2021届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学(文)试题
湖南长沙一中高三第七次月考试卷
湖南省长沙市一中高三第七次月考试卷物 理命题：长沙市一中高三物理备课组时量：90分钟 满分：120分得分 ________第I 卷选择题（共48分）一、选择题（本题共12个小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个 选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得 4分，选对但不全的得 2分，不选或有选错的得0分）1. 一木板竖直地立在车上，车在雨中匀速行进一段给定的时间，木板板面与车前进方 向垂直，其厚度可忽略。
设空间单位体积内的雨点数目处处相等，雨点匀速竖直下 落，则落在木板面上雨点的数量与下列诸因素中无关的因素是 （B ） A .车行进的速度 B .雨点下落的速度 C .木板的面积 D .单位体积中的雨点数2.一物体受到2009个力的作用而静止，已知其中两个力的大小分别为F i =6 N 、F 2=10 N ,若将这两个力的大小保持不变，而将它们的方向反向（其余力的大小及方向保持不 变）， 则此时物体所受合力大小可能为 （D ） A . 3 N B . 6 N C . 20 N D . 40 N3.A 、B 两物体以相同的初速度滑到同一粗糙水平面上，若两物体的质量 m A =3m B ,两物体与粗糙水平面间的动摩擦因数相同，则两物体能滑行的最大距离S A 与S B 的关系为（A ） B . S A = 3S BC . S B = 3S A4. 如图所示，a 、b 、c 、d 为斜面上四个点，ab =be = cd ,从a 点正上方的 O 点 以速度 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点•若小球从O 点以速度2水平 抛出，不计空气阻力，则它将落在斜面上的 （A ）A . b 与c 之间某一点B . c 点C . c 与d 之间某一点D . d 点A . S A = SB D . S A = 9S B 5.如图所示为大型电子地磅电路图，电源电动势为 E 。
不称物体时，滑片 P 在A 端,P 滑动变阻器接入电路的有效电阻最大，电流最小；称重物时，在压力作用下使滑片下滑，滑动变阻器有效电阻变小，电流变大•这样把电流对应的重力值刻在刻度盘上，就可以读出被称重物的重力值。
湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三第七次质量检测语文试题
湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三第七次质量检测语文试题一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下列小题。
材料一:《红楼梦》是小说，是文学艺术，表达思想的方式是塑造典型形象，使用的语言是生活语言。
作者只用寥寥数笔就勾勒出人物形象，并且语言具有鲜明个性特点。
第二十四回自“贾芸出了荣国府回家”至“一面趔趄着脚儿去了”，一千八百多字，却写了四个人:贾芸的舅舅卜世人、贾芸的舅妈、醉金刚倪二和贾芸。
前面三人虽然都只是寥寥数笔，但俱各传神，卜世人夫妇的鄙吝和倪二的仗义，皆历历如绘。
人物的语言也符合各自的身份和性格。
“一碗茶也争，我难道手里有蜜！”这是初恋中的智能的语言，反映她心里的甜意。
“你忙什么！金簪子掉在井里头，有你的只是有你的。
”这是金钏的语言，反映她因受宝玉的赏爱而心悦意肯、别无他虑的心态。
“‘呦呦鹿鸣，荷叶浮萍’，小的不敢撒谎”。
这是李贵的语言，反映他护送宝玉读书，但不识字，也不理会读书，只是从旁听闻的状况。
《红楼梦》里最能言善语的要数黛玉、王熙凤、红玉、麝月几人。
林黛玉慧心巧舌、聪明伶俐；王熙凤先意承志、博取欢心；红玉伶牙俐齿，如簧百转；麝月在教训老婆子时词锋逼人，势猛气锐。
作者对这四个人的语言是精心设计的，是特写。
《红楼梦》在古典长篇小说中确已成为“绝唱”，这是毋庸争议的，但它还是一首不用韵的诗。
这不仅仅是因为《红楼梦》里有许多诗，而且它从开头至八十回的叙述，也都有诗的素质，它的叙述与诗是交融的，是一体。
诗是什么？是抒情，抒喜怒哀乐各种各样的情而不是干巴巴的纪事，《红楼梦》确有这种抒情性的特点。
（摘编自冯其庸《<红楼梦>的语言魅力》）材料二:《红楼梦》主题历来众说纷纭，正如鲁迅所言，经学家见《易》，道学家见淫，才子见缠绵，革命家见排满……持自传说、索引说、阶级斗争说者亦众，此现象实属正常。
有些文学作品就像饺子，就为了中间那口馅儿，有些文学作品就像点缀在西瓜里的那些子儿，人间百态尽在其中。
《精编》湖南省长沙一中高三第七次月考数学试题 文 人教A版.doc
湖南省长沙市一中2021届高三月考试卷(七)数 学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.z ＝11＋2i (i 为虚数单位)所对应的点在( ) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，那么以下关系中正确的选项是( ) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.那么以下判断正确的选项是( ) A.p 假q 真 B.p 真q 假 C.p 真q 真 D.p 假q 假4.以下函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( )A.y ＝10xB.y ＝tan xC.y ＝sin2xD.y ＝|cosx|5.某公司2021 ～的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021利润x 16 18支出y 1A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，那么双曲线的离心率为( ) A.62B.3 3 ()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞){},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，那么{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2)两点的距离为 .a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，假设a ∥b ，那么||3a ＋b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如以下列图，那么此几何体的体积是 cm 3.12.假设{a n }为等差数列，S n 是其前nS 11＝22π3，那么tan a 6的值为 . l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，那么△ABC 面积最大值为 .l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，那么实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为 .f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0，那么称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点〞.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点〞；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点〞就是对称中心.〞请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 ；(2)假设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，那么g (12021)＋g (22021)＋g (32021)＋g (42021)＋…＋g (20212021)＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0). (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.17.(本小题总分值12分)如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上.(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值.18.(本小题总分值12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)假设要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.19.(本小题总分值13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)20.(本小题总分值13分)f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)假设b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)假设c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出m 的范围；假设不存在，请说明理由.21.(本小题总分值13分)动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，假设过定点，求出定点坐标；假设不过，请说明理由.(3)线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2△ABC 面积的最大值.数 学(文科)答案选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 D D B D C A C D二、填空题：10.5. 11.4π cm 3.12... 14. 2 ； ρ2－4ρcos θ＋2＝0 . 15.(1) (1,1) ；(2) 2021 . 三、16.解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos (x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，(4分) 解得：a ＝3，b ＝－1.(5分)(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＝sin(x －π6).(9分) 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z . ∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3].(12分) 17.解：(1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1CD .因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(6分)(2)连结BO ，那么∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角.因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1BC .A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125， 在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225. 所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分) 18.解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，(4分) (2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(8分) (3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的根本领件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一个在[90,100]之间的根本领件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(12分)19.解：(1)当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；(2分) 当0<x ≤c 时，p ＝16－x， ∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x 26－x.(4分) ∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92) 02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0.当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2， 令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去).∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间 (0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ； ②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0，∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减.∴y 最大值＝f (3)＝92. 综上，假设0<c <3，那么当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 假设3≤c <6，那么当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分)20.解：(1)由题意f (a n )＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，(2分)∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1 ①(6分)①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ②②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(9分)(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ， 要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；(11分)②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立， 因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23. 综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分) 21.解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F (32，0)为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线. ∴曲线E 的方程为y 2＝6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0). 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k 2. OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6b k＝－9， ∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，(b ＋3k )2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0.∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)，∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分)。
湖南省长沙市一中高三月考数学(文科)试卷(五)有答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．因为 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
3．某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．在 中， ， ， 是 边上的高，则 （）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上 ，则判断框中可填写的条件是（）
A． B． C． D．
7．定义在 上的函数 满足 ， ，且 时， ，则
（）
A． B． C．1D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
9．“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（［注释］三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）
平面 ，又 平面 ，故 ．
当 时，得 ．
， ， ．
四边形 为正方形，故 ．
又 、 平面 ，且 ，故 平面 ．
湖南省长沙岳麓区高三数学第七次月考试题 文 新人教A版
数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。
考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；（2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；（3）请勿折叠答题卡。
保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
3．本试题卷共6页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足等式(2),i z i z -⋅=则复数在复平面内对应的点的坐标为A ．12(,)55- B ．12(,)55--C ．12(,)55D ．12(,)55- 2．设全集(3),{|31},{|x x U R A x B x y A B -==<==则=A ．{|19}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|29}x x ≤<3．把二进制数110 011（2）化为十进制数等于A ．49B ．50C ．5 1D ．524．已知||1,||2,a b a b ==与的夹角为60°，则a b a +在方向上的投影为A ．-2B ．2C ．1D ．-15．已知实数x ，y 满足不等式组0,10,122,y y x y x x y ≥⎧-⎪-≥⎨+⎪-≥⎩则的取值范围是 A ．[1,12-） B ．（11,2-） C ．[11,2-] D ．[11,2-）6．已知函数(2)1,1,()()(,)log , 1.aa x x f x f x x x --≤⎧=-∞+∞⎨>⎩若在上单调递增，则实数a 的取值范围为A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．(2,)+∞7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率等于A B C ．32 D 8．已知函数()(,2]f x -∞在上为减函数，且(2)f x +是R 上的偶函数，若()(3)f a f ≥，则实数a 的取值范围是A ．a ≤1B ．a ≥3C ．1≤a ≤3D ．a ≤1或a ≥39．若函数()y f x =对定义域的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的212,()()1x f x f x =使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=x 是“依赖函数”；②1y x=是“依赖函数”；③2x y =是“依赖函数”；④ln y x =是“依赖函数”；⑤若(),()f x y g x ==都是“依赖函数”，且定义域相同，则()()y f x g x =⋅是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是cos (1sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴连立极坐标系，则圆心C 的极坐标是 .11．已知25lg lg 1,x y x y+=+则的最小值为 。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三下学期第七次月考数学(理)试题
（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
C． D．
3．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
4．已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
5．过抛物线 的焦点 作倾斜角为60°的直线 交抛物线于点 ，且点 在第一象限内，已知 ，则 的值为（）
A．1B． C．2D．
6．某个四面体的三视图如图所示，则该四面体各个面中面积最大面的面积为（）
【详解】
椭圆方程为 ，双曲线方程可变为 ，
椭圆焦点为 即 ，
又双曲线与椭圆共焦点，
解得 ， 双曲线方程为 ，
双曲线的离心率 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线和椭圆的综合应用，考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．C
【分析】
由题意可得 ，代入抛物线方程即可得解.
【详解】
由题意焦点 ，
直线 过点 且倾斜角为60°， ，
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三下学期第七次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 ， .若 为实数，则实数 的值为（）.
A． B． C． D．
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第七次月考数学(文)试题(含答案)
情况，
满足取出的 2 个数之和为 5 的有 1和 4 、2 和 3 两种情况， 所以概率为 p
2
1 ，故选 C．
63
点评：
本题考查的是概率的计算， 可以先通过计算出所有的可能的总数， 再计算出满足题目条
件的总数，两数相除即可得出概率．
4．若双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线为 x 4y 0 ，则实数 m （
22
1z
由图可知，当直线 y= x﹣ 过点 A（﹣ 1， 1）时，直线在
22
y 轴上的截距最小，
z 有最大值为﹣ 3．
故答案为﹣ 3
点睛： 本题考查简单的线性规划， 意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结 合的解题思想方法 .
15．已知函数 f ( x) sin x 3cos x 在 x 处取最小值，则 sin _________.
x2 x y 0 则 z x 2 y 的最大值为 ______． xy20
答案： 3
分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
详解：由 x， y 满足约束条件
x 2, x y 0, 作出可行域如图， x y 2 0,
1z
化目标函数 z=x ﹣ 2y 为 y= x﹣ ，
的面积为 3 ，则
abc
的值为 (
)
sin A sin B sinC
A． 2 39 3
B． 39 3
C． 2 3 3
D． 2 13 3
答案： A
根据面积可求得 c 4 ，然后根据余弦定理得到 a 13 ，再由正弦定理的变形可得所
求的值． 解：
∵ ABC 的面积为 3 ， A 60 ,b 1，
湖南省长沙市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学(文科)试题 Word版含答案
长沙市一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
长沙市一中高三文数备课组组稿
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 为虚数单位，若复数2
)1(1i z -+=,则=||z
A. 1
B. 2
C. 2
D. 5 2.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A
A. 21|≤≤-x x
B. {2,1,0}
C. {2,1-}
D. {1,0}
3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：
附表：
随机变量：))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关"
D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为
A.0
B.2
C.-2
D.1。
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（2）设直线 与直线 交于点 ，是否存在定点 和 ，使 为定值．若存在，求 、 点的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知过点 的直线 的倾斜角为 ，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程并写出直线 的一个参数方程；
【点睛】
本的渐近线的概念是解题关键．
4．C
【分析】
根据反函数知识求出 ，得复合函数 ，由对数型复合函数的性质可求得增区间．
【详解】
由题知， ，故 ，定义域为 ， 时， 在 是递增，∴ 的单调递增区间为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．
19．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 ．
20．已知函数 ．
（1）若该函数在 处的切线为 ，求 的值；
（2）若该函数在 ， 处取得极值 ，且 ，求实数 的取值范围．
21．已知椭圆 的离心率为 ，与 轴交于点 ， ，过 轴上一点 引 轴的垂线，交椭圆 于点 ， ，当 与椭圆右焦点重合时， ．
13．已知数列 满足 ，且 ，则 __________．
14．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 __________．
15．在平行四边形 中， ， ， ， ．沿 把 翻折起来，形成三棱锥 ，且平面 平面 ，则该三棱锥外接球的体积为__________．
16．设函数 ，函数 ，若函数 恰有4个零点，则整数 的最小取值为__________．
A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3D．为定值2
10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2021年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在 区间，现在从课余使用手总时间在 样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）
2．B
【分析】
已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出 ，得 后可得其共轭复数．
【详解】
由题意 ，且 ，则 ， ，
∴ ， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．
3．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
的渐近线方程为 ，而渐近线为 时， 方程不一定为 ，故选：A．
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ， ，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的面积为（）．
A．1B．2C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，角 和角 均以 为始边，终边分别为射线 和 ，射线 ， 与单位圆的交点分别为 ， ．若 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
9．在棱长为1的正方体 中，E，F分别为线段CD和 上的动点，且满足 ，则四边形 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
A． B． C． D．
11．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（）
A．16B．12C．20D．10
12．如图，函数 （其中 ）与坐标轴的三个交点 满足 为 的中点， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．设曲线 为双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如果函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调递增区间为（）
A． B． C． D．
5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则 、 的值分别为（）
（2）若直线 和曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值．
23．设函数 ．
（1）若函数 有最小值，求 的取值范围；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
首先确定集合 中的元素，再由交集定义求解．
【详解】
由题意 ， ，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， 满足 （ 为虚数单位）则复数 的共轭复数为（）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 ，满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设 ， ， ，记以 ， ， ， 四点为顶点的四边形面积为 ，求 ．
18．如图所示，四棱柱 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， ， ．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5
6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积 （底面的圆周长的平方 高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）
5．B
【分析】
由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得 的关系 ，从而可得结论
【详解】
两组数据和相等，则 ，即 ，则 ， ．只有B适合．
故选：B．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．
6．B
【分析】
求出底面半径，由圆柱体积公式计算，
【详解】