九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系重热点突破课件 (新版)北师大版
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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:
北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
解：过点 A 作 AM⊥EF 于 M，过点 C 作 CN⊥EF 于 N，∴MN＝0.25 m，∵∠EAM＝45°， ∴AM＝ME，设 AM＝ME＝x m，则 CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25)m，∵∠ECN＝30°，∴tan ∠ECN＝CENN＝x－x＋0.625＝ 33，解得：x≈8.8，则 EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆 的高 EF 为 10.3 m
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
度北师大版九年级数学下册1.1第2课时正弦和余弦课件(共21张)
课堂小测
•1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是
（）
•A
•A.
B.
C.
D.
B 【解析】由正弦的定义可得 ,
A
C
.
课堂小测
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( •C)
A.
B. 2 C.
D.
【解析】由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，
课堂小测
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cos
，
BC=10，则AB的值是（ C ）
• A．9 B．8 C．6 D．3
•提示：先利用余弦求出AC的长度，再利用勾股定理，求出AB的长度即可.
课堂小测
•4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（B ）
B
•斜
边
•∠A的对
•┌边
A •∠A的邻 C
边
•即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
课堂小结
•在定义中应该注意的几个问题: •(1) sin A,cos A,tan A 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构 •造直角三角形) . •(2)sin A,cos A,tan A 是三个完整的符号,表示∠A的正弦,余弦,正切,习惯省去 •“∠”这个符号. •(3)sin A,cos A,tan A 都是比值.注意比的顺序,且sin A,cos A,tan A 均大于0,无 •单位. •(4)sin A,cos A,tan A 的值只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长大小无 •关.
A
5
5
B 6D
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起第1课时课件北师大版
所以AB= a·tanα
4.（晋江·中考）如图，BAC 位于6×6的方格纸中，
则 tan BAC ＝
.
B
D
A EC
【解析】设小正方形的边长为1.取AB与格点的交 点为D,AC与格点的交点为E，则
tan BAC ＝ DE 3 .
AE 2
答案： 3 2
5.（眉山·中考）如图，在一次数学课外实践活动中， 要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪 CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前 进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这 幢教学楼的高度AB．
2.如果改变∠A 的大小,
A
∠A的对边与邻边的比值会C2C1随之改变吗?
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
【定义】 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对
边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A B 的正切.记作tan A 即
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
A ∠A的邻边
C
【议一议】 梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? tanA的值越大,梯子AB1越陡.
B1 B2
A
C2
C1
【跟踪训练】
一. 判断：
1. 如图 (1) tan A BC ( 错 ).
B
AC
2．如图 (2) tan A BC AB
3．如图 (2) tan B 10 7
4．如图 (2)tan A AC BC
C
B C
┌ DB
【例题】
例1：下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
6m ┐ 8m α
13m β
(甲)
(乙)
【解析】甲梯中, tan 6 3 .
4.（晋江·中考）如图，BAC 位于6×6的方格纸中，
则 tan BAC ＝
.
B
D
A EC
【解析】设小正方形的边长为1.取AB与格点的交 点为D,AC与格点的交点为E，则
tan BAC ＝ DE 3 .
AE 2
答案： 3 2
5.（眉山·中考）如图，在一次数学课外实践活动中， 要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪 CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前 进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这 幢教学楼的高度AB．
2.如果改变∠A 的大小,
A
∠A的对边与邻边的比值会C2C1随之改变吗?
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
【定义】 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对
边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A B 的正切.记作tan A 即
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
A ∠A的邻边
C
【议一议】 梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? tanA的值越大,梯子AB1越陡.
B1 B2
A
C2
C1
【跟踪训练】
一. 判断：
1. 如图 (1) tan A BC ( 错 ).
B
AC
2．如图 (2) tan A BC AB
3．如图 (2) tan B 10 7
4．如图 (2)tan A AC BC
C
B C
┌ DB
【例题】
例1：下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
6m ┐ 8m α
13m β
(甲)
(乙)
【解析】甲梯中, tan 6 3 .
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数(一)课件
对点范例
C
典型例题
【例1】（课本P4随堂练习）如图X1-1-3，△ABC是等腰三角形， 你能根据图中所给数据求出tan C吗？
思路点拨：先.
举一反三
5. 如图X1-1-4，在等腰三角形ABC中，请根据图中所给数据求 出tan B.
第一章 直角三角形的边角关系
第1课时 锐角三角函数（一）
目录
01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例
04 典型例题 05 举一反三 06 创新设计
温故知新 （限时3分钟）
1.若一个直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长为20，则这个
三角形的较短直角边的长是( A )
A.12
B.16
C.20
D.15
D
知识重点
知识点一：正切的定义 如图X1-1-1，在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻 边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tan A,即 tan
A=__________=__________.
对点范例
D
知识重点
知识点二:坡度 坡面的____铅__直______高度与____水__平______宽度的比称为坡度(或 坡比).
典型例题
思路点拨：先根据直角三角形的边角关系求出AC，再根据勾股 定理求出AB.
举一反三
6. 如图X1-1-6，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面 积为27 cm2.求tan B的值.
创新设计
谢谢
北师大版初中九年级下册数学课件第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用PPT模板
CD
解：根据题意可知：BAD 55，CAD 25
tan 550 BD , tan 250 CD ,
x
x
BD x tan 550 ,
CD x tan 250.
B
x tan 550 x0 tan 550 tan 250
20 1.4281 0.4663
α┌
D
C
β
A
翻 折
B
α
D
┌ C
β
A
【课堂小结】
E
B
B
β αA
D
┌
α
CD
β
A
B
B
D aαA β
┌ C
α
D
β
A
翻 折
B
α
D
β
A
【布置作业】
必做：1.课本：P19 想一想 2.课本：P21 习题1.6 4
选做：三角函数在建筑设计、航海、国防、天气预报等方面都有广 泛的应用，请查阅资料，了解“三角学”的发展史及应用.
课堂检测
【快速反应】
为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点P，在河南岸选 相距200米的A、B两点，分别测得∠PAB=42°,∠PBA=65°.要求这段河 的宽度，若设河宽PC为x米，可列方程_________________.
x
【典型例题】 ——建筑应用
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的 400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长 多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所
1
成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水
北师大版九年级数学下册 (三角函数的计算)直角三角形的边角关系教学课件
新课讲解
当缆车继续从点B到达点D时,它又 走过了200m.缆车由点B到点D的行 驶路线与水平面的夹角为∠β=420,由 此你还能计算什么?
新课讲解
为了方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长 的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少?（如下图所示）
∠A是多少度呢？
可以借助于科学计算器.
cosA=0.8607 tanA=0.1890
cos-10.8607=30.60473007 tan-10.1890=10.70265749
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 为单位的结果。
，即键可显示以“度、分、秒”
新课讲解
按键顺序为
，显示结果为：sin-10.25=14.47751219°，
例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米， ∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
讲授新课
(1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． 所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
中考链接
C
中考链接
2. （2017•威海）为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.4 解直角三角形 课件
∵AB＝1，sin B＝
2， 42
2
∴AD＝AB·sin B＝1×
＝
4
. 4
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
∴BC＝ CD BD
30
14
30 14 .
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
A．2 3
B．2 2
C. 11
4
D. 5 5
4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sin A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
则∠A的度数为( D )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（来自《典中点》 ）
知1－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( C ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎 样想的？与同伴进行交流.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿