长沙市长沙市第一中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)

合集下载

必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(含答案解析)

必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(含答案解析)

一、选择题1.已知12x >,则2321x x +-的最小值是( )A .32B32C2D.322.已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立,则m 的取值范围为( ). A .()0,4B .[)0,4C .[]0,4D .(](),04,-∞⋃+∞3.在弹性限度内,弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比,即md k=,其中d 是距离(单位cm ),m 是质量(单位g ),k 是弹簧系数(单位g/cm ).弹簧系数分别为1k ,2k 的两个弹簧串联时,得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+,并联时得到的弹簧系数k 满足12k k k =+.已知物体质量为20g ,当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ,则并联时弹簧拉伸的最大距离为( )A .1cm 4B .1cm 2C .1cmD .2cm4.若,a b ∈R ,且0ab >,则下列不等式中恒成立的是( )A .222a b ab +>B.a b +≥C.11a b +>D .2b aa b+≥ 5.若正数a ,b 满足1a >,1b >,且3a b +=,则1411a b +--的最小值为( ) A .4B .6C .9D .166.下列命题中是真命题的是( )A.y =的最小值为2;B .当a >0,b >0时,114a b++; C .若a 2+b 2=2,则a +b 的最大值为2;D .若正数a ,b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.7.如图,在ABC 中,23BD BC =,E 为线段AD 上的动点,且CE xCA yCB =+,则13x y+的最小值为( )A .16B .15C .12D .108.已知2m >,0n >,3m n +=,则112m n+-的最小值为( ) A .3B .4C .5D .69.两个正实数a ,b 满足3a ,12,b 成等差数列,则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是( ) A .[]4,3-B .[]2,6-C .[]6,2-D .[]3,4-10.已知1x >,则41x x +-的最小值为 A .3B .4C .5D .611.若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为1:2.则11a b+的最大值为( ) A .423-B .22-C 21D 212.已知3x >,13y x x =+-,则y 的最小值为( ) A .2B .3C .4D .5二、填空题13.若不等式210ax ax +-≤的解集为实数集R ,则实数a 的取值范围为__________. 14.已知正实数a ,b 满足21ab a b ++=,则188a b a b+++的取值范围为_________. 15.定义,,a a ba b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩,若,0x y >,则222241616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值____________.16.设0b >,21a b -=,则242a a b+的最小值为_________.17.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A 、B 的大小关系是______________ 18.下列四个命题:①一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真;②等差数列{}n a 中,12a =,1a ,3a ,4a 成等比数列,则公差为12-;③已知0a >,0b >,1a b +=,则23a b+的最小值为5+ ④在ABC 中,若222sin sin sin A B C <+,则ABC 为锐角三角形. 其中正确命题的序号是_____________.(把你认为正确命题的序号都填上) 19.已知x ,0y >,且194x y+=,则x y +的最小值________. 20.设函数1e exx y a =+-的值域为A ,若[)0,A ⊂+∞,则实数a 的取值范围是________.三、解答题21.已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == (1)求()f x 的解析式;(2)若[],1x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.22.已知命题1:(2,),242x p x m x ∀∈+∞+-,命题:q 方程221213x ym +=+表示焦点在x 轴上的椭圆.(1)若p 为真,求实数m 的取值范围;(2)若p q ∧是假命题,p q ∨是真命题,求实数m 的取值范围.23.某工厂进行废气回收再利用,把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨,最多为500吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为2150400004y x x =-+,且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的月平均处理成本最低?(2)该工厂每月进行废气回收再利用能否获利?如果获利,求月最大利润;如果不获利,求月最大亏损额.24.已知二次函数22()2(,)f x ax bx b a a b R =++-∈,当(1,3)x ∈-时,()0f x >;当(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞,()0f x <.(1)求a ,b 的值;(2)解关于x 的不等式:2()20()ax b c x c c R +-+>∈;(3)若不等式()50f x mx +-<在[1,3]x ∈上恒成立,求m 的取值范围.25.已知a ,b 为正实数,且11a b+=. (1)求a 2+b 2的最小值;(2)若23()4()a b ab -≥,求ab 的值.26.已知正实数x ,y 满足等式2520x y +=. (1)求lg lg u x y =+的最大值; (2)若不等式21014m m x y+≥+恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】由2111333311212222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎝⎭--,利用均值不等式可得答案. 【详解】21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当113122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-,即132x =+ 时,取得等号. 故选:D 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,这时改用勾型函数的单调性求最值.2.B解析:B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论,结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组,由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立,分以下两种情况讨论: (1)当0m =时,可得10>,合乎题意; (2)当0m ≠时,则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩,解得04m <<. 综上所述,实数m 的取值范围是[)0,4. 故选:B. 【点睛】结论点睛:利用二次不等式在实数集上恒成立,可以利用以下结论来求解: 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立,则00a >⎧⎨∆<⎩; ②()0f x <在R 上恒成立,则0a <⎧⎨∆<⎩; ③()0f x ≥在R 上恒成立,则00a >⎧⎨∆≤⎩; ④()0f x ≤在R 上恒成立,则0a <⎧⎨∆≤⎩. 3.A解析:A 【分析】先利用串联列关系()121220k k k k +=,结合基本不等式求得12k k +最小值,再利用并联关系得到12k k k '=+最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可. 【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为1k ,2k ,串联时弹簧系数为k ,并联时弹簧系数为k '. 两个弹簧串联时,由m d k =知,20201m k d ===,则12111k k k =+即12121211120k kk k k k +=+=, 即()()2121212204k k k k k k ++=≤,故1280k k +≥,当且仅当1240k k ==时等号成立,两个弹簧并联时,12k k k '=+,拉伸距离12m md k k k '==+',要是d '最大,则需12k k k '=+最小,而1240k k ==时()12min 80k k +=,故此时d '最大,为284001m d k '==='cm. 故选:A. 【点睛】 思路点睛:利用基本不等式求最值时,需注意取等号条件是否成立.(1)积定,利用x y +≥,求和的最小值;(2)和定,利用()24x y xy +≤,求积的最大值;(3)妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4.D解析:D 【分析】利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】对于A ,222a b ab +≥,当且仅当a b =时,等号成立,故A 错误;对于B 、C ,虽然0ab >,只能说明,a b 同号,若,a b 都小于0时,则不等式不成立,故B ,C 错误;对于D ,0ab >,,0b aa b∴>,2b a a b ∴+≥,当且仅当a b =时,等号成立,故D 正确; 故选:D. 【点睛】易错点睛:本题考查基本不等式的相关性质,利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等,考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.5.C解析:C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=,由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=,可得111a b -+-=,10,10a b ->->,所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+=当且仅当12(1)b a -=-,即54,33b a ==时等号成立. 故选:C 【点睛】关键点点睛:本题注意观察待求式的分母,1,1a b --,结合已知条件,可变形为关于分母的式子111a b -+-=,这样就转化为“1”的常规技巧的应用.6.B解析:BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项,C选项可设,a b αα==,利用三角函数的值域求范围. 【详解】 A 选项,222x +≥0>,∴2y =≥==,即221x +=±时成立,又222x ≥+,故A 错;B 选项,当a >0,b >0时,1124a b +++≥⨯=,当且仅当1a b =⎧=,即1a b ==时等号成立,B 正确;C选项,设,a b αα==,则2sin 24a b πααα⎛⎫+==+≤ ⎪⎝⎭,C 正确;D 选项,2a b +=,()212192a b ⎡⎤⎛⎫∴+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 则()121252229291111++4+22442+2242a b a b a b a b a b ⎛⎫+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛ ≥⨯+= ⎝⎭,当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立,解得1a b ==,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围,注意取等号的条件,属于中档题.7.A解析:A 【分析】由已知可得A ,D ,E 三点共线,结合平面向量基本定理可得31x y +=,0x >,0y >,再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解:∵23BD BC =, ∴3CB CD =,3CE xCA yCB xCA yCD =+=+,因为A ,D ,E 共线,所以31x y +=,则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号, 故选:A. 【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.B解析:B 【分析】由2m >,0n >,3m n +=,所以21m n -+=,结合“1”的代换,结合基本不等式,即可求解. 【详解】因为2m >,0n >,3m n +=,所以21m n -+=,则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭, 当且仅当22n m m n-=-且3m n +=,即51,22m n ==时取等号,故选:B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”,结合“1”的代换技巧是解答的关键,着重考查推理与运算能力.9.C解析:C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+,再利用基本不等式求得112ab,根据题意,2412m m +,由此求得m 的范围. 【详解】 解:两个正实数a ,b 满足3a ,12,b 成等差数列, 13a b ∴=+,123ab ∴,112ab∴,∴112ab. ∴不等式2134m m a b ++恒成立,即234a b m m ab++恒成立, 即214m m ab+恒成立. 2412m m ∴+,求得62m -,故选:C . 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质,不等式的恒成立问题,基本不等式的应用,属于基础题.10.C解析:C 【分析】由1x >,得10x ->,则441111x x x x +=-++--,利用基本不等式,即可求解. 【详解】由题意,因为1x >,则10x ->,所以44111511x x x x +=-++≥=--, 当且仅当411x x -=-时,即3x =时取等号,所以41x x +-的最小值为5,故选C . 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,其中解答中熟记基本不等式的使用条件,合理构造是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.11.B解析:B 【分析】由圆的方程得圆心和半径,根据圆的周长被分为1:2,可推出圆心到直线的距离为1,即2221a b a b +-=+,化简整理后,再结合基本不等式的性质可得ab 的最小值,再求出11a b+的最大值.【详解】把圆222220x y x y +---=化成标准形式为22(1)(1)4x y -+-=,其中圆心为(1,1),半径为2.设直线与圆交于A 、B 两点,圆心为C , 因为直线把圆的周长分为1:2,所以13601203ACB ∠=⨯︒=︒, 所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为12221a b a b+-=+,因为a ,1b >,所以202()a ab b -++=,由基本不等式的性质可知,22()4ab a b ab +=+, 当且仅当a b =时,等号成立,此时有2(22)ab +,所以21(2)1111122222(22)ab a b a b ab ab ab+++===++=+. 所以11a b +的最大值为22- 故选:B . 【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题,除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外,还涉及利用基本不等式的性质求最值,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.12.D解析:D 【分析】由3x >,得到30x ->,化简113333y x x x x =+=-++--,结合基本不等式,即可求解.【详解】因为3x >,所以30x ->,则11333533y x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当133x x -=-,即4x =时取等号, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件,合理运算是解得的关键,着重考查推理与运算能力.二、填空题13.【分析】分三种情况讨论:(1)当等于0时原不等式变为显然成立;(2)当时根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能;(3)当时二次函数开口向下需时由此可得结论【详解】解:(1)当时得到所以不等式的解集 解析:[]4,0-【分析】分三种情况讨论:(1)当a 等于0时,原不等式变为10-<,显然成立; (2)当0a >时,根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能; (3)当0a <时,二次函数开口向下,需0∆≤时,由此可得结论. 【详解】解:(1)当0a =时,得到10-<,所以不等式的解集为R ;(2)当0a >时,二次函数21y ax ax =+-开口向上,函数值y 不是恒小于等于0,所以解集为R 不可能.(3)当0a <时,二次函数21y ax ax =+-开口向下,由不等式的解集为R ,得240a a ∆=+≤,即(4)0a a +≤,解得40a -≤≤,所以40a -≤<; 综上,a 的取值范围为[]4,0-. 故答案为:[]4,0-. 【点睛】易错点点睛:对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题,注意需讨论二次项系数为零的情况,当系数不为零时,再从根的判别式的符号上考虑.14.【分析】先根据正实数ab 满足找到ab 的关系及ab 的范围然后把通换元法转化为函数求值域【详解】由得∴且∵∴∴∴则令则在上递减(因为)∴令则∴=在上单增∴故答案为:(69)【点睛】利用基本不等式求最值时 解析:()6,9【分析】先根据正实数a ,b 满足21ab a b ++=找到a ,b 的关系及a ,b 的范围,然后把188a b a b+++通换元法转化为函数求值域. 【详解】由21ab a b ++=得21ab a b ++=,∴121ab a -=+,且(1)(2)3a b ++=. ∵0,0a b >>,∴120a ->,∴12a <∴102a <<.则3321311a b a a a a +=+-=++-++, 令31,1,2u a u ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭则33a b u u+=+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减,(因为32<),∴112a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,. 令=+t a b ,则112t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,, ∴188a b a b +++=18t t +在112⎛⎫⎪⎝⎭,上单增, ∴()1886,9a b a b++∈+. 故答案为:(6,9). 【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.如果等号成立的条件满足不了,说明函数在对应区间单调,可以利用单调性求最值或值域.15.【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就解析:94【分析】换元判定单调性,利用基本不等式求解 【详解】令y t x =,则 22244xy y t t x+=+在()0,∞+为增函数, 22216111616x xy y t t+=+在在()0,∞+为减函数,从而22111942164t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当12t =时取等号. 故答案为:94【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方16.4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为:4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求解析:4 【分析】两次应用基本不等式,242a a b +≥12b b +≥,验证等号能同时成立即得. 【详解】由题意211a b =+≥,2442a a b +≥===≥, 当且仅当2142b baa b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立. 故答案为:4. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值,考查了运算求解能力,逻辑推理能力,在连续运用基本不等式求最值时,要注意等号能否同时成立.17.A>B 【分析】设每支支玫瑰x 元每支康乃馨y 元则由题意可得:代入可得:根据不等式性质联立即可得解【详解】设每支支玫瑰x 元每支康乃馨y 元则由题意可得:代入可得:根据不等式性质可得:而可得故故答案为:【点解析:A >B【分析】设每支支玫瑰x 元,每支康乃馨y 元,则2,3x A y B ==,由题意可得:284522x y x y +>⎧⎨+<⎩,代入可得:8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩,根据不等式性质,联立即可得解. 【详解】设每支支玫瑰x 元,每支康乃馨y 元, 则2,3x A y B ==, 由题意可得:284522x y x y +>⎧⎨+<⎩,代入可得:8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩,根据不等式性质可得:6B <,而83BA >-,可得6A >, 故A B >,故答案为:A B >. 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题,考查了不等式性质,同时考查了转化思想和计算能力,属于中档题.18.①③【分析】①根据四种命题及其相互关系进行判断;②求得公差进行判断;③利用基本不等式求得最值进行判断;④利用特殊值进行判断【详解】①由于逆命题和否命题互为逆否命题真假性相同所以一个命题的逆命题为真则解析:①③ 【分析】①根据四种命题及其相互关系进行判断;②求得公差进行判断;③利用基本不等式求得最值进行判断;④利用特殊值进行判断. 【详解】①,由于逆命题和否命题互为逆否命题,真假性相同,所以一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真.所以①正确.②,等差数列{}n a 中,12a =,1a ,3a ,4a 成等比数列,2314a a a =⋅,即()()211123a d a a d +=⋅+,()()222223d d +=⨯+,220d d +=,解得0d =或12d =-,所以②错误.③,()232323555b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭23b a a b=,即2,3a b ==.所以③正确. ④,设,24B AC ππ===,则22213sin ,sin sin 22A B C =+=,满足222sin sin sin A B C <+,但三角形ABC 不是锐角三角形,所以④错误.故答案为:①③ 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等比中项的性质,考查三角形形状的判断,考查四种命题及其相互关系,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.19.4【分析】根据x 且将利用1的代换转化为利用基本不等式求解【详解】因为x 且所以当且仅当即时取等号所以的最小值为4故答案为:4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析:4 【分析】根据x ,0y >,且194x y+=,将x y +利用“1”的代换,转化为x y +()119191044⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y ,利用基本不等式求解. 【详解】因为x ,0y >,且194x y+=, 所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=,,即1,3x y ==时,取等号,所以x y +的最小值为4, 故答案为:4 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.【解析】因为a 所以则 解析:(,2]-∞【解析】 因为1e 2exx y a =+-≥-a ,所以[)[)2,0,,A a =-+∞⊂+∞则20,2a a -≥≤. 三、解答题21.(1)2()43f x x x =-+;(2)2min 243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】(1)设二次函数()f x 的解析式为:2()(0)f x ax bx c a =++≠,由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式;(2)由(1)知2()43f x x x =-+,对称轴为2x =,分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解. 【详解】(1)设二次函数()f x 的解析式为:2()(0)f x ax bx c a =++≠,因为(1)8f -=,且(0)(4)3f f ==,则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩, 于是二次函数解析式为:2()43f x x x =-+(2)由(1)知2()43f x x x =-+,对称轴为2x =,若2t ≥,则()f x 在[],1t t +上单调递增,所以2min ()()43f x f t t t ==-+;若12t +≤,即1t ≤时,()f x 在[],1t t +上单调递减,所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-;若21t t <<+,即12t <<时,2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上,2min 243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】方法点睛:求函数解析式的方法(1)待定系数法:已知函数类型,可用待定系数法求解,先设出()f x ,再利用题目中给的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数;(2)换元法:主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题,令()g x t =,解出x ,然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ,从而求得()f x ,要注意新元的取值范围;(3)配凑法:配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式,进而求出()f x 的解析式;(4)构造方程组法(消元法):主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系,利用变换形式构造不同的等式,通过解方程组求解. 22.(1)(,2]-∞;(2)(,1](2,)-∞+∞.【分析】(1)求出1242xx +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围; (2)求出命题q 为真时m 的范围,由p q ∧是假命题,p q ∨是真命题,知,p q 一真一假,由此可求得m 的范围. 【详解】 (1)若p 为真,则1242xm x +-, 而1121121224224224x x x x x -+=++=---, 当且仅当12242x x -=-,即3x =时等号成立; 故2m ,即实数m 的取值范围为(,2]-∞;(2)若q 为真,则213m +>,故1m ; 若p 真q 假,则21m m ⎧⎨⎩,,则1m , 若p 假q 真,则21m m >⎧⎨>⎩,,则2m >,综上所述,实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞.【点睛】方法点睛:本题考查由命题的真假求参数,考查复合命题的真假判断.掌握复合命题的真值表是解题关键.复合命题的真值表:23.无24.无25.无26.无。

长沙市必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)

长沙市必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1.令[]x 表示不超过x 的最大整数,例如,[]3.54-=-,[]2.12=,若函数()[][]32f x x x =-,则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为( )A .1B .2C .3D .42.已知函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A .04m ≤≤B .04m <≤C .04m ≤<D .04m <<3.已知函数()32f x x =-,2()2g x x x =-,(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩,则( )A .()F x 的最大值为3,最小值为1B .()F x 的最大值为2C .()F x 的最大值为7-,无最小值D .()F x 的最大值为3,最小值为-14.若函数()f x =在[]1,3-上具有单调性,则实数a 的可能取值是( )A .4-B .5C .14D .235.已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x ),且x R ∈,当x ∈[-1,0)时,f (x )=-2x -2x +3,则当x ∈[1,2)时,f (x )的最大值为( ) A .52B .1C .0D .-16.设0a >且1a ≠,函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14,则实数a 的值为( ) A .13或2 B .2或3C .12或2 D .13或3 7.已知函数()f x 是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立,则()2020f 的值是( ) A .202021-B .202021+C .202020202121+-D .202020202121-+8.如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞,上为减函数,则m 的取值范围( ) A .103⎛⎤⎥⎝⎦,B .103⎡⎤⎢⎥⎣⎦,C .103⎡⎫⎪⎢⎣⎭,D .103⎛⎫ ⎪⎝⎭,9.已知函数()f x 是奇函数,()f x 在(0,)+∞上是减函数,且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-,则在区间[,]b a --上( )A .有最大值4B .有最小值-4C .有最大值-3D .有最小值-310.函数f (x )=x 2+2ln||2x x的图象大致为( ) A . B .C .D .11.若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值,则实数a 的取值范围为( ) A .34a >-B .53a <-C .5334a -<<- D .5334a -≤≤- 12.若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13.已知1()1x f x x +=-,则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________14.已知存在[1,)x ∈+∞,不等式2212a x x x ≥-+成立,则实数a 的取值范围是__________.15.函数222421x x y x ++=+的值域为_________. 16.已知函数()()14f x a ax =--[]0,2上是减函数,则实数a 的取值范围是_____.17.已知函数y =f (n),满足f (1)=2,且f (n+1)=3f (n),n ∈N + .则f (3)=____________. 18.设函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈R 都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则f (-3)与f (-π)的大小关系是________.19.已知函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数,且()f x 在(0,)+∞上单调递增,则实数m =________.20.若函数2()f x x k =+,若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞,使得当[,]x a b ∈时,()f x 的取值范围恰为[,]a b ,则实数k 的取值范围是________.三、解答题21.已知函数2()7f x x mx m =++-,m R ∈.(1)若()f x 在区间[2,4]上单调递增,求m 的取值范围; (2)求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ;22.在①()()121f x f x x +=+-,②()()11f x f x +=-且()03f =,③()2f x ≥恒成立且()03f =这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.问题:已知二次函数()f x 的图象经过点()1,2,_________. (1)求()f x 的解析式; (2)求()f x 在[]1,4-上的值域.23.已知函数2()21,[1,3]f x ax bx x =++∈(,a b ∈R 且,a b 为常数) (1)若1a =,求()f x 的最大值;(2)若0a >,1b =-,且()f x 的最小值为4-,求a 的值. 24.已知函数()2mf x x x=++(m 为实常数). (1)当4m =时,试判断函数在[)2,+∞上的单调性,并用定义证明; (2)设0m <,若不等式()f x kx ≤在1[,1]2x ∈有解,求实数k 的取值范围. 25.已知函数()21ax bf x x +=+是()1,1-上的奇函数,且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的解析式;(2)判断()f x 的单调性,并加以证明;(3)若实数t 满足()()10f t f t ++>,求t 的取值范围. 26.已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.(Ⅰ)若函数()f x 在区间[2,4]上具有单调性,求实数k 的取值范围; (Ⅱ)若()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立,求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B 解析:B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数,分5种情况讨论,分别求出[]x 和[2]x 的值,即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值,相加即可得答案. 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数,所以: 当102x <时,有021x <,则[]0x =,则3[]0x =,[2]0x =,此时()0f x =, 当112x <时,有122x <,则[]0x =,则3[]0x =,[2]1x =,此时()1f x =-, 当312x <时,有223x <,则[]1x =,则3[]3x =,[2]2x =,此时()1f x =, 当322x <时,有324x <,则[]1x =,则3[]3x =,[2]3x =,此时()0f x =, 当2x =时,24=x ,则[]2x =,则3[]6x =,[2]4x =,此时()2f x =, 函数()f x 在区间[0,2]上所有可能取值的和为011022-+++=; 故选:B . 【点睛】结论点睛:分类讨论思想的常见类型(1)问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的; (2)问题中的条件是分类给出的;(3)解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;(4)涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2.C解析:C 【分析】由题意可知,对任意的x ∈R ,210mx mx ++>恒成立,然后分0m =和0m ≠,结合题意可得出关于实数m 的不等式组,由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知,对任意的x ∈R ,210mx mx ++>恒成立. 当0m =时,则有10>,合乎题意; 当0m ≠时,则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩,解得04m <<. 综上所述,04m ≤<. 故选:C. 【点睛】结论点睛:利用二次不等式在实数集上恒成立,可以利用以下结论来求解:设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立,则00a >⎧⎨∆<⎩;②()0f x <在R 上恒成立,则00a <⎧⎨∆<⎩;③()0f x ≥在R 上恒成立,则00a >⎧⎨∆≤⎩; ④()0f x ≤在R 上恒成立,则00a <⎧⎨∆≤⎩.3.C解析:C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象,然后根据定义画出()F x ,就容易看出()F x 有最大值,无最小值,解出两个函数的交点,即可求得最大值. 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象,如图然后根据定义画出()F x ,就容易看出()F x 有最大值,无最小值. 由图象可知,当0x <时,()y F x =取得最大值, 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.结合函数图象可知当27x =-时,函数()F x 有最大值727-,无最小值. 故选:C .【点睛】关键点睛:本题主要考查了函数的图象,以及利用函数求最值,解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象,根据图象得出函数的最值,由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.解析:C 【分析】令函数()218g x x ax =-++,则只需使当[]1,3x ∈-时,()0g x ≥且单调,然后针对()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩两种情况讨论求解. 【详解】由题意可设()218g x x ax =-++,则当[]1,3x ∈-时,()218g x x ax =-++单调,且()0g x ≥恒成立,因为()218g x x ax =-++的对称轴方程为2a x =, 则()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩,解得617a ≤≤或32a --≤≤,即[][]6,173,2a ∈--,则只有14满足题意. 故选:C . 【点睛】本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围,解答时注意不仅要使原函数在所给区间上单调,且必须使原函数在所给区间上有意义.5.B解析:B 【分析】 首先设[)1,2x ∈,利用函数满足的关系式,求函数的解析式,并求最大值.【详解】 设[)1,2x ∈,[)21,0x -∈-,()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++,()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦, ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+, [)1,2x ∈,()f x ∴在区间[)1,2单调递减,函数的最大值是()11f =.故选:B 【点睛】思路点睛:一般利用函数的周期,对称性求函数的解析式时,一般求什么区间的解析式,就是将变量x 设在这个区间,根据条件,转化为已知区间,再根据关系时,转化求函数()f x 的解析式.解析:D 【分析】本题首先可以令x t a =,将函数转化为()212y t =+-并判断出函数的单调性,然后分为01a <<、1a >两种情况进行讨论,根据最大值是14进行计算,即可得出结果. 【详解】令x t a =(0a >、1a ≠),则()222112y t t t =+-=+-, 因为0a >,所以0x t a =>,函数()212y t =+-是增函数, 当01a <<、[]1,1x ∈-时,1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,此时2max11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,解得13a =或15-(舍去);当1a >、[]1,1x ∈-时,1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,此时()2max 1214y a =+-=,解得3a =或5-(舍去), 综上所述,实数a 的值为13或3, 故选:D. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数,能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键,考查二次函数单调性的判断和应用,考查分类讨论思想,考查计算能力,是中档题.7.D解析:D 【分析】采用换元法可构造方程()21213t f t t =-=+,进而求得()f x 解析式,代入2020x =即可得到结果. 【详解】由()f x 是R 上的单调函数,可设()221xf x t +=+,则()13f t =恒成立, 由()221x f x t +=+得:()221x f x t =-+,()21213t f t t ∴=-=+,解得:1t =, ()22112121x x xf x -∴=-=++,()2020202021202021f -∴=+. 故选:D . 【点睛】本题考查函数值的求解问题,解题关键是能够采用换元的方式,利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式.8.B解析:B 【分析】当m =0时,()f x =1x -,符合题意.当0m ≠时,由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩,求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时,()1f x x =-+,满足在区间(]1-∞,上为减函数; 当0m ≠时,由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=,且函数在区间(]1-∞,上为减函数, 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩,解得103m <≤.综上可得,103m ≤≤. 故选:B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题,首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时,利用二次函数的对称轴来研究单调区间.9.B解析:B 【分析】根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选:B. 【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.10.B解析:B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ;利用x →+∞时,()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ; 又x →+∞时,()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.11.C解析:C 【详解】分析:函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值,则极大值在()1,2之间,一阶导函数有根在()1,2,且左侧函数值小于0,右侧函数值大于0,列不等式求解 详解:f ′(x )=3ax 2+4x +1,x ∈(1,2).a =0时,f ′(x )=4x +1>0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去. a ≠0时,△=16﹣12a . 由△≤0,解得43a ≥,此时f ′(x )≥0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去.由△>0,解得a 43<(a ≠0),由f ′(x )=0,解得x 123a--=,x 2=.当403a <<时,x 1<0,x 2<0,因此f ′(x )≥0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去.当a <0时,x 1>0,x 2<0,∵函数f (x )=ax 3+2x 2+x +1在(1,2)上有最大值无最小值,∴必然有f ′(x 1)=0,∴123a-<2,a <0.解得:53-<a 34-<. 综上可得:53-<a 34-<. 故选:C .点睛:极值转化为最值的性质:若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值,且无极大值,那么极小值为()f x 的最小值;若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值,且无极小值,那么极大值为()f x 的最大值;12.C解析:C 【分析】由函数是R 上的减函数,列出不等式,解出实数a 的取值范围. 【详解】因为()f x 是R 上的减函数,故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩,故2334a <≤,故选:C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用,考查分段函数,属于中档题.二、填空题13.100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为:100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键解析:100 【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解. 【详解】1()1x f x x +=- 211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++250100=⨯=故答案为:100.【点睛】由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.14.【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为:【点睛】方法点睛:本题解析:1[,)2+∞【分析】问题转化为22()2min x a x x -+即可,[1,)x ∈+∞,由22211221x x x x x=-+-+,令221()1f x x x=-+,[1,)x ∈+∞,问题转化为求()f x 的最大值,根据二次函数的性质求出()f x 的最大值,从而求出a 的范围即可. 【详解】若存在[1,)x ∈+∞,不等式2212a x x x -+成立,即22()2min x a x x -+即可,[1,)x ∈+∞,由22211221x x x x x=-+-+,令221()1f x x x =-+,[1,)x ∈+∞,问题转化为求()f x 的最大值, 而2117()2()48f x x=-+,[1,)x ∈+∞的最大值是2, 故221()22min x x x =-+,故12a, 故答案为:1[,)2+∞ 【点睛】方法点睛:本题考查函数的有解问题, 一般通过变量分离,将不等式有解问题转化为求函数的最值问题:()f x m >有解max ()f x m ⇔>;()f x m <有解min ()f x m ⇔<.15.【分析】将函数变形为关于的方程分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围从而值域可求【详解】因为所以所以当即时此时;当即时此时所以综上可知:所以的值域为故答案为:【点睛】易错点睛:利用判别式法求 解析:[]0,4【分析】将函数变形为关于x 的方程,分析二次项的系数并结合∆与0的关系求解出y 的取值范围,从而值域可求. 【详解】因为222421x x y x ++=+,所以222+42yx y x x +=+,所以()22420y x x y -++-=, 当20y -=,即2y =时,此时0x =;当20y -≠,即2y ≠时,此时()216420y ∆=--≥,所以[)(]0,22,4y ∈,综上可知:[]0,4y ∈,所以222421x x y x ++=+的值域为[]0,4, 故答案为:[]0,4. 【点睛】易错点睛:利用判别式法求解函数值域需要注意的事项: (1)原函数中分子分母不能约分; (2)原函数的定义域为实数集R .16.【分析】根据f (x )定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论:①1<a≤2时满足条件;②a=1时不合题意;③0<a <1时不合题意;④a=0时不合题意;⑤a <0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析:012a a <<≤或【分析】根据f (x )定义在[0,2]上,且4﹣ax≥0,即可得出a≤2,然后讨论:①1<a≤2时,满足条件;②a=1时,不合题意;③0<a <1时,不合题意;④a=0时,不合题意;⑤a <0时,满足条件,这样即可求出实数a 的取值范围. 【详解】∵f (x )定义在[0,2]上;∴a >2时,x=2时,4﹣ax <0,不满足4﹣ax≥0; ∴a≤2;①1<a≤2时,a ﹣1>0;∴()(1f x a =-[0,2]上是减函数; ②a=1时,f (x )=0,不满足在[0,2]上是减函数; ∴a≠1;③0<a <1时,a ﹣1<0; ∵[0,2]上是减函数;∴()(1f x a =-[0,2]上是增函数; ∴0<a <1不合题意;④a=0时,f (x )=﹣2,不满足在[0,2]上是减函数; ∴a≠0;⑤a <0时,a ﹣1<0;[0,2]上是增函数;∴()(1f x a =-[0,2]上是减函数; ∴综上得,实数a 的取值范围为012a a <<≤或. 故答案为012a a <<≤或. 【点睛】考查函数定义域的概念,函数单调性的定义及判断.17.18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)=3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析:18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ,f (3). 【详解】因为f (n+1)=3f (n),所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值,考查基本求解能力.18.f(-3)>f(-π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析:f (-3)>f (-π)【解析】由()()1212()[]0x x f x f x >-- 得()f x 是R 上的单调递增函数,又3(3)()f f ππ>∴>--,-- .19.2【分析】由函数是幂函数求得或结合幂函数的性质即可求解【详解】由题意函数是幂函数可得即解得或当时函数此时在上单调递增符合题意;当时函数此时在上单调递减不符合题意故答案为:【点睛】本题主要考查了幂函数解析:2 【分析】由函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数,求得2m =或1m =-,结合幂函数的性质,即可求解. 【详解】由题意,函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数,可得211m m --=,即220m m --=,解得2m =或1m =-,当2m =时,函数()2f x x =,此时()f x 在(0,)+∞上单调递增,符合题意;当1m =-时,函数()1f x x -=,此时()f x 在(0,)+∞上单调递减,不符合题意,故答案为:2. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用,其中解答中熟记幂函数的定义,结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键,着重考查运算能力.20.【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析:31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性得出2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数,从而有()()f a bf b a=⎧⎨=⎩,整理得22a k b b k a⎧+=⎨+=⎩,即关于a 的方程210a a k +++=,在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解,记2()1h a a a k =+++,由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组,可求得范围.【详解】∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数,∴当[,]x a b ∈时,()()f a bf b a=⎧⎨=⎩,即22a k bb k a ⎧+=⎨+=⎩, 两式相减得22a b b a -=-,即(1)b a =-+,代入2a k b +=得210a a k +++=, 由0a b <≤,且(1)b a =-+得112a -≤<-, 故关于a 的方程210a a k +++=,在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解, 记2()1h a a a k =+++,所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减,则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩,即()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭, 故答案为:31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛:在解决二次函数的值域问题,关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系,也即是判断出二次函数在区间上的单调性.三、解答题21.(1)[4,)-+∞;(2)226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】(1)计算二次函数的对称轴,然后根据单调性可得122m -≤,计算即可. (2)分类讨论112m -≤-,1112m -<-<,112m -≥,分别计算即可. 【详解】(1)由题可知,函数2()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上,对称轴的方程为2mx =-,若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增, 则满足122m -≤,解得4m ≥-,即实数m 的取值范围[4,)-+∞. (2)①当112m -≤-即2m ≥时, 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增,所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-; ②当1112m -<-<,即22m -<<时, 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减,在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭; ③当112m -≥即2m ≤-时, 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减,所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-,综上可得,函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】结论点睛:二次函数在区间上的最值问题:(1)动轴定区间;(2)定轴动区间;(3)动轴动区间;对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 22.(1)()223x x x f =-+;(2)[]2,11.【分析】(1)若选①:利用待定系数法并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式;若选②:根据对称轴方程以及()03f =并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式;若选③:根据已知条件判断出()1,2为图象的最低点,由此分析出对称轴,则二次函数的解析式可求;(2)根据(1)得到()f x 的解析式,然后利用配方法和整体替换的方法求解出()212x -+的取值范围,则()f x 在[]1,4-上的值域可求.【详解】 解:若选①,(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++. 因为()()121f x f x x +=+-,所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-,所以221a a b =⎧⎨+=-⎩,解得1a =,2b =-.因为()f x 的图象经过点()1,2,所以()1122f a b c c =++=-+=,所以3c =. 故()223x x x f =-+.若选②,(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,则()f x 图象的对称轴方程为2bx a=-.由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩,解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.若选③,(1)()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =,所以3c =.因为()()21f x f ≥=,所以()13212f a b b a ⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩,解得1a =,2b =-.故()223x x x f =-+.(2)由(1)可知()()222312f x x x x =-+=-+. 因为14x -≤≤,所以213x -≤-≤,所以()2019x ≤-≤,所以()221211x ≤-+≤. 即()f x 在[]1,4-上的值域为[]2,11. 【点睛】方法点睛:求解函数解析式常用的方法有:(1)换元法:适用于求解已知()()f g x 的解析式求解()f x 的解析式的类型; (2)待定系数法:适用于已知函数的类型求解函数解析式,如已知函数为一次函数可设()()0f x kx b k =+≠或已知函数为二次函数可设()()20f x ax bx c a =++≠;(3)方程组法:适用于已知()(),f x f x -组成的方程求解()f x 的解析式或已知()1,f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭组成的方程求解()f x 的解析式的类型.23.(1)答案见解析;(2)19. 【分析】(1)讨论2b -<和2b -≥两种情况根据二次函数性质求解; (2)讨论11a ≤,113a<<和13a ≥三种情况结合二次函数的单调性求解.【详解】(1)1a =时,2()21f x x bx =++,对称轴为x b =-,二次函数()f x 的图象开口向上,当2b -<,即2b >-时,max ()(3)106f x f b ==+; 当2b -≥,即2b ≤-时,max ()(1)22f x f b ==+.(2)2()21f x ax x =-+,对称轴为1x a=,二次函数()f x 的图象开口向上, 当11a≤,即1a ≥时,()f x 在[]1,3单调递增,()()min 114f x f a ==-=-,解得3a =-,不符合;当113a <<,即113a <<时,2min 112()14f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得15a =,不符合;当13a ≥,即103a <≤时,()f x 在[]1,3单调递减,()()min 3954f x f a ==-=-,解得19a =,符合,综上,19a =.【点睛】思路点睛:求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路; (1)二次函数开口向上时,求函数的最大值,讨论对称轴和2a b+的大小求解; (2)二次函数开口向上时,求函数的最小值,讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.24.(1)增函数;证明见解析;(2)当23m ≤-时,[)45,k m ∈++∞; 当203-<<m 时, [)3,k m ∈++∞ 【分析】(1)用函数单调性的定义进行证明得解; (2)参变分离得到221m k x x++≤,再换元转化为二次函数求最值得解. 【详解】(1)()f x 为[)2,+∞上的增函数 证明如下:任取[)12,2,x x ∈+∞,且12x x < 则()121212121212444()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=- 21120,4x x x x ->>所以12()()f x f x <;所以()f x 为[)2,+∞上的增函数 (2)由()f x kx ≤,得2mx kx x++≤ 212[,1],12m x k x x∈∴++≤令1t x =,[]2211()21()1,(1,2)g t mt t m t t m m =++=++-∈ 则1[,1]2x ∈有解,当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈0m <当132m ->即203-<<m 时,min ()(1)3g t g m ==+ 当1302m <-≤即23m ≤-时,min ()(2)45g t g m ==+ 综上, 当23m ≤-时,[)45,k m ∈++∞. 当203-<<m 时, [)3,k m ∈++∞ 【点睛】函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题,注意对参数进行讨论. 25.(1)()2xf x x x=+,()1,1x ∈-;(2)()f x 在()1,1-上递增,证明见解析;(3)1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】(1)由奇偶性知()00f =,进而结合1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭待定系数求解即可得函数解析式; (2)()f x 在()1,1-上递增,利用函数单调性的定义证明即可;(3)由奇偶性将问题转化为()()1f t f t ->-,再根据单调性解不等式111111t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩即可. 【详解】解:(1)因为函数()21ax bf x x +=+是()1,1-上的奇函数,12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()0,0012122152514b f a bf =⎧⎪⎧=⎪⎪+⇒⎨⎨⎛⎫== ⎪⎪⎪⎝⎭⎩+⎪⎩,解得10a b =⎧⎨=⎩, ∴ ()2xf x x x=+,()1,1x ∈-. (2)()f x 在()1,1-上递增,证明如下: 任取()12,1,1x x ∈-,且12x x >,则()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()2212121212122222121211111x x x x x x x x x x x x x x ---+-==++++, ∵()12,1,1x x ∈-,∴1210x x ->, 又12x x >,∴ 120x x ->, ∴()()120f x f x ->,∴ ()()12f x f x >,即()f x 在()1,1-上递增. (3)()()10f t f t -+>可化为()()1f t f t ->-,∴111021111112112t t t t t t t t ⎧⎪-<-<<<⎧⎪⎪-<<⇒-<<⇒<<⎨⎨⎪⎪->-⎩⎪>⎩.∴t 的取值范围1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】(1)本题是函数性质的综合运用,在解题中要熟练掌握函数奇偶性、单调性的的判定及性质,对于单调性的证明要掌握规范的解题步骤.(2)在解含“f ”号得不等式时,首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”号,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 26.(1)(,3][1,)-∞-⋃-+∞(2)()1,-+∞ 【分析】(1)根据二次函数对称轴与区间关系,即可求解;(2)分离参数可得42(1)4k x ->--,求出44y x =--的最大值即可求解. 【详解】 (1)由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知,函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性,所以12k -≤或14k -≥,解得3k ≤-或1k ≥-,所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.(2) 因为()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立, 所以可得42(1)k x x ->--对任意的[1,2]x ∈恒成立,因为44()44y x x x =--=-+≤-=-,当且仅当2x =时等号成立, 即max 4y =-,所以只需2(1)4k ->-,解得1k -<,所以实数k 的取值范围为()1,-+∞.【点睛】关键点睛:不等式在某区间上恒成立求参数的取值范围,一般需要分离参数,转化为求最值问题,往往可以利用函数单调性或均值不等式求最值,即可求出答案,本题中利用了均值不等式,特别注意等号是否能取到,否则不能用均值不等式求最值.。

最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)

最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)

一、选择题1.现有以下结论: ①函数1y x x=+的最小值是2; ②若a 、b R ∈且0ab >,则2b aa b+≥;③y =2;④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中,正确的有( )个A .0B .1C .2D .32.若正数x ,y 满足2440x xy +-=,则x y +的最小值是( )A B C .2D 3.已知正数x ,y 满足2021x y xy +=,则2120x y+的最小值为( ) A .2 B .3C .4D .54.已知12x >,则2321x x +-的最小值是( )A .32 B 32C 2D .325.某单位计划今明两年购买某物品,现有甲、乙两种不同的购买方案,甲方案:每年购买的数量相等;乙方案:每年购买的金额相等,假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠,则这两种方案中平均价格比较低的是( )A .甲B .乙C .甲、乙一样D .无法确定6.已知不等式222ax y xy +≥,若对于任意[1,2],[2,3]x y ∈∈,该不等式恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .3a ≥-B .1a ≥-C .18a ≥D .118a -≤≤7.已知正实数,a b 满足1a b +=,则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是( )A .112B .5C .2+D .3+8.已知2m >,0n >,3m n +=,则112m n+-的最小值为( )A .3B .4C .5D .69.若实数,x y 满足0xy >,则的最大值为( ) A .22B .22+C .422+D .422-10.下列命题正确的是( ) A .若a bc c>,则a b > B .若22a b >,则a b > C .若2211a b >,则a b < D a b <a b <11.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,90ACB ∠=︒,D 为AB 边上的一点,30ACD ∠=︒,且2CD =,则3a b 的最小值为( ) A .4B .423+C .8D .823+12.已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集,则实数a 的取值范围是( )A .62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦D .(][),22,-∞+∞二、填空题13.已知正实数,x y 满足48x y +=,则xy 的最大值为_______________. 14.当0x >时,不等式2210x ax ++≥恒成立,则实数a 的取值范围是______. 15.已知正实数a ,b 满足21ab a b ++=,则188a b a b+++的取值范围为_________. 16.若a ,b 为实数,且12,12a b ≤≤≤≤,则21a b ab+的最小值是________. 17.已知0a >,b R ∈,当0x >时,()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立,则+a b 的最小值是_____________.18.某企业开发一种产品,生产这种产品的年固定成本为3600万元,每生产x 千件,需投入成本c (x )万元,c (x )=x 2+10x .若该产品每千件定价a 万元,为保证生产该产品不亏损,则a 的最小值为_____.19.若不等式256x xt <--对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数t 的取值范围是______.20.如图:已知树顶A 离地面212米,树上另一点B 离地面112米,某人在离地面32米的C 处看此树,则该人离此树_________米时,看A 、B 的视角最大.三、解答题21.解关于x 的不等式2(2)210()a x x a R -+-≥∈.22.已知函数()21f x x bx =+-有两个零点1x ,2x ,且1x ,2x 的倒数和为1-.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若在区间[]2,1-上,不等式()2->-f x x m 恒成立,求实数m 的取值范围.23.设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠.(1)若(1)4f =,且,a b 均为正实数,求14a b+的最小值,并确定此时实数,a b 的值; (2)若b R ∀∈满足()222(1)32b f x a x a ab >--+-+在x ∈R 上恒成立,求实数a 的取值范围.24.已知函数()22f x x ax =-,x ∈R ,a R ∈.()1当1a =时,求满足()0f x <的x 的取值范围; ()2解关于x 的不等式()23f x a <;()3若对于任意的()2,x ∈+∞,()1f x >均成立,求a 的取值范围.25.如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库,设km AB y =,并在公路同侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上),现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ,AC ,已知1AB AC =+,且60ABC ∠=︒.(1)求y 关于x 的函数;(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km ,两条道路造价为3万元/km ,问:该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低为多少?26.当a 为何值时,不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】取0x <,可判断①的正误;利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①,当0x <时,10y x x=+<,①错误; 对于②,若a ,b R ∈且0ab >,说明0b a >,0a b >,则22b a b aa b a b+≥⨯=,当且仅当22a b =时取等号,显然成立,②正确; 对于③,22221323233y x x x x =+≥+⨯=++,2233x x +=+231x +=,显然这样的x 不存在,所以结论不正确,③错误;对于④,因为0x >,所以4343x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为243-,所以结论不正确,④错误.故选:B. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.2.A解析:A 【分析】首先条件变形为2404x y x-=>,代入x y +后利用基本不等式求最小值.【详解】0,0x y >>,22444004x x xy y x-+-=⇒=>,解得:02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥=,当314x x =,即x =即x y + 故选:A 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方3.C解析:C 【分析】由已知得20211y x +=,再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,运用基本不等式可得选项. 【详解】由2021x y xy +=得20211y x+=,2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=,即42,40x y ==.时,等号成立. 故选:C. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.4.D解析:D 【分析】由2111333311212222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎝⎭--,利用均值不等式可得答案. 【详解】21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当113122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-,即132x =+ 时,取得等号. 故选:D 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,这时改用勾型函数的单调性求最值.5.B解析:B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格,然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案,设每年购买的数量为x ,则两年的购买的总金额为12p x p x +, 平均价格为121222p x p x p p x ++=; 对于乙方案,设每年购买的总金额为y ,则总数量为12y yp p +, 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++,所以,12121222p p p p p p +>+. 因此,乙方案的平均价格较低. 故选:B. 【点睛】方法点睛:比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,作差法的主要步骤为:作差——变形——判断正负.在所给不等式是积、商、幂的形式时,可考虑比商6.B解析:B 【分析】 将a 分离出来得22()y ya x x ≥-,然后根据[1x ∈,2],[2y ∈,3]求出y x的范围,令yt x=,则22a t t ≥-在[1,3]上恒成立,利用二次函数的性质求出22t t -的最大值,即可求出a 的范围. 【详解】 解:由题意可知:不等式222ax y xy +≥对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立, 即:22()y ya x x≥-,对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立, 即:x 2ma 2()yy a xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥-,对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立,令y t x =,结合图形可知yx的取值范围是(1,3),则13t ≤≤, 22a t t ∴≥-在[1,3]上恒成立,221122()48y t t t =-+=--+,13t ≤≤,∴当1t =时,1max y =-,1a ∴≥-. 故选:B.【点睛】关键点点睛:本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题,利用分离参数法、换元法和将恒成立问题转化为二次函数最值问题是解题的关键,还需要注意换元时新元的范围,属于中档题.7.C解析:C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再利用基本不等式计算可得; 【详解】解:()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭ )()22222222222222b a abab b a ab ababab++++==≥=,当且仅当2a b =时取等号,即22a =21b =时等号成立,故选:C . 【点睛】本题考查基本不等式的应用,属于中档题.8.B解析:B 【分析】由2m >,0n >,3m n +=,所以21m n -+=,结合“1”的代换,结合基本不等式,即可求解. 【详解】因为2m >,0n >,3m n +=,所以21m n -+=, 则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭,当且仅当22n m m n-=-且3m n +=,即51,22m n ==时取等号,故选:B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”,结合“1”的代换技巧是解答的关键,着重考查推理与运算能力.9.D解析:D 【解析】试题分析:由实数,x y 满足0xy >,,设{2m x y n x y=+=+,解得2{x m ny n m =-=-,则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++,当且仅当2n mm n=,及2n m =时等号成立,所以的最大值为422-,故选D.考点:基本不等式的应用.10.D解析:D 【分析】A 项中,需要看分母的正负;B 项和C 项中,已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中,若0c <,则有a b <,故A 项错误;B 项中,若22a b >,则a b >,故B 项错误;C 项中,若2211a b>则22a b <即a b <,故C 项错误;D a b <定有a b <,故D 项正确. 故选:D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式,属于基础题.11.B解析:B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,在ACD △中,利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-,化简得到13tan b α=ABC 中,有tan a b α=⋅,然后将3a b +转化为4ta n a αα=++利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,在ACD △中,由正弦定理得:()2sin 150sin b αα=︒-,所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+,在直角ABC 中,tan a b α=⋅,所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+an α=,即4πα=时取等号, 故选:B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.12.C解析:C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ,由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩,在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证,由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知,关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .(1)当240a -=,即2a =±.当2a =时,不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<,合乎题意;当2a =-时,不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<,即14x >-,其解集不为R ,不合乎题意;(2)当240a -≠,即2a ≠±时.关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩,解得265a -<<.综上可得,实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选C . 【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题,求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解,考查化归与转化思想,属于中等题.二、填空题13.4【分析】由基本不等式求解【详解】因为所以所以当且仅当即时等号成立故答案为:4【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就是各项必须为正数;(2)二解析:4 【分析】由基本不等式求解. 【详解】因为0,0x y >>,所以48x y +=≥=, 所以4xy ≤,当且仅当4x y =,即1,4x y ==时等号成立. 故答案为:4. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方14.【分析】本题首先可根据将不等式转化为然后利用基本不等式得出即可得出结果【详解】因为所以即因为不等式恒成立所以恒成立因为当且仅当时取等号所以实数的取值范围是故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求解析:)⎡-+∞⎣【分析】本题首先可根据0x >将不等式转化为12a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭,然后利用基本不等式得出12x x +≥. 【详解】因为0x >,所以2210x ax ++≥,即12a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭, 因为不等式2210x ax ++≥恒成立,所以12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭恒成立,因为1122x x x x ⎛⎫+≥=⇒-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当2x =时取等号,所以a ≥-,实数a 的取值范围是)⎡-+∞⎣,故答案为:)⎡-+∞⎣. 【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足“一正二定三相等”: (1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15.【分析】先根据正实数ab 满足找到ab 的关系及ab 的范围然后把通换元法转化为函数求值域【详解】由得∴且∵∴∴∴则令则在上递减(因为)∴令则∴=在上单增∴故答案为:(69)【点睛】利用基本不等式求最值时 解析:()6,9【分析】先根据正实数a ,b 满足21ab a b ++=找到a ,b 的关系及a ,b 的范围,然后把188a b a b+++通换元法转化为函数求值域. 【详解】由21ab a b ++=得21ab a b ++=,∴121ab a -=+,且(1)(2)3a b ++=. ∵0,0a b >>,∴120a ->,∴12a <∴102a <<.则3321311a b a a a a +=+-=++-++, 令31,1,2u a u ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭则33a b u u+=+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减,(因为32<),∴112a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,. 令=+t a b ,则112t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,, ∴188a b a b +++=18t t +在112⎛⎫⎪⎝⎭,上单增, ∴()1886,9a b a b++∈+. 故答案为:(6,9). 【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.如果等号成立的条件满足不了,说明函数在对应区间单调,可以利用单调性求最值或值域.16.【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是;故答案为:【点睛】关键点睛:解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解解析:2【分析】利用基本不等式,得到21a b ab +≥=,通过求出min2⎡=⎢⎣,进而求解 【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得,21a b ab +≥=,又因为12b ≤≤,所以,当2b =时,min2⎡=⎢⎣,此时21a b ab =成立,可得,2a b =,a =2b =时,满足条件,所以,21a b ab +的最小值是2;【点睛】关键点睛:解题的关键在于基本不等式后得到的min⎡=⎢⎣,进而求解17.【分析】根据题中条件先讨论根据不等式恒成立求出;再讨论根据不等式恒成立求出结合题意得到再由基本不等式即可求出结果【详解】因为(1)当时;不等式恒成立可化为在上恒成立即在上恒成立因为在上显然单调递增所【分析】根据题中条件,先讨论10x a<<,根据不等式恒成立求出12a b a ≥-;再讨论1x a ≥,根据不等式恒成立,求出12a b a ≤-,结合题意,得到12ab a =-,再由基本不等式,即可求出结果. 【详解】 因为0a >,(1)当10x a <<时,10ax ;不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立,可化为102x b x --≤在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,即12b x x ≥-在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立, 因为12y x x =-在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上显然单调递增,所以1122a x x a -<-, 因此只需12a b a ≥-; (2)当1x a ≥时,10ax -≥;不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立,可化为102x b x --≥在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即12b x x ≤-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立, 因为12y x x =-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上显然单调递增,所以1122a x x a ->-, 因此只需12a b a ≤-; 综上,只能12a b a =-,所以12a b a a b =+≥==+ 当且仅当12a a=,即a =.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方18.130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解:有题意建立利润函数关系:()整理得:为保证生产该产品不亏损则()即当且仅当即取最小值130此解析:130 【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系,再运用参变分离化简,最后运用基本不等式求最值即可. 【详解】解:有题意建立利润函数关系:2()(103600)f x ax x x =-++,(0x >) 整理得:2()(10)3600f x x a x =-+--,为保证生产该产品不亏损,则2()(10)36000f x x a x =-+--≥,(0x >)即36001010130a x x ≥++≥=, 当且仅当3600x x=即60x =,a 取最小值130,此时产品不亏损 故答案为:130. 【点睛】本题考查函数与不等式关系、参变分离法,基本不等式解决实际问题中的最值问题,是基础题.19.【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可【详解】由得则对于恒成立令则;令则;综上:故答案为:【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题解析:57,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】整理已知条件得到2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立,利用二次函数的特点求解范围即可. 【详解】由256x xt <--,得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-,则2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立,令()211f x x xt =+-,则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩;令()21g x x xt =-+,则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩;综上:5722t <<. 故答案为:57,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.20.6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知:当且仅当时等号成立即解析:6 【分析】过点C 作CD AB ⊥,设CD x =,根据已知中树顶A 距地面212米,树上另一点B 距地面112米,人眼C 离地面32米.我们易求出tan ACB ∠,即tan()ACD BCD ∠-∠的表达式,进而根据基本不等式,求出tan ACB ∠的范围及tan ACB ∠取最大值时x 的值,进而得到答案. 【详解】 如图,过点C 作CD AB ⊥,则213922AD =-=,113422BD =-=, 设CD x =,由图可知:94tan tan 555tan tan()94361tan ?tan 26121?ACD BCD x x ACB ACD BCD ACD BCD x x x x-∠-∠∠=∠-∠====+∠∠⨯++,当且仅当6x =时,等号成立.即6x =时,tan ACB ∠有最大值,此时ACB ∠最大. 故答案为: 6 【点睛】本题考查的知识点是三角函数的实际应用,两角差的正切公式,及基本不等式,其中构造适当的三角形,将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键.三、解答题 21.无 22.无 23.无 24.无 25.无 26.无。

必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(包含答案解析)

必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.现有以下结论: ①函数1y x x=+的最小值是2; ②若a 、b R ∈且0ab >,则2b aa b+≥;③y =2;④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中,正确的有( )个A .0B .1C .2D .32.某单位计划今明两年购买某物品,现有甲、乙两种不同的购买方案,甲方案:每年购买的数量相等;乙方案:每年购买的金额相等,假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠,则这两种方案中平均价格比较低的是( )A .甲B .乙C .甲、乙一样D .无法确定3.已知(1,0),(1,0)A B -,点M 是曲线x =上异于B 的任意一点,令,MAB MBA αβ∠=∠=,则下列式子中最大的是( )A .|tan tan |αβ⋅B .|tan tan |αβ+C .|tan tan |αβ-D .tan tan αβ4.在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,不等式2410mx x -+<有解,则m 的取值范围为( )A .4m ≤B .74m <C .4m <D .3m <5.已知关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <,则错误的是( ) A .122x x +=B .123x x <-C .214x x ->D .1213x x -<<<6.对于任意实数x ,不等式210ax ax -+>恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(]0,4B .[)0,4C .(][),04,-∞+∞ D .()(),04,-∞+∞7.已知A 、B 、C 为ABC 的三内角,且角A 为锐角,若tan 2tan B A =,则11tan tan B C+的最小值为( ) A .13B .12C .23D .18.对于实数a 、b 、m ,下列说法:①若22am bm >,则a b >;②若a b >,则a ab b ;③若0b a >>,0m >,则a m ab m b+>+;④若0a b >>且ln ln a b =,则2a b +的最小值是,正确的个数为( ) A .1B .2C .3D .49.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,90ACB ∠=︒,D 为AB 边上的一点,30ACD ∠=︒,且2CD =,则a 的最小值为( )A .4B .4+C .8D .8+10.若a >b ,则下列不等式一定成立的是( ). A .11a b< B .55a b > C .22ac bc >D .a b >11.下列命题中正确的是( ) A .若ac bc >22,则a b >B .若a b >,则11a b< C .若a b >,c d >,则a c b d ->-D .若a b >,c d <,则a b c d> 12.已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集,则实数a 的取值范围是( ) A .62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D .(][),22,-∞+∞二、填空题13.若对(,1]x ∈-∞-时,不等式21()2()12xxm m --<恒成立,则实数m 的取值范围是____________..14.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________. 15.已知3x <,则函数4()3f x x x =+-的最大值是________. 16.若0a >,0b >,且4a b +=,则下列不等式中恒成立的是_______.①112ab >;②228a b +≥;2≥;④111a b+≥. 17.已知0,0a b >>,1a b +=,则14y a b=+的最小值是__________. 18.已知向量()2,1a y =-,(),3b x =,且a b ⊥,若x ,y 均为正数,则32x y+的最小值是______.19.正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________.20.已知实数x ,y ,z 满足:222336x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,则x y z ++的最大值为_________. 三、解答题21.已知二次函数()223f x x ax =-+.(1)若()f x 在(],1-∞上单调递减,求实数a 的最小值; (2)存在[]4,2x ∈--,使得()f x a ≥有解,求实数a 的取值范围.22.已知命题p :方程240x mx ++=无实数根:命题q :不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.(1)如果命题p 是假命题,请求出实数m 的取值范围;(2)如果命题p q ∨为真命题,且命题p q ∧为假命题,请求出实数m 的取值范围.23.已知,(0,)a b ∈+∞,函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =. (1)求41a a b++的最小值; (2)解关于x 的不等式()0f x ≤.24.已知二次函数2()f x ax bx c =++,满足(1)(1)f x f x +=-且不等式()2f x x ≤的解集为[1,3].(1)求函数()f x 的解析式;(2)方程()2f x x k =+在(0,3]上有解,求实数k 的取值范围.25.解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0.26.在平面直角坐标系xOy 中,已知射线OP :4y x =(0x ≥),过点()3,2M 的直线l 与x 轴正半轴、射线OP 分别相交于A ,B 两点,设AM MB λ=(0λ>). (1)当λ为何值时,OAB 的面积取得最小值?并求出此时直线l 的方程; (2)当λ为何值时,MA MB ⋅取得最小值?并求出MA MB ⋅的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B 解析:B 【分析】取0x <,可判断①的正误;利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①,当0x <时,10y x x=+<,①错误; 对于②,若a ,b R ∈且0ab >,说明0b a >,0a b >,则2b a a b +≥=,当且仅当22a b =时取等号,显然成立,②正确; 对于③,2y =≥=,=231x +=,显然这样的x 不存在,所以结论不正确,③错误;对于④,因为0x >,所以43x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为2-,所以结论不正确,④错误. 故选:B. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.2.B解析:B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格,然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案,设每年购买的数量为x ,则两年的购买的总金额为12p x p x +, 平均价格为121222p x p x p p x ++=; 对于乙方案,设每年购买的总金额为y ,则总数量为12y yp p +,平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++,所以,12121222p p p p p p +>+. 因此,乙方案的平均价格较低. 故选:B. 【点睛】方法点睛:比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,作差法的主要步骤为:作差——变形——判断正负.在所给不等式是积、商、幂的形式时,可考虑比商3.C解析:C 【分析】化简曲线为221(1)x y x -=≥,易知该曲线为双曲线,分别计算选项的取值范围,即可得答案; 【详解】设直线MA ,MB 的斜率分别为12,k k ,11(,)M x y ,则12tan ,tan k k αβ==-, 对A ,1111|tan tan |||111y yx x αβ⋅=⋅=+-; 对B ,C ,tan 0,tan 0αβ><,∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+,1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+≥, 对D ,1k 小于双曲线渐近线的斜率,∴2tan tan 1tan ααβ=<, ∴|tan tan |αβ-最大,故选:C. 【点睛】通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值,再结合基本不等式是求解的关键.4.C解析:C 【分析】令()241f x mx x =-+,对二次项系数m 分三种情况讨论,再对二次函数的对称轴分类讨论,分别求出参数的取值范围,最后取并集即可; 【详解】解:令()241f x mx x =-+当0m =时,原不等式为410x -+<,解得14x >,满足条件; 当0m <时,函数的对称轴为20x m =<,要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解,只需()20f <,即4700m m -<⎧⎨<⎩解得0m <当0m >时,函数的对称轴为20x m =>,要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解,当2103m <<,即6m >时,只需103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解; 当22m >,即01m <<时,只需()20f <,即47001m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<;当1223m≤≤,即16m ≤≤时,只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<; 综上可得4m < 故选:C 【点睛】本题考查一元二次不等式的解,一元二次方程根的分布问题,解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论,分别求出各种情况的参数的取值范围,最后取并集;5.D解析:D 【分析】根据关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <,可得120,,a x x <是方程22310ax ax a --+=,然后利用根与系数的关系判断.【详解】因为关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <, 所以120,,a x x <是方程22310ax ax a --+=的两根, 所以12121312,33a x ax x x a -===-⋅<-+,214x x ===->,故ABC 正确; 设()(1)(3)f x a x x =+-,()(1)(3)1g x a x x =+-+其图象如图所示:由图象知:121,3x x <->,故D 错误; 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题考查一元二次不等式的解集的应用,关键是三个“二次”的转化,还有根与系数的关系与函数零点,注意二次项系数的正负.6.B解析:B 【分析】讨论0a =和0a ≠情况,再根据一元二次不等式与二次函数的关系,解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立,当0a =时,10>恒成立,满足题意当0a ≠时,即函数()21f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可,所以00a >⎧⎨∆<⎩,即2040a a a >⎧⎨-<⎩,解得04a <<,所以实数a 的取值范围是[0,4).故选:B 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围,考查了一元二次不等式的解法,属于基础题.7.C解析:C 【分析】 将11tan tan B C+化为关于tan A 的式子,然后利用基本不等式可以求出最小值.在ABC 中,()tan tan C A B =-+,111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A BB C B A B B A B,tan 2tan B A =,211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B AAB A B A AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>,12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A , 当且仅当12tan 6tan 3A A ,即1tan 2A =时,等号成立,∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选:C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化,和的正切公式的应用,以及利用基本不等式求最值,属于中档题.8.C解析:C 【解析】分析:由不等式性质对其判定 详解:对于①,若22am bm >,20m >,则a b >,故正确对于②,若a b >,则a a b b >,正确 对于③,若0b a >>,0m >,则a m ab m b+>+,故正确 对于④,若0a b >>且lna lnb =,则1ab =,1b a=122a b a a∴+=+≥当12a a =时等号成立,即12a =< 这与ab >矛盾,故错误 综上所述,正确的个数为3 故选C点睛:由不等式性质对其判定,若能举出反例即可判断其错误,注意数值的符号,对于④中利用基本不等式求出最小值需要满足一正二定三相等,本题在取等号时是取不到的,故9.B解析:B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,在ACD △中,利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-,化简得到1tan b α=ABC 中,有tan a b α=⋅,然后将a +转化为4a α=+利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,在ACD △中,由正弦定理得:()2sin 150sin b αα=︒-,所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+,在直角ABC 中,tan a b α=⋅,所以(1tan tan 4tan a b αααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+当且仅当an tan αα=,即4πα=时取等号,故选:B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10.B解析:B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论. 【详解】 a >b ,则1a 与1b的大小关系不确定;由函数y =x 5在R 上单调递增,∴a 5>b 5; c =0时,ac 2=bc 2;取a =-1,b =-2,|a |>|b |不成立.因此只有B 成立. 故选B . 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.A解析:A 【分析】对于选项A ,由不等式性质得该选项正确;对于选项B ,11b a a b ab--=符号不能确定,所以该选项错误;通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ,若ac bc >22,所以20c >,则a b >,所以该选项正确;对于选项B ,11b aa b ab--=符号不能确定,所以该选项错误; 对于选项C ,设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=,所以a c b d -<-,所以该选项错误;对于选项D ,设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<,所以该选项错误; 故选:A 【点睛】本题主要考查不等式的性质,考查实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.C解析:C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ,由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩,在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证,由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知,关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .(1)当240a -=,即2a =±.当2a =时,不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<,合乎题意;当2a =-时,不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<,即14x >-,其解集不为R ,不合乎题意;(2)当240a -≠,即2a ≠±时.关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩,解得265a -<<.综上可得,实数a 的取值范围是6,25⎛⎤-⎥⎝⎦.故选C . 【点睛】 本题考查二次不等式在R 上恒成立问题,求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解,考查化归与转化思想,属于中等题.二、填空题13.【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为:【点睛】方法点晴:本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析:()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212x x m m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+, 令12xt =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立,令2()f t t t =+,又[)2,t ∈+∞, 当2t =时,()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==,所以,26m m -<恒成立,化简得260m m --<,解不等式得23m -<<.故答案为:()2,3-【点睛】方法点晴:本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14.【分析】函数变形为利用基本不等式1求最小值【详解】当且仅当即时等号成立所以函数的最小值为故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正就是各项必须为正数;(解析:3+【分析】 函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++-⎪-⎝⎭,利用基本不等式“1”求最小值. 【详解】 01x <<,011x ∴<-<,121212(1)333111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥+=+ ⎪---⎝⎭,当且仅当121x x x x -=-,即1x =时,等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为:3+【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15.【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛:均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正:的范围要为正 解析:1-【分析】配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦,再用利用均值不等式直接求解. 【详解】因为3x <,所以()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣⎦.当且仅当43=3x x --,即1x =时等号成立,故答案为: 1-【点睛】 此题考查利用基本不等式求最值,属于基础题.方法点睛:均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”. 一正:,a b 的范围要为正值二定:当,a b 为大于零的变量,那么a b +、最值.三相等:验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件.16.②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可【详解】解:且即当且仅当时取等号故选项①错误;当且仅当时取等号选项②正确;即选项③错误;当且仅当时取等号选项④正确故答案为:②④【点睛】利用基本不等式求最解析:②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可.【详解】解:0a >,0b >,且4a b +=,42a b ab ∴+=,即4ab ,当且仅当2a b ==时取等号,∴114ab ,故选项①错误; 222()82a b a b ++=,当且仅当2a b ==时取等号,∴选项②正确;42a b ab +=,即2,∴选项③错误;1111111()()(2)(221444b a a b a b a b a b +=++=+++=,当且仅当2a b ==时取等号,∴选项④正确,故答案为:②④.【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方 17.9【分析】把看成的形式把1换成整理后积为定值然后用基本不等式求最小值【详解】∵等号成立的条件为所以的最小值为9即答案为9【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用解决本题的关键是1的代换解析:9【分析】 把14a b +看成141a b+⨯() 的形式,把“1”换成a b +,整理后积为定值,然后用基本不等式求最小值.【详解】∵14144 1?459b a y a b a b a b a b =+=+⨯+=+++≥+=()() 等号成立的条件为4b a a b =. 所以14a b+的最小值为9. 即答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,解决本题的关键是“1”的代换.18.8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解:向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为:8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于 解析:8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,基本不等式,求得xy 的最大值,可得要求式子的最小值.【详解】 解:向量(2,1)a y =-,(,3)b x =,且a b ⊥,∴23(1)0a b x y =+-=.若x ,y 均为正数,则23326x y xy +=,38xy∴,当且仅当3232x y ==时,取等号. 则32233838y x x y xy ++==,故答案为:8.【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质,基本不等式的应用,属于中档题.19.【分析】由题得ab =a +b +3≥2+3解不等式即得解【详解】∵ab 是正数∴ab =a +b +3≥2+3(当且仅当a =b =3时等号成立)所以所以所以或所以ab≥9故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式的解析:[)9,+∞【分析】由题得ab =a +b +3,解不等式30ab -≥即得解.【详解】∵a ,b是正数,∴ab =a +b ++3(当且仅当a =b =3时等号成立),所以30ab -≥,所以0≥,3≥1≤-,所以ab ≥9.故答案为:[9,)+∞【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数(1)如果则由得不成立;(2)若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立;(3)解析:1+【分析】按,,x y z 的正负分类讨论,由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数,然后分全正,一负,二负,然后利用基本不等式可得结论.【详解】首先,,x y z 至少有一个正数,(1)如果0,0,0x y z ≥≥≥,则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈,2222736x y z ++<<,不成立;(2)若,,x y z 中只有一个负数,不妨设0,0,0x y z ≥≥<,则3z x y -=+-,22()6()9z x y x y =+-++,又2222()36()362x y z x y +=-+≤-, ∴2()6()9x y x y +-++2()362x y +≤-,即2()4()180x y x y +-+-≤,2x y +≤2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+12x y ==+,1z =时等号成立;(3)若,,x y z 中有两个负数,不妨设0,0,0x y z ≥<<,则3y z x --=-,2222()362y z y z x ++=-≥, ∴22(3)362x x --≥,整理得22210x x --≤,01x ≤≤+231x y z x y z x ++=--=-≤+1x =+12y z ==-时等号成立;综上所述,x y z ++的最大值是1+故答案为:1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值,解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号,然后利用基本不等式.三、解答题21.无22.无23.无24.无25.无26.无。

长沙市长沙市第一中学必修一第二单元《函数》测试卷(有答案解析)

长沙市长沙市第一中学必修一第二单元《函数》测试卷(有答案解析)

一、选择题1.已知函数22()2(2)f x x a x a =-++,23()2(2)8g x x a x a =-+--+.设()(){1max ,H x f x =}()g x .()()(){}2min ,H x f x g x =(其中{}max ,p q 表示p ,q中较大值,{}min ,p q 表示p ,q 中较小值),记()1H x 的最小值为A ,()2H x 的最大值为B ,则A B -=( ) A .16-B .16C .8aD .816a -2.已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数,()0,2A ,()2,2B -是其函数图像上的两点,则不等式()12f x ->的解集为( ) A .()1,3 B .()(),31,-∞-⋃+∞ C .()1,1-D .()(),13,-∞+∞3.对于每个实数x ,设()f x 取24y x =-+,41y x =+,2y x =+三个函数值中的最小值,则()f x ( ) A .无最大值,无最小值 B .有最大值83,最小值1 C .有最大值3,无最小值D .有最大值83,无最小值 4.已知函数f (x )的定义域为R ,满足f (x )=2f (x +2),且当x ∈[2-,0) 时,19()4f x x x =++,若对任意的m ∈[m ,+∞),都有1()3f x ≤,则m 的取值范围为( ) A .11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B .10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C .)5,2⎡-+∞⎢⎣ D .11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5.已知,a t 为正实数,函数()22f x x x a =-+,且对任意[]0,x t ∈,都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ,记t 的最大值为()g a ,若函数()g a 的值域记为B ,则下列关系正确的是( ) A .2B ∈B .12B ∉C .3B ∈D .13B ∉6.高斯函数属于初等函数,以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名,其图形在形状上像一个倒悬着的钟,高斯函数应用范围很广,在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影,设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[]3.14-=-,[]4.84=.则函数21()122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A .{}0,1B .{}1,1-C .{}1,0-D .{}1,0,1-7.已知函数()3221x f x x =-+,且()()20f a f b ++<,则( ) A .0a b +<B .0a b +>C .10a b -+>D .20a b ++<8.已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称,则()f x 的值域为( ) A .[]4,-+∞B .9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C .9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[]0,49.设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ,若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值,则实数b 的取值范围是( ) A .(,2]-∞B .(,0]-∞C .(,0][2,)-∞+∞D .[2,)+∞10.对x R ∀∈,用()M x 表示()f x ,()g x 中较大者,记为()()()max{,}M x f x g x =,若()()2{3,1}M x x x =-+-,则()M x 的最小值为( )A .-1B .0C .1D .411.已知函数的定义域为R ,且对任意的12,x x ,且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立,若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(1,2)- B .[1,2]-C .(,1)(2,)-∞-+∞D .(,1][2,)-∞-+∞12.已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭( ) A .2018 B .2019 C .4036D .4038二、填空题13.定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =,且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=,则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.14.若函数()y f x =的定义域是[0,2],则函数()g x =______. 15.已知1()1x f x x +=-,则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________16.已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件:① ()31f =-;②对任意x y +∈R , 都有 ()()()f xy f x f y =+;③ 1x > 时 ()0f x <,则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________.17.如图,是某个函数的图象,则该函数的解析式y =__________;18.若函数()f x 满足()()1f x f x =-,()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时,()3log f x x =,则()57f =______.19.已知函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数,且()f x 在(0,)+∞上单调递增,则实数m =________.20.函数()()122x x f x x N +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_______(其中[]x 表示不大于x 的最大整数)三、解答题21.已知函数()1f x x x=+. (1)请判断函数()f x 在()0,1和()1,+∞内的单调性,并用定义证明在()0,1的单调性.(2)当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,210x ax -+≥恒成立,求实数a 的取值范围. 22.已知二次函数()2f x ax bx c =++.(1)若集合(){}{}|12A x f x x ===,,且()02f =. ①求函数()f x 的解析式; ②画出函数()y f x =的图象,并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数;(2)若a =1,c =0,求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值. 23.已知函数()x af x x+=(a 为常数),其中()0f x <的解集为()4,0-. (1)求实数a 的值;(2)设()()g x x f x =+,当()0x x >为何值时,()g x 取得最小值,并求出其最小值. 24.已知函数()y f x =的定义域为D ,如果存在区间[],a b D ⊆,使得[]{}[]|(),,,=∈=y y f x x a b a b ,则称区间,a b 为函数()y f x =的一个和谐区间.(1)直接写出函数3()f x x =的所有和谐区间; (2)若区间[]0,m 是函数3()22=-f x x 的一个和谐区间,求实数m 的值; (3)若函数2()2()=-+∈f x x x m m R 存在和谐区间,求实数m 的取值范围. 25.已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>. (1)求函数()f x 在区间[4,2]--的最大值()M a ; (2)若关于x 的方程()0f x =有两个实根1x 、2x ,且121,1010x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求实数a 的最大值.26.已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.(Ⅰ)若函数()f x 在区间[2,4]上具有单调性,求实数k 的取值范围; (Ⅱ)若()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立,求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+,由()(){1max ,H x f x =}()g x .()()(){}2min ,H x f x g x =,得到max ()412B g x a ==-+,min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++,23()2(2)8g x x a x a =-+--+, 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+, 如图所示:当2x a =+时,()()44f x g x a ==--, 当2=-x a 时,()()412f x g x a ==-+, 因为max ()412g x a =-+,所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+, 因为min ()44f x a =--,所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--, 所以44,412A a B a =--=-+, 所以16A B -=-, 故选:A 【点睛】方法点睛:(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手.(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时,要尽量规范作图,尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚,这样在解题时才不易出错.2.D解析:D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-,从而得出()f x 在R 上为减函数,从而根据不等式()12f x ->得,(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->,从而得出12x ->或10x -<,解出x 的范围 【详解】解:由题意得(0)2,(2)2f f ==-, 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数, 所以()f x 在R 上为减函数,由()12f x ->,得(1)2f x ->或(1)2f x -<-, 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<, 所以10x -<或12x ->, 解得1x <或3x >,所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞,故选:D 【点睛】关键点点睛:此题考查函数单调性的应用,考查绝对值不等式的解法,解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<,再利用()f x 在R 上为减函数,得10x -<或12x ->,考查数学转化思想,属于中档题 3.D解析:D 【分析】作出函数()f x 的图象,结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++,作出函数()f x 的图象如下图所示:函数()f x 的图象如上图中的实线部分,联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩,解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由图象可知,函数()f x 有最大值83,无最小值. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数最值的求解,解题的关键就是结合函数()f x 的定义,进而作出函数()f x 的图象,利用图象得出结论.4.D解析:D 【分析】求出[2,0)x ∈-时,()f x 的值域,满足1()3f x ≤,根据函数的定义,[0,2)x ∈时,满足1()3f x ≤,同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤,然后求得[4,2)x ∈--时的解析式,解不等式1()3f x ≤得解集,分析后可得m 的范围. 【详解】[2,0)x ∈-时,19()4f x x x =++在[]2,1--上递增,在[1,)-+∞上递减,1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦,满足1()3f x ≤,当[0,2)x ∈时,2[2,0)x -∈-,11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞,满足满足1()3f x ≤, 按此规律,2x ≥时,()f x 均满足1()3f x ≤, 当[4,2)x ∈--时,29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++,由2912(2)223x x +++≤+, 解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-,当101134x -<<-时,1()3f x >. 因此当114x ≥-时,都有1()3f x ≤, 所以114m ≥-. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查函数不等式恒成立问题,解题关键是依照周期函数的性质,根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +(k ∈N )满足1()3f x ≤,在[2,0)-上直接判断,求出[4,2)--上的解析式,确定1()3f x ≤的范围,此时有不满足1()3f x ≤的x 出现,于是可得结论m 的范围.5.A解析:A【分析】根据函数的特征,要对t 进行分类讨论,求出t 的最大值,再根据a 是正实数,求出()g a 的值域即可判断答案. 【详解】 解:2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上,对称轴为1x =①01t <时,()f x 在[0,]t 上为减函数,()(0)max f x f a ==,2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈,]t ,都有()[f x a ∈-,]a . 22a t t a ∴-≤-+,即2220t t a -+≥,当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤,即12a ≥时,01t <,当()()22424120a a ∆=--⨯=->,即102a <<时,11t ≤ ②1t >时,()f x 在[0,1]上为减函数,在[1,]t 上为增函数,则()()11min f x f a a ==-≥-,2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤,12a ∴≥,且22t t a a -+,即12t < t 的最大值为()g a综上可得,当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时,()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选:A . 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.6.C解析:C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域,再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++, ()121,x +∈+∞,()10,112x∴∈+, ()11,012x∴-∈-+, 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭, 即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭, 由高斯函数定义可知:函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选:C. 【点睛】方法点睛:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.7.A解析:A 【分析】求得函数的单调性,构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得:3y x =,21xy =+在R 上单调递增所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增, 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+,()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数,且在R 上单调递增,故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<. 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.8.B解析:B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点,则2,3也是零点,由对应关系求出解析式,利用换元法和二次函数性质即可求解【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-,0,又因为其图象关于直线1x =对称,所以2,3也是函数()f x 的两个零点,即()()()()123f x x x x x =+⋅--,所以()()()22223f x x x x x =---,令()222111t x x x =-=--≥-,则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝,所以94y ≥-,即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选:B 【点睛】关键点睛:本题考查函数对称性的应用,换元法的应用,函数值域的求解,解题关键在于:(1)若函数对称轴为x a =,则有()()f a x f a x +=-; (2)换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.9.C解析:C 【分析】由于参数b 的不确定性,可进行分类讨论,再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时,()2f x x =,()[)0,f x ∈+∞,()()[)0,ff x ∈+∞,符合题意;当0b <时,22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭,对称轴为02b x =->,画出大致图像,令()t f x =,min 0t <,则()()()f f x f t =,[)min,t t∈+∞,显然能取到相同的最小值,符合;当0b >时,对称轴为b x 02=-<,()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令()t f x =,2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭,要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值,则需满足:242b b -≤-,解得[2,)b ∈+∞综上所述,则b ∈(-∞,0]∪[2,+∞)故选:C.【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论,同时结合最值与对称轴的关系解决问题. 10.C解析:C【分析】根据定义求出()M x 的表达式,然后根据单调性确定最小值.【详解】由23(1)x x -+=-解得:1x =-或2x =, 2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥,2(1)3x x -<-+的解为12x -<<,∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或, ∴2x ≤时,()M x 是减函数,2x >时,()M x 是增函数,∴min ()(2)1M x M ==.故选:C .【点睛】关键点点睛:本题考查新定义函数,解题关键是确定新定义函数的解析式,根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式,然后根据分段函数研究新函数的性质.11.A解析:A【分析】由函数的单调性列x 的不等式求解即可.【详解】由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦,则函数()f x 在R 上为增函数,由()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立,故22min 1(1)m m x --<+,即211m m --<解得12m -<<. 故选:A.【点睛】本题考查函数的单调性,考查恒成立问题,是基础题12.A解析:A【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=,采用倒序相加法可求得结果.【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭,()()12f x f x ∴+-=, 令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两式相加得:222018S =⨯,2018S ∴=.故选:A .【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题,解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数. 二、填空题13.【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为:【点睛】方法点睛:本题考查了解抽 解析:(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<,利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =,再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=,且(0)4f =,令2x =,则(2)(0)4f f +=,故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<,解得0()4f x <<,即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数,解得02x <<,故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2)故答案为:(0,2)【点睛】方法点睛:本题考查了解抽象不等式,要设法把隐性划归为显性的不等式求解,方法是: (1)把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型;(2)判断函数()f x 的单调性,再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉,得到具体的不等式(组)来求解,但要注意奇偶函数的区别.14.【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为:【点睛】求抽象函数定义域的方法:已知函数的定义域为求复合函数的定义 解析:31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】 根据抽象函数的定义域的求法,结合函数()g x =. 【详解】由题意,函数()y f x =的定义域是[0,2],即02x ≤≤, 则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩,解得312x <≤, 即函数()g x =31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为:31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法:已知函数()f x 的定义域为[],a b ,求复合函数()[]f g x 的定义域时:可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ,则x 的取值范围即为所求定义域;已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ,求函数()f x 的定义域,求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域,即为()y f x =的定义域.15.100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为:100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键解析:100【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解.【详解】1()1x f x x +=- 211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++ 250100=⨯=故答案为:100.【点睛】由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.16.【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为:解析:()13, 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-,把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+,即()()699f x f x <-,再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数,利用单调性可得答案.【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞,有()()()f xy f x f y =+,令x y ==f f f =+,得()231f f ==-,所以12f =-, 令3x y ==,则()()()9332f f f =+=-,所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+,即()()699f x f x <-, 设120x x <<,12,(0,)x x ∈+∞,当1x > 时 ()0f x <,则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()12()f x f x >,所以()f x 在(0,)+∞上为减函数,故由()()699f x f x <-, 得699x x >-,得3x <,又1x >,所以原不等式的解集为(1,3).故答案为:(1,3)【点睛】思路点睛:确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路:第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性;第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式;第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.17.【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得;当时设函数为当时时解得所以故答案为:【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题 解析:2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象,用待定系数法求解即可.【详解】当01x ≤<时,设函数为y kx =,当1x =时2y =,解得2k =;当13x ≤≤时,设函数为y ax b =+,当1x =时3y =,3x =时0y =,解得32a =-,92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为:2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式,考查待定系数法,是基础题.18.2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为:2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数 解析:2【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数,根据()()573f f =代入解析式即可.【详解】根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩, 进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+,于是()()3+=-f x f x ,显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣,则()f x 是以6最小正周期的周期函数,∵当(]1,3x ∈时()f x x =,则()()()57693332f f f =⨯+===.故答案为:2.【点睛】本题以抽象函数为载体,研究抽象函数的结构特征,且挖掘暗含条件,巧妙地对复合函数的连续变形,体现了数学抽象,数学化归等关键能力与学科素,属于中档题. 19.2【分析】由函数是幂函数求得或结合幂函数的性质即可求解【详解】由题意函数是幂函数可得即解得或当时函数此时在上单调递增符合题意;当时函数此时在上单调递减不符合题意故答案为:【点睛】本题主要考查了幂函数 解析:2【分析】由函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数,求得2m =或1m =-,结合幂函数的性质,即可求解.【详解】由题意,函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数, 可得211m m --=,即220m m --=,解得2m =或1m =-,当2m =时,函数()2f x x =,此时()f x 在(0,)+∞上单调递增,符合题意; 当1m =-时,函数()1f x x -=,此时()f x 在(0,)+∞上单调递减,不符合题意, 故答案为:2.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用,其中解答中熟记幂函数的定义,结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键,着重考查运算能力.20.【分析】由题设中的定义可对分区间讨论设表示整数综合此四类即可得到函数的值域【详解】解:设表示整数①当时此时恒有②当时此时恒有③当时此时恒有④当时此时此时恒有综上可知故答案为:【点睛】此题是新定义一个 解析:{}0,1【分析】由题设中的定义,可对x 分区间讨论,设m 表示整数,综合此四类即可得到函数的值域【详解】解:设m 表示整数.①当2x m =时,1[0.5]2x m m +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦,[]2x m m ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. ∴此时恒有0y =.②当21x m =+时,1[1]12x m m +⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦,[0.5]2x m m ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. ∴此时恒有1y =.③当221m x m <<+时,21122m x m +<+<+0.52x m m ∴<<+ 10.512x m m ++<<+ 2x m ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦,12x m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∴此时恒有0y =④当2122m x m +<<+时,22123m x m +<+<+0.512x m m ∴+<<+ 11 1.52x m m ++<<+ ∴此时2x m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,112x m +⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∴此时恒有1y =.综上可知,{}0,1y ∈.故答案为:{}0,1.【点睛】此题是新定义一个函数,根据所给的规则求函数的值域,求解的关键是理解所给的定义,一般从函数的解析式入手,要找出准确的切入点,理解[]x 表示数x 的整数部分,考察了分析理解,判断推理的能力及分类讨论的思想 三、解答题21.(1)()f x 在()0,1内单调递减,在()1,+∞内单调递增,证明见解析;(2)5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】(1)由单调性的定义证明;(2)分离参数不等式变形为211x a x x x+≤=+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立,然后由函数的单调性得右边的最小值即可得结论.【详解】(1)()f x 在()0,1内单调递减,在()1,+∞内单调递增.任取()12,0,1x x ∈且12x x <,()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 因为1201x x ,所以120x x -<,1201x x <<,所以1210x x -<,因为()()120f x f x ->,即()()12f x f x >,因此,函数()y f x =在()0,1上是单调减函数.(2)由210x ax -+≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立, 得211x a x x x+≤=+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立, 由(1)知,函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数, 所以当12x =时,()1f x x x =+取得最小值, ()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 所以52a ≤, 因此,实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛:本题考查用定义证明函数的单调性,考查不等式恒成立问题,解决不等式恒成立的常用方法是用分离参数法转化为求函数的最值.在不能分离参数时,可直接引入函数,利用分类讨论思想求得函数的最值,由最值满足的不等关系得出参数范围. 22.(1)①2()22f x x x =-+,②见解析;(2)2min 42,4(),44442,4b b b f x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩. 【分析】(1)①先求得2c =;{1A =,2}说明()0f x x -=两根为1,2.利用韦达定理求a ,b ,从而可得解析式;②写成分段函数形式,再利用二次函数图象与性质求解. (2)根据对称轴位置,分三种情况讨论,分别利用二次函数的性质求解即可.【详解】(1)①(0)2f =,2c ∴={1A =,2},2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1,2. 由韦达定理得,212112a b a ⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩,∴12a b =⎧⎨=-⎩ 2()22f x x x ∴=-+②函数()2222,022,0x x x y f x x x x ⎧-+≥==⎨-+<⎩, 函数()y f x =的图象如图,同一坐标系内画出函数y a =的图象,由图可知,当1a <时,函数y a =和函数()y fx =的图象的公共点个数为0;当1a =或2a >时,函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为2;当12a <<时,函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为4;当2a =时,函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为3;(2)a =1,c =0,函数2()f x x bx =+,当2,42b b -≤-≥时,()min ()242f x f b =-=-; 当22,442b b -<-<-<<时,2min ()24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭;当2,42b b -≥≤-时,()min ()242f x f b ==+; 综上,2min42,4(),44442,4b b b f x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【点睛】方法点睛:二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.23.(1)4a =;(2)当2x =时,()g x 取得最小值为5.【分析】(1)利用不等式的解集,推出对应方程的根,然后求解a .(2)化简函数的解析式,利用基本不等式转化求解函数的最值即可.【详解】(1)因为()00x a f x x +<⇔<的解集为()4,0-, 故()0x a f x x+==一个根为-4, 404a -+=- 得4a =(2)()()441x g x x f x x x x x +=+=+=++ 因为0x >,所以4115x x ++≥=, 当且仅当4x x=,即2x =时取等号; 所以当2x =时,()g x 取得最小值为5.【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.24.(1) 1.0,0,1,[]1,1-;(2)4m =或2;(3)904≤<m . 【分析】(1)本题可令3x x =,解得0x =或±1,然后根据函数()3f x x =的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果;(2)本题首先可将函数转化为()342,23342,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,然后令322x x -=,解得45x =或4,最后绘出函数图像,结合函数图像即可得出结果; (3)讨论1a b <≤或1a b ≤<或1a b <<,根据二次函数的性质确定函数的单调区间,再由单调性求出函数的值域,根据题干,函数的新定义即可求解.【详解】解:(1)函数()3f x x =是增函数,定义域为R , 令3x x =,解得0x =或±1,故函数()3f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、0,1、[]1,1-. (2)因为()322f x x =-, 所以()342,23342,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩, 因为[]()0,0m m >为函数()322f x x =-的一个“和谐区间”, 所以可令322x x -=,解得45x =或4, 如图所示,绘出函数图像:结合“和谐区间”的定义易知,当4x =时满足题意,因为()02f =,所以当2m =时,()min max 2,()0f x f x ==,满足题意,故m 的值为4或2.(3)①当1a b <≤时,()f x 在,a b 上时单调递减函数,由题意有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩, 2222a a m b b b m a⎧-+=⎨-+=⎩得1a b +=,因为1a b <≤,所以110,122≤<<≤a b , 且221-+=-a a m a ,即210-+-=a a m,解得1122+=≥a 舍去,或1122=<a,112=-=b a . 由211(0)2=-++≤<m a a a , 得514m ≤<,所以当514m ≤<时,和谐区间为⎣⎦. ②1a b ≤<时,()f x 在,a b 上时单调递增函数,由题意有()()f a a f b b=⎧⎨=⎩,所以,a b 是方程22-+=x x m x 的两个不等实根. 因为3a b +=,又1a b ≤<,得2b ≤,因而有3122≤<<≤a b , 故方程2()30=-+=g x x x m 在31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦内各有一个实根,即302≤<且322<≤, 解得924≤<m , 故当924≤<m时,和谐区间为3322⎡+⎢⎣⎦. ③当1a b <<时,min ()(1)11==-=<f x f m a ,得2m < 当12a b +≤时,即2a b +≤,则max ()()==f x f a b ,得22-+=a a m b , 又1a m =-,得2331=-+>b m m ,得 2m >或1m <,又由2222+=-+≤a b m m 及2m <,解得01m ≤<,此时和谐区间为21,33⎡⎤--+⎣⎦m m m . 当12+≥a b 时,即2a b +≥,则max ()()==f x f b b ,得22-+=b b m b ,解得32=b .若32-=b ,则由2m <知3122-+=-+<a b m ,舍去;若=b,12+=-≥a b m ,解得904≤≤m , 又2m <,所以02m ≤<,此时和谐区间为31,2⎡+-⎢⎣⎦m , 综上,所求范围是904≤<m . 【点睛】关键点点睛:本题考查函数新定义,能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键,在解决函数类的问题时,合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助,考查数形结合思想,是中档题. 25.(1)141,061163,6a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩;(2)14. 【分析】(1)根据对称轴的位置讨论两种情况:113,322-≤-->-a a,分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果; (2)设11221,,1010⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦x x t t x x ,由韦达定理可得 211(1)2==+++t a t t t,利用函数的单调性可得实数a 的最大值.【详解】(1)对称轴12x a =-,[4,2],0∈-->x a 二次函数开口向上, ①当132-≤-a ,即106a <≤时:()(2)41=-=-M a f a , ②当132->-a ,即16a >时:()(4)163=-=-M a f a , 综上所述,141,06()1163,6a a M a a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.(2)由题知:方程210ax x ++=的两个根分别为1x x =、2x x =,由韦达定理知:121x x a ⋅=①,121x x a+=-②, 又已知121,1010⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦x t x ,③ 联立12121x x a x tx ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩,得121,(1)(1)--==++t x x t a t a , 带入121x x a⋅=知:221(1)=+⋅t t a a , 即211(1)2==+++t a t t t ,其中1,1010⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 当1t =时,分母12t t++取得最小值4,所以a 得最大值为14. 【点睛】 本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系,清楚一元二次方程根与系数的关系的处理,对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.26.(1)(,3][1,)-∞-⋃-+∞(2)()1,-+∞【分析】(1)根据二次函数对称轴与区间关系,即可求解;(2)分离参数可得42(1)4k x ->--,求出44y x =--的最大值即可求解. 【详解】(1)由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知, 函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性,所以12k -≤或14k -≥,解得3k ≤-或1k ≥-,所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.(2) 因为()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立, 所以可得42(1)k x x ->--对任意的[1,2]x ∈恒成立,因为44()44y x x x =--=-+≤-=-,当且仅当2x =时等号成立, 即max 4y =-,所以只需2(1)4k ->-,解得1k -<,所以实数k 的取值范围为()1,-+∞.【点睛】关键点睛:不等式在某区间上恒成立求参数的取值范围,一般需要分离参数,转化为求最值问题,往往可以利用函数单调性或均值不等式求最值,即可求出答案,本题中利用了均值不等式,特别注意等号是否能取到,否则不能用均值不等式求最值.。

新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(答案解析)(5)

新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(答案解析)(5)

一、选择题1.下列函数中,最大值为12的是( ) A .22116y x x=+B .21y x =-C .241x y x =+D .()422y x x x =+>-+ 2.当104x <<时,不等式11014m x x+-≥-恒成立,则实数m 的最大值为( ) A .7B .8C .9D .103.若正数a ,b 满足21a b +=,则下列说法正确的是( ) A .ab 有最大值12B .224a b +有最小值12C .ab 有最小值18 D .224a b +有最大值144.已知2x >,那么函数42y x x =+-的最小值是( ) A .5B .6C .4D .85.已知A 、B 、C 为ABC 的三内角,且角A 为锐角,若tan 2tan B A =,则11tan tan B C+的最小值为( ) A .13B .12C .23D .16.若实数,x y 满足0xy >,则的最大值为( ) A .22B .22+C .422+D .422-7.已知正实数a ,b 满足21a b +=,则12a b+的最小值为( ) A .8B .9C .10D .118.已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( ) A .11,βα⎛⎫⎪⎝⎭B .11,,βα⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .(),αβD .(](),,αβ-∞+∞9.若,,a b c 为实数,则下列命题错误的是( ) A .若22ac bc >,则a b >B .若0a b <<,则22a b <C .若0a b >>,则11a b< D .若0a b <<,0c d >>,则ac bd <10.若任意取[]1,1x ∈-,关于x 的不等式()2220x mx m ++-≤成立,则实数m 的取值范围为( )A .⎣⎦B .⎣⎦C .⎣⎦D .⎣⎦11.已知1x >,则41x x +-的最小值为 A .3B .4C .5D .612.已知0x >,0y >,23x y +=,则23x y xy+的最小值为( )A .3-B .1C 1D 1参考答案二、填空题13.若正实数a ,b 满足111122a b +=++,则ab a b ++的最小值为_______. 14.定义,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩,若,0x y >,则222241616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值____________. 15.已知函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是________. 16.设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞,()()0f ax af x +<恒成立,则实数a 的取值范围是____________. 17.当1x >时,11x x +-的最小值为___________. 18.已知关于x 的不等式230x ax ++,它的解集是[1,3],则实数a =__.19.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________.20.已知函数3()3f x x x =-,若对任意的实数x ,不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立,则实数t 的取值范围__________.三、解答题21.设函数2()(,)f x x ax b a b R =-+∈.(1)若2a =,求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值;(2)试判断:是否存在实数a ,b ,使得当,][0x b ∈时,2()6f x ≤≤恒成立,若存在,请求出实数b 的取值范围;若不存在,请说明理由.22.已知不等式2320mx x +->的解集为{2}xn x <<∣ (1)求,m n 的值;(2)解关于x 的不等式2()0( , 1)ax n a x m a R a -+->∈<23.已知不等式2(1)(2)60a x b x ---+≥的解集为{}31x x -≤≤ (1)求,a b 的值.(2)求不等式2(2)40amx bm x -++<的解集24.已知函数()()221f x ax a x b =-++-.(1)若2a =-,9b =,求函数()()0f x y x x=<的最小值; (2)若1b =-,解关于x 的不等式()0f x ≥.25.已知函数21()(2)()2f x x m x m R =+-∈ (1)若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-,求m 的值;(2)若对任意[0x ∈,4],()20f x +恒成立,求m 的取值范围.26.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,求不等式22510ax x a -+->的解集.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C【分析】 用排除法求解. 【详解】由于20x >,因此22116y x x=+无最大值,A 错;[0,1]y =,最小值为0,最大值为1,B 错; 2x >-,20x +>,42y x x =++无最大值,D 错, 只有C 正确、 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查求函数的最大值.对于单选题可以从简单入手,利用排除法确定正确选项.实际上C 可以用基本不等式求解:24()1x f x x =+,0x =时,(0)0f =,0x ≠时,221()1f x x x =+, 而2212x x +≥,当且仅当1x =±时等号成立,∴10()2f x <≤, 综上有()f x 的值域是1[0,]2,最大值为12. 2.C解析:C 【分析】 分离参数化为41414m x x≤+-恒成立,再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立, 因为104x <<,所以140x ->,所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=,当且仅当44(14)144x x x x -=-,即16x =时,等号成立.所以9m ≤,所以m 的最大值为9.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方3.B解析:B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值,注意取等条件的分析,由此得到结果. 【详解】因为21a b +=,所以12a b =+≥18ab ≤,取等号时11,24a b ==, 所以ab 有最大值18,所以A ,C 错误; 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+,取等号时11,24a b ==, 所以224a b +有最小值12,所以B 正确,D 错误, 故选:B. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.4.B解析:B 【分析】根据基本不等式可求得最小值. 【详解】∵2x >,∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--,当且仅当422x x =--,即4x =时等号成立.∴y 的最小值是6. 故选:B .本题考查用基本不等式求最值,利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.5.C解析:C 【分析】将11tan tan B C +化为关于tan A 的式子,然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】在ABC 中,()tan tan C A B =-+,111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A BB C B A B B A B,tan 2tan B A =,211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B AAB A B A AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>,12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A , 当且仅当12tan 6tan 3A A ,即1tan 2A =时,等号成立,∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选:C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化,和的正切公式的应用,以及利用基本不等式求最值,属于中档题.6.D解析:D 【解析】试题分析:由实数,x y 满足0xy >,,设{2m x y n x y=+=+,解得2{x m ny n m=-=-,则222224()442x y m n n m n m x y x y m n m n --+=+=-+≤--++,当且仅当2n m m n=,及2n m =时等号成立,所以的最大值为422-,故选D.考点:基本不等式的应用.7.B解析:B 【分析】 由题意,得到121222()(2)5b aa b a b a b a b+=++=++,结合基本不等式,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,正实数a ,b 满足21a b +=, 则12122222()(2)55549b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=+=, 当且仅当22b a a b =,即13a b ==等号成立, 所以12a b +的最小值为9. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,其中解答中熟记基本不等式的使用条件,合理构造是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能,属于据此话题.8.A解析:A 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集,判断出,,a b c 的符号,利用韦达定理表示出αβ+和αβ⋅与,,a b c 的关系. 设不等式20cx bx a ++>的解集为(),m n ,利用韦达定理建立,αβ与,m n 的关系,进而用,αβ表示出,m n ,即可得不等式20cx bx a ++>的解集. 【详解】不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<< 所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ== 因为0α>,所以0β>,所以0a < 由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120cx x aαβ⋅=⋅=> 由0a <,可知0,0b c ><因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以11n m<则,b a m n m n c c+=-⋅= 因为b c αβαβ+=-⋅,caαβ⋅= 所以111m n m n m n αβαβαβαβ+⎧+==+⎪⋅⎪⎪⋅=⎨⋅⎪⎪<⎪⎩解方程组可得11m n βα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以不等式20cx bx a ++>的解集为11,βα⎛⎫⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.9.B解析:B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明,错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ,若22ac bc >,则0c ≠,2222ac bc c c>,即a b >,故正确;对于B ,根据不等式的性质,若0a b <<,不妨取2,1a b =-=-,则22a b >,故题中结论错误;对于C ,若0a b >>,则a b ab ab>,即11a b <,故正确;对于D ,若0a b <<,0c d >>,则0a b ->->,故ac bd ->-,ac bd <,故正确.故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用,属于中等题.10.A解析:A 【分析】由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解 【详解】解:令()22()2,[1,1]f x x mx m x =++-∈-,由题意得22(1)120(1)120f m m f m m ⎧-=-+-≤⎪⎨=++-≤⎪⎩,m ≤≤故选:A 【点睛】此题考查了二次不等式在闭区间上恒成立问题的求解,二次函数性质的应用,属于中档题11.C解析:C 【分析】由1x >,得10x ->,则441111x x x x +=-++--,利用基本不等式,即可求解. 【详解】由题意,因为1x >,则10x ->,所以44111511x x x x +=-++≥=--, 当且仅当411x x -=-时,即3x =时取等号,所以41x x +-的最小值为5,故选C . 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,其中解答中熟记基本不等式的使用条件,合理构造是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.B解析:B 【分析】把要求的式子变形为21x y y x++,再利用基本不等式求得它的最小值. 【详解】已知0x >,0y >,23x y +=,则22223(2)2221211x y x x y y x xy y x y x yxy xy xy y x y x+++++===+++=,当且仅当222x y = 时,即当3x =-,且y ,等号成立,故23x y xy+的最小值为1+故选:B . 【点睛】本题考查基本不等式的运用,考查常数代换法,注意最值取得的条件,考查运算能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】由得代入中化简再利用基本不等式可求得答案【详解】解:由得因为为正实数所以所以当且仅当即时取等号(此时)所以的最小值为故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析:5【分析】由111122a b +=++,得4ab b =+,441b a b b +==+代入ab a b ++中化简,再利用基本不等式可求得答案 【详解】解:由111122a b +=++,得4ab b =+, 因为a ,b 为正实数,所以441b a b b+==+,所以44412555ab a b b b b b b ++=++++=++≥=,当且仅当42b b=,即b =1a =+所以ab a b ++的最小值为5,故答案为:5 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方14.【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就 解析:94【分析】换元判定单调性,利用基本不等式求解【详解】 令y t x =,则 22244xy y t t x+=+在()0,∞+为增函数, 22216111616x xy y t t+=+在在()0,∞+为减函数, 从而22111942164t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当12t =时取等号. 故答案为:94【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方15.【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数:为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析:2(,)[2,)3-∞⋃+∞ 【分析】因为函数的定义域为R ,即不等式22(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立,需按二次项系数:232m m -+为零与不为零,分类讨论,当系数不为零时,只需让系数大于零且根的判别式小于零,解此不等式组,即可求出m 的取值范围.【详解】∵ 函数()f x 的定义域为R ,∴ 对于任意x ∈R ,恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>,① 若2320m m -+=,则2m =或1,当1m =时,不等式即为101x x -+>⇒<,不符合题意,当2m =时,不等式即为10>,符合题意,∴ 2m =符合题意;② 若2320m m -+≠,由题意得()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩, 解得:2m >或23m <; 综上可得,m 的取值范围是2m ≥或23m <. 故答案为:2(,)[2,)3-∞⋃+∞.【点睛】关键点睛:本题主要考查二次不等式的恒成立问题.讨论二次项系数为零与不为零,当系数不为零时,只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 16.【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意;当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为: 解析:(,1)-∞-【分析】 由题意可得212ax a a<+在[2,)+∞恒成立,运用参数分离和讨论0a >,0a <,结合恒成立思想和不等式的解法,即可得到所求范围.【详解】 函数4()f x x x =-,对任意[2x ∈,)+∞,()()0f ax af x +<恒成立, 即有440a ax ax ax x-+-<, 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞恒成立, 当0a >时,22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,由于2[4x ∈,)+∞,不满足题意; 当0a <时,22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭,由于2[4x ∈,)+∞,可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 解得1a >或1a <-,即有1a <-成立.则a 的取值范围是(,1)-∞-.故答案为:(,1)-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和单调性,考查分类讨论思想方法,以及运算能力,属于中档题.17.【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由可得则当且仅当时即等号成立所以的最小值为故答案为:【点睛】利用基本不等式求最值时要注意其满足的三个条件:一正二定三相等:(1)一正:就是各项必须为正数 解析:3【分析】 化简得到111111x x x x +=-++--,结合基本不等式,即可求解. 【详解】由1x >,可得10x ->,则11111311x x x x +=-++≥=--, 当且仅当111x x -=-时,即2x =等号成立, 所以11x x +-的最小值为3. 故答案为:3.【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”: (1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.18.【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系利用根与系数的关系求出的值【详解】关于的不等式它的解集是所有关于的方程的两根为1和3由根与系数的关系知实数故答案为:【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程 解析:4-【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系求出a 的值.【详解】关于x 的不等式230x ax ++,它的解集是[1,3],所有关于x 的方程2x ax 30++=的两根为1和3,由根与系数的关系知,实数(13)4a =-+=-.故答案为:4-.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题.19.或【解析】试题分析:当x>0时不等式f (x )>x 转化为由函数是奇函数图像关于原点对称因此当时不等式f (x )>x 的解集为综上不等式的解为(-50)∪(5+∞)考点:函数奇偶性解不等式解析:{|5x x >或50}x -<<【解析】试题分析:当x>0时,不等式f (x )>x 转化为245xx x x ->∴>,由函数是奇函数,图像关于原点对称,因此当0x <时不等式f (x )>x 的解集为50x -<<,综上不等式的解为(-5,0)∪(5,+∞)考点:函数奇偶性解不等式20.【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得(舍去)或实数的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查一 解析:()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立,利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-,不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立,即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立,整理得2233340tx t x t t 恒成立,可知0t >,则223340x tx t 任意的实数x 恒成立,2234340t t ,解得4t <-(舍去)或4t >, ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为:()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立,属于基础题.三、解答题21.无22.无23.无24.无25.无26.无。

新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(答案解析)(1)

新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1.当104x <<时,不等式11014m x x+-≥-恒成立,则实数m 的最大值为( ) A .7B .8C .9D .102.若正数a ,b 满足1a >,1b >,且3a b +=,则1411a b +--的最小值为( ) A .4B .6C .9D .163.已知0,0,23x y x y >>+=,则1421x y++的最小值是( ) A .3B .94 C .4615D .94.如图,在ABC 中,23BD BC =,E 为线段AD 上的动点,且CE xCA yCB =+,则13x y+的最小值为( )A .16B .15C .12D .105.若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子:(1)22a 32b ab +>,(2)553223a b b a a b +>+,(3)2252(2)a b a b ++≥-,(4)2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A .1个 B .2个C .3个D .4个6.已知a <b <0,c >d >0,则下列结论正确的是( ) A .ac >bdB .a +d >b +cC .a d <b cD .a 2<b 27.下列结论不正确的是( ) A .若a b >,0c >,则ac bc > B .若a b >,0c >,则c c a b> C .若a b >,则a c b c +>+D .若a b >,则a c b c ->-8.不等式28610x x -+<的解集为( ) A .11(,)42B .11(,)(,)42-∞+∞ C .11(,)34--D .11(,)(,)34-∞--+∞9.若a >b ,则下列不等式一定成立的是( ). A .11a b< B .55a b > C .22ac bc >D .a b >10.下列命题中正确的是( ) A .若ac bc >22,则a b >B .若a b >,则11a b< C .若a b >,c d >,则a c b d ->-D .若a b >,c d <,则a b c d> 11.已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集,则实数a 的取值范围是( ) A .62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D .(][),22,-∞+∞12.在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知6B π=且1ABC S =△,则2a c ac a c+-+的最小值( ) A .12B .2C .14D .4二、填空题13.已知0,0,4a b a b >>+=,则411a b ++的最小值为__________. 14.设x >0,y >0,x +2y =4,则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.15.设x ,y 为正实数,若2241x y xy ++=,则266x yxy++的最大值是______.16.设A .B 分别为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左.右顶点,P 是双曲线上不同于A .B的一点,直线AP .BP 的斜率分别为m .n ,则当3b a 取最小值时,双曲线的离心率为__________.17.已知x ,0y >,且194x y+=,则x y +的最小值________. 18.已知,x y 为正实数,且114x y m x y+=+=,则m 的最小值为___________. 19.函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________.20.已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ,则x y +的最小值为__________.三、解答题21.设函数2()(2)3f x ax b x =+-+.(1)若不等式()0f x >的解集为()1,1-,求实数,a b 的值;(2)若()10f =,且存在x ∈R ,使()4f x >成立,求实数a 的取值范围.22.在数学探究活动中,某兴趣小组合作制作一个工艺品,设计了如图所示的一个窗户,其中矩形ABCD 的三边AB ,BC ,CD 由长为8厘米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 厘米(04t <<);曲线AOD 是一段抛物线,在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为23x y =-,记窗户的高(点O 到BC 边的距离)为f t .(1)求函数f t 的解析式;(2)要使得窗户的高最小,BC 边应设计成多少厘米?(3)要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小,BC 边应设计成多少厘米?23.某工厂进行废气回收再利用,把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨,最多为500吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为2150400004y x x =-+,且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的月平均处理成本最低?(2)该工厂每月进行废气回收再利用能否获利?如果获利,求月最大利润;如果不获利,求月最大亏损额.24.若0,0x y >>,且满足280x y xy +-=. (1)求xy 的最小值及相应x ,y 的值; (2)求x y +的最小值及相应x ,y 的值.25.已知函数21()(2)()2f x x m x m R =+-∈ (1)若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-,求m 的值;(2)若对任意[0x ∈,4],()20f x +恒成立,求m 的取值范围.26.已知函数()22f x x ax =-.(1)若函数()f x 在区间(),1-∞上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)若函数()()[]()12,5g x f x x =+∈-的最大值为13,求实数a 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】 分离参数化为41414m x x≤+-恒成立,再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立, 因为104x <<,所以140x ->,所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=,当且仅当44(14)144x x x x -=-,即16x =时,等号成立.所以9m ≤,所以m 的最大值为9. 故选:C 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方2.C解析:C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=,由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=,可得111a b -+-=,10,10a b ->->, 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-,即54,33b a ==时等号成立. 故选:C 【点睛】关键点点睛:本题注意观察待求式的分母,1,1a b --,结合已知条件,可变形为关于分母的式子111a b -+-=,这样就转化为“1”的常规技巧的应用.3.B解析:B 【分析】由已知条件代入后凑出积为定值,再由基本不等式得最小值. 【详解】∵0,0,23x y x y >>+=,所以(2x+1)+y=4 则()()421141141549=2152142142144x yx y x y x y x y ++++++=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=+++ 当且仅当()42121x y x y +=+且214x y ++=即18,63x y ==时取等号, 则1421x y ++的最小值是94. 故选:B . 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方4.A解析:A 【分析】由已知可得A ,D ,E 三点共线,结合平面向量基本定理可得31x y +=,0x >,0y >,再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解:∵23BD BC =, ∴3CB CD =,3CE xCA yCB xCA yCD =+=+,因为A ,D ,E 共线,所以31x y +=,则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号, 故选:A. 【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.A解析:A 【解析】分析:将不等式两侧的式子做差和0比即可,或者将不等式两侧的式子移到一侧,再配方即可. 详解:(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立;(2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时,不等式不成立;(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b aab +,2][2,)∈-∞-⋃+∞(,故不正确. 故答案为A.点睛:这个题目考查了基本不等式的应用条件,两式比较大小的方法;两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.6.C解析:C 【分析】取特殊值判断ABD ,根据不等式的性质判断C. 【详解】对A 项,当2,1,2,1a b c d =-=-==时,41ac bd -=<=-,则A 错误; 对B 项,当2,1,2,1a b c d =-=-==时,1a d b c +=+=-,则B 错误; 对C 项,0c d >>,11d c ∴>,又0a b <<,0a b ∴->->,则11a b d c-⋅>-⋅,即a d <bc,则C 正确; 对D 项,当2,1a b =-=-时,2241a b =>=,则D 错误; 故选:C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确,属于中档题.7.B解析:B 【分析】根据不等式的性质,对选项逐一分析,由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项,不等式两边乘以一个正数,不等号不改变方程,故A 正确.对于B 选项,若2,1,1a b c ===,则c ca b<,故B 选项错误.对于C 、D 选项,不等式两边同时加上或者减去同一个数,不等号方向不改变,故C 、D 正确.综上所述,本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质,考查特殊值法解选择题,属于基础题. 8.A解析:A 【分析】运用因式分解法,化为一元一次不等式组,解不等式,求并集即可得到所求解集. 【详解】解:28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<,即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩,可得x ∈∅或1142x <<, 即解集为1(4,1)2,故选A . 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查运算能力,属于基础题.9.B解析:B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论. 【详解】 a >b ,则1a 与1b的大小关系不确定;由函数y =x 5在R 上单调递增,∴a 5>b 5; c =0时,ac 2=bc 2;取a =-1,b =-2,|a |>|b |不成立.因此只有B 成立. 故选B . 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.10.A解析:A 【分析】对于选项A ,由不等式性质得该选项正确;对于选项B ,11b aa b ab--=符号不能确定,所以该选项错误;通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ,若ac bc >22,所以20c >,则a b >,所以该选项正确;对于选项B ,11b aa b ab--=符号不能确定,所以该选项错误; 对于选项C ,设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=,所以a c b d -<-,所以该选项错误;对于选项D ,设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<,所以该选项错误; 故选:A 【点睛】本题主要考查不等式的性质,考查实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.C解析:C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ,由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩,在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证,由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知,关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .(1)当240a -=,即2a =±.当2a =时,不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<,合乎题意;当2a =-时,不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<,即14x >-,其解集不为R ,不合乎题意;(2)当240a -≠,即2a ≠±时.关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩,解得265a -<<.综上可得,实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选C .【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题,求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解,考查化归与转化思想,属于中等题.12.A解析:A 【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =,再根据基本不等式可得+4a c ≥,令24a c y a c +=-+,+a c t =,24t y t =-(4t ≥),由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△,得1sin 126ac π=,解得4ac =, 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭,即+4a c ≥,当且仅当a c =时取等号, 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++,令24a c y a c +=-+,+a c t =,则24t y t=-(4t ≥), 而24t y t =-在[)4+∞,单调递增,所以24214442t y t =-≥-=,所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选:A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式,基本不等式的应用,以及运用函数的单调性求最值的问题,属于中档题.二、填空题13.【分析】由可得则展开后利用基本不等式求解即可【详解】当且仅当即时等号成立故的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母解析:95【分析】由4a b +=,可得(1)5a b ++= ,则()411111154a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭,展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】4,(1)5a b a b +=∴++=,414114(1)14(19[(1)]5251151555b a b a b a b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++⋅=++⋅⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦,当且仅当4(1)1b a a b +=+,即102,33a b ==时等号成立, 故411a b ++的最小值为95.故答案为:95. 【点睛】方法点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.14.9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x +2y =4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析:9 【分析】将分式展开,利用基本不等式求解即可(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+ 又x +2y =4≥即2xy ≤,当且仅当2,1x y ==等号成立,故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查等价变换思想与求解能力,注意等号成立条件 15.【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解:∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为:故答案为【分析】先得到当且仅当2x y =时15xy ≤,接着得到当且仅当2x y =时2x y +=≤266x y xy ++得到142m m+,再求42m m +取最小值,最后求出266x y xy++的最大值. 【详解】解:∵2241x y xy ++=,即2241x y xy =-+∵22414xy x x y y ≥=-=+,当且仅当224x y =即2x y =时,取等号, ∴15xy ≤,当且仅当2x y =时,取等号, ∵2241x y xy ++=,即2(2)31x y xy +-=∴2x y +=≤2x y =时,取等号,令2x y m +==≤231xy m =-, ∴221466242x y m xy m m m+==+++, ∵当m =42m m +取最小值5,此时266x y xy ++最大为:18本题考查基本不等式求最值,是基础题.16.【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为:【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单解析:3【分析】先根据点的关系确定mn ,再根据基本不等式确定最小值,最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.【详解】设11(,)P x y ,则 22111222111y y y b mn x a x a x a a=⋅==+--,因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号,所以离心率是3c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题,属于基础题型,一般求双曲线离心率的方法是1.直接法:直接求出,a c ,然后利用公式c e a=求解;2.公式法:c e a === 3.构造法:根据条件,可构造出,a c 的齐次方程,通过等式两边同时除以2a ,进而得到关于e 的方程.17.4【分析】根据x 且将利用1的代换转化为利用基本不等式求解【详解】因为x 且所以当且仅当即时取等号所以的最小值为4故答案为:4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析:4【分析】根据x ,0y >,且194x y+=,将x y +利用“1”的代换,转化为x y +()119191044⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y ,利用基本不等式求解. 【详解】因为x ,0y >,且194x y+=, 所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y x x y=,,即1,3x y ==时,取等号, 所以x y +的最小值为4,故答案为:4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.3【分析】利用已知条件结合1代换构造进而应用基本不等式求最值即可求的最小值;【详解】知:当且仅当等号成立∴即有故答案为:3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值根据已知条件构造基本不等式形式求最值然 解析:3【分析】利用已知条件,结合“1”代换构造41154()x y y x m x y m mx my++=++,进而应用基本不等式求最值,即可求m 的最小值;【详解】 1140x y m x y+=+=>知:4115459x y y x m m x y m mx my m m ⎛⎫+⎛⎫+=++=≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2y x =等号成立,∴29m ≥,即有3m ≥,故答案为:3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值,根据已知条件构造基本不等式形式求最值,然后求参数范围;19.【分析】设将关于的函数利用基本不等式即可求出值域【详解】设当时当且仅当时等号成立;同理当时当且仅当时等号成立;所以函数的值域为故答案为:【点睛】本题考查函数的值域注意基本不等式的应用属于基础题解析:(),161667,⎡-∞-++∞⎣ 【分析】设6x t -=,将()f x 关于t 的函数,利用基本不等式,即可求出值域.【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++,当0t >时,()16g t ≥,当且仅当6t x ==时等号成立;同理当0t <时,()16g t ≤-,当且仅当6t x =-=-时等号成立;所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣.故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】本题考查函数的值域,注意基本不等式的应用,属于基础题. 20.6【分析】由题得解不等式即得x+y 的最小值【详解】由题得所以所以所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)所以x+y 的最小值为6当且仅当x=y=3时取等故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考解析:6【分析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤(,解不等式即得x+y 的最小值. 【详解】由题得2)34x y x+y+=xy +≤(, 所以2)4(x y x y +-+≥()-120, 所以6)(2)0x y x y +-++≥(, 所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去),所以x+y 的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21.(1)32a b =-⎧⎨=⎩;(2)()(),91,-∞--+∞.【分析】 (1)由不等式的解集得相应二次方程的两根,由韦达定理可求得,a b ;(2)由()10f =得1b a =--,问题可转化为存在x ∈R ,使得()2310ax a x -+->成立.,0a ≥不等式可以成立,0a <时由二次不等式有解可得a 的范围.【详解】解:(1)由题意可知:方程()2230ax b x +-+=的两根是1-,1 所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩ 解得32a b =-⎧⎨=⎩(2)由()10f =得1b a =-- 存在x ∈R ,()4f x >成立,即使()2210ax b x +-->成立,又因为1b a =--,代入上式可得()2310ax a x -+->成立. 当0a ≥时,显然存在x ∈R 使得上式成立;当0a <时,需使方程()2310ax a x -+-=有两个不相等的实根 所以()2340a a ∆=++>即21090a a ++>解得9a <-或10a -<<综上可知a 的取值范围是()(),91,-∞--+∞.【点睛】关键点点睛:本题考查一元二次不等式的解集,解题关键是掌握“三个二次”的关系.对一元二次不等式的解集,一元二次方程的根,二次函数的图象与性质的问题能灵活转化,熟练应用.解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根,是二次函数图象与x 轴交点横坐标. 22.无23.无24.无25.无26.无。

(人教版)长沙市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)

(人教版)长沙市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1.已知,,a b c ∈R ,0a b c ++=,若2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ,2x ,则12112121x x +--的最小值是( ) A .36 B .3 C .3 D .232.在弹性限度内,弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比,即m d k=,其中d 是距离(单位cm ),m 是质量(单位g ),k 是弹簧系数(单位g/cm ).弹簧系数分别为1k ,2k 的两个弹簧串联时,得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+,并联时得到的弹簧系数k 满足12k k k =+.已知物体质量为20g ,当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ,则并联时弹簧拉伸的最大距离为( )A .1cm 4B .1cm 2C .1cmD .2cm 3.若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的最大值为( ) A .0 B .2 C .52 D .34.已知1x >,0y >,且1211x y +=-,则2x y +的最小值为( ) A .9 B .10 C .11D .726+ 5.若直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460x y x y +---=,则21a b +的最小值是( ).A .1B .5C .42D .322+ 6.已知a <b <0,c >d >0,则下列结论正确的是( )A .ac >bdB .a +d >b +cC .a d <b cD .a 2<b 2 7.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( )A .ab≤B .ab≥C .a 2+b 2≥2D .a 2+b 2≤3 8.下列结论不正确的是( )A .若a b >,0c >,则ac bc >B .若a b >,0c >,则c c a b >C .若a b >,则a c b c +>+D .若a b >,则a c b c ->-9.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,90ACB ∠=︒,D 为AB 边上的一点,30ACD ∠=︒,且2CD =,则a 的最小值为( )A .4B .4+C .8D .8+10.在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知6B π=且1ABC S =△,则2a c ac a c+-+的最小值( ) A .12 B .2 C .14 D .411.已知不等式1()⎛⎫++⎪⎝⎭a x y x y ≥4对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .1B .2C .4D .6 12.已知0x >,0y >,23x y +=,则23x y xy+的最小值为( )A .3-B .1C 1D 1参考答案二、填空题13.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________. 14.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩,若,0x y >,则222241616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值____________.15.当1x >时,11x x +-的最小值为___________. 16.已知0,0a b >>,1a b +=,则14y a b =+的最小值是__________. 17.已知0x >,0y >,满足2126x y x y+++=,存在实数m ,对于任意x ,y ,使得2m x y ≤+恒成立,则m 的最大值为____________.18.已知正实数x ,y 满足x +y =1,则1412x y +++的最小值为________ . 19.已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3),则a c +=________.20.已知a ,b 均为正实数,且1a b +=,则231a ab+的最小值为__________,此时a 的值为__________.三、解答题21.已知,(0,)a b ∈+∞,函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =.(1)求41a a b++的最小值; (2)解关于x 的不等式()0f x ≤.22.设全集U =R ,集合2A={x|x -4x-12<0},B={x|(x-a)(x-2a)<0}.(1)当a=1时,求集合U A B ⋂;(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围.23.解关于x 的不等式:22(2)20().ax a x a a R -++>∈24.已知函数()()221f x ax a x b =-++-. (1)若2a =-,9b =,求函数()()0f x y x x=<的最小值; (2)若1b =-,解关于x 的不等式()0f x ≥.25.设a ,b 为实数,比较22a b +与1ab a b ++-的大小.26.在平面直角坐标系xOy 中,已知射线OP :4y x =(0x ≥),过点()3,2M 的直线l 与x 轴正半轴、射线OP 分别相交于A ,B 两点,设AM MB λ=(0λ>).(1)当λ为何值时,OAB 的面积取得最小值?并求出此时直线l 的方程;(2)当λ为何值时,MA MB ⋅取得最小值?并求出MA MB ⋅的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】 根据12112121x x +--≥.【详解】因为2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ,2x , 所以1223b x x a +=-,123c x x a =, 所以12112121x x +--≥====, 因为0a b c ++=,所以=.即12112121x x +--≥122121x x -=-时,等号成立.所以12112121x x +--的最小值是 故选:D【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.2.A解析:A【分析】先利用串联列关系()121220k k k k +=,结合基本不等式求得12k k +最小值,再利用并联关系得到12k k k '=+最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可.【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为1k ,2k ,串联时弹簧系数为k ,并联时弹簧系数为k '.两个弹簧串联时,由m d k =知,20201m k d ===,则12111k k k =+即12121211120k k k k k k +=+=, 即()()2121212204k k k k k k ++=≤,故1280k k +≥,当且仅当1240k k ==时等号成立,两个弹簧并联时,12k k k '=+,拉伸距离12m m d k k k '==+',要是d '最大,则需12k k k '=+最小,而1240k k ==时()12min 80k k +=,故此时d '最大,为284001m d k '==='cm. 故选:A.【点睛】思路点睛:利用基本不等式求最值时,需注意取等号条件是否成立.(1)积定,利用x y +≥,求和的最小值;(2)和定,利用()24x y xy +≤,求积的最大值; (3)妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3.C解析:C【分析】 采用参变分离法对不等式变形,然后求解变形后的函数的值域,根据参数与新函数的关系求解参数最值.【详解】因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立,所以对一切[)2,x ∈+∞,21ax x ≤+,即21x a x +≤恒成立. 令()[)()2112,x g x x x x x+==+∈+∞. 易知()1g x x x=+在[)2,+∞内为增函数. 所以当2x =时,()min 52g x =,所以a 的最大值是52.故选C . 【点睛】常见的求解参数范围的方法:(1)分类讨论法(从临界值、特殊值出发);(2)参变分离法(考虑新函数与参数的关系).4.B解析:B【分析】利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ⎛⎫-+++ ⎪-⎝⎭的最小值,然后展开利用基本不等式求解.【详解】1x >,10x ->,又0y >,且1211x y+=-, 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭ 22(1)61y x x y-=++- 262x +-10=, 当且仅当22(1)1y x x y-=-,解得4x =,3y =时等号成立, 故2x y +的最小值为10.故选:B .【点睛】本题考查利用基本不等式求最和的最值,考查“1”的巧妙运用,难度一般,灵活转化是关键. 5.D解析:D【分析】根据条件可知直线过圆心,求解出,a b 的关系式,利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b+的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460x y x y +---=,所以直线220ax by +-=过圆心,又因为圆的方程()()221211x y -+-=,所以圆心为()1,2,所以222a b +=,即1a b +=,所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时222a b =即a =,此时21a b ==, 故选:D.【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用,其中涉及到利用常数代换法求解最小值,对学生的理解与计算能力要求较高,难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6.C解析:C【分析】取特殊值判断ABD ,根据不等式的性质判断C.【详解】对A 项,当2,1,2,1a b c d =-=-==时,41ac bd -=<=-,则A 错误; 对B 项,当2,1,2,1a b c d =-=-==时,1a d b c +=+=-,则B 错误;对C 项,0c d >>,11d c ∴>,又0a b <<,0a b ∴->->,则11a b d c -⋅>-⋅,即a d <b c,则C 正确; 对D 项,当2,1a b =-=-时,2241a b =>=,则D 错误;故选:C【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确,属于中档题.7.C解析:C【解析】选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.8.B解析:B【分析】根据不等式的性质,对选项逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于A 选项,不等式两边乘以一个正数,不等号不改变方程,故A 正确.对于B 选项,若2,1,1a b c ===,则c c a b<,故B 选项错误.对于C 、D 选项,不等式两边同时加上或者减去同一个数,不等号方向不改变,故C 、D 正确.综上所述,本小题选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质,考查特殊值法解选择题,属于基础题. 9.B解析:B【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,在ACD △中,利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-,化简得到1tan b α=ABC 中,有tan a b α=⋅,然后将a +转化为4ta n a αα=++利用基本不等式求解. 【详解】 设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,在ACD △中,由正弦定理得:()2sin 150sin b αα=︒-,所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+, 在直角ABC 中,tan a b α=⋅,所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα⎛⋅==+ ⎝+=44≥+=+an α=,即4πα=时取等号, 故选:B 【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10.A解析:A【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =,再根据基本不等式可得+4a c ≥,令24a c y a c +=-+,+a c t =,24t y t=-(4t ≥),由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△,得1sin 126ac π=,解得4ac =, 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭,即+4a c ≥,当且仅当a c =时取等号, 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++,令24a c y a c +=-+,+a c t =,则24t y t =-(4t ≥), 而24t y t =-在[)4+∞,单调递增,所以24214442t y t =-≥-=,所以2a c ac a c +-+的最小值为12.【点睛】本题考查三角形的面积公式,基本不等式的应用,以及运用函数的单调性求最值的问题,属于中档题.11.A解析:A【分析】()()11a y ax x y a x y x y ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭,然后利用基本不等式求最小值,即可得到a 的取值范围. 【详解】()()11a y ax x y a x y x y ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭,0,0,0a x y >>>())21111y ax a a a x y ∴+++≥++=++=根据题意可知)214≥ ,解得1a ≥, a ∴的最小值是1故选:A【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于中档题,意在考查转化与化归的能力,以及计算求解能力.12.B解析:B【分析】 把要求的式子变形为21x y y x ++,再利用基本不等式求得它的最小值. 【详解】已知0x >,0y >,23x y +=,则22223(2)2221211x y x x y y x xy y x y x y xy xy xy y x y x+++++===+++=,当且仅当222x y = 时,即当3x =-,且y ,等号成立,故23x y xy+的最小值为1+ 故选:B .【点睛】本题考查基本不等式的运用,考查常数代换法,注意最值取得的条件,考查运算能力,属二、填空题13.【分析】函数变形为利用基本不等式1求最小值【详解】当且仅当即时等号成立所以函数的最小值为故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正就是各项必须为正数;(解析:3+【分析】 函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++-⎪-⎝⎭,利用基本不等式“1”求最小值. 【详解】 01x <<,011x ∴<-<,121212(1)333111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥+=+ ⎪---⎝⎭,当且仅当121x x x x-=-,即1x =时,等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为:3+【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.14.【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就 解析:94【分析】换元判定单调性,利用基本不等式求解【详解】 令y t x =,则 22244xy y t t x +=+在()0,∞+为增函数,22216111616x xy y t t+=+在在()0,∞+为减函数, 从而22111942164t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当12t =时取等号. 故答案为:94【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方15.【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由可得则当且仅当时即等号成立所以的最小值为故答案为:【点睛】利用基本不等式求最值时要注意其满足的三个条件:一正二定三相等:(1)一正:就是各项必须为正数 解析:3【分析】 化简得到111111x x x x +=-++--,结合基本不等式,即可求解. 【详解】由1x >,可得10x ->,则11111311x x x x +=-++≥=--, 当且仅当111x x -=-时,即2x =等号成立, 所以11x x +-的最小值为3. 故答案为:3.【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”: (1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.16.9【分析】把看成的形式把1换成整理后积为定值然后用基本不等式求最小值【详解】∵等号成立的条件为所以的最小值为9即答案为9【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用解决本题的关键是1的代换解析:9【分析】 把14a b +看成141a b+⨯() 的形式,把“1”换成a b +,整理后积为定值,然后用基本不等式求最小值.【详解】∵14144 1?459b a y a b a b a b a b =+=+⨯+=+++≥+=()() 等号成立的条件为4b a a b =. 所以14a b+的最小值为9. 即答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,解决本题的关键是“1”的代换.17.2【分析】首先根据题意得到从而得到即再根据恒成立即可得到的最大值【详解】因为所以所以即解得因为恒成立所以即所以的最大值为故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式同时考查了不等式的恒成立问题属于中档题 解析:2【分析】首先根据题意得到()228x y xy +≤,从而得到()8622x y y x ≤+++,即224x y ≤+≤,再根据2m x y ≤+恒成立,即可得到m 的最大值.【详解】因为0x >,0y >, 所以()()22221122248x y x y xy x y ++=⋅≤⨯=, 所以()()()22122862222228y x y x x y x y x y x y x y xy y x x y ++=+++=++≥++=++++. 即()8622x y y x≥+++, ()()226280x y x y +-++≤,解得224x y ≤+≤.因为2m x y ≤+恒成立,所以()min 2m x y ≤+,即2m ≤.所以m 的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题主要考查基本不等式,同时考查了不等式的恒成立问题,属于中档题.18.【分析】由可得且则利用基本不等式可求出的最小值【详解】由可得且则(当且仅当即时取=)故的最小值为故答案为:【点睛】利本题考查基本不等式求最值注意用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;② 解析:94【分析】由1x y +=,可得(1)(2)4x y +++=且10,20x y +>+>,则()()()112411411412412214142y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪+ +⎪⎣⎦++++++⎝+⎭⎝+⎭+,利用基本不等式可求出1412x y +++的最小值. 【详解】由1x y +=,可得()()124x y +++=且10,20x y +>+>, 则()()114114124122x y x y y x ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝+⎭++ ()11914541244412x y y x =+⎛⎛⎫ +++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝+,(当且仅当()24121x y x y =++++即12,33x y ==时取“=”). 故1412x y +++的最小值为94. 故答案为:94. 【点睛】利本题考查基本不等式求最值,注意用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③等号取得的条件,属于中档题. 19.-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质列出方程组求得的值即可得到答案【详解】由不等式的解集为可得解得所以故答案为:【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质其中解答 解析:-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质,列出方程组,求得,a c 的值,即可得到答案.【详解】由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3),可得052323a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩,解得1,6a c =-=-, 所以167a c +=--=-.故答案为:7-.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,以及一元二次方程的性质,其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20.6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得:所以即的最小值为6此时故答案为:6;【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关 解析:613【分析】 首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=,化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】 1a b +=,()21a b ∴+= 所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a +++++===++,44a b b a +≥=, 当4a b b a =时,等号成立,即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩,解得:12,33a b ==, 所以231426a ab+≥+=, 即231a ab+的最小值为6,此时13a =. 故答案为:6;13【点睛】本题考查基本不等式求最值,重点考查转化思想,计算能力,属于基础题型,本题的关键是利用()21a b =+变形,化简. 三、解答题21.无22.无23.无24.无25.无26.无。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

一、选择题1.已知0a >,0b >,2ab =,则42a b +的最小值为( )A .B .4C .D .82.已知正数x ,y 满足2021x y xy +=,则2120x y+的最小值为( ) A .2B .3C .4D .53.某单位计划今明两年购买某物品,现有甲、乙两种不同的购买方案,甲方案:每年购买的数量相等;乙方案:每年购买的金额相等,假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠,则这两种方案中平均价格比较低的是( )A .甲B .乙C .甲、乙一样D .无法确定4.若,a b ∈R ,且0ab >,则下列不等式中恒成立的是( )A .222a b ab +>B .a b +≥C .11a b +>D .2b aa b+≥ 5.已知正实数x ,y ,a 满足2x y axy +=,若2x y +的最小值为3,则实数a 的值为( ) A .1B .3C .6D .96.若正数a ,b 满足21a b +=,则下列说法正确的是( ) A .ab 有最大值12B .224a b +有最小值12C .ab 有最小值18 D .224a b +有最大值147.已知2x >,那么函数42y x x =+-的最小值是( ) A .5B .6C .4D .88.若,a b 为实数,且2a b +=,且33a b +的最小值为( )A .18B .6C .D .9.下列命题中是真命题的是( )A .y =的最小值为2;B .当a >0,b >0时,114a b++; C .若a 2+b 2=2,则a +b 的最大值为2;D .若正数a ,b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.10.若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a b -=( )A .4-B .14C .10-D .1011.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A .ab≤ B .ab≥ C .a 2+b 2≥2D .a 2+b 2≤312.已知0x >,0y >,23x y +=,则23x yxy+的最小值为( )A .322-B .221C 21D 21参考答案二、填空题13.有一块直角三角形空地ABC ,2A π∠=,250AB =米,160AC =米,现欲建一矩形停车场ADEF ,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,则停车场面积的最大值为________平方米. 14.当1x >时,11x x +-的最小值为___________. 15.已知实数0a >,0b >2是2a 与2b 的等比中项,则13a b+的最小值是______. 16.设x >0,y >0,x +2y =4,则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.17.已知a R ∈且11a>,则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为______. 18.已知函数121()22x x f x +-+=+,如果对任意t ∈R ,f (3t 2+2t )+f (k 2﹣2t 2)<0恒成立,则满足条件的k 的取值范围是_____.19.若ad bc ≠,则()()2222a b cd ++__________()2ac bd +.(选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入)20.已知a ,b 均为正实数,且1a b +=,则231a ab+的最小值为__________,此时a 的值为__________.三、解答题21.设函数2()(1)()f x x m x m m R =-++∈. (1)求不等式()0f x <的解集;(2)若当[0,4]x ∈时,不等式()40f x +>恒成立,求m 的取值范围.22.已知0,0x y >>,且440x y +=. (1)求xy 的最大值;(2)求11x y+的最小值.23.已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ,且()0f x ≤的解集为[1,2]-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)设函数()f x 在[,1]x t t ∈+上的最小值为()g t ,求()g t 的表达式.24.已知不等式2320ax x -+>的解集为{1,x x <或}x b >, (1)求实数,a b 的值;(2)解关于x 的不等式2()0cx ac b x ab ++>-()c R ∈.25.已知函数()()()224f x x a x a R =-++∈.(1)解关于x 的不等式()42f x a ≤-;(2)若对任意的[]0,4x ∈,()10f x a ++≥恒成立,求实数a 的取值范围.26.(1)已知01x <<,求函数()(33)f x x x =-的最大值: (2)已知关于x 的不等式210ax bx a +-<的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求a ,b 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】由于0a >,0b >且2ab =,则利用基本不等式可得428a b +=≥=≥,从而可得答案【详解】因为0a >,0b >且2ab =,所以428a b +=≥==≥,当且仅当2a b =时,即1a =,2b =时取等号. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题,正确解题的关键是要明确等号成立的条件.2.C解析:C 【分析】 由已知得20211y x +=,再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,运用基本不等式可得选项. 【详解】由2021x y xy +=得20211y x+=,2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=,即42,40x y ==.时,等号成立. 故选:C. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.3.B解析:B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格,然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案,设每年购买的数量为x ,则两年的购买的总金额为12p x p x +, 平均价格为121222p x p x p p x ++=; 对于乙方案,设每年购买的总金额为y ,则总数量为12y yp p +, 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++,所以,12121222p p p p p p +>+. 因此,乙方案的平均价格较低. 故选:B. 【点睛】方法点睛:比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,作差法的主要步骤为:作差——变形——判断正负.在所给不等式是积、商、幂的形式时,可考虑比商4.D解析:D 【分析】利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】对于A ,222a b ab +≥,当且仅当a b =时,等号成立,故A 错误;对于B 、C ,虽然0ab >,只能说明,a b 同号,若,a b 都小于0时,则不等式不成立,故B ,C 错误;对于D ,0ab >,,0b a a b∴>,2b aa b ∴+≥,当且仅当a b =时,等号成立,故D 正确; 故选:D. 【点睛】易错点睛:本题考查基本不等式的相关性质,利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等,考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.5.B解析:B 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】因为正实数x ,y ,a 满足2x y axy +=, 所以21a y x+=,所以121122192(2)()(5)(5,x y x y x y a y x a y x a a+=⨯++=++≥+= 当且仅当22x y y x =且21a y x+=时取等号,由题意可得93a=, 解得3a =,故选:B 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.6.B解析:B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值,注意取等条件的分析,由此得到结果. 【详解】因为21a b +=,所以12a b =+≥18ab ≤,取等号时11,24a b ==, 所以ab 有最大值18,所以A ,C 错误; 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+,取等号时11,24a b ==, 所以224a b +有最小值12,所以B 正确,D 错误, 故选:B. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.7.B解析:B 【分析】根据基本不等式可求得最小值. 【详解】∵2x >,∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--,当且仅当422x x =--,即4x =时等号成立.∴y 的最小值是6. 故选:B . 【点睛】本题考查用基本不等式求最值,利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.8.B解析:B 【分析】根据基本不等式可知33a b +≥,结合条件求解出33a b +的最小值. 【详解】因为233236a b a b ++≥=⋅=,取等号时1a b ==,所以33a b +的最小值为6, 故选:B. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.9.B解析:BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项,C 选项可设,a b αα==,利用三角函数的值域求范围. 【详解】A 选项,222x +≥0>,∴2y =≥==,即221x +=±时成立,又222x ≥+,故A 错;B 选项,当a >0,b >0时,1124a b +++≥⨯=,当且仅当1a b =⎧=,即1a b ==时等号成立,B 正确;C选项,设,a b αα==,则2sin 24a b πααα⎛⎫+==+≤ ⎪⎝⎭,C 正确;D 选项,2a b +=,()212192a b ⎡⎤⎛⎫∴+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 则()121252229291111++4+22442+2242a b a b a b a b a b ⎛⎫+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛ ≥⨯+= ⎝⎭,当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立,解得1a b ==,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围,注意取等号的条件,属于中档题.10.C解析:C 【分析】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23-,结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-,从而得出-a b 的值.【详解】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23- 由根与系数的关系可知,11112,2323b a a-+=--⨯=解得12,2a b =-=-即12210a b -=-+=-故选:C 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值,属于中档题.11.C解析:C 【解析】 选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.12.B解析:B 【分析】把要求的式子变形为21x y y x++,再利用基本不等式求得它的最小值. 【详解】已知0x >,0y >,23x y +=,则22223(2)222121221x y x x y y x xy y x y x yxy xy xy y x y x+++++===+++=, 当且仅当222x y = 时,即当323x =-,且632y -,等号成立, 故23x y xy+的最小值为122+故选:B . 【点睛】本题考查基本不等式的运用,考查常数代换法,注意最值取得的条件,考查运算能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】设米米根据可得出利用基本不等式可求得的最大值即为所求【详解】设米米则即整理可得由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立因此停车场面积的最大值为平方米故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式 解析:10000【分析】设AD x =米,AF y =米,根据tan DE CF ACABC BD EF AB∠===可得出16254000x y +=,利用基本不等式可求得xy 的最大值,即为所求.【详解】设AD x =米,AF y =米,则250BD AB AD x =-=-,160CF AC AF y =-=-,tan DE CF AC ABC BD EF AB ∠===,即160160250250y y x x -==-,整理可得16254000x y +=, 由基本不等式可得400016252162540x y x y xy =+≥⨯=,10000xy ∴≤,当且仅当162516254000x y x y =⎧⎨+=⎩时,即当12580x y =⎧⎨=⎩时,等号成立.因此,停车场面积的最大值为10000平方米. 故答案为:10000. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.14.【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由可得则当且仅当时即等号成立所以的最小值为故答案为:【点睛】利用基本不等式求最值时要注意其满足的三个条件:一正二定三相等:(1)一正:就是各项必须为正数 解析:3【分析】 化简得到111111x x x x +=-++--,结合基本不等式,即可求解. 【详解】由1x >,可得10x ->,则11111(1)13111x x x x x x +=-++≥-⋅=---, 当且仅当111x x -=-时,即2x =等号成立, 所以11x x +-的最小值为3. 故答案为:3.【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”: (1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15.【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为:【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公解析:4+【分析】2a 与2b 的等比中项,求得1a b +=,化简13133()()4b a a b a b a b a b+=++=++,结合基本不等式,即可求解. 【详解】由题意,实数0a >,0b >2a 与2b 的等比中项,可得2222a b a b +=⨯=,得1a b +=,所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当3b a a b =时,即1322a b ==,时,等号成立,所以13a b+的最小值是4+.故答案为:4+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值,以及等比中项公式的应用,其中解答中熟记等比中项公式,合理利用“1”的代换,结合基本不等式求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于中档题.16.9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x +2y =4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析:9【分析】将分式展开,利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x +2y =4≥即2xy ≤,当且仅当2,1x y ==等号成立,故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查等价变换思想与求解能力,注意等号成立条件 17.【分析】先由且得到利用对数函数的单调性将不等式转化为求解【详解】因为且所以在上递减因为不等式所以即解得所以不等式的解集是故答案为:【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和一元二次不等式的解法还考查了运 解析:()2,3【分析】先由a R ∈且11a >,得到01a <<,利用对数函数的单调性,将不等式()2log 570a x x -+> ,转化为22570571x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩求解. 【详解】因为a R ∈且11a>, 所以01a <<,log a y x =在 ()0,∞+上递减,因为不等式()2log 570log 1a a x x -+>= , 所以22570571x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩,即 22570560x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩, 解得 23x <<,所以不等式的解集是()2,3,故答案为:()2,3【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和一元二次不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用 解析:k <-1或k >1.【分析】利用定义,先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数,然后化简()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<,然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x ,定义域为R ,且()12122x x f x ---+-=+1122222xx x x +-+=+()12122x x f x +-==-+,所以,()f x 为奇函数,且对()f x 求导可得()'0f x <,则()f x 在x ∈R 时为减函数, ()()2223220f t t f k t ++-<,可得()()222322f t t f k t +<--,利用()f x 为奇函数 化简得()()222322f t t f t k +-<,利用()f x 在x ∈R 时为减函数,得222322t t t k +->,化简得222t t k --<恒成立,令()22g t t t =--,则有()2max g t k <,而()()max 11g t g =-=,所以21k <,得到1k >或1k <-答案:1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题,属于中档题19.>【分析】作差分析差的正负即可求解【详解】因为又所以所以故答案为:>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小考查了运算能力属于中档题解析:>【分析】作差,分析差的正负即可求解.【详解】因为()()()22222a b c d ac bd ++-+ ()()2222222222222a c a d b c b d a c b d acbd +=+++-+22222b c a d abcd =+- 20(bc ad )=-≥,又ad bc ≠所以2()0bc ad ->所以()()22222()a b c d ac bd ++>+, 故答案为:>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小,考查了运算能力,属于中档题.20.6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得:所以即的最小值为6此时故答案为:6;【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关 解析:613【分析】 首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=,化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】 1a b +=,()21a b ∴+= 所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a +++++===++,44a b b a +≥=, 当4a b b a =时,等号成立,即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩,解得:12,33a b ==, 所以231426a ab+≥+=, 即231a ab+的最小值为6,此时13a =. 故答案为:6;13【点睛】本题考查基本不等式求最值,重点考查转化思想,计算能力,属于基础题型,本题的关键是利用()21a b =+变形,化简. 三、解答题21.无22.无23.无24.无25.无26.无。

相关文档
最新文档