2021届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学(文)试题
湖南长沙一中高三第七次月考试卷
湖南省长沙市一中高三第七次月考试卷物 理命题：长沙市一中高三物理备课组时量：90分钟 满分：120分得分 ________第I 卷选择题（共48分）一、选择题（本题共12个小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个 选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得 4分，选对但不全的得 2分，不选或有选错的得0分）1. 一木板竖直地立在车上，车在雨中匀速行进一段给定的时间，木板板面与车前进方 向垂直，其厚度可忽略。
设空间单位体积内的雨点数目处处相等，雨点匀速竖直下 落，则落在木板面上雨点的数量与下列诸因素中无关的因素是 （B ） A .车行进的速度 B .雨点下落的速度 C .木板的面积 D .单位体积中的雨点数2.一物体受到2009个力的作用而静止，已知其中两个力的大小分别为F i =6 N 、F 2=10 N ,若将这两个力的大小保持不变，而将它们的方向反向（其余力的大小及方向保持不 变）， 则此时物体所受合力大小可能为 （D ） A . 3 N B . 6 N C . 20 N D . 40 N3.A 、B 两物体以相同的初速度滑到同一粗糙水平面上，若两物体的质量 m A =3m B ,两物体与粗糙水平面间的动摩擦因数相同，则两物体能滑行的最大距离S A 与S B 的关系为（A ） B . S A = 3S BC . S B = 3S A4. 如图所示，a 、b 、c 、d 为斜面上四个点，ab =be = cd ,从a 点正上方的 O 点 以速度 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点•若小球从O 点以速度2水平 抛出，不计空气阻力，则它将落在斜面上的 （A ）A . b 与c 之间某一点B . c 点C . c 与d 之间某一点D . d 点A . S A = SB D . S A = 9S B 5.如图所示为大型电子地磅电路图，电源电动势为 E 。
不称物体时，滑片 P 在A 端,P 滑动变阻器接入电路的有效电阻最大，电流最小；称重物时，在压力作用下使滑片下滑，滑动变阻器有效电阻变小，电流变大•这样把电流对应的重力值刻在刻度盘上，就可以读出被称重物的重力值。
湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三第七次质量检测语文试题
湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三第七次质量检测语文试题一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下列小题。
材料一:《红楼梦》是小说，是文学艺术，表达思想的方式是塑造典型形象，使用的语言是生活语言。
作者只用寥寥数笔就勾勒出人物形象，并且语言具有鲜明个性特点。
第二十四回自“贾芸出了荣国府回家”至“一面趔趄着脚儿去了”，一千八百多字，却写了四个人:贾芸的舅舅卜世人、贾芸的舅妈、醉金刚倪二和贾芸。
前面三人虽然都只是寥寥数笔，但俱各传神，卜世人夫妇的鄙吝和倪二的仗义，皆历历如绘。
人物的语言也符合各自的身份和性格。
“一碗茶也争，我难道手里有蜜！”这是初恋中的智能的语言，反映她心里的甜意。
“你忙什么！金簪子掉在井里头，有你的只是有你的。
”这是金钏的语言，反映她因受宝玉的赏爱而心悦意肯、别无他虑的心态。
“‘呦呦鹿鸣，荷叶浮萍’，小的不敢撒谎”。
这是李贵的语言，反映他护送宝玉读书，但不识字，也不理会读书，只是从旁听闻的状况。
《红楼梦》里最能言善语的要数黛玉、王熙凤、红玉、麝月几人。
林黛玉慧心巧舌、聪明伶俐；王熙凤先意承志、博取欢心；红玉伶牙俐齿，如簧百转；麝月在教训老婆子时词锋逼人，势猛气锐。
作者对这四个人的语言是精心设计的，是特写。
《红楼梦》在古典长篇小说中确已成为“绝唱”，这是毋庸争议的，但它还是一首不用韵的诗。
这不仅仅是因为《红楼梦》里有许多诗，而且它从开头至八十回的叙述，也都有诗的素质，它的叙述与诗是交融的，是一体。
诗是什么？是抒情，抒喜怒哀乐各种各样的情而不是干巴巴的纪事，《红楼梦》确有这种抒情性的特点。
（摘编自冯其庸《<红楼梦>的语言魅力》）材料二:《红楼梦》主题历来众说纷纭，正如鲁迅所言，经学家见《易》，道学家见淫，才子见缠绵，革命家见排满……持自传说、索引说、阶级斗争说者亦众，此现象实属正常。
有些文学作品就像饺子，就为了中间那口馅儿，有些文学作品就像点缀在西瓜里的那些子儿，人间百态尽在其中。
《精编》湖南省长沙一中高三第七次月考数学试题 文 人教A版.doc
湖南省长沙市一中2021届高三月考试卷(七)数 学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.z ＝11＋2i (i 为虚数单位)所对应的点在( ) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，那么以下关系中正确的选项是( ) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.那么以下判断正确的选项是( ) A.p 假q 真 B.p 真q 假 C.p 真q 真 D.p 假q 假4.以下函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( )A.y ＝10xB.y ＝tan xC.y ＝sin2xD.y ＝|cosx|5.某公司2021 ～的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021利润x 16 18支出y 1A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，那么双曲线的离心率为( ) A.62B.3 3 ()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞){},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，那么{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2)两点的距离为 .a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，假设a ∥b ，那么||3a ＋b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如以下列图，那么此几何体的体积是 cm 3.12.假设{a n }为等差数列，S n 是其前nS 11＝22π3，那么tan a 6的值为 . l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，那么△ABC 面积最大值为 .l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，那么实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为 .f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0，那么称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点〞.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点〞；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点〞就是对称中心.〞请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 ；(2)假设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，那么g (12021)＋g (22021)＋g (32021)＋g (42021)＋…＋g (20212021)＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0). (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.17.(本小题总分值12分)如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上.(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值.18.(本小题总分值12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)假设要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.19.(本小题总分值13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)20.(本小题总分值13分)f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)假设b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)假设c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出m 的范围；假设不存在，请说明理由.21.(本小题总分值13分)动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，假设过定点，求出定点坐标；假设不过，请说明理由.(3)线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2△ABC 面积的最大值.数 学(文科)答案选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 D D B D C A C D二、填空题：10.5. 11.4π cm 3.12... 14. 2 ； ρ2－4ρcos θ＋2＝0 . 15.(1) (1,1) ；(2) 2021 . 三、16.解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos (x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，(4分) 解得：a ＝3，b ＝－1.(5分)(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＝sin(x －π6).(9分) 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z . ∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3].(12分) 17.解：(1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1CD .因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(6分)(2)连结BO ，那么∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角.因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1BC .A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125， 在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225. 所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分) 18.解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，(4分) (2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(8分) (3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的根本领件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一个在[90,100]之间的根本领件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(12分)19.解：(1)当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；(2分) 当0<x ≤c 时，p ＝16－x， ∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x 26－x.(4分) ∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92) 02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0.当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2， 令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去).∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间 (0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ； ②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0，∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减.∴y 最大值＝f (3)＝92. 综上，假设0<c <3，那么当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 假设3≤c <6，那么当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分)20.解：(1)由题意f (a n )＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，(2分)∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1 ①(6分)①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ②②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(9分)(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ， 要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；(11分)②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立， 因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23. 综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分) 21.解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F (32，0)为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线. ∴曲线E 的方程为y 2＝6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0). 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k 2. OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6b k＝－9， ∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，(b ＋3k )2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0.∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)，∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分)。
湖南省长沙市一中高三月考数学(文科)试卷(五)有答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．因为 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
3．某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．在 中， ， ， 是 边上的高，则 （）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上 ，则判断框中可填写的条件是（）
A． B． C． D．
7．定义在 上的函数 满足 ， ，且 时， ，则
（）
A． B． C．1D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
9．“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（［注释］三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）
平面 ，又 平面 ，故 ．
当 时，得 ．
， ， ．
四边形 为正方形，故 ．
又 、 平面 ，且 ，故 平面 ．
湖南省长沙岳麓区高三数学第七次月考试题 文 新人教A版
数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。
考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；（2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；（3）请勿折叠答题卡。
保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
3．本试题卷共6页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足等式(2),i z i z -⋅=则复数在复平面内对应的点的坐标为A ．12(,)55- B ．12(,)55--C ．12(,)55D ．12(,)55- 2．设全集(3),{|31},{|x x U R A x B x y A B -==<==则=A ．{|19}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|29}x x ≤<3．把二进制数110 011（2）化为十进制数等于A ．49B ．50C ．5 1D ．524．已知||1,||2,a b a b ==与的夹角为60°，则a b a +在方向上的投影为A ．-2B ．2C ．1D ．-15．已知实数x ，y 满足不等式组0,10,122,y y x y x x y ≥⎧-⎪-≥⎨+⎪-≥⎩则的取值范围是 A ．[1,12-） B ．（11,2-） C ．[11,2-] D ．[11,2-）6．已知函数(2)1,1,()()(,)log , 1.aa x x f x f x x x --≤⎧=-∞+∞⎨>⎩若在上单调递增，则实数a 的取值范围为A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．(2,)+∞7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率等于A B C ．32 D 8．已知函数()(,2]f x -∞在上为减函数，且(2)f x +是R 上的偶函数，若()(3)f a f ≥，则实数a 的取值范围是A ．a ≤1B ．a ≥3C ．1≤a ≤3D ．a ≤1或a ≥39．若函数()y f x =对定义域的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的212,()()1x f x f x =使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=x 是“依赖函数”；②1y x=是“依赖函数”；③2x y =是“依赖函数”；④ln y x =是“依赖函数”；⑤若(),()f x y g x ==都是“依赖函数”，且定义域相同，则()()y f x g x =⋅是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是cos (1sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴连立极坐标系，则圆心C 的极坐标是 .11．已知25lg lg 1,x y x y+=+则的最小值为 。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三下学期第七次月考数学(理)试题
（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
C． D．
3．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
4．已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
5．过抛物线 的焦点 作倾斜角为60°的直线 交抛物线于点 ，且点 在第一象限内，已知 ，则 的值为（）
A．1B． C．2D．
6．某个四面体的三视图如图所示，则该四面体各个面中面积最大面的面积为（）
【详解】
椭圆方程为 ，双曲线方程可变为 ，
椭圆焦点为 即 ，
又双曲线与椭圆共焦点，
解得 ， 双曲线方程为 ，
双曲线的离心率 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线和椭圆的综合应用，考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．C
【分析】
由题意可得 ，代入抛物线方程即可得解.
【详解】
由题意焦点 ，
直线 过点 且倾斜角为60°， ，
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三下学期第七次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 ， .若 为实数，则实数 的值为（）.
A． B． C． D．
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第七次月考数学(文)试题(含答案)
情况，
满足取出的 2 个数之和为 5 的有 1和 4 、2 和 3 两种情况， 所以概率为 p
2
1 ，故选 C．
63
点评：
本题考查的是概率的计算， 可以先通过计算出所有的可能的总数， 再计算出满足题目条
件的总数，两数相除即可得出概率．
4．若双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线为 x 4y 0 ，则实数 m （
22
1z
由图可知，当直线 y= x﹣ 过点 A（﹣ 1， 1）时，直线在
22
y 轴上的截距最小，
z 有最大值为﹣ 3．
故答案为﹣ 3
点睛： 本题考查简单的线性规划， 意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结 合的解题思想方法 .
15．已知函数 f ( x) sin x 3cos x 在 x 处取最小值，则 sin _________.
x2 x y 0 则 z x 2 y 的最大值为 ______． xy20
答案： 3
分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
详解：由 x， y 满足约束条件
x 2, x y 0, 作出可行域如图， x y 2 0,
1z
化目标函数 z=x ﹣ 2y 为 y= x﹣ ，
的面积为 3 ，则
abc
的值为 (
)
sin A sin B sinC
A． 2 39 3
B． 39 3
C． 2 3 3
D． 2 13 3
答案： A
根据面积可求得 c 4 ，然后根据余弦定理得到 a 13 ，再由正弦定理的变形可得所
求的值． 解：
∵ ABC 的面积为 3 ， A 60 ,b 1，
湖南省长沙市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学(文科)试题 Word版含答案
长沙市一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
长沙市一中高三文数备课组组稿
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 为虚数单位，若复数2
)1(1i z -+=,则=||z
A. 1
B. 2
C. 2
D. 5 2.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A
A. 21|≤≤-x x
B. {2,1,0}
C. {2,1-}
D. {1,0}
3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：
附表：
随机变量：))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关"
D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为
A.0
B.2
C.-2
D.1。
湖南省长沙市第一中学2023届高三月考卷(七)数学含答案
长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若M N N ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞ C.(],1-∞ D.(),1-∞2.若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则xy =（）A.1- B.1C.3D.3-3.1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考1.7783≈）（）A.5.4倍B.5.5倍C.5.6倍D.5.7倍4.已知函数()2sin f x x x =+，设1x ，2x R ∈，则()()12f x f x >成立的一个必要不充分条件是（）A.12x x >B.21x x >C.120x x +> D.12x x >5.如图，圆()2221x y M -+=：，点()1,P t -为直线1l x -=：上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，则ST 的最小值为（）A.12B.22C.1D.26.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.16807.在平面直角坐标系xOy 中，已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，以AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，若2PF FQ =，则线段AB 的长为（）A.52B.72C.92D.1328.若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（）A.log 0a b < B.11a b b a->- C.122ab a b++< D.11b a a b --<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（）A.()()1f x f x -=-B.()()22f x f x =C.()f x 在()0,∞+上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω= B.π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调11.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则下列结论正确的是（）A.1B D PE ⊥B.点P 的轨迹是圆C.点P 的轨迹是椭圆D.θ的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦12.已知数列{}n a 满足1e e 1n n a a n a +⋅=-，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.0n a > B.1n n a a +>C.2021202320222a a a +> D.20232S >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.16.已知双曲线()222210x y a b a bE -=>>：的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F 、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线E 的标准方程为______；若直线:30l kx y k --=与双曲线E 的右支交于,A B 两点，设1F AB 的内心为I ，则1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<.19.在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ.（1）若120θ=°，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望()E X.21.已知双曲线C ：2213x y -=.（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，求2GQF △周长的取值范围.22.已知函数()()ln f x x n x =+.（1）若1n =，求函数()()()()12g x f x k x k =-->的零点个数，并说明理由；（2）当0n =时，若方程()f x b =有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：213e 2e 123b x x b-+<-<++.长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若M N N ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,+∞B.[)2,+∞ C.(],1-∞ D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合M ，根据M N N ⋂=得出N 为M 的子集，结合集合间的关系可得答案.【详解】{}{}2131M x x x x =+<=<，因为M N N ⋂=，所以N 为M 的子集，所以1a ≤.故选：C.2.若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则xy =（）A.1-B.1C.3D.3-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的定义求解.【详解】(i)(3i)3(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+，所以3234x y xy -=⎧⎨+=⎩，则1xy =，故选:B.3.1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考1.7783≈）（）A.5.4倍B.5.5倍C.5.6倍D.5.7倍【答案】C 【解析】【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅=则()33334444201011101010F c M c MF =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C4.已知函数()2sin f x x x =+，设1x ，2x R ∈，则()()12f x f x >成立的一个必要不充分条件是（）A.12x x >B.21x x >C.120x x +>D.12x x >【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，结合()()12f x f x >可得2212x x >，举例说明即可判断选项A 、B ，将选项C 、D 变形即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为R ，则函数22()sin )sin =()(f x x x x x f x -=-+=+-，所以函数()f x 是偶函数，当0x >时，2()sin f x x x =+，2()12sin cos (sin cos )0f x x x x x =+'=+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减.若()()12f x f x >，则12x x >，即2212x x >.A ：若1212x x ==-，，满足12x x >，但(1)(2)(2)f f f <-=，反之也不成立，故选项A 错误；B ：若1245x x ==，，满足21x x >，则(4)(5)f f <，反之，若()()12f x f x >，不一定21x x >，故选项B 错误；C ：由120x x +>可得12x x >-，但不一定有()()12f x f x >，所以充分性不成立，故选项C 错误；D ：由12x x >可得()()12f x f x >，但由()()12f x f x >不一定能推出12x x >，故D 正确.故选：D.5.如图，圆()2221x y M -+=：，点()1,P t -为直线1l x -=：上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，则ST 的最小值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】利用M 到切线的距离等于1列方程，结合根与系数关系，求得ST 的表达式，进而求得ST 的最小值.【详解】解：由题知，切线的斜率存在，设切线方程为()1y k x t =++，即0kx y k t -++=.设圆心M 到切线的距离为d ，则1d ==，化简得228610k tk t ++-=，则2Δ4320t =+>，设两条切线,PA PB 的斜率分别为,PA PB k k ，则34PA PBk k t +=-，21·8PA PB t k k -=.在切线()1y k x t =++中，令0x =，解得y k t =+，所以()()PA PB PA PBST k t k t k k =+-+=-84===，即84ST =，所以min22ST =，此时0.t =故ST 的最小值为2.故选：B.6.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.1680【答案】B 【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有43224⨯⨯=种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有,,,,,,BE BG BH CE CH DE DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2714⨯=种，根据分步计数原理,共有2414336⨯=种,故选：B7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，以AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，若2PF FQ =，则线段AB 的长为（）A.52B.72C.92D.132【答案】C 【解析】【分析】设2,AF m BF m ==，通过几何分析可求得tan BEAFP AE∠==AB 的方程，联立AB 的方程和抛物线方程即可求弦长AB .【详解】如图，过点,A B 分别作准线=1x -的垂线，垂足为,C D ,过B 作AC 的垂线，垂足为E ，因为AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，所以90APF BQF ∠=∠= ,且AFP BFQ ∠=∠,所以QFB △与PFA 相似，且相似比为:1:2FQ PF =，所以2AFBF=,设2,AF m BF m ==，所以CE BD BF m ===，则AE m =，所以BE ==，tan BE AEBAE ∠==tan BEAFP AE∠==,所以直线AB 的斜率为，所以AB 的方程为1)y x =-，联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得22520x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1252x x +=，所以1292AB x x p =++=，故选:C.8.若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（）A.log 0a b <B.11a b b a->- C.122ab a b++< D.11b a a b --<【答案】D 【解析】【分析】根据函数单调性及ln ln 0a b ⋅>得到1a b >>或01b a <<<，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<，当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >；()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b aa b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；故ABC 均错误；D 选项，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a ba b <--即可，设()ln 1xf x x =-（0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--（0x >且1x ≠），则()22111x g x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故()ln 1xf x x =-（0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a ba b <--，结论得证，D 正确故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（）A.()()1f x f x -=- B.()()22f x f x =C.()f x 在()0,∞+上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-【答案】ACD 【解析】【分析】根据正态分布的性质和()()f x P X x =≤逐个分析判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()()f x P X x =≤，所以()()1()f x P X x f x -=>=-，所以A 正确，对于B ，因为()2(2)f x P X x =≤，()22()f x P X x =≤，所以B 错误，对于C ，因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()()f x P X x =≤，所以当0x >时，随x 的增大，()P X x ≤的值在增大，所以()f x 在()0,∞+上是增函数，所以C 正确，对于D ，因为()()1f x f x -=-，所以()()()[]12121()2()1P X x P x X x f x f x f x ≤=-≤≤=--=--=-，所以D 正确，故选：ACD10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω= B.π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC11.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则下列结论正确的是（）A.1B D PE ⊥B.点P 的轨迹是圆C.点P 的轨迹是椭圆D.θ的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得1B D ⊥平面1ACD ，分析可得点E 即为1ACD △的中心，结合1113PB D ACD S S =△△可得13PE a =，从而可得点P 的轨迹是以E 为圆心，半径为13a 的圆，转化为PD 是以底面半径为13a ，高为33a 的圆锥的母线，分析求得θ的范围即可得出结果.【详解】如图所示，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ；由题意可知1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥；又因为AC BD ⊥，11,BB BD B BB BD ⋂=⊂，平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又1B D ⊂平面11BDD B ，所以1AC B D ⊥；同理可证11AD B D ⊥，又1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1ACD ，所以1B D ⊥平面1ACD ；又因为111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥性质可得点E 即为1ACD △的中心，连接1OD ；因为O 为AC 的中点，1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，所以选项A 正确；即PE 为1PB D 的高，设PE d =，由正方体棱长为a 可知，1,B D AC ==，且1ACD △的内切圆半径66r OE a ==；所以112111,22222PB D ACD S PE ad S B D a ⋅===⨯=V V ；又1113PB D ACD S S =△△，即可得13d a r =<，所以点P 的轨迹是以E 为圆心，半径为13a 的圆，所以B 正确，C 错误；由1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，所以33DE a ==，因此PD 是以底面半径为13a ，高为3a 的圆锥的母线，如图所示:设圆锥母线与底面所成的角为α，则33tan 13a a α==，所以π3α=；即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3，又因为异面直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与AC 所成的角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为11//AC A C ，所以直线PD 与11A C 所成的角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎣⎦；即D 正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：（1）通过比较PE 与1ACD △的内切圆半径的大小，得出动点P 的轨迹；（2）将直线PD 与11A C 所成的角的最小值转化为圆锥母线与底面所成的角.12.已知数列{}n a 满足1e e 1n n a a n a +⋅=-，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.0n a > B.1n n a a +>C.2021202320222a a a +> D.20232S >【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，B 证明数列{}n a 为单调递减数列即得解；对于选项C ，证明随着n a 减小，从而1n n a a +-增大，即得解；对于选项D ，证明112+>n n a a ，即得解.【详解】解：对于选项A 、B ，因为11a =，0n a ∴≠，所以11n n a a ne e a +-=，设()e 1e xxg x x =--，g ()e e e e x x x xx x x ∴='=---当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g <=，则e e 1x x x >-，所以ee 1nn a a n a >-，当0n a >时，1e 1e e n nn a a a na +->=，1n n a a +∴>，当0n a <时，1e 1e e n nn a a a na +-<=，1n n a a +∴<，因为11a =，所以这种情况不存在，则数列{}n a 满足当0n a >时，1n n a a +>，为单调递减数列，故A 选项正确，B 选项错误；对于选项C ，()1ln 1ln ena n n n na a a a +-=---令,(0,1]n x a x =∈，设()()ln 1ln ,(0,]e 1xf x x x x =---∈则e 111()10e 1e 1x x x f x x x'=--=-<--，所以函数()f x 单调递减，所以随着n a 减小，从而1n n a a +-增大，所以2023202220222021->-a a a a ，即2021202320222a a a +>，所以C 选项正确，对于选项D ，由前面得101n n a a +<≤<，下面证明112+>n n a a ，只需证明112e 1ln 11e 111ln e 2e 22n n n n a a a a n n n nn n na a a a a a a +--->⇔>⇔>⇔>，令e na b =，则1e b <≤，所以1112221ln 0ln b b b b b b-->⇔-->，令1122()ln ,(1,e]m b b bb b -=--∈，则1()202m b b ⎫'=>⎪⎭，m()m(1)0b ∴>=成立，则112+>n n a a 所以2023122212202120211112222S a a a a a a ⎛⎫>++++=+- ⎪⎝⎭ ()()2021112ln e 1ln e 122=+--->所以D 选项正确；故选：ACD.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.【答案】12b【解析】【分析】根据题意，求得cos 601a =，进而求得a 在b 上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量a ，b的夹角为60︒，且2a b == ，则cos 601a =，所以则a 在b 上的投影向量为112b b b ⨯=.故答案为：12b14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.【答案】0或2e -##2e -或0【解析】【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x f x '=，有()111:e 1e x xl y x x =+-.同理，设l 与()g x 的切点为()22,x y ，由()2e g x x '=，有()2222e :e ln 1l y x x x =+-.故()()1122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩②由①式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将③代入②中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,e x x =⎧⎨=⎩或122,1x x =⎧⎨=⎩.则:e l y x =或22e e .y x =-故0b =或2e -.故答案为：0或2e -15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.【答案】36π【解析】【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又3PD =，π3APD ∠=，所以36πcos 3PA ==，所以3MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球体积为34π336π3V =⨯=．故答案为：36π．16.已知双曲线()222210x y a b a bE -=>>：的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F 、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线E 的标准方程为______；若直线:30l kx y k --=与双曲线E 的右支交于,A B 两点，设1F AB 的内心为I ，则1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是______.【答案】①.22163x y -=②.()2,6【解析】【分析】设双曲线E 的一条渐近线b y x a =的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而结合题意得2tan 2b a θ==，进而结合2223,c b a c =+=即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，进而将问题转化为12IA F AB BS ABS += △，最后联立方程，求解弦长AB 的范围即可得答案.【详解】解：设双曲线E 的一条渐近线b y x a =的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由0a b >>得10b a >>，π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，22tan tan 21tan θθθ==-，解得tan 2θ=或tan θ=所以，22b a =，即a =，因为2223,c b a c =+=，所以223,6b a ==，即双曲线E 的标准方程为22163x y -=；由:30l kx y k --=得():3l y k x =-，故直线l 过点()23,0F ，所以，如图，设1F AB 的内切圆与11,,AF BF AB 分别切于D C E ,,点，则11,,AD AE BC BE F C F D ===，1111,AD F D AF BC F C BF +=+=，由双曲线的定义得1212AF AF BF BF -=-=所以1122AF BF AF BF AD BC AE BE -=-=-=-，即22AF BF AE BE -=-，所以，点2,E F 重合，即2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，所以，2IF 为1F AB 的内切圆半径，因为()121112F AB S IF AF BF AB =⋅++ ，212IAB S IF AB =⋅△所以1112IABF AB S BAF BF ABS ABA +==++=△，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()223163y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222212121860k x k x k -+--=，所以，()()()42221444121862410k kkk ∆=----=+>且2120-≠k ，即22≠±k ，22121222121860,02121k k x x x x k k ++=>=>--，即2210k ->所以()222132136222121k AB k k ⨯-+====+>--，所以，()14622,6I B ABF A S S AB=+∈ △故1F AB 与IAB△的面积的比值的取值范围是()2,6.故答案为：22163x y -=；()2,6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，进而根据面积公式求解即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）2b =；（2）.【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac ≤，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B ，即得解.【小问1详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+ ，则3sin sin sin cos cos sin sin sin()B A A B A B A A B =++=++，A +B +C =π，∴3sin sin sin B A C =+，∴由正弦定理可得36b a c =+=，∴2b =.【小问2详解】6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +-+---∴===，可得sin B ===，11sin 22S ac B ac ∴==⨯=≤=3a c ==时等号成立）.∴ABC的面积的最大值为.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，n *∈N （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先由累乘法求得n S ，再根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先由条件求得数列{}n b 的通项公式，即可得到n c ，然后根据裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为12n n S n S n ++=，则3124123213451,,,,,12321n n n n S S S S S n n S S S S n S n ---+=====-- ，累乘可得，()113451123212n n n S n n S n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，2n ≥所以()1,22n n n S n +=≥，又111S a ==符合式子，所以()1,2n n n S n *+=∈N ，当2n ≥时，()()2211122n n n n n S--+--==，所以两式相减可得1n n n a S S n -=-=，2n ≥，又11a =符合上式，所以n a n =，n *∈N 【小问2详解】因为数列{}n b 为等比数列，22b =，且10123452b b b b b =，设数列{}n b 的公比为q ，则()51022b q =，即()51022q =，所以2q =，则12n n b -=所以()()121112212n n n nn c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，即()1211111111144121232212n n n c c c n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()11112nn =-<+⋅19.在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ.（1）若120θ=°，123CP CC = ，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值为2，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989【解析】【分析】（1）由已知可建立以A 为原点，1,,AB AQ AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；（2）根据已知可建立以A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设[]10,1CP CC λλ=∈，，根据线面关系求得PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，即得λ的值，利用空间向量坐标运算即可求得此时二面角Q AP C --的余弦值.【小问1详解】因为1AA AB ⊥，所以1AA AC ⊥，所以111120BAC B A C θ∠=∠==︒，又,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以1AA AQ ⊥，又⊥AQ AB ，如图，以A 为原点，1,,AB AQ AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由于11126AB AA A B ===，所以AQ =，则()()130,,,,,622Q C C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又123CP CC = ，所以()()233,,,61,4322P P P x y z ⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则()2,4P -，所以()2,0,4PQ =-- ，又y ⊥轴平面11AA B B ，故()0,1,0n =可为平面11AA B B 的一个法向量，又0000PQ n ⋅=++=，且PQ ⊄平面11AA B B ，所以//PQ 平面11AA B B ；【小问2详解】因为1AA AB ⊥，所以1AA AC ⊥，所以11190BAC B A C θ∠=∠==︒，如图，以A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q ，设[]10,1CP CC λλ=∈ ，，则()()0,3,60,3,6CP λλλ=-=-，则()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=-+- ，又x ⊥轴平面11AA C C ，所以()1,0,0m = 可作为平面11AA C C 的一个法向量，设PQ 与平面11AA C C 所成角为α，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos ,PQ m PQ m PQ mα⋅===⋅，又函数sin y α=与tan y α=均在π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当15λ=时，sin α=有最大值为53，此时tan α也取到最大值，又2cos 3α==，则()max 5tan 2α=；设此时平面APQ 的法向量为(),,p x y z =，又()()1262763,3,0,3,3,03,,0,,5555AQ AP AQ PQ ⎛⎫⎛⎫==-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以3300276200559x y x y AQ p y z y z AP p +==-⎧⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令9z =，则()2,2,9p =- ，()1,0,0m =是平面APC 的一个法向量，所以289cos ,89m pm p m p ⋅===⋅，由图可知二面角Q AP C --为锐角，即二面角Q AP C --的余弦值为28989.所以PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值为52，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .【答案】（1）2049（2）()537125E X =.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算()E X .【小问1详解】设事件A 为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件1B 为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件2B 为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123=B B B Ω ，因为25128C 5()C 14P B ==，1153822C C 15()C 28P B ==，22338C 3()C 28P B ==所以16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，()()()()()()()1122335615534714928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149(|)7()()4912P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====.【小问2详解】由题意知：X 的可能取值为3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，而第一局比赛6班获胜的概率为35，则第一局比赛18班获胜的概率为25，又胜者在接下来一局获胜的概率为25，所以3222221284(3)55555512512525P X ==⨯⨯+⨯⨯=+=，当4X =时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，最后6班胜概率为1232233323233132++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，最后18班胜概率为2332223322233108++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以13210848(4)625625125P X ==+=，则有57(5)1(4)(3)=125P X P X P X ==-=-=，综上，44857537()34525125125125E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知双曲线C ：2213x y -=.（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；。
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{||2|2}A x x x =+=+，{}2|9=<B x x ，则A B =I （ ） A ．()3,3- B ．(2,3)-C ．(3,2]-D ．[2,3)-【答案】D【解析】首先确定集合,A B 中的元素，再由交集定义求解． 【详解】由题意{|2}A x x =-…，{|33}B x x =-<<，∴[2,3)A B ⋂=-， 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素． 2．已知实数a ，b 满足11abi i=+-（i 为虚数单位）则复数z a bi =+的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．2i -C ．2i +D ．12i +【答案】B【解析】已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出,a b ，得z 后可得其共轭复数． 【详解】由题意,a b ∈R ，且(1)(1)(1)(1)a i bi b b i =-+=++-，则11a b b =+⎧⎨=⎩，21a b =⎧⎨=⎩，∴2z i =+，2z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．3．设曲线C 为双曲线，则“C 的方程为221x y -=”是“C 的渐近线方程为y x =±”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，而渐近线为y x =±时，C 方程不一定为221x y -=，故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键．4．如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则2(4)f x x -的单调递增区间为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(2,4)【答案】C【解析】根据反函数知识求出()f x ，得复合函数2(4)f x x -，由对数型复合函数的性质可求得增区间． 【详解】由題知，()ln f x x =，故()()224ln 4f x x x x -=-，定义域为(0,4)，(0,4)x ∈时，24y x x =-在(0,2)是递增，∴2(4)f x x -的单调递增区间为(0,2)．故选：C ． 【点睛】本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键． 5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）【答案】B【解析】由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论 【详解】两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合．故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（ ） A ．528π B ．6336πC ．704πD ．2112π【答案】B【解析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算， 【详解】设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =，∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得．7．已知向量(1,1)a =-r，OA a b =-u u u r r r ，OB a b =+u u u r r r ，若OAB V 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB V 的面积为（ ）．A ．1B ．2CD ．【解析】OAB V 为等腰直角三角形，则有||||OA OB =u u u r u u u r 及OA OB ⋅u u u r u u u r，【详解】由题知，||||0OA OB a b a b a b =⇒+=-⇒⋅=u u u r u u u r r r r r r r ，220||||OA OB a b a b ⋅=-=⇒=u u u r u u u r r r r r ，故||||2==u u u r u u u rOA OB ，则2OAB S =△，故选：B ． 【点睛】本题考查向量的数量积，掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（ ）A ．343-B 343+ C 433- D 433+ 【答案】C【解析】由三角函数定义得cos ,sin αα，由诱导公式得cos ,sin ββ，再由两角差的余弦公式可求值． 【详解】 由题知，3cos 5α=，4sin 5α=，cos 32β=-，1sin 2β=，则334cos()cos cos sin sin 1010βαβαβα-=+=-+43310-=，【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值2【答案】D【解析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可． 【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（ ）A ．25B ．710C ．815D ．715【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率． 【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．11．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于P ，Q 两点，则||||AB PQ +的最小值为（ ） A ．16 B ．12C ．20D ．10【答案】A【解析】设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是1212,y y y y +，由弦长公式求得弦长AB ，由垂直得2l 方程，同理可得PQ ，求出AB PQ +，应用基本不等式可得最小值．设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入得2440y my --=， 故124 y y m +=，124y y =-． 则()222||1161641AB m m m =++=+，同理21||41PQ m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，221||||4216AB PQ m m ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭…，当且仅当1m =±时取“=”，故选：A ． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．12．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，25PM =，则A 的值为（ ）A ．1633B 833C ．8D ．16【答案】A【解析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据25PM =Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ． 【详解】解：设(2,0),0Q a a >，Q 函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足PQR π∠=，∴(0,2a)R -， Q M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =Q ，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，）， 18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω． Q 函数经过(20)(08)P R -，，，，∴sin 206 sin 086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩， ||2πϕ≤Q ，,3πϕ∴=-，解得A =， 故选A ． 【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．二、填空题13．已知数列{}n a 满足1(1)n n na n a +=+，且612a =，则12a =__________． 【答案】24【解析】已知式变形为1n n a a +=，得一常数列{}n a，从而易得a ，得a【详解】 由题知11n n a a n n +=+，故626n a an ==，故1224a =． 故答案为：24． 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是已知等式变形后构造出一个常数列． 14．已知直线3450x y ++=与圆222:()0O x y r r +=>相交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒，则r =__________．【答案】2【解析】求出圆心到弦的距离，在等腰三角形中易求得半径． 【详解】直线到圆心距离1d ==，由120AOB ∠=︒，故22r d ==．故答案为：2． 【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理．15．在平行四边形ABCD 中，BD CD ⊥，AB BD ⊥，2AB CD ==，BD =．沿BD 把ABD △翻折起来，形成三棱锥A BCD -，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】323π【解析】由于题中的垂直及折叠后的平面垂直，因此把三棱锥可补形为长、宽、高分别为2，2的长方体，其外接圆直径易得，即半径易得．由此可求得体积． 【详解】该三棱锥可补形为长、宽、高分别为，2，2的长方体，故其外接圆直径为24R ==，2R =，故体积为343233V R ππ==． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是把几何体补成一个长方体，长方体的对角线就是外接球直径．16．设函数eln,0()2020,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-⎩…，函数2()[()]()2g x f x mf x=-+，若函数()g x恰有4个零点，则整数m的最小取值为__________．【答案】4【解析】作出()f x的图象，结合已知条件得方程2()20g t t mt=-+=有两正根1t，2t，且1(0,1)t∈，212(2,)tt=∈+∞，可得m的取值范围．【详解】作出()f x的图象，易知要使()0g t=有两正根1t，2t，且1(0,1)t∈，212(2,)tt=∈+∞，故112(3,)m tt=+∈+∞，故m的最小整数值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查函数零点个数，考查转化思想，通过作出函数图象，问题转化二次方程根的分布问题，由此可得m的取值范围．三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足37a =，且11a -，21a -，41a -成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设(),k k A k a ，(,0)k B k ，*k N ∈，记以k A ，k 1A +，k B ，1k B +四点为顶点的四边形面积为k S ，求1321n S S S -+++…．【答案】（1）21n a n =+（2）()213212n S S S n n -+++=+…【解析】（1）由11a -，21a -，41a -成等比数列求得公差d ，可得通项公式； （2）求出四边形面积k S ，可得()132112212n n S S S a a a -+++=+++L …，由等差数列前n 项和公式可得． 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则1312162a a d d -=--=-，216a d -=-，416a d -=+，依题意，()()()2214111a a a -=--， 即2(6)(62)(6)d d d -=-+，化简得：220d d -=，又0d ≠，故2d =．3(3)21n a a n d n =+-=+．（2）由题知，四边形11k k k k A A B B ++为直角梯形， 故()111122k k k k k a aS a a +++=+⋅=， 故()()2132112211(341)22222n n n nS S S a a a n n -++⋅+++=+++=⋅=+L …． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，及等比数列的性质．掌握等差数列通项公式和前n 项和公式是解题基础．18．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1236AB AA BC CD ====．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面11DAA D ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）363（2）存在，113DM DB = 【解析】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ，由面面垂直求出棱柱的高，然后由体积公式计算体积；（2）连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ．可证得DNMC 是平行四边形，从而得线线平行后得线面平行．【详解】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ,由平面ABCD ⊥平面1ABB A 知，1A H ⊥平面ABCD ，133A H =故1111-=ABCD A B D C V S 梯形11(26)3333632⋅=⨯+⨯⨯=ABCD A H （2）当113DM DB =时，CM ∥平面11DAA D ，证明：连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ． 则11MN A B ∥，且2MN =．则MN DC =∥，故四边形CMND 为平行四边形．故CM DN ∥，CM ⊄平面11AA D D ，DN ⊂平面11AA D D ． 故CM ∥平面11AA D D ． 【点睛】本题考查求棱柱的体积，考查线面平行和证明．求体积时，利用面面垂直得线面垂直，从而得棱柱的高．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2tan CB=-． （1）证明：2223a c b =-； （2）若cos A =，且ABC V，求c ． 【答案】（1）见解析（2）c =或【解析】（1）已知等式切化弦后应用正弦定理和余弦定理化角为边，进行翴的恒等变形可得；（2）由余弦定理及（1）的结论得b =或b =，由面积可得bc ，然后可求得c ．【详解】（1）证明：由题知，tan 2tan C B =-， 即sin cos 2sin cos C B B C ⋅=-⋅， 由正弦定理和余弦定理知，222222222a c b a b c c b ac ba+-+-⋅=-⋅， 即222222222a c b a b c +-=--+， 即2223a c b =-．（2）由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=，又2223a c b =-，代入消去a得，22203b c-+=，即(2)0b b⎛⎫=⎪⎪⎝⎭．即b=或b=．又sin(0,))9A Aπ=∈，且1sin218ABCS bc A==△，ⅰ．当b=时，则2182⋅=c=；ⅱ．当b=时，2183⋅=c=．故c=或【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式．属于中档题．20．已知函数21()2xf x ax e b=-+．（1）若该函数在(1,(1))f处的切线为y ex=，求,a b的值；（2）若该函数在1x，2x处取得极值()120x x<<，且213xx…，求实数a的取值范围．【答案】（1）2a e=，b e=．（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】（1）求出导函数，由导数几何意义可得,a b；（2）由极值点得1212x xe eax x==，研究()xeh xx=的性质得1201x x<<<，结合213x x…．分类：113x<≤和1113x<<．前者由()h x的单调性可得a的最小值，后者转化为1213x x<<，则由单调性121(3)()()h x h x h x<=，这样可得1x的取值范围，然后可求得a的范围．最后总结可得结论． 【详解】（1）由题知：()x f x ax e '=-，故()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：()(1)2ay a e x e b =--+-+， 即()2ay a e x b =--+． 易知：2a e =，b e =．（2）由题知：1x ，2x 为()f x 的极值点， 则12120xx ax e ax e-=-=．即1212x x e e a x x ==． 令()x e h x x=，2(1)()x e x h x x '-=． 故()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．则1201x x <<<，且213x x …． ⅰ．若1103x <„，由2(1,)x ∈+∞，故123x x >， ()h x 在(0,1)单调递减，故13a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭…． ⅱ．若1113x <<，此时1213x x <„，()h x 在(1,)+∞单调递增， 故()1213112133x x x e e e h x x x x ==„，即123x e „，11ln32x „．此时，ln 32ln 3ln 32ln 32e a h ⎛⎫== ⎪⎝⎭…． 故实数a的取值范围为ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性、函数的极值．由不等式恒成立转化为求函数的最小值．解题时注意极值点到a 的关系．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与x 轴交于点1A ，2A ，过x轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，121PP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线11A P 与直线22A P 交于点P ，是否存在定点M 和N ，使||PM PN ||-||为定值．若存在，求M 、N 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）存在，M为(0)，N ．【解析】（1）12PP 是椭圆的通径，由此已知条件可表示为,,a b c 的两个等式，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ．P 在直线11A P 可得00,,,P P x y x y 的关系，同理由P 在直线22A P 又得一关系式，消去00,x y 可得P 点轨迹方程，轨迹是双曲线，由双曲线定义可作答． 【详解】（1）由题知：2221c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -， 不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ． 则P ，1P ，1A 三点共线，022P P y y x x =++，①同理：0022P P y y x x -=--，②⨯①②得：22022044P P y y x x -=--， 又1P 在椭圆上，()2200144y x =-，代入整理得：2214P P x y -=．即P 点的轨迹为双曲线2214x y -=，取M 、N 为该双曲线的左、右焦点．即(M，N ．此时||||||4PM PN -=为定值，故M为(0)，N ． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的定值问题．本题解法是求出动点P 的轨迹方程，由轨迹方程确定图形为双曲线，由双曲线定义可得结论． 22．已知过点()0,0P x 的直线l 的倾斜角为6π，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos p θ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程并写出直线l 的一个参数方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数0x 的值．【答案】（1）2220x x y -+=．012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）01x =±【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得C 的直角坐标方程，由一点的坐标及倾斜角可得直线的参数方程；（2）由（1）中参数方程几何意义，把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得12t t ，12t t PA PB =，由此再求得0x【详解】（1）由2cos ρθ=，22cos ρρθ=．得曲线C 的方程为：222x y x +=，即2220x x y -+=．直线l的参数方程可为：012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）把直线l 的参数方程代入2220x x y -+=得：2200020t t x x ++-=．由>0∆，得013x -<<．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12||||2t t PA PB =⋅=． 即20022x x -=，即20022x x -=±．解得：01x =±又0(1,3)x ∈-，故01x =± 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程．掌握直线的标准参数方程中参数t 的几何意义是解题关键． 23．设函数()|21|f x x =-．（1）若函数()()F x f x ax =+有最小值，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()|21|||f x x x m +-+„的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[2,2]a ∈-（2）11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分类讨论去绝对值符号得()F x ，分析其有最小值的条件是左减右增，于是可得a 的范围．（2）由不等式在3[,2]4上恒成立得||2x m +„在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．转化为22x m -+剟．max min (2)(2)x m x ---+剟，即可得结论． 【详解】（1）1(2)1,2()()1(2)1,2a x x F x f x ax a x x ⎧+-⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩…，使()F x 有最小值的充要条件为2020a a +⎧⎨-⎩…„．即[2,2]a ∈-．（2）由题知：|21||21|||x x x m -+-+„在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．即||21(21)x m x x ++--„．即||2x m +„在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．则22x m -+剟． 故max min (2)(2)x m x ---+剟． 得1104m -剟． 故实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查含绝对值的函数与不等式，解题时可根据绝对值的定义分类去绝对值符号后再分析求解．。
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（2）设直线 与直线 交于点 ，是否存在定点 和 ，使 为定值．若存在，求 、 点的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知过点 的直线 的倾斜角为 ，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程并写出直线 的一个参数方程；
【点睛】
本的渐近线的概念是解题关键．
4．C
【分析】
根据反函数知识求出 ，得复合函数 ，由对数型复合函数的性质可求得增区间．
【详解】
由题知， ，故 ，定义域为 ， 时， 在 是递增，∴ 的单调递增区间为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．
19．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 ．
20．已知函数 ．
（1）若该函数在 处的切线为 ，求 的值；
（2）若该函数在 ， 处取得极值 ，且 ，求实数 的取值范围．
21．已知椭圆 的离心率为 ，与 轴交于点 ， ，过 轴上一点 引 轴的垂线，交椭圆 于点 ， ，当 与椭圆右焦点重合时， ．
13．已知数列 满足 ，且 ，则 __________．
14．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 __________．
15．在平行四边形 中， ， ， ， ．沿 把 翻折起来，形成三棱锥 ，且平面 平面 ，则该三棱锥外接球的体积为__________．
16．设函数 ，函数 ，若函数 恰有4个零点，则整数 的最小取值为__________．
A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3D．为定值2
10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2021年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在 区间，现在从课余使用手总时间在 样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）
2．B
【分析】
已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出 ，得 后可得其共轭复数．
【详解】
由题意 ，且 ，则 ， ，
∴ ， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．
3．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
的渐近线方程为 ，而渐近线为 时， 方程不一定为 ，故选：A．
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ， ，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的面积为（）．
A．1B．2C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，角 和角 均以 为始边，终边分别为射线 和 ，射线 ， 与单位圆的交点分别为 ， ．若 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
9．在棱长为1的正方体 中，E，F分别为线段CD和 上的动点，且满足 ，则四边形 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
A． B． C． D．
11．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（）
A．16B．12C．20D．10
12．如图，函数 （其中 ）与坐标轴的三个交点 满足 为 的中点， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．设曲线 为双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如果函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调递增区间为（）
A． B． C． D．
5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则 、 的值分别为（）
（2）若直线 和曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值．
23．设函数 ．
（1）若函数 有最小值，求 的取值范围；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
首先确定集合 中的元素，再由交集定义求解．
【详解】
由题意 ， ，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， 满足 （ 为虚数单位）则复数 的共轭复数为（）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 ，满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设 ， ， ，记以 ， ， ， 四点为顶点的四边形面积为 ，求 ．
18．如图所示，四棱柱 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， ， ．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5
6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积 （底面的圆周长的平方 高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）
5．B
【分析】
由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得 的关系 ，从而可得结论
【详解】
两组数据和相等，则 ，即 ，则 ， ．只有B适合．
故选：B．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．
6．B
【分析】
求出底面半径，由圆柱体积公式计算，
【详解】