集合的基本运算

《集合的基本运算》教学设计
课题：集合的基本运算
教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修一
一、教学内容的地位、作用分析
集合是学生升入高中以后学习的第一个内容，不仅是高中数学内容的一个基础，也为以后其他内容的学习提供了帮助。

集合作为现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容，在现代数学理论体系中的占有基础性的地位。

我们学会集合的基本内容后，不仅可以用集合语言表示有关数学对象，也为后面函数概念的描述打下了基础。

本节《集合的基本运算》是集合这一节里面的核心内容。

本节的主要内容是交集、并集、补集的概念及交、并、补的运算，要从自然语言、符号语言、图形语言三个方面去理解交、并、补的含义，可以培养学生数形结合的数学思想。

同时这一部分不仅是考查的重点知识，同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点，经常作为知识的载体出现。

二、学情分析
学生在小学和初中已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合等，对集合有了一个大概的了解。

进入高中以后，学习的第一个内容便是集合。

通过《集合的含义与表示》的学习，学生们知道了集合的概念，和其确定性、无序性和互异性三个特征，了解了元素与集合之间的关系（元素属于集合或元素不属于集合），同时学会了列举法和描述法两种表示方法。

通过《集合间的基本关系》的学习，我们明确学习了集合与集合的关系，包括包含关系（子集和真子集），相等关系，并规定了不含任何元素的集合叫做空集。

同时，在节当中，我们引入了Venn图这个工具，对中集合的运算的学习也提供了帮助。

三、教学目标和重点、难点分析
教学目标
知识目标：（1）理解两个集合之间并集的概念，会求两个简单集合的并集；
（2）理解两个集合之间交集的概念，会求两个简单集合的交集；
（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
（4）在解题过程中能灵活选择应用数轴或Venn图.
能力目标：（1）通过Venn图的使用和数轴的使用，让学生们领悟数形结合的数学思想；
（2）通过给出集合作为例子，让学生思考它们之间的关系来给出并集和交集的定义，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展；
（3）讨论环节锻炼了学生交流合作能力以及表达能力.
情感目标：（1）通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，从中了解数学的重要意义
和应用的广泛程度，从而增加学生学习数学的兴趣；
（2）另外讨论环节的设置也可以让学生感受到人与人交流的乐趣，利于学生间的合作交流与和谐相处.
教学重点：（1）并集、交集的概念及其运算；
（2）学会使用Venn图和数轴来表示集合间的关系及运算.
教学难点：弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系
教学方法：讲授式、情景式、合作式
教具学具：幻灯片
四、教学策略分析
本节课的教学难点是弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系，针对这一教学难点，我们采取下面几个策略进行突破：
1、通过分组讨论，将并集、交集三个内容的概念，符号表示以及Venn图表示进行比较，让学生归纳总结出其中的异同点，从而巩固三个概念的记忆，同时了解这三者之前的区别与联系。

2、通过同一例题给定的两个集合，分别问这两个集合的交集和并集，通过计算过程与
计算结果的不同，给学生一个直观感受来体会并集、交集的不同。

五、教学过程
情景
李华和室友王伟一起到新百购物，李华买了水果、牛奶、纸巾和帽子四种商品，王伟买了牙膏、可乐、纸
巾、饼干和水果五种商品，问两人一共买了多少种商品若回答两人一共买了9（=5+4）种，显然是不对的。

让我们试着从集合的角度考虑这个问题。

思考1：
我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以相加呢
考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗
（1）A={1,3,5} B={2,4,6} C={1,2,3,4,5,6}
（2）A={x |x是有理数} B={x |x是无理数}
概念
一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合. 称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ；读作“A 并B ”。

用描述法表示为A ∪B = {x | x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示为： 则刚才思考1中的（1）、（2），集合A ，B 与集合C
之间的关系都可以表示为 A ∪B =C
例题
例1： 设A = {4，5，6，8}，B = {3，5，7，8}，
求A ∪分析：结合Venn 图 ：
解：A ∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8}
_ 3, 7
_
5_ 8
_ 4, 6
A B
A ∪B
例2：设集合A = {x | –1＜x≤2}，集合B = {x | 1≤x＜3}，求A∪分析：结合数轴：
解：A∪B={x | –1＜x≤2}∪{x | 1≤x＜3}
={x | –1＜x＜3}
（问：若中间两个实点变为虚点后范围改变了吗答：没有）
思考2
下列关系式成立吗
（1）A∪A=A
（2）A∪∅=A 构成集合的求并运算可以采用数轴上画出范围的方式来分析运算（问题的设置意在提醒学生注意端点值能否取到，使并集范围确立地更加仔细）。

既可以考察学生对并集的理解，又向学生介绍了几条常用性质。

（画Venn图）
交集的概念及运算应用
情景回顾
将两人买的商品用Venn图来表示：
通过刚才的学习我们知道，由两集合的所有元素组
成两集合的并集，其中公共部分纸巾和水果只出现一次。

问：由两集合的公共元素组成的集合又会是通过两
集合怎样运算得到的呢
情景再次回顾，在复习
并集的同时也引出了交集的
内容，再次激发学生的学习
兴趣，同时为下面的思考提
供了思路（公共元素）。

–10 1 2 3x
牙膏
可乐
牛奶
纸巾
思考3
考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系（1）A={2，4，6，8，10} ，B={3，5，8，12}
C={8}
（2）A={x |x是新华中学2004年9月在校的女同学}，B={x |x是新华中学2004年9月在校的高一年级
同学}，
C={x |x是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学}.
通过上面的情景回顾，学生很容易看出集合C是集合A、B的公共部分，再引导从元素的角度进行考虑（可适当回去参考并集概念的形式）。

猜测：
如果学生回答，集合C中的元素是由既属于集合A，又属于集合B的元素构成的。

则继续发问：
将（2）中的集合C改为：
C’={x |x是新华中学2004年9月在校的高一年级身高超过一米五的女同学}
同样也是集合C’中的元素既属于集合A，又属于集合B，上面的总结没有抓住全部的条件，比较集合C与集合C’，可以看出集合C是既属于集合A，又属于集合B的最大集合。

通过同学们讨论归纳，得到：上述问题中，集合C 是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成。

概念
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，成为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
用描述法表示为：A∩B = {x | x∈A且x∈B} Venn图表示为：
A B
A∩B
回顾
则刚才思考3中的（1）、（2），集合A，B与集合C 之间的关系都可以表示为
A∩B =C
例题
例3(板书)：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。

解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.
（1）直线l1，l2相交于一点P，可表示为
L1∩L2 = {点P}；
（2）直线l1，l2平行可表示为
L1∩L2 = ∅；
（3）直线l1，l2重合可表示为
L1∩L2 = L1 = L2
思考4
下列关系式成立吗
（1）A∩A=A；
（2）A∩∅=∅。

练习题
1、
A
B C
集合A、B、C的关系用Venn图表示如上，试用阴影画出下面集合运算后所代表的部分：
A∩（B∪C）；
（A∩B）∪C ；
A∩（B∩C）.
2、设A={x | x2-4x-5=0 } ，B={x | x2 = 1}，
试求A∪B 和A∩B.
并集、交集的概念
并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}
“数形结合”
重视Venn图的作用，充分运用数形结合（数轴，Venn图）解决集合的运算问题，便于直观地解决问题。

必做
A组：第6题、第7题
B组：第3题
选做
A组：第8题。