点估计和估计量的求法演示文稿
§6.2 估计量的评价标准 演示文稿3
所以
ES=E S E(
2
n ( ) n n 2 n 1 2 2 ( ) 2 n 1 2 n 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2
n 1
Y)
EY1/ 2
注意到 当 n 时，Cn 1
所以， S 是的渐近无偏估计量。从而当样本容量 很大时，不经修正，S 也是 很好的估计量。
n n 1 2 n
ˆ 若对任意 0, lim P( n ) 1 成立，
n
ˆ 则称 n为的相合估计量。(一致估计量)
由定义可知， 估计量
P ˆ (未知参数） n
依据贝努里大数定律： 由辛钦大数定律
频率
i
n
是概率P的相合估计量，
1 n 样本均值 X i 是 EX的相合估计量。 n i 1
要使似然函数取最大值，要求的取值越小越好，
n
0 x i i 1, 2,.....n.
ˆ max X1 , X 2 .......Xn 的密度函数为
ˆ y n( y ) n 1 1 dy n E 0 n+1 ˆ max X1 , X2 .......Xn 不是的无偏估计量。
n 1 2 n (n 1) 2 2 ( ) n n2 n(n 2) 2 2 ˆ2 E 2 E 2 (n 1) 2 2 ˆ ˆ D n(n 2) n(n 2)
2
ˆ n+1 E( x ) n+1 n E (n ) n n n 1 ˆ 2 ( n+1) 2 E( x ) 2 ( n 1) 2 y 2 n( y ) n 1 1 dy E (n ) 0 n n
点估计.PPT
这样得到的 与样本观察值x1, x2 , ····, xn有关，记作 称为参数的极大似然估计值，称统计量 为的极大似然估计量。
若总体X为连续型，设x1, x2 , ····, xn是相应于样本X1, X2 , ····, Xn的一个样本值, 则随机点(X1, X2 , ····, Xn)近似 地落在点(x1, x2 ,····,xn)的邻域(边长为dx1, dx2 , ····, dxn的 n维立方体)内的概率近似为
例 2 假设在一罐中放有许多白球和黑球，并知两种 球的数目之比是1:3; 但不知那种球的颜色多. (现抽一球, 为黑的概率可能是3/4，也可能是1/4)。今连抽两球，全 为黑球。问袋中黑球多还是白球多？
解 直观上可以回答。现以概率的角度考虑。设抽
从b(n, p).
这就是说，罐中黑球多时，出现两个全黑的的概率 比白球多时出现两个全黑的概率大的多,或说使n=2的样 本来自p=1/4的总体的可能性大的多。用到“概率最大的
s2+2=A2 .
解上述方程组，得和s2的矩估计量分别为
所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因 不同的总体分布而异。
例如，X~N(,s2), , s2未知，即得, s2的矩估计量为
三 、 极大似然估计法 例 1 某学员与一位神枪手一同进行实弹射击,各打 一发,同一靶,仅中一发,试问认为这一发是谁打中较合理 ？
着火次数k
0 123456
发生K次着火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 =250
解 由于X()故有=E(X).我们自然想到用样本 均值来估计总体的均值E(X).现由已知数据计算得到
得估计 E(X) =的估计值为1.22。 点估计问题的一般提法：设总体X的分布函数F(X;)
《点估计与区间估计》课件
区间估计在假设检验中的应用
在假设检验中，我们通常使用区间估计来确定样本数据是 否支持原假设或备择假设。
点估计与区间估计在回归分析中的应用
点估计在回归分析中的应用
在回归分析中，我们通常使用最小二乘法等统计方法来得到参数的点估计值，并以此为 基础进行预测和推断。
区间估计在回归分析中的应用
除了点估计外，我们还可以使用区间估计来评估模型参数的可能取值范围，从而更全面 地了解模型的预测精度和不确定性。
适用场景
适用于已知概率分布模型的情况，广泛应用于统 计学、机器学习等领域。
最小二乘法
总结词
基于误差平方和最小的点估 计方法
详细描述
最小二乘法是一种基于误差 平方和最小的点估计方法。 它通过最小化观测值与预测 值之间的误差平方和来估计 参数。这种方法在回归分析 、时间序列分析等领域广泛 应用。
数学公式
计算方法
根据样本数据和适当的统计量，通过计算得到参数的 置信下限和置信上限。
应用场景
当需要了解某一参数的可能取值范围时，可以使用双 侧置信区间。
置信区间与置信概率
定义
置信区间是指在一定置信概率下 ，某一参数的可能取值范围。而 置信概率是指对参数取值范围的 信任程度。
关系
置信概率越高，则对应的置信区 间越窄，说明对参数的估计越精 确。
应用场景
在统计推断中，经常需要根据样 本数据和适当的统计量，计算某 一参数的置信区间和对应的置信 概率，以评估对参数的估计精度 和信任程度。
05
点估计与区间估计
的应用场景
点估计在统计推断中的应用
总体参数的点估计
点估计是对总体参数的一个具体的数值估计， 例如，使用样本均值来估计总体均值。
《点估计的求法》课件
有效性
总结词
有效性是指估计量的方差应该尽可能小。
详细描述
有效性关注的是估计量的稳定性，即估计量在多次重复抽样中的变异性。一个有 效的估计量应该具有较小的方差，这意味着该估计量在多次抽样中给出的结果应 该相对稳定。方差越小，估计量的有效性越高。
一致性
总结词
一致性是指随着样本容量的增加，估计量的值应该趋近于被估计参数的真实值。
《点估计的求法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 点估计的概述 • 点估计的常用方法 • 点估计的优良性准则 • 点估计的应用实例 • 点估计的未来发展
01
CHAPTER
点估计的概述
点估计的定义
总结词
点估计是一种统计学方法，用于估计某个未知参数或总体分布的特征值。
详细描述
点估计是一种统计学方法，通过使用样本数据来估计未知的总体参数或总体分 布的特征值。它是一种近似估计，以样本统计量作为总体参数的估计值。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优点包括简单易行、直观明了和计算方便， 但缺点是存在误差且无法衡量误差大小。
详细描述
点估计是统计学中最为基础和直观的估计方法之一，其 优点在于简单易行、直观明了和计算方便。它能够快速 地给出未知参数的近似值，因此在许多情况下被广泛应 用。然而，点估计也存在一定的缺点，主要是由于它是 基于样本统计量来估计总体参数，因此不可避免地存在 误差，而且无法提供一个准确的衡量误差大小的指标。 因此，在某些情况下，可能需要更精确的估计方法来替 代点估计。
随着数据流的处理需求增加，在线估计方法能够实时更新估计结 果，减小计算和存储开销。
分布式估计
利用分布式计算框架（如Hadoop、Spark）进行大规模数据的并 行处理和估计，提高计算效率。
2.1点估计和估计量的求法
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—Ch3 — 假设检验 —Ch2 —区间估计点估计 参数估计 统计推断第二章 参数估计本章问题：母体X 的分布形式已知，但其中含有未知参数，如何借助子样估计未知参数？§1 点估计和估计量的求法1.1 何谓参数估计（1）体分布中的未知参数.（2）参数估计(paramete restimation )：借助子样值对母体参数做出估计.①若用子样的一个函数),,,(21n x x x ∧∧=θθ去估计某个未知参数的值，则称∧θ是这个估计(point estimation )（一种定值估计）.②若用子样的两个函数)2,1(),,,,(21==∧∧i x x x n i i θθ去估计某个未知参数所在的区间，则称),(21∧∧θθ是这个参数的区间估计(interval estimation )（设∧∧<21θθ）.（3）参数的点估计：一般，设母体X 的分布函数),,,;(21k x F θθθ 的形式已知，但k θθθ,,,21 是k 个未知参数，),,,(21n X X X 是来自母体X 的子样。
构造适当的统计量),,,(21n i X X X g 分别去估计i θ. 称),,,(21n i X X X g 为),,2,1( k i i =θ的估计量(estimator )，记为),,2,1(),,,,(21k i X X X g n i i ==∧θ.当子样有观测值n x x x ,,,21 时，估计量),,,(21n i X X X g 有观测值 ),,,(21n i x x x g ，称为i θ的一个估计值(estimate )，记为),,,(21n i i x x x g =∧θ.估计量是随机变量，估计值是常数，有时统称为i θ的估计(estimatio n ).依照构造统计量的方法的不同，点估计又分为矩法、极大似然估计法等.1.2 矩法（1）矩估计的方法(method of moment)： ①求母体的l 阶矩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑⎰∞=+∞∞-x p x dx x f x X E k i i li k l l l 对离散型母对连续型母 ),,,,;( ,),,,;()(21121θθθθθθμ 可知l μ的表达式中含有未知参数k θθθ,,,21 .②求子样的l 阶矩∑==n i l i l X n A 11 当子样n X X X ,,,21 有观测值),,,(21n x x x 时，l A 有相应的观测值∑=n i l i x n 11，是已知的.③令l l A =μ（用已知的l A 去估计含有未知参数的l μ），即令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===k k A A A μμμ 2211 这是一个含有k 个未知参数、k 个方程的方程组, 解之，则可得出所求的k 个未知参数的矩估计量∧∧∧k θθθ,,,21 . 例2.1.1 ),0(~θU X ，0>θ，未知，求θ的矩估计.解：母体有1个未知参数θ.①母体的1阶矩：2)(1θμ==X E②子样的1阶矩：∑===ni i X X n A 111③令11A =μ ：即X =2θ，解得__2X θ∧=. 例2.1.2 设母体X 有分布密度⎩⎨⎧<<+=其它010)1()(x x x f θθ ，0>θ，未知，求θ的矩估计.解：母体有1个未知参数θ.①母体的1阶矩：21)1()1()()(101101++=+=+===⎰⎰⎰++∞∞-θθθθμθθdx x dx x x dx x xf X E .②子样的1阶矩：∑===ni i X X n A 111.③令11A =μ ： 即X =++21θθ ，解得 121--=∧X X θ. 例2.1.3 设母体X 有：2)(,)(σμ==X D X E ，但2,σμ未知，分别求2,σμ的矩估计.解： 母体有2个未知参数2,σμ.①母体的1、2阶矩： μμ==)(1X E ，22222)()()(μσμ+=+==X E X D X E .②子样的1、2阶矩：∑===ni i X X n A 111，∑==n i i X n A 1221. ③令⎩⎨⎧==2211 A A μμ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=∑=n i i X n X 12221μσμ，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∑=∧∧221221 S X X n X n i i σμ注：结果表明，母体均值与方差的矩估计量的表达式不受母体分布的影响，分别是子样均值、子样方差.特别，当母体),(~2σμN X ，2,σμ未知时有：22 S X ==∧∧σμ，；又当母体),(~p N B X ，p N ,未知时令： )1()()(2⎪⎩⎪⎨⎧=-===S p Np X D X Np X E ，于是有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∧∧2221S X X N X S p . 例2.1.4 设母体X 有分布密度0 ,0 0,)()(1⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--x x e x x f x βαααβ，0,0>>βα，未知，这时称X 服从参数为βα,的Γ分布，求βα,的矩估计.解：母体有2个未知参数βα,，由上题结论①母体均值与母体方差： βααααβααβαβαβαββαα=Γ⋅Γ⋅=+Γ⋅Γ⋅=Γ⋅=Γ==⎰⎰⎰∞+--+=+∞-+∞∞-)()(11)1()(11)(11)()()( 01)1(0dy e y dx e x dx x xf X E y y x x 令类似可得：2)(βα=X D②子样均值与子样方差：2,S X③ 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====22)()( S X D X X E βαβα ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∧∧222S X S X βα. （2）矩估计的理论依据：设n X X X ,,,21 为母体X 的一个子样，则n X X X ,,,21 相互独立且均与母体X 有相同分布，从而l n l l X X X ,,,21 相互独立且均与l X 有相同分布，由辛钦大数定律知： )(,)(11∞→=−→−=∑=n X E X n A l l P n i l i l 当μ即：当n 充分大时，A几l乎必然与μ充分接l近，因此，以A去估l计lμ的矩估计方法是合理的.1.3 最大似然估计法引例：有一大批产品，废品率为)10(<<p p 未知, 现从中任取100件产品，其中有10件废品，试估计未知参数p .分析：设随机试验为从这批产品中任取一件，观察其质量. 令X 为所取得的废品数，则⎩⎨⎧=当取得正品当取得废品，，01X ，分布律为pX P p X P -====1)0(,)1(即母体X 服从参数为p 的0-1分布. 此分布律又可记为xxp p x X P --==1)1()(，)1,0(=x又设10021,,,X X X 为一个子样，10021,,,x x x 为其子样值，这100个数值中的某10个为1，另90个为0。
§6.1 点估计的几种方法 演示文稿2
（X1 , X 2 , X n）为样本，求a, b的矩法估计量？
算得 x 4.48
s 0.3962,则可得 a, b的矩法估计值
ˆ 分别为 a 4.48 0.3962 3 3.7938 ˆ b 4.48 0.3962 3 5.1662
ˆ 例：设总体X的概率密度如下：求的矩法估计量 ？ 6x 3 ( x) , ˆ 并求 D( ) ? P( x) 0 0 x qita
§6.1 点估计的几种方法
一、矩法估计
由辛钦大数定理知， 1 n 可以用 X Xi去估计EX, n i 1 又如.求一个战士的射击命中率?
事实上是我们已经知道X服从两点分布,
任务是估计参数p, x | 0 x 1
我们根据贝努里大数定理
1 n 显然可以用 Xi去估计参数p. n n i 1
lim Fn ( x) F( x)
n
用经验分布函数去替代总体的分布函数。 说的更本质一些，依据的原理是大数定律：
样本矩 相应的总体矩
p n
估计的步骤 １根据已知概率函数中未知参数的个数k,求出k个总体矩
EXi i (1,2 ,......k )
i 1, 2,.......k.
令
ln I 1 n 2 ( xi ) 0 i1 2 ln I n 1 n 0 2 2 4 ( xi ) 2 2 i 1
_ 1 n xi x 解方程组得 1 n 2 ( xi x) 2 n i 1
2 n
1 S ( xi x)2 0.9185 , 样本中位数m0.5 28.6 n-1 i 1
概率论与数理统计点估计PPT课件
每一个xi ( i=1,2,3 …,n),所以θ的极大似然估计量为
ˆ max{x1, x2 , , xn}.
《概率统计》
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结束
三、估计量的评选标准
1 . 一致性
设ˆ =ˆ （X1，X2，…，Xn）为未知参数θ的估计量序列，
nn
若 ˆ依n 概率^收敛于θ，即 对于任意ε>0,有
lim P{| n | } 1 ，则称 ˆ为θ的一致估计量.
α=0.05时，若从总体中1抽得2容量相同的100个样本，则在确定的100
个置信区间中将有95个包含θ的真值，不包含θ真值的区间只有5个.
绝不能理解为θ的真值落在( , )内的ˆ概1 率ˆ2 为1-α！
《概率统计》
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结束
求置信区间的方法：
１．选取统计量 找样本（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一个函数 U（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）
88，123，n=10。则， ˆ x 58.
《概率统计》
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结束
例5．X服从参数为λ的指数分布，求λ的极大似然估计.
解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为
n
L(x1, xn;)
n
exi n
n
e e xi
xi
n
i1
i 1
i 1
n
ln L n ln xi ,
U X ~ N (0,1) X ~ t(n 1)
n
S/ n
(n 1)S 2 2
~
2(n 1)
2
n i1
(Xi )2 2
~
2(n)
U统计量
2.
P|U | u 1
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《点估计与区间估计》课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
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点估计 区间估计
为估计 ,我们需要构造出适当的样本
的函数T(X1,X2,…,Xn)，每当有了样本，就
代入该函数中算出一个值，用来作为 的
估计值 .
T(X1,X2,…,Xn)称为参数 的点估计量，
把样本值代入T(X1,X2,…,Xn) 中，得到
的一个点估计值 .
请注意，被估计的参数 是一个
未知常数，而估计量 T(X1,X2,…,Xn) 是一个随机变量，是样本的函数,当 样本取定后，它是个已知的数值,这
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时， 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性 .
1.3 最大似然估计法（或极大似然估计法）
是在总体类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
点估计和估计量的求法演示文 稿
优选点估计和估计量的求法
总体
随机抽样
样 本 描述
作出推断
统计量 研究统计量的性质和评价 一个统计推断的优良性，完全 取决于其抽样分布的性质.
现在我们来介绍参一数类估重计要的统计推断问题
参数在估参计数问估题计是问利题用中从，总假体定抽总样体得分到布的信息 来估形计式总已体知的，某未些知参的数仅或仅者是参一数个的或某几些个函数.
比方说,当 p pi0 时Qi 最大,
( 1)x , 0 x 1
f (x)
0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
E(X
( 1)
)
1
1
x( 0
x 1dx
1)
x dx 1
原点矩
由矩法,
0
X 1
2
总体矩
样本矩
2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为 的矩估计.
2 EX 2 EX 2
^2
1n n i1
X
2 i
X2
S2
如：X ~ N( , 2 ),则矩估计量 ˆ X ,^2 S 2 .
若 X 服从参数为的泊松分布，则 EX , X . 若 X ~ B(n, p),则 EX np, ^p X .
n
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 .
都是这k个参数的函数,记为：
i gi (1,,k )
i=1,2,…,k
从这k个方程中解出
j hj (1,, k ) j=1,2,…,k
那么用诸i的估计量 Ai分别代替上式 中的诸 i, 即可得诸 j 的矩估计量 ：
ˆj hj ( A1,, Ak ) j=1,2,…,k
例1 设总体X的概率密度为
这个例子所作的推断已经体现了极大似 然法的基本思想 .
下面我们再看一个例子,进一步体会极 大似然法的基本思想 .
例4 设X~B(1,p), p未知.设想我们事先知
道p只有两种可能: p=0.7 或 p=0.3
如今重复试验3次,得结果: 0 , 0, 0 问:应如何估计p?
由概率论的知识, 3次试验中出现“1”的次数
Y ~ B(3, p)
P (Y
k)
3 k
pk
(1
p)nk
k=0,1,2,3
估计 将计出算现结果出列现表如下：出现
出现
估计 p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.3 0.343 0.441 0.189
P(Y=3) 0.343 0.027
估计
个数常称为 的估计值 .
问题是:
使用什么样的统计量去估计 ？
可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 还可以用别的统计量 .
1.2 矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律 或格利汶科定理（见教材第9页）
令 X
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
用样本矩估计 总体矩
解得 ˆ X
1 n
n i1
(Xi
X )2
ˆ
1 n
n i1
(Xi
X )2
ˆ,ˆ 即为参数 , 的矩估计.
例3：设母体 X 具有期望值，方差 2，给定 X 的一 组样本X1 , , Xn，求和 2的矩估计量.
解：EX ˆ X;
1 X
例2 设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(
x)
1
e (
x
)
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解:由密度函数知
X 具有均值为 的指数分布
故 E(X- )= D(X- )= 2
即 E(X)= D(X)= 2
即 E(X)= D(X)= 2 Nhomakorabea总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
样本k阶中心矩为
Bk
1 n
n
(Xi X )k
i 1
用相应的样本矩去估计总体矩的估计 方法就称为矩估计法.
设总体的分布函数中含有k个未知参数
1,,k ,那么它的前k阶矩 1,, k 一般
Gauss
费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
最大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一 起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的 概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这 一枪是猎人射中的 .
估计
应如何估计p? p=0.7 或 p=0.3
P (Y
k)
3 k
pk
(1
p)3k
k=0,1,2,3
如果有p1,p2,…,pm可供选择, 又如何合理地 选p呢?
若重复进行试验n次,结果“1”出现k次 (0 ≤ k≤ n), 我们计算一切可能的
P(Y=k; pi )=Qi ， i=1,2,…,m
从中选取使Qi 最大的pi 作为p的估计.
参数. 估计新生儿的体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计降雨量
… …
1.1 什么是参数估计？
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是
向量) . 现从该总体抽样，得样本
X1,X2,…,Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计
的某个已知函数 g( ) . 这类问题称为参数估计.