平面与圆柱面的截线
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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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[悟一法]
借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图 形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键．
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[通一类] 1．平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离 的和为10，求动点M的轨迹方程．
解：以两点的连线段所在的直线为 x 轴，线段的中垂线 为 y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨 x2 y2 迹是椭圆，设所求椭圆方程为 2＋ 2＝1. a b ∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4.则 b2＝9. x2 y2 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 25 9
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[研一题]
[例1] 已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹
角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以 G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与
圆柱截口椭圆的方程．
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分析：本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根
据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．
解：过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3， ∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. G1H 2 3 在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝ ＝ ＝4. sin∠G1G2H 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修21
抛物线
截线的一般形式和几何意义
截线的一般形式：平面与圆柱面、圆锥面的交线
几何意义：截线是平面与圆柱面、圆锥面的公共部分 截线的性质：截线是平面与圆柱面、圆锥面的交线，具有平面和圆柱面、 圆锥面的共同性质 截线的应用：截线在工程、建筑、机械等领域有广泛应用
03
平面与圆锥面的截 线
截线的定义和性质
截线：平面与圆锥面相交形成的曲线 性质：截线是圆锥面的一部分，具有圆锥面的性质 截线的形状：取决于平面与圆锥面的相对位置 截线的长度：取决于平面与圆锥面的交角大小
截线的分类和特点
截线类型：平面与圆锥面的截线可以分为直线、曲线和点
直线截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线平行， 则截线为直线
课件特点：图文并茂，易于理 解，便于记忆，适合学生自学
课件内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线定义、性质、应 用等，以及相关例题和练习题
课件形式：PPT课件，便于教 师讲解和学生自学，支持多媒 体播放和互动操作
课件使用方法和技巧
课件内容： 包括平面与 圆柱面、圆 锥面的截线 定义、性质、 应用等
内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线、截线的性质、
截线的应用等
教学方法：采用直观教学法， 通过图形的直观展示来理解
截线的性质和应用
教材使用方法和技巧
阅读教材：认真阅读教材中的内容，理解平面与圆柱面、圆锥面的截线原理。 动手实践：通过动手实践，加深对平面与圆柱面、圆锥面的截线原理的理解。 思考问题：思考教材中的问题，尝试自己解答，提高解决问题的能力。 交流讨论：与同学、老师交流讨论，分享自己的理解和想法，互相学习，共同进步。
课件形式： PPT演示文 稿，包含文 字、图片、 动画等元素
课件操作： 使用演示文 稿软件，熟 悉基本操作 和功能
截线的一般形式和几何意义
截线的一般形式：平面与圆柱面、圆锥面的交线
几何意义：截线是平面与圆柱面、圆锥面的公共部分 截线的性质：截线是平面与圆柱面、圆锥面的交线，具有平面和圆柱面、 圆锥面的共同性质 截线的应用：截线在工程、建筑、机械等领域有广泛应用
03
平面与圆锥面的截 线
截线的定义和性质
截线：平面与圆锥面相交形成的曲线 性质：截线是圆锥面的一部分，具有圆锥面的性质 截线的形状：取决于平面与圆锥面的相对位置 截线的长度：取决于平面与圆锥面的交角大小
截线的分类和特点
截线类型：平面与圆锥面的截线可以分为直线、曲线和点
直线截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线平行， 则截线为直线
课件特点：图文并茂，易于理 解，便于记忆，适合学生自学
课件内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线定义、性质、应 用等，以及相关例题和练习题
课件形式：PPT课件，便于教 师讲解和学生自学，支持多媒 体播放和互动操作
课件使用方法和技巧
课件内容： 包括平面与 圆柱面、圆 锥面的截线 定义、性质、 应用等
内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线、截线的性质、
截线的应用等
教学方法：采用直观教学法， 通过图形的直观展示来理解
截线的性质和应用
教材使用方法和技巧
阅读教材：认真阅读教材中的内容，理解平面与圆柱面、圆锥面的截线原理。 动手实践：通过动手实践，加深对平面与圆柱面、圆锥面的截线原理的理解。 思考问题：思考教材中的问题，尝试自己解答，提高解决问题的能力。 交流讨论：与同学、老师交流讨论，分享自己的理解和想法，互相学习，共同进步。
课件形式： PPT演示文 稿，包含文 字、图片、 动画等元素
课件操作： 使用演示文 稿软件，熟 悉基本操作 和功能
平面与圆柱面的截线 课件
2．如图乙所示，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD， AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为点F1、 F2，交BA、DC的延长线于点E、F，交AD于点G1，交BC于点 G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
图乙
图丙
(1)G2F1＋G2F2______AD.
(2)G1G2______AD. (3) G2F1 ______cos φ______sin θ.
AA 2 (2)所求截面为矩形 AA′B′B，面积等于 2 2 cm2. (3)点 O 到截面的距离即 OO′到截面的距离，也是点 O′ 到截面的距离为 2 cm.
2
的面积．
如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆
解析：如图所示，设椭圆是由半径为 r 的圆柱面的斜截
面截得的，且斜截面与母线所成角为，则 b=r，a= r . sin
5．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截
32
线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为____2 __．
6．已知平面δ斜截一准线半径为r的圆柱面，轴线与平面δ
所成的角为α，求证：存在圆柱面的内切球与平面δ相切．
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于
圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的
内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一
公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
平面与圆柱面的截线 课件
平面与圆柱面的截线
1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平 面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
圆柱的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱 面的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的 圆心；若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的 切点恰好是截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹德林 (Dandelin)双球．
类型 2 椭圆性质的应用
[典例 2] 如图所示，已知球 O1、O2 分 别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b， G1G2 与 Q1Q2 与垂直平分， 求证：F1F2＝2 a2－b2.
证明：连接 AB，作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形
ABHG1 是矩形．
所以 G1H＝AB. 因为 Q1、Q2 分别是 P1、P2 的平行射影，所以 P1Q1 綊 P2Q2.
所以四边形 P1Q1Q2P2 是平行四边形． 所以 Q1Q2＝P1P2，
即 Q1Q2 等于底面圆直径． 所以 G1H＝AB＝Q1Q2＝2b. 又由切线长定理，G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B， 所以 G2F1－G2F2＝G2B－G1A. 又 G1A＝BH，所以 G2F1－G2F2＝G2B－BH. 所以 F1F2＝G2H.
反之，如果根据所给条件能确定斜截面与已知圆柱母 线的夹角，也可以确定两焦球的球所示，F1、F2 叫做椭圆的焦点， F1F2 叫做椭圆的焦距，AB 叫做椭圆的长轴， CD 叫做椭圆的短轴．
3．椭圆的性质 (1)如果长轴为 2a，短轴长为 2b，那么 2c＝2___a_2_－__b_2 ． (2)准线：底面与截面的交线．
1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平 面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
圆柱的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱 面的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的 圆心；若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的 切点恰好是截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹德林 (Dandelin)双球．
类型 2 椭圆性质的应用
[典例 2] 如图所示，已知球 O1、O2 分 别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b， G1G2 与 Q1Q2 与垂直平分， 求证：F1F2＝2 a2－b2.
证明：连接 AB，作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形
ABHG1 是矩形．
所以 G1H＝AB. 因为 Q1、Q2 分别是 P1、P2 的平行射影，所以 P1Q1 綊 P2Q2.
所以四边形 P1Q1Q2P2 是平行四边形． 所以 Q1Q2＝P1P2，
即 Q1Q2 等于底面圆直径． 所以 G1H＝AB＝Q1Q2＝2b. 又由切线长定理，G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B， 所以 G2F1－G2F2＝G2B－G1A. 又 G1A＝BH，所以 G2F1－G2F2＝G2B－BH. 所以 F1F2＝G2H.
反之，如果根据所给条件能确定斜截面与已知圆柱母 线的夹角，也可以确定两焦球的球所示，F1、F2 叫做椭圆的焦点， F1F2 叫做椭圆的焦距，AB 叫做椭圆的长轴， CD 叫做椭圆的短轴．
3．椭圆的性质 (1)如果长轴为 2a，短轴长为 2b，那么 2c＝2___a_2_－__b_2 ． (2)准线：底面与截面的交线．
平面与圆柱面的截线(超链接)
平面与圆柱面的截线
平面与圆柱面的截线
教材分析 学情分析 教学目标
教学重难点
教学过程
教材分析
（1）高中数学选修4-1第三讲第二节
（2）更好地把握椭圆与其他几何图形的关系
（3）蕴含了丰富的思想方法，对于学生的数 学学习意义深远
学情分析
（1）有利因素：掌握一定基本知识 具备空间想象能力、几何直观能力
重点：平面与圆柱面的斜截线是椭圆 难点：定理的探究及证明过程
教学过程
生活情景 数学猜想 探究过程 得出结论
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
猜想：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
平面与圆柱面的截线
探究一：寻找定点
F1
O1
另一个定点？ 焦点关于短 轴对称
定理：平面与圆柱面的斜截线是椭圆。
例题:一圆柱底面半径为4，截面与轴成30°角， 从该截面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们 都与截面相切，求这两个切点之间的距离。
30°
作业布置
必做题：习题3.2
谢
谢
2
如图，把模型 顺时针旋180°
F2
F1
O1
F2 O2
O2
探究二：确定定长
定长
A O P
B
定长
O1 K1
切线长定理的空间推广
O2 K2
（定值）
所以平面与圆柱面的斜截线是椭圆
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
定理：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
情境引入
提出猜想
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面与圆柱面的截线
教材分析 学情分析 教学目标
教学重难点
教学过程
教材分析
（1）高中数学选修4-1第三讲第二节
（2）更好地把握椭圆与其他几何图形的关系
（3）蕴含了丰富的思想方法，对于学生的数 学学习意义深远
学情分析
（1）有利因素：掌握一定基本知识 具备空间想象能力、几何直观能力
重点：平面与圆柱面的斜截线是椭圆 难点：定理的探究及证明过程
教学过程
生活情景 数学猜想 探究过程 得出结论
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
情境引入
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合作探究
获得新知
课堂小结
猜想：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
平面与圆柱面的截线
探究一：寻找定点
F1
O1
另一个定点？ 焦点关于短 轴对称
定理：平面与圆柱面的斜截线是椭圆。
例题:一圆柱底面半径为4，截面与轴成30°角， 从该截面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们 都与截面相切，求这两个切点之间的距离。
30°
作业布置
必做题：习题3.2
谢
谢
2
如图，把模型 顺时针旋180°
F2
F1
O1
F2 O2
O2
探究二：确定定长
定长
A O P
B
定长
O1 K1
切线长定理的空间推广
O2 K2
（定值）
所以平面与圆柱面的斜截线是椭圆
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
定理：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
情境引入
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平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修13
内容一：平面与圆柱面的截线 a. 截线类型：平行、垂
02 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
a. 截线类型：平行、垂直、倾斜 b. 截线性质：长度、角度、面积
内容二：平面与圆锥面的截线 a. 截线类型：平行、垂
03 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
截线的性质
截线是平面与圆柱面、圆锥面的 交线
截线的形状取决于平面与圆柱面、 圆锥面的相对位置
添加标题
添加标题
截线可以是直线、曲线或点
添加标题
添加标题
截线的长度、方向和位置可以通 过几何关系计算得出
截线与圆柱面的关系
截线与圆柱面的切线：截线 与圆柱面相切时，会产生一 条切线。
截线与圆柱面的交点：截线 与圆柱面相交时，会产生一 个交点。
05
人教A选修(22)介绍
人教A选修(22)简介
教材名称：人教A选修(22) 教材内容：平面与圆柱面、圆锥面的截线 教材特点：理论与实践相结合，注重培养学生的动手能力和创新能力 教材适用范围：高中数学选修课程，适用于对数学有兴趣的学生
人教A选修(22)内容概述
平面与圆柱面、圆锥面的截线：介绍平面与圆柱面、圆锥面的截线及其性质 截线方程：介绍截线的方程及其求解方法 截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系及其应用 截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点及其性质
YOUR LOGO
20XX.XX.XX
平面与圆柱面、圆锥面的截线
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 与 圆 柱 面 的 截 线
02 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
a. 截线类型：平行、垂直、倾斜 b. 截线性质：长度、角度、面积
内容二：平面与圆锥面的截线 a. 截线类型：平行、垂
03 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
截线的性质
截线是平面与圆柱面、圆锥面的 交线
截线的形状取决于平面与圆柱面、 圆锥面的相对位置
添加标题
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截线可以是直线、曲线或点
添加标题
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截线的长度、方向和位置可以通 过几何关系计算得出
截线与圆柱面的关系
截线与圆柱面的切线：截线 与圆柱面相切时，会产生一 条切线。
截线与圆柱面的交点：截线 与圆柱面相交时，会产生一 个交点。
05
人教A选修(22)介绍
人教A选修(22)简介
教材名称：人教A选修(22) 教材内容：平面与圆柱面、圆锥面的截线 教材特点：理论与实践相结合，注重培养学生的动手能力和创新能力 教材适用范围：高中数学选修课程，适用于对数学有兴趣的学生
人教A选修(22)内容概述
平面与圆柱面、圆锥面的截线：介绍平面与圆柱面、圆锥面的截线及其性质 截线方程：介绍截线的方程及其求解方法 截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系及其应用 截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点及其性质
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平面与圆柱面、圆锥面的截线
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目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 与 圆 柱 面 的 截 线
最新人教版高中数学选修4-1《平面与圆柱面的截线》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．如图，椭圆中，F 1、F 2是焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线，则A 1A 2叫做椭圆的长轴，B 1B 2叫做椭圆的短轴，F 1F 2叫做椭圆的焦距．若长轴为2a ，短轴为2b ，则焦距2c ＝2a 2－b 2.3．椭圆上任一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos φ，则直线l 1叫做椭圆的一条准线．4．若e ＝cos φ，则e 叫做椭圆的离心率．1．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )．A ．9倍B ．4倍C ．12倍D ．18倍答案：A解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c ，由已知，得2a 3＝2c ，即a ＝3c ， ∴两准线间的距离为2a 2c ＝18c 2c＝18C ． 2．下列说法不正确的是( )．A ．圆柱面的母线与轴线平行B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D解析：显然A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．3．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________． 答案： 3解析：由题意知⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴Dandelin 球的半径为 3.4．已知平面α与一圆柱的底面成60°角，则该平面与圆柱截口图形的离心率是__________． 答案：32解析：平面与圆柱面截口图形为椭圆，其离心率e ＝sin 60°＝32. 5．已知一平面截圆柱面所得的截口椭圆的离心率为35，长轴长是20，求该圆柱的底面圆半径．解：设该椭圆半焦距为c ，短半轴长为b ，长半轴长为a ，则a ＝10，e ＝c a ＝35.∴c ＝35×10＝6. ∴圆柱的底面圆半径r ＝b ＝a 2－c 2＝102－62＝8.。
平面与圆柱面的截线 课件
(2a)2 -(2b)2 =2 a2 -b 2 ,
1.圆柱形物体的截口是(
)
A.双曲线
B.圆
C.抛物线
D.椭圆或圆
解析:当截面与圆柱的底面平行时,截口是圆,否则是椭圆.
答案:D
2.若一条直线与过平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则这条直线与
这条斜线的位置关系是(
)
A.垂直
B.异面
C.相交
D.不能确定
我们把 A1A2 叫做椭圆的长轴,B1B2 叫做椭圆的短轴,F1F2 叫做椭圆的
焦距.如果长轴为 2a,短轴为 2b,那么焦距 2c=2 a2 -b 2 .
(3)Dandelin 双球探究椭圆性质:如图所示,设球 O1,O2 与圆柱的交线(圆)
所在的平面分别为 α,γ,椭圆所在的斜截面 β 与它们的交线分别为 l1,l2,α,γ 与
PQ
P1
PQ
=
φ=定值.
②椭圆上任意一点到焦点 F1 的距离与到直线 l1 的距离之比为定值 cos
φ.我们把直线 l1 叫做椭圆的一条准线.
③椭圆上任意一点到焦点 F2 的距离与到直线 l2 的距离之比也为定值
cos φ,所以 l2 是椭圆的另一条准线.
④记 e=cos φ,我们把 e 叫做椭圆的离心率.
其截平面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等,解直角三角
形,以及平行射影的性质.
【典型例题 2】 如图所示,已知球 O1,O2 分别切平面 β 于点 F1,F2,P1P2
为☉O1 的一条直径,Q1,Q2 分别为 P1,P2 在平面 β 内的平行射
影,G1 G2=2a,Q1Q2=2b,G1 G2 与 Q1Q2 垂
直平分,求证:F1F2=2 a2 -b2 .
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E l1 A Q
O1 K1
B
G1
F1
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
K2
图7
大兴安岭实验中学 杨丽英
由切线长定理知G1F2 G1D, F2G2 G2C,
A E G1
O1
B
F1
F2 G2
D
F O2 C
图2
所以G1G2 G1D G2C. 连接F1O1, F2O2, 容易证明EF1O1 FF2O2.
所以EO1 FO2.又因为O1 A O2C,所以EA FC. 于是可证得FCG2 EAG1.所以G1 A G2C .
G2 E
将图3 中的两个圆拓广
为球面, 将矩形A B CD看成 是 A O1 B 圆柱面的轴截面 , 将 EB、DF G1 F1 K1
拓广为两个平面 、 , EF 拓
广为平面 ,得到图4.显然,平 面与圆柱面的截线是椭圆 .根 D
据上面的结论, 你能猜想这个
P F2
O2
G2 C
K2
椭圆的两个焦点的位置吗 ?
所以G1G2 G1D G1 A AD.
在RtG2EB中, cos G2B
G2 E
A E G1
O1
B
F1
G2F1 ,即G2F1 G2E cos
G2 E
F2 G2
D
F O2 C
又因为 900 ,
所以G2F1 G2E cos G2E sin.
图3
由此得到结论:
1G2F1 G2F2 AD; 2G1G2 AD ; 3 G2F1 cos sin .
则PK 、PK 分别是两球面的切线 ,ห้องสมุดไป่ตู้切点为
1
2
K 、K .根据切线长定理的空间 推广, 知
1
2
PF PK , PF PK ,
1
1
2
2
所以PF PF PK PK AD.
1
2
1
2
由于AD为定值, 故点P的轨迹是椭圆.
A
O1
B
G1 F1
K1
P F2
D
O2
G2 C
K2
图6
我们知道椭圆存在 离心率和准线，你 能结合图7估计椭 圆的准线是那两条 吗？
图1
1 G2 F1 G2 F2与AD有什么关系? 相等
2 AD的长与G1G2的长有什么关系? 相等
3 G F 与G E有什么关系?
21
2
G2F1 cos sin .
G2 E
由图 2, 根据切线长定理有 G2F1 G2B, G2F2 G2C, 所以G2F1 G2F2 G2B G2C BC AD. 又因为G1G2 G1F2 F2G2 ,
图4
我们猜想, 两个焦点可能在
两个球与斜截 面的切点上, 即过球心 O1、O2 分别作斜 截面的垂线,其垂足 F1、F2 就可能是焦点.为此, 我们需 要证明: 对于截口上任意一 点P,有PF1 PF2 定值.
A
O1
B
G1 F1
K1
P F2
D
O2
G2 C
K2
探究 如图5,当点P与G2
重合时,可以得到什么结论 ?
图5
当点P在其他位置时, 还有这个结论吗 ?
由于图5 就是图6 经过母线 AD、
BC的轴截面,由前面已有的结论 ,当点
P与G 重合时, 有G F G F AD.
2
21
22
当点P不在端点时, 连接PF、PF ，则PF、
1
2
1
PF 分别是两个球的切线 2
,
切点为
F、F
1
2
.
过P作母线, 与两球面分别相交于 K 、K , 2 1
大兴安岭实验中学 杨丽英
探究 : 如图1, AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ,
A E G1
O1
B
AD、BC与两圆相切.作两圆的公切线EF, F1
切点分别为F 、F , 交BA、DC的延长线于
F2
G2
12
D
E、F , 交 AD于G , 交 BC于G .设EF与BC
F O2 C
1
2
、CD的交角分别为、 .