.项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d≠0.若f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 27)＝0，则当k ＝______时，f(a k )＝0.24．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．25．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22D ．442．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．94．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为 A ．3 B ．－1 C ．2 D ．3或－15．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( ) A ．16 B ．11 C ．－11 D ．±116．在函数y ＝f(x)的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝2x ＋1B ．f(x)＝4x 2C ．f(x)＝log 3xD ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b 2的值为________．8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 9．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …………2826那么10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f(x)＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的第n 项和T n .11.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 15a 15B.S 9a 9C.S 8a 8D.S 1a 113．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升14．若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.15．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .。
等差数列
等差数列等差数列是数学中常见且重要的一种数列类型。
它是由若干个数字按一定的规律排列而成的序列。
在等差数列中，每两个相邻的数字之间的差值是相等的。
对于任意一个等差数列，可以通过首项和公差来描述。
首先，让我们回顾一下数列的概念。
数列是按照一定顺序排列的一串数。
在等差数列中，如果从第二项开始，每一项与它前面的一项的差值都相等，则该数列就是等差数列。
例如，下面是一个等差数列的示例：2, 5, 8, 11, 14, ...在这个数列中，首项是2，公差是3，因为从第二项开始，每一项与它前面的一项的差值都是3。
等差数列在数学中有着广泛的应用。
首先，它们在代数中起着重要的作用。
通过研究等差数列的特性，我们可以发现它们的规律和性质，从而推导出一些数学公式。
这些公式在解决数学问题时非常有用。
其次，等差数列在几何学中也有应用。
当我们在画图时，往往需要将一些重复出现的形状进行排列。
而等差数列正是解决这类问题的理想选择。
我们可以使用等差数列的规律来确定每个形状的位置，从而快速而准确地绘制出整个图形。
另外，等差数列还在实际生活中发挥着重要的作用。
比如，我们经常会遇到一些变化规律呈现出等差数列的情况。
例如，每天增加的温度、地铁站里的票价递增等等都可以用等差数列来进行描述。
通过了解等差数列的性质，我们可以更好地理解这些现象，并能够做出相应的预测和决策。
在解决等差数列相关问题时，我们需要掌握一些基本的计算公式。
首先，我们可以通过已知数列的首项和公差来计算出任意一项的值。
其计算公式为：第n项的值 = 首项 + (n - 1) * 公差另外，如果我们已知数列的首项、末项和项数，我们也可以通过以下公式来计算出公差的值：公差 = (末项 - 首项) / (项数 - 1)通过这些公式，我们可以在不知道数列中具体的每一项而只知道一些基本信息的情况下，依然能够计算出数列的各种参数。
在实际问题中，等差数列的应用非常广泛。
尤其是在金融领域，等差数列经常用来计算贷款的还款额或投资收益等相关问题。
等差数列
证: 数列 {bn} 是等差数列; (2)求数列 {an} 的通项公式. 2(an-2) 4 (1)证: 由已知 an+1-2=2- a = a . n n an 1 1 1 ∴ a -2 = 2(a -2) = 2 + a -2 . n+1 n n 1 . 即 b -b = 1 . ∴ a 1 -2 - a 1 = n+1 n 2 2 n+1 n-2 故数列 {bn} 是等差数列. (2)解: ∵{ a 1 } 是等差数列, 2 n 1 1 = n. ∴ a -2 = a 1 +( n 1) 2 2 n 1- 2 2. ∴an=2+ n 2. ∴数列 {an} 的通项公式为 an=2+ n
典型例题
5.在等差数列 {an} 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的 最大值. 5 (1)Sn=- 6 (n2-25n); (2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
四、Sn的最值问题
an≥0, 1.若 a1>0, d<0 时, 满足 an+1≤0.
an≤0, 2.若 a1<0, d>0 时, 满足 an+1≥0.
二 次 函 数
注: 三个数成等差数列, 可设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.