2020届北京市朝阳区2017级高三5月一模模拟考试数学试卷及答案
2020届北京市朝阳区2017级高三5月一模模拟考试英语试卷及答案
2020届北京市朝阳区2017级高三5月模拟考试英语试卷2020.5★祝考试顺利★第一部分：知识运用（共两节,45 分）第一节语法填空（共10小题；每小题1.5分,共15分）阅读下列短文,根据短文内容填空。
在未给提示词的空白处仅填写1个适当的单词,在给出提示词的空白处用括号内所给词的正确形式填空。
AWith our graduation day around the corner, I was busy preparing presentsfor my friends. As usual, I walked into the classroom, only 1 (find) a big box standing there. Approaching, I saw my name 2 (write) on it. I was quite shocked when the box 3 (open) andI saw “myself”, a vivid statue, sitting inside smiling up at me. I wasat a complete loss for words. It was the most unique, unconventional presentin my life.BAnalysis finds Earth’s magnetic(有磁性的) field was in place by at least3.7 billion years ago, as early life arose.Scientists think that having a magnetic field 4 (make) Earthmore friendly to life. The field, 5 is generated by liquidiron moving about in the plane t’s core, protects Earth 6 energeticparticles(粒子) flowing from the Sun. It helps the planet holdon to its atmosphere and maintain liquid water on its surface.CDo you have a mentor(导师) helping you make decisions in your life? Ifyou do, then you are a very lucky person. 7 if not, then readthe book Tuesdays with Morrie.It tells the true story of the author, Mitch Albom, and his dying former professor, Morrie Schwartz. 8 you read this book, you will learn some very meaningful lessons from a professor dying from Lou Gehrig’s disease. WhenMitch visits Morrie every Tuesday, the 78-year-old professor shares wordsof 9 (wise) about love, life, communication, values, and opennesswith his former student. As a beautiful tale 10 (deliver) many powerful lessons about life, this book should be high on everyone’s reading list.第二节完形填空（共20 小题；每小题1.5 分,共30 分）阅读下面短文,掌握其大意,从每题所给的A、B、C、D 四个选项中,选出最佳选项,并在答题卡上将该项涂黑。
北京市朝阳区2020届高三下第一次模拟考试数学(理)doc高中数学
北京市朝阳区2020届高三下第一次模拟考试数学（理）doc 高中数学〔理工类〕总分值150分〕II 卷〔非选择题〕两部分本卷须知:1 •答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试终止时，将试 题卷和答题卡一并交回。
2 •每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 洁净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题的4个选项中 一项符合题目要求的右图是2018年青年歌手大奖赛中， 名选手打出的分数的茎叶图〔其中一个〕，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选 手得分的平均数分不为 a 1, 〔A 〕a 1>a 2数学学科测试 〔考试时刻120分钟 本试卷分第I 卷〔选择题〕和第2018.4第I 卷〔选择题 共40分〕,只有一项为哪〔1〕1复数— 1 一i〔A 〕J2-等于 2〔D 〕丄2七位评委为甲、乙两 m 为数字0〜9中的a 2,那么一定有 a 2>a 1a 1, a 2的大小与m 的值有关以下函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线〔4〕 〔A 〕y sin(2x 〔C 〕y sin(2x_）3一个简单几何体的正视图、侧视图如下图, 形；③圆；④椭圆 .其中正确的选项是〔A 〕①② 〔B 〕②③ 〔C 〕③④〔D 〕①④〔B 〕y x 对称的是3si n(°)2 3sin （2x 一）6那么其俯视图不可能为 〔D 〕y ----- 3-— 匚1 正视图 ①长方形；②正方侧视图〔B〕〔C〕a1=a2 〔D〕，那么满足f （X ） 1的x 的集合为〔8〕一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为、耳，二面角D.AC.B 的1余弦值为丄，那么以下论断正确的选项是3〔A 〕空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3n 〔B 〕空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4n〔C 〕空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3. 3 n〔D 〕不存在如此的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上〔5〕在区间［—n , n ］内随机取两个数分不记为a , b ,那么使得函数 f(x)2 2x 2ax bn 有零点的概率为r 、73〔A 〕-〔B〔c 〕8422点 P(3, 4）是双曲线笃 y2 1 (a 0, ba1 jb个焦占1 八'、八假设EP FP 0 ，那么双曲线方程为22〔A 〕— -y 1〔D 〕-40）渐近线上的一点， E, F 是左、右两〔B 〕f(x) 2 〔c 〕—9 2y_16〔D 〕2x16〕设 min{ p, q}表示 p ，个，假设函数1mi n{3 logx, logx}〔B 〕 (0, +'.〔C 〕(0, 2) (16,―工；)〔D 〕（右-氐） 〔6〕3第II 卷〔非选择题共110分〕:■、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.〔9〕圆的极坐标方程为 2cos ，那么圆心的直角坐标是 ______________________ ;半径长为 ______________ . 〔10丨圆x 2 y 24被直线,3x y 2. 3 0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 _______________ .〔11〕向量 a (、. 3sin , 1), b (1, cos〔12丨如图，圆O 是 ABC 的外接圆，过点的延长线于点 D , CD 2、一 7 , AB 的长为 _______________ ; AC 的长为_〔13〕右边程序框图的程序执行后输出的结果是 _________________ . 〔14丨一个数字生成器，生成规那么如下：第 1次生成一个数X ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数X 生成两个数，一个是 X ，另一个是X 3 •设第n 次生成的数的个数为 a n , 那么数列 a n 的前n 项和S n ________________；假设x 1 , 前n 次生成的所有数中不同的数的个数为T n ,那么)，那么a b 的最大值为 __________________C开始三、解答题：本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤 •(15) 〔本小题总分值13分〕3yJ 5 在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ,且C ，si nA .45〔I 〕求sin B 的值; 〔n 〕假设c a 510，求 ABC 的面积•(16) 〔本小题总分值13分〕在某校组织的一次篮球定点投篮竞赛中， 两人一对一竞赛规那么如下：假设某人某次投篮命中，那么由他连续投篮，否那么由对方接替投篮•现由甲、乙两人进行一对一投篮竞赛，11甲和乙每次投篮命中的概率分不是，丄.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮•假设32每人每次投篮命中与否均互不阻碍•〔I 〕求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；〔n 〕假设投篮命中一次得 1分，否那么得0分.用E 表示甲的总得分，求 E 的分布列和数学期望.(17) 〔本小题总分值14分〕如图，在三棱柱 ABC ABC 1中，每个侧面均为正方形， D 为底边AB 的中点，E 为(18) 〔本小题总分值13分〕3mx 2 ax侧棱CC 1的中点.〔I 〕求证：CD //平面 A 1EB ； 〔n 〕求证：AB 1 平面AEB ；〔川〕求直线 日E 与平面AAC 1C 所成角的正弦值3〔I 〕求函数f(x)的导函数f (x)；〔n 〕当m 1时，假设函数f (x)是R 上的增函数，求 z a b 的最小值； 〔『当a 1 , b 、、2时，函数f (x)在(2,)上存在单调递增区间，求 m 的取值范畴.(19) 〔本小题总分值13分〕1 3 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆C 的离心率为一，且通过点(1,-)，过点P(2, 1)22的直线I 与椭圆C 在第一象限相切于点 M . 〔I 〕求椭圆C 的方程;〔n 〕求直线I 的方程以及点M 的坐标;〔川〕是否存在过点 P 的直线|1与椭圆C 相交于不同的两点假设存在，求直线I 1的方程；假设不存在，请讲明理由.(20) 〔本小题总分值14分〕假设一个数列各项取倒数后按原先的顺序构成等差数列,x n 1an 1 x n 2an 2 ( n N ). 〔I 〕证明数列｛x n ｝是等比数列;〔考生务必将第二卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效〕A, B ，满足 PA PB PM那么称那个数列为调和数列.列｛a n ｝是调和数列，关于各项差不多上正数的数列｛X n ｝a n x nn〔n 〕把数列｛x n ｝中所有项按如下图的规律排成一个三角形数表，当x 38, x 7 128时，求第m 行各数的和;〔川〕关于〔n 〕中的数列 ｛x n ｝，证明：-1凶一12 3 x 2 1 X 2 X 3 1III X 2 X 3X 4 X 5 X 7 X X n 1Xn 11x 6x x 10由得AB BC AC ，因此CD AB ,朝阳区2018〜2018学年度高三年级第二学期统一考试〔一〕三、解答题由得B — A .4因此 sin B sin(— A) sin — cos A cos —sin A4442 2^52 .5......... 5分2 5 2 5103n 〕由〔I 〕知 C ——,因此 sin C—且 sin B4210由正弦定理得a 旦必 -10c sin C5又因为c a 5 10 ,因此 c 5 , a ,10.2018.4、选择题 数学测试〔理工类〕答案(15)解：〔I 〕因为C,sin A因此 cos A .1 sin 2A2.5 5(16) 〔I 〕解：记” 3次投篮的人依次是甲、甲、乙"为事件A.1 2 2 由题意，得P(A) 1--. 3 3 92答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是2. ......................... 5分9〔□〕解：由题意，E 的可能取值为0, 1, 2, 3,那么P( 0)2 1 2 1 25 3 2 3 2 3 9 P( 1)2 1 1 1 2 13 2 3 3 3 3P( 2)1 12 23 3 3 27 P(3)1 1 1 13 3 3 27因此， £的分布列为：££ 0 1 23P5 1 2 19 327 27 的数学期望E 05112—3 — ^. ............... 13分 93 2727 27(17)解法一：证明：〔I 〕设AB 1和AB 的交点为又CD 平面A 1BE , EO 平面ABE ,那么CD //平面A ,BE ..................... 5分(n )因为三棱柱各侧面差不多上正方形，因此BB 1 AB , BB 1 BC .因此BB 1 平面ABC .因为CD 平面ABC ，因此BB 1 CD .因此S ABC1— acsin B 21帀5』 2 1013分O,连接EO ,连接OD .因为O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点,因此 OD // BB 1 且 OD 因此 EC // B B 1 且 EC 因此EC // O D 且 EC OD .AC 1因此, 四边形 ECOD 为平行四边形•因此EO // CD .A 1B1ECB1-BB 1.又E 是CC 1中点,2丄BB 「2由得AB BC AC ，因此CD AB ,因此匕CD 平面A 1ABB 1 .由〔I 〕可知 EO // CD ，因此EO 平面A 1ABB 1. 因此EO AB 1.因为侧面是正方形，因此 AB 1 A j B .EO （乜，3,0）.因此 CD E O ,2 2又 EO^AB O , EO 平面 AEB ,AB 平面 A ,EB ,因此AB 1 平面A ,BE .10分〔『解：取AG 中点F ，连接BF, EF . 在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，因为 BB 1 平面ABC ，因此侧面 ACC 1A ］底面 A 1B 1C 1.A1F1因为底面 A 1B1G 是正三角形，且F 是AG 中点， 因此 B 1FA6，因此BF 侧面ACC 1A .因此 EF 是B 1E 在平面ACGA 上的射影. 因此 FEB 1是B 1E 与平面AAC 1C 所成角.sin BE 1FBF15 B 1E 514分因此 EO // CD .B1EACBmx 22x i 是开口向上的抛物线， 明显f (x)在(2,又CD 平面ABE ,EO 平面A ,BE ,那么CD //平面A i BE .III〔n〕易得，AB i G.3,i,2) , AB (、「3,i, 2), AE AB I AB 0, AB i A E0.因此因此 AB , AB, AB , A ,E.又因为 ABpjAE 二 A , AB,A ,E 平面 ABE ,因此AB , 平面A ,BE .〔川〕设侧面 AAC i C 的法向量为n (x,y,z).因为 A(0,0,0) , C(0,2,0) ,C i (0,2,2) , A i (0,0, 2),AC i (0,2,2) , B i E因此(0,2,0), AC 0, y 0, 些 得y ，解得* AC 10, y z 0.不妨令n 因此sin因此直线 (I8)〔I 〕解:(0,2, 1) 10分(<3,i, i ).y °, z 0.(1,0,0)，设直线B i E 与平面AAC i C 所成角为nn15 5B i E 与平面AAC i C 所成角的正弦值为 I5I4分f (x) mx 2 2ax (i b 2).那么有4a 22 2 24(i b ) < 0 ,即 a b < i .a r cos ,设〔为参数，0< r < I 〕，b r sin那么z a b r(cos sin ) . 2rsin(—).当 sin( 二)i ，且r i 时，z a b 取得最小值〔川〕①当m 0时，f (x) cos n, B i E.3f(x)是R 上的增函数，因此 f (x) > 0在R 上恒成立.〔n 〕因为函数 2.〔可用圆面的几何意义解得z a b 的最小值 '、2〕存在子区间使得 f (x) 0，因此m的取值范畴是(0, )•②当m0时，明显成立.③当m0时, 2f (x) mx 2x 1是开口向下的抛物线，要使 f (x)在(2,存在子区间使 f (x)r m 0,12,m10,2,I f ( —) 0,m0. 0，或那么m的取值范畴是(3 4 3 4(19)解：〔I〕设椭圆C的方程为2 x~~2 a解得a2 4 , b23，故椭圆〔n〕因为过点P(2,的方程为y k(x 2)1，因此m的取值范畴是(213分b21(a2xC的方程为—41ab 0)，由题意得c1)的直线I与椭圆在第一象限相切，因此94b212,b21, I的斜率存在，故可设直线I2x 由4y2y_3k(x1,2)得(3 4k2)x2 8k(2k 1)x1,16k216k 8因为直线I与椭圆相切，因此[8k(2k 1)]2 2 24(3 4k2)(16k216k 8) 0. 整理，得32(6k 3) 0.解得k因此直线I方程为1(x2)1将k 代入①式, 能够解得M点横坐标为1, 故切点M坐标为(1,| -〔川〕假设存在直线I1满足条件，设直线I1的方程为y K(x 2) 1，代入椭圆C的方程2 2 2得(3 4k 1 )x8k 1 (2k 1 1)x 16k 1 16k 1 8 0 .(x i , y i ),(x 2, y 2)，因此k 1因为代B 为不同的两点，因此 k 112因此 a n Ig X n a n i lg X n i8n 2 lg X n 2 .设 a n lg X n an 1 lg Xn 1a n 2 lg X n 2P ,①因为数列｛a rJ 是调和数列, 故 a n 0,2 1 1a n 1a na n 2因此，2pp P②a n 1a na n 2由①得卫lg X n , PlgXpn 1)lg X n 2，代入②式得,a na n 1a n 22因此 2lg X n 1 lgX n lg X n 2，即 lg X n 1 lg(X n X n 2).故X ； i X n X n 2，因此数列｛X n ｝是等比数列.因为直线l i 与椭圆C 相交于不同的两点AB ,设AB 两点的坐标分不为因此 [28k i (2k i 1)]4(3 2 24k i )(16k i 16k i 8)32(6 k i 3) 0 .又 X-i X 28k 1(2k 1 1) ,%x 23 4k ：16k 12 16k 1 82 ，3 4k 12因为 PA PB PM 2, 即(X i 2)(x 22) (V i i)(V 2 i)因此(％ 2)(X 2 2)(i k i 2) |PM|2即[x^2(x i X 2)254](1k i )；2 8k i (2k i 1)2 23 4k i4](i k i 2)4k i 2 3 4k i 2 55，解得k4因此存在直线h 满足条件, 其方程为 y (20)解：〔I 〕证明：因为 x ：nan 1 an 2X n 1 X n 21 X .2，且数列i3分｛X n ｝中各项差不多上正数,III 2〔n 〕设4 4｛X n ｝的公比为q ，那么X 3q X 7，即8q128 •由于因此X nnX 3q 注意到第 n (n 1,2,3, 因此三角形数表中第 1 ）行共有n 个数, 行至第m 1行共含有1 2III (m1）呼）个数-因此第m 行第1个数是数列｛x n ｝中的第m(m 1)故第m 行第1个数是x m 2m 22m 2m 2 2^^ ,因此第m 行各数的和为S mm 2 m 22^ (2m 2 1 1)2 m2一 22_(2m 1).〔川〕因为X n 2n，因此 X k X k 1 2k 2k 1k2(2X 1 1 X 2 1 | IX 2 1 X 3 1 1X k 1 2k 1 X k 1 1 2k 11112 3 2 k ?k 2 X1 1 X2 1 X 21 X 3 1因此 又因此1 > —21 2 II IX n X n 111[1 (1)n ]1 1 2因此X 1 1 X 2 11 2(2k 1 1)1,2,3,川,n),x nX n 1Ill 1)玛（2）2川（扪[1(1)"]X 2 X 3 1X n 1Xn 1114分III2。
2017朝阳区高三(一模)理数试题及答案
侧视图0.51正视图10.5开始输入m ,n是 1i i =+0i =结束输出a 否a 能被n 整除？2017北京市朝阳区高三（一模）数 学（理） 2017.3第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{|13}A x x =-≤<，2{|4}Z B x x =∈<，则AB =（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{2,1,0,1,2}--（2）若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥ 则2x y +的最大值为（A ）0 （B ）3a m i =⋅ （C ）4（D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a =（A ）4 （B ）8 （C ）12（D ）16（4）给出如下命题：①若“p ∧q ”为假命题，则p , q 均为假命题；②在△ABC 中，“A B ＞”是“sin sin A B ＞”的充要条件； ③8(1)x +的展开式中二项式系数最大的项是第五项.其中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3-，则=PF（A ） 34 （B ） 6 （C ） 8 （D ）16 （6）已知函数42log ,04,()1025, 4.x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若a ,b ,c ,d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（A ）(24,25) （B ）(18,24) （C ） (21,24) （D ）(18,25) （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（A ）12 （B ）32 （C ）14 （D ）34（8）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是 （A ）可能有两支队伍得分都是18分 （B ）各支队伍得分总和为180分 （C ）各支队伍中最高得分不少于10分 （D ）得偶数分的队伍必有偶数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）复数1ii+在复平面内对应的点的坐标是____. （10）在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠=____.（11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若651S =，1926a a +=，则数列{}n a 的公差d = ，通项公式n a = ．(12) 在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin()24ρθπ+=．若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，则直线C 1的直角坐标方程为_____；曲线C 2的方程为cos ,1sin x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），则C 2被 C 1截得的弦长为___.(13) 如图，11AB C ∆，122C B C ∆，233C B C ∆是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点12,P P ，则212+=AB AP AP （）⋅ . （14）在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为C .给出下面四个结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称； ③点2(,1)()R a a -∈在曲线C 上；④在第一象限内，曲线C 与x 轴的非负半轴、y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于12. 其中所有正确结论的序号是 . AB 1P 1B 2B 3C 1C 3C 2P 2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数3()sin (cos 3sin )(0)2f x x x x ωωωω=-+>的最小正周期为π2.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求函数()f x 的单调递减区间.（16）（本小题满分13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，PA AD ⊥，BECD ,BE AD ⊥， 2,1PA AE BE CD ====.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角--C PB E 的余弦值； （Ⅲ）在线段PE 上是否存在点M ，使得DM 平面PBC ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数()ln 1f x x ax =--(R a ∈),21()()22g x xf x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若函数()g x 在区间(,1)()m m m Z 内存在唯一的极值点，求m 的值.PACDEB已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,11AE F ∆,1AFF ∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，试证明1322S S S 为定值.(20)（本小题满分13分）对于正整数集合12{,,,}n Aa a a （n *∈N ，3n ），如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）； （Ⅱ）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数； （Ⅲ）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案BCCBCADD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 （9）（10）（11）（12） （13）（14） 答案(1,1)-4π 3，32n -20x y +-=，236②③④三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：因为3()sin (cos 3sin )2f x x x x ωωω=-+23sin cos 3sin 2x x x ωωω=⋅-+ 13sin 2cos 222x x ωω=+ πsin(2)3x ω=+， …………5分(Ⅰ) 又因为函数()f x 的最小正周期为π2，所以222ωππ=.解得2ω=. …………7分 (Ⅱ) 令ππ3π2π42π,232k x k k +≤+≤+∈Z 得， π7π2π42π,66k x k k +≤≤+∈Z ， 所以πππ7π,224224k k x k +≤≤+∈Z . 所以函数()f x 的单调递减区间是πππ7π[,],224224k k k ++∈Z . …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为527345⨯=， 女员工的人数为518245⨯=．…………………………………4分所以，随机变量X 的所有可能取值为1, 2, 3．根据题意，1232353(1)10C C P X C ⋅===， 2132356(2)10C C P X C ⋅===， 3032351(3)10C C P X C ⋅===． 随机变量X 的分布列是：数学期望361189123101010105EX =⨯+⨯+⨯==． ………………………………10分 （Ⅲ）2212s s =． ……………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由已知平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥， 且平面PAD平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA CD ⊥.又因为BE AD ⊥，BE CD ，所以CD AD ⊥.所以CD ⊥平面PAD .因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD . ……4分 （Ⅱ）作Ez ⊥AD ，以E 为原点，以,EB ED 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，则点(0,00)，E ，(0,22)，-P ，(0,20)，-A ，(2,00)，B ,(1,20)，C ，(0,20)，D . 所以(2,22,)，=-PB ，(1,20)，=-BC ，(0,22)，=-EP . 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以0,0.n n PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩令1=y ，解得(2,1,3)n =.X 123P310610110PABCD Exyz所以0,0.PB EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.a b c b c +-=⎧⎨-+=⎩令1=b ，解得(0,1,1)m =. 所以20113127cos ,7142n m ⨯+⨯+⨯〈〉==⋅. 由图可知，二面角--C PB E 的余弦值为277. …………………………………10分 （Ⅲ）“线段PE 上存在点M ，使得DM平面PBC ”等价于“0n DM ⋅=”.因为(0,22)PE ，=-，设(0,22)PM PE ，λλλ==-，(0,1)λ∈， 则(0,2222)M ，λλ--，(0,2422)DM ，λλ=--. 由（Ⅱ）知平面PBC 的法向量为(2,1,3)n =，所以24660n DM λλ⋅=-+-=. 解得12λ=. 所以线段PE 上存在点M ，即PE 中点，使得DM平面PBC . ………14分（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得0x >，11()axf x a x x-'=-=. （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数；（ⅱ）当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<； 由()0f x '<，得1x a >； 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞. ……4分（Ⅱ）因为21()()22g x xf x x x =++21(ln 1)22x x x x x =--++21ln 2x x x x =-+，则()ln 11g x x x '=+-+ln 2()3x x f x =-+=+.由（Ⅰ）可知，函数()g x '在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.又因为2211()22e e g '=--+210e=-<，(1)10g '=>， 所以()g x '在(0,1)上有且只有一个零点1x .又在1(0,)x 上()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上单调递减； 在1(,1)x 上()0g x '>，()g x 在1(,1)x 上单调递增.所以1x 为极值点，此时0m =.又(3)ln310g '=->，(4)2ln 220g '=-<， 所以()g x '在(3,4)上有且只有一个零点2x .又在2(3,)x 上()0g x '>，()g x 在2(3,)x 上单调递增； 在2(,4)x 上()0g x '<，()g x 在2(,4)x 上单调递减. 所以2x 为极值点，此时3m =.综上所述，0m =或3m =. ……………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又63c a =，即22123a a -=. 解得23a =.即3a =. 所以222c a b =-=.所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R .设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y . 因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-248m 224824m m ++21224m +F 1E 1F EAOyx所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. …………………………………3分 （Ⅱ）设集合12{,,,}n Aa a a 所有元素之和为M . 由题可知，i M a （1,2,,i n ）均为偶数，因此i a （1,2,,in ）的奇偶性相同.（ⅰ）如果M 为奇数，则i a （1,2,,in ）也均为奇数，由于12n Ma a a ，所以n 为奇数.（ⅱ）如果M 为偶数，则i a （1,2,,i n ）均为偶数，此时设2ii a b ，则12{,,,}n b b b 也是“和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”. 此时各项之和也为奇数，集合A 中元素个数为奇数.综上所述，集合A 中元素个数为奇数. …………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A 中元素个数为奇数，当3n 时，显然任意集合123{,,}a a a 不是“和谐集”. 当5n时，不妨设12345a a a a a ，将集合1345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a ①，或者5134a a a a ②；将集合2345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a ③，或者5234a a a a ④.由①、③，得12a a ，矛盾；由①、④，得12a a ，矛盾；由②、③，得12a a ，矛盾；由②、④，得12a a ，矛盾.因此当5n 时，集合A 一定不是“和谐集”.当7n时，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，因为35791113，19135711，91313711，13511713，19113513, 3791513，1359711，A是“和谐集”.所以集合{1,3,5,7,9,11,13}集合A中元素个数n的最小值是7. ……………………………………13分11 / 11。
北京市朝阳区2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13,5A =,，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,3C. {}1,2,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】化简集合B ，再根据并集定义进行计算即可得到. 【详解】因为{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z {2,3}=， 所以A B ={1,2,3,5}.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+ C. 2log y x = D. ||2x y =【答案】D 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.【详解】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 21- B. 11C. 31D. 63【答案】A 【解析】利用11a =，48a =-求出公比2q =-，再根据等比数列的前n 项和公式计算可得. 【详解】因为11a =，48a =-，设公比为q ，则341a qa =881-==-，所以2q =-， 所以6616(1)1[1(2)]2111(2)a q S q -⨯--===----， 故选：A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.4.如图，在ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =.若DE x AB y AC =+(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A. 12- B. 13- C.12 D.13【答案】B 【解析】利用平面向量的线性运算可得DE 1126AB AC =-+，再根据平面向量基本定理可得11,26x y =-=，从而可得答案.【详解】因为DE AE AD =-23AC AB BD =--2132AC AB BC =-- 21()32AC AB AC AB =--- 1126AB AC =-+，又DE x AB y AC =+，所以11,26x y =-=， 所以111263x y +=-+=-.故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题. 5.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ） A. 28y x = B. 24y x = C. 22y x = D. 2y x =【答案】B 【解析】根据抛物线的定义求得4=AD ，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=︒可求得2p =，从而可得答案.【详解】根据抛物线的定义可得4AD AF ==， 又60DAF ∠=︒，所以12AD p AF -=， 所以42p -=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得4AD AF ==是解题关键，属于基础题. 6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）A.23B.25C.35D.910【答案】D 【解析】根据古典概型的概率公式计算出所求事件的对立事件的概率，再用对立事件的概率公式即可求出结果.【详解】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A ， 依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件A 所包含的事件数为1， 所以根据古典概型的概率公式可得1()10P A =， 再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为191()11010P A -=-=. 故选：D【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 7.在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ，根据双曲线的定义可得2AC BC a -=，根据余弦定理可得AC =，再根据离心率公式即可求得结果. 【详解】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ， 因为120ABC ∠=︒，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C 所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC+-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以12c a =， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.8.已知函数()=)(>0)f x ωx φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A根据相邻两个最高点的距离为π求出2ω=，可得())f x x ϕ=-，再根据正弦函数的对称轴的性质以及充分不必要条件的概念可得答案. 【详解】依题意得T π=，所以2ππω=，所以2ω=，所以())f x x ϕ=-，当3x π=，6π=ϕ时，())36f x ππ=⨯-2π==，所以()f x 的图象关于直线3x π=对称；当3x π=，76ϕπ=时，7()))362f x πππ=⨯-=-=，此时()f x 的图象也关于直线3x π=对称，所以“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的周期性，对称性，考查了充分不必要条件的概念，属于中档题.9.已知函数222,1,()2ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C对x 进行分类讨论，使得x 与a 分离，再转化为关于x 的函数的最值，进而求出a 的范围. 【详解】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-， 当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln2x yx=+12(1,)e上递减，在12(,)e+∞上递增，所以x e=时，min2222ey e==+，所以2a e≤，综上所述：02a≤≤.故选：C【点睛】本题考查了分离参数法，等价转化思想，分类讨论思想，构造法，考查了由导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了基本不用等式，属于中档题.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，M，N分别是棱AB，1BB的中点，点P在对角线1CA上运动.当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（）A. 线段1CA的三等分点，且靠近点1A B. 线段1CA的中点C. 线段1CA的三等分点，且靠近点C D. 线段1CA的四等分点，且靠近点C 【答案】B将问题转化为动点P到直线MN的距离最小时，确定点P的位置，建立空间直角坐标系，取MN的中点Q，通过坐标运算可知PQ MN⊥，即||PQ是动点P到直线MN的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以A为原点，1,,AB AD AA分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334z z =-+所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+所以当12c =时，||PQ 6P 为线段1CA 的中点， 由于2||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若复数21iz =+，则||z =________. 【答案】2根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i==+22|1|11i ===++. 故答案为：2【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.【答案】 (1). 5 (2). 4根据三视图画出直观图，根据三视图中的数据得到直观图中的数据，再计算可得答案. 【详解】如图所示是三棱锥的直观图：其中AF ⊥平面BCD ，垂足为F ，根据三视图可知，2BE ED ==，2CE EF ==，3AF =，所以BF DF BC CD ====AB AD ===，5AC ===，比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC =， 它的体积为1113424332BCD AF S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1）5 （2）4【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题. 13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动. 【答案】15 【解析】先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案.【详解】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05， 所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为：15【点睛】本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题. 14.已知函数()cos2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是________.【答案】100 【解析】根据三角函数知识，利用n 为奇数时，()0f n =，2n 为奇数时时，()f n n =-，2n为偶数时，()f n n =，可求出1234100,,,,,a a a a a ，再相加即可得到答案.【详解】因为()cos2xf x x π=，所以(1)(3)(5)(101)0f f f f =====，(2)2,(6)6,(10)10,,(98)98f f f f =-=-=-=-，(4)4,(8)8,(12)12,,(100)100f f f f ====，所以12(2)2a a f ===-，34(4)4a a f ===，56(6)6a a f ===-，78(8)8a a f ===，，99100(100)100a a f ===， 所以1234567899100a a a a a a a a a a +++++++++2[(2)(4)(6)(8)(100)]f f f f f =+++++2(24681012100)=-+-+-+-+2252100=⨯⨯=.故答案为： 100【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前n 项和，考查了分组求和，属于基础题.15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①②【解析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①正确；1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y =±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点(22A ，()22B -，(22C --，22D -， 依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4C π时，535a【分析】（1）利用正弦定理边化角得sin cos()6B Bπ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得sin()03Bπ，再根据角的范围可得结果；（2）若选①7b =，根据余弦定理可得结果；若选②4C π，先求出sin A ，再根据正弦定理可得结果.【详解】（1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a b A B=， 所以sin sin sin cos()6B A A Bπ. 又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin3434A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 622，解得535a . 所以535a. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（1）求证：1AB CC ⊥；（2）求二面角1D AC C --的余弦值； （3）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F ，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）13（3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行；详见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面ABC ⊥平面11ACC A 和1CC AC ⊥得1CC ⊥平面ABC .，得1AB CC ⊥； （2）以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，根据两个半平面的法向量可求得结果； （3）根据平面1AC D 的法向量与向量1A E 不垂直可得结论.【详解】（1）证明：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1CC AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以1CC ⊥平面ABC 又因为AB平面ABC ，所以1AB CC ⊥.（2）由（1）知，1CC AB ⊥，11//AA CC ，所以1AA AB ⊥. 又4AB =，12AC AA ==，25BC =， 所以222AB AC BC +=.所以AC AB ⊥.如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A .则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ， 平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =. 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD，1(0,2,2)AC ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则2z =-，2y =.所以(1,2,2)v.设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |||||133u v u v . 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13. （3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下： 由（2）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v ，1(4,1,0)A E，所以120A E v，所以1A E 与平面1AC D 不平行.又因为1A E ⊂平面1A EF ， 所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题.18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X 的分布列和数学期望； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由. 【答案】（1）1920（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过0.5，理由见解析 【解析】（1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案；（2）可知随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望；（3）根据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人患病，所以患病率为9500.51450<，由此可得答案. 【详解】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=. （2）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =. X 的所有可能的取值为0，1，2，3.0331911(0)()()20208000P X C ==⨯=， 112319157(1)()()20208000P X C ==⨯=，22131911083(2)()()20208000P X C ==⨯=，33031916859(3)()()20208000P X C ==⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望1957()32020E X np ==⨯=. （3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为119990001000990950194010020⨯+⨯=+=，其中患者人数为950. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=. 所以此人患该疾病的概率未超过0.5.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；225x y +=（2）直线2l 与椭圆C 相切，详见解析【解析】（1）根据圆O 过点(1,2)可得圆O 的方程为：225x y +=，根据过点(0,)b 且斜率为1的直线过点(1,2)，可得1b =，可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，将其代入椭圆方程可得椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=，设直线1l ：00()y y k x x -=-，将其代入2214x y +=，得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，利用判别式为0，可得2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=，设直线2l ：001()y y x x k-=--，将其代入2214x y +=，利用判别式为0可证直线2l 与椭圆C 相切. 【详解】（1）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=. 因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，所以22283()()5511a --+=，解得24a =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）直线2l 与椭圆C 相切.理由如下：设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=. 依题意，设直线1l ：00()y y k x x -=-.由220044,()x y y kx y kx ⎧+=⎨=+-⎩得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以2220000[8()]4(14)[4()4]0k y kx k y kx ∆=--+--=.所以220014()k y kx +=-.所以2220000(4)2(1)0x k x y k y -++-=.因为22005x y +=，所以220041x y -=-.所以2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=.设直线2l ：001()y y x x k-=--， 由220044,1()x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得220000248(1)()4()40x x x y x y k k k k +-+++-=. 则222100001116[(4)()2()(1)]x x y y k k ∆=--+-+-2220000216[(4)2(1)]x kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]y kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]0y k kx y y k =--++-=.所以直线2l 与椭圆C 相切.【点睛】本题考查了由椭圆上点的坐标求椭圆方程，考查了由圆上的点的坐标求圆的方差，考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了运算求解能力，利用判别式为0是解题关键，属于中档题.20.已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【答案】（1）320x y -+=（2）()f x 有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析 【解析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据单调性和零点存在性定理可得()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上各有唯一一个零点，由此可得答案；（3）根据导数的几何意义求出曲线xy e =在点00(,)xx e 处的切线为0000e e e x x x y x x =-+，设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，根据导数的几何意义求出切线方程为00e 1x y x x =--，根据0x 是()f x 的一个零点，可证两条切线重合.【详解】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e x x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x x x x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合 所以结论成立.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数研究函数的单调性，考查了利用零点存在性判断零点个数，属于中档题. 21.设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤.若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T .（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）.求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列.【答案】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T （2）n 的最小值为10（3）证明见解析 【解析】（1）47a =不满足存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，故数列1A 不具有性质T ；根据定义可知数列2A 具有性质T ；（2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥，再验证可知9n =时，数列A 不具有性质T ，10n =时，数列A 具有性质T ，从而可知n 的最小值为10；（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.【详解】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T . （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥.若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥.同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =.同理，有567816,32,64,128a a a a ====. 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T . 所以10n ≥.当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A .（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T . 所以，n 的最小值为10.（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉.否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -：当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列.（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<.令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=⊆.由假设，对任意1,2,,336i =，3371i a a S -∉，所以234516N S S S S S ⊆.（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从21S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<.令集合628{|1,2,,67}i N b i b S ==-⊆.由假设682i b b S -∉.对任意1,2,,68k =，存{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-.所以对任意1,2,,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉，所以23456N S S S S ⊆.（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<.令集合137{|1,2,,16}i N c c i S -==⊆.由假设173i c c S -∉.对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k t k c b b =-.所以对任意1,2,,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉，所以17123i c c S S S -∉，所以3456N S S S ⊆.（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从34S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则6456{|1,2,,5}i d d i S S N -⊆==.（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=⊆.（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/. 同上可知，1245123S S S e e S S -∈/，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证.【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于难题.。
朝阳区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 3．>e e a b>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同(第4题图)（注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=L ______．月23415689 10 7111258(第7题图)正视图侧视图俯视图11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2020学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 22x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n ． 所以二面角P AM B --9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-u u u r ，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥u u u rn ． 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e <e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x +=，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=．显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分。
2017年北京市朝阳区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝（）A．4B．8C．12D．164．（5分）给出如下命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件；③（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项是第五项．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．166．（5分）已知函数若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（）A．（24，25）B．（18，24）C．（21，24）D．（18，25）7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A．B．C．D．8．（5分）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（）A．可能有两支队伍得分都是18分B．各支队伍得分总和为180分C．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．10．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S6＝51，a1+a9＝26，则数列{a n}的公差d＝，通项公式为．12．（5分）在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为；曲线C2的方程为（t为参数），则C2被C1截得的弦长为．13．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．16．（13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，E为AD的中点，P A⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，P A＝AE＝BE＝2，CD＝1．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）++2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．19．（14分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．2017年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；又x∈Z；∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝1×2+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：输入m＝4，n＝6，i＝0，则i＝1，a＝4，a不能被n整除，i＝2，a＝8，a不能被n整除，i＝3，a＝12，a能被n整除，输出a＝12，故选：C．4．（5分）给出如下命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件；③（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项是第五项．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：对于①，若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错；对于②，A＞B⇒a＞b，由正弦定理知，2R sin A＞2R sin B⇒，∴sin A＞sin B，反之成立，故正确；对于③，展开式有9项，则最中间一项的二项式系数最大二项式系数最大的项是第五项．故正确．故选：B．5．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．16【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x＝﹣2，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y＝（x﹣2），由，可得A点坐标为（﹣2，4），∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|P A|＝6﹣（﹣2）＝8，故选：C．6．（5分）已知函数若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（）A．（24，25）B．（18，24）C．（21，24）D．（18，25）【解答】解：先画出函数的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），而﹣log4a＝log4b，即有log4a+log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd，由c+d＝10，可得cd＜（）2＝25，且cd＝c（10﹣c）＝﹣（c﹣5）2+25，当c＝4时，d＝6，cd＝24，但此时b，c相等，故ab的范围为（24，25）．故选：A．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该四棱锥的底面是正视图中的梯形，面积为＝，故选：D．8．（5分）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（）A．可能有两支队伍得分都是18分B．各支队伍得分总和为180分C．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个【解答】解：设每支队伍胜x场，负y场，平z场（x，y，z都是不大于9的自然数），则x+y+z＝9，且最终得分为n＝2x+z；对于A，某支队伍得分18分为满分，也就是胜了9场，那么其他9队至少有一次负，就不可能再得18分，故错误；对于B，总共要进行＝45场比赛，每场比赛的得分和都是2分，最后总得分＝45×2＝90分，故错误；对于C，最高得分可能超过10分，比如A中可能为18分，故错误；对于D，由B可知，各个队伍得分总和m1+m2+…+m10＝90，这10个数中，若有（2k+1）个偶数，则有10﹣（2k+1）＝（9﹣2k）个奇数，其和必为奇数，不可能等于90，∴这10个数中，有偶数个偶数，正确．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：复数＝＝1﹣i在复平面内对应的点的坐标（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．10．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S6＝51，a1+a9＝26，则数列{a n}的公差d＝3，通项公式为a n＝3n﹣2．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．S6＝51，a1+a9＝26，∴，解得a1＝1，d＝3，∴a n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．故答案为：3，a n＝3n﹣2．12．（5分）在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0；曲线C2的方程为（t为参数），则C2被C1截得的弦长为．【解答】解：直线C1的极坐标方程为，即ρsinθ+ρcosθ＝2，∴直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，曲线C2的方程为（t为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，圆心到直线的距离d＝，∴C2被C1截得的弦长为2＝，故答案为x+y﹣2＝0，．13．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则＝36．【解答】解：由图可知，∠B2AC3＝30°，又∠AC2B2＝60°，∴⊥，又∥，∴⊥，∴•＝0；∴＝•[（+）+（+）]＝•+•m+•+•n＝2•＝2×2×6×cos30°＝36．故答案为：36．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于．其中所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|＝，∴|xy|+x+y﹣1＝0，若xy＞0，则xy+x+y+1＝2，即（x+1）（y+1）＝2，∴y＝，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支；若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1＝0，即（x﹣1）（y﹣1）＝0，∴x＝1（y＜0）或y＝1（x＜0）．函数的图象如图所示：∴曲线C关于直线y＝x对称；点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；曲线C与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于．∴所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：由，＝，＝，＝，…（5分）（Ⅰ）又因为函数f（x）的最小正周期为T＝，∴．解得：ω＝2．…（7分）（Ⅱ）令，解得：，∴．∴函数f（x）的单调递减区间是．…（13分）16．（13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为，女员工的人数为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．根据题意，，，．随机变量X的分布列是：数学期望．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，E为AD的中点，P A⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，P A＝AE＝BE＝2，CD＝1．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以P A⊥平面ABCD．所以P A⊥CD．又因为BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面P AD．因为CD⊂平面PCD，所以平面P AD⊥平面PCD．…（4分）（Ⅱ）作Ez⊥AD，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．所以，，．设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），所以即令y＝1，解得＝（2，1，3）．设平面PBE的法向量为＝（a，b，c），所以即令b＝1，解得＝（0，1，1）．所以cos＜＞＝．由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“”．因为，设，λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），．由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为＝（2，1，3），所以．解得．所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）++2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得x＞0，，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；（ⅱ）当a＞0时，由f'（x）＞0，得；由f'（x）＜0，得；所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为＝＝，则g'（x）＝lnx+1﹣x+1＝lnx﹣x+2＝f（x）+3．由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．又因为＝，g'（1）＝1＞0，所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1．又在（0，x1）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x1）上单调递减；在（x1，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x1，1）上单调递增．所以x1为极值点，此时m＝0．又g'（3）＝ln3﹣1＞0，g'（4）＝2ln2﹣2＜0，所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2．又在（3，x2）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x2）上单调递增；在（x2，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x2，4）上单调递减．所以x2为极值点，此时m＝3．综上所述，m＝0或m＝3．19．（14分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知b＝1，椭圆的离心率e＝，即．解得：a2＝3．即．∴．∴椭圆C的方程为，焦点坐标为．…（4分）（Ⅱ）由，整理得（m2+3）y2+2my﹣2＝0，显然m∈R，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，E1（3，y1），F1（3，y2），∵＝＝＝＝，又∵＝，＝+，＝＝．∴．…（14分）20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．…（3分）（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．（ⅱ）如果M为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数，当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“和谐集”．当n＝5时，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得a1＝a2，矛盾．因此当n＝5时，集合A一定不是“和谐集”．当n＝7时，设A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，所以集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．集合A中元素个数n的最小值是7．…（13分）。
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题
北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =U （ ） A ．{}3 B ．{}1,3 C ．{}1,2,3,5 D ．{}1,2,3,4,5 （2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．2log y x =D ．||2x y = （3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为A ．21-B ．11C ．31D ．63（4）如图，在ABC △中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ．若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(,)x y ∈R ，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．13（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D ．若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）EDCB AA ．23 B ．25 C ．35 D ．910（7）在ABC △中，AB BC =，120ABC ∠=︒．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ） A．2B．2 C．12D（8）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6πϕ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,-∞ B ．3[0,]2C ．[0,2] D．[0,（10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当PMN △的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点CPM NA BC DD 1C 1B 1A 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数21z i=+，则||z =________． （12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为 ．（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05．为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． （14）已知函数()cos2xf x x π=．数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n ∈N ），则数列{}n a 的前100项和是________．（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．俯视正（主）侧（左）32 2 2 2注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题14分）在ABC △中，sin cos()6πb A a B =-． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若5c =， ．求a ． 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（Ⅰ）求证：1AB CC ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AC C --的余弦值；（Ⅲ）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F =，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由．0A BB 1ECC 1A 1DF某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）．过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由．已知函数()11e xx x f x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )xx 处的切线也是曲线ln y x =的切线．（21）（本小题14分）设数列12:,,,n A a a a L （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤L ．若对任意{3,4,,}k n ∈L ，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（Ⅰ）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值；（Ⅲ）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==L U U U U U ，且i j S S =∅I （任意,{1,2,,6}i j ∈L ，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案2020.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin34344ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以a =（17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r．设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r，又(2,0,1)AD =u u u r，1(0,2,2)AC =u u u u r ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-r．设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯r rr r ． 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r，1(4,1,0)A E =-u u u r ， 所以120A E v ⋅=≠u u u r r ，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=． 因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100*********x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k ⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1x x f x e x +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=．（Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ． 因为22()0(1)x f x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ．综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线x y e =在点()00,x x e 处的切线方程为()000x x y e e x x -=-，即0000x x x y e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ， 则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001x x y x e x e ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()00000000011111x x x x x e e e x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =„，4328a a 剟，…，872128a a 剟， 所以9n …． 若9n =，因为9200a =且982a a „，所以8128100a 厖． 同理，76450a 厖，63225a 厖，51612.5a 厖，48 6.25a 厖，34 3.125a 厖． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a 厖， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =．此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <剟使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n …． 当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一）经验证，此数列具有性质T ．所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =L 都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a L ，且12337a a a <<<L ．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆L ．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉L ，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃． （ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b L ，且8162b b b <<<L ．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆L ．由假设682i b b S -∉．对任意1,2,,68k =L ，存在{1,2,,336}k s ∈L 使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =L ，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃，所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c L ，且1217c c c <<<L ．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆L ．由假设173i c c S -∉．对任意1,2,,17k =L ，存在{1,2,,67}k t ∈L 使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =L ，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃，所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d L ， 且126d d d <<<L ，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃L ． （ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素， 不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
北京市朝阳区2020届高三第一学期期末质量检测数学(理)试卷及答案.doc
北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb cdaca cbD C BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2020.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACBB 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2020 朝阳一模(答案版)
北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案 2020.04第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin3434ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以52a =． （17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =． 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD =，1(0,2,2)AC =，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-． 设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯．由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-，1(4,1,0)A E =-， 所以120A E v ⋅=≠，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切， 所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=．因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100001116421x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1xx f x ex +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=． （Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ．因为22()0(1)xf x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线xy e =在点()00,x x e处的切线方程为()000x x y ee x x -=-，即0000x x xy e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ，则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001xx y x e x e ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()0000000011111xx x x x e ee x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分 （21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =，4328a a ，…，872128a a ， 所以9n ．若9n =，因为9200a =且982a a ，所以8128100a ．同理，76450a ，63225a ，51612.5a ，48 6.25a ，34 3.125a ． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a ， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =． 此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ．当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃．（ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且8162b b b <<<．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆．由假设682i b b S -∉． 对任意1,2,,68k =，存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃， 所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆．由假设173i c c S -∉． 对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃， 所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃．（ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃， 而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
北京市朝阳区2017届高三第一次(3月)综合练习数学(理)试题Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试(理工类) 2017.3
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项•
已知集合 A ={x| —1 _x ：：：3} , B ={x 二Z |x 2 ：：：4}，则 A B =
其中正确的是
直线AF 的斜率为3，贝U PF
(A) 4 3
(B) (C ) 8 (D) 16 (6)已知函数f (x) =F °g 2 x -10x 25, x 4.
0：“x ，4,若a ,b ,c ,d 是互不相同的正数，且 (1) (2) (3) (A) (C ) {0,1}
{-1,0,1,2}
(B) (D) 2x_y ,y 满足x y 三3,则2x y 的最大值为
x > 0,
(A) 0
(C ) 4 {—1,0,1} {-2,_1,0,1,2}
(B) (D)
执行如图所示的程序框图，若输入
m = 4 , n =6 ,则输出 (A) 4
(B) 8 (C ) 12
(D) 16
给出如下命题: ①若p A q”为假命题，则p, q 均为假命题;
②在△ ABC 中，’A > B ”是SinA > sin B”的充要条件;
③(1
X )8的展开式中二项式系数最大的项是第五项
(A )①② (B )②③ (C )①③
(D )①②③ (5)设抛物线y 2 =8x 的焦点为F ，准线为
P 为抛物线上一点, PA —丨,A 为垂足•若。
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2020届北京市朝阳区2017级高三5月一模模拟考试
数学试卷2020.4
★祝考试顺利★
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交
回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求
的一项。
（1）已知集合{}1,3,5A =,{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ,则A B =U
（A ）{}3
（B ）{}1,3
（C ）{}1,2,3,5
（D ）{}1,2,3,4,5
（2）下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是
（A ）3y x = （B ）21y x =-+ （C ）2log y x = （D ）||2x y = （3）在等比数列{}n a 中,11a =,48a =-,则{}n a 的前6项和为
（A ）21- （B ） 11 （C ） 31 （D ）63
（4）如图,在△ABC 中,点D ,E 满足2BC BD =u u u r u u u r ,3CA CE =u u u r u u u r
．若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (,)x y ∈R ,则
x y +=
（A ）12-
（B ）1
3-
（C ） 1
2
（D ） 1
3
（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点A 是抛物线C 上一点,AD l ⊥于
E
D C
B A
（第4题图）
D .若4AF =,60DAF ∠=︒,则抛物线C 的方程为
（A ）28y x = （B ） 24y x = （C ）22y x = （D ）2y x = （6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校要从中随机选取3种作为教师“停
课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ） 23
（B ）
25 （C ） 35 （D ） 9
10
（7）在△ABC 中,BC AB =,︒=∠120ABC ．若以A ,B 为焦点的双曲线经过点C ,则该双曲线的
离心率为 （A ）
2
5
（B ）
27
（C
）12
（D
（8
）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π,则“6
ϕπ
=
”是“()f x 的图象关于直线3
x π=对称”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）已知函数222,1,
()2ln ,
1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的不等式()2a f x ≥在R 上恒成立,则实数a 的
取值范围为
（A
）(,-∞ （B ）3
[0,]2
（C ）[0,2] （D
）[0,
（10）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是棱AB ,1BB 的中点,点P 在对角线1CA 上
运动．当△PMN 的面积取得最小值时,点P 的位
置是
（A ）线段1CA 的三等分点,且靠近点1A
（B ）线段1CA 的中点
（C ）线段1CA 的三等分点,且靠近点C （D ）线段1CA 的四等分点,且靠近点C
第二部分（非选择题 共110分）
P
M
N
A B C
D
D 1
C 1
B 1
A 1
（第10题图）。