九年级数学圆周角定理
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
九年级下册数学圆周角定理
九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。
二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。
2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。
3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。
4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。
5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。
6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。
2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。
3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。
4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。
这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。
人教版数学九年级上册24.1.圆周角(教案)
我还注意到，在小组讨论环节，部分学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励这部分学生，我打算在接下来的课程中，多设置一些开放性问题，并给予他们更多的鼓励和支持，帮助他们建立自信，积极参与到课堂讨论中来。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、圆周角定理及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-在证明圆周角定理时，引导学生关注半径、弦、圆心角之间的数量关系，明确证明过程中的关键步骤。
-结合实际例子，如圆桌的周长、圆形花坛的面积等，让学生学会运用圆周角知识解决生活中的问题。
2.教学难点
-理解并运用圆周角定理：学生需要掌握圆周角定理的推导过程，以及如何将其应用于解题。
-解决与圆周角相关的实际问题：学生需要将理论运用于实际，找出问题中的圆周角关系，并解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的定义及其性质：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其应用。
-圆周角定理的证明：掌握证明圆周角定理的过程，理解其中的逻辑推理和几何关系。
-圆周角在实际问题中的应用：学会将圆周角知识应用于解决实际问题，如求弧长、圆面积等。
举例解释：
九年级上册数学圆弧的定理及推导过程
九年级上册数学圆弧的定理及推导过程数学中的圆弧定理是指圆周角的性质和相关推导过程。
圆周角是指以圆心为顶点的角，它的顶点在圆上，两边则是圆上的弧。
一、圆周角的性质：1.一个角的度数等于它所对的弧的度数；2.同样角所对的弧长相等；3.同样圆心角所对的弧长与圆的半径成正比；4.同样圆心角所对的弧长与与之所对的弧长成正比。
根据这些性质，可以得出圆弧的定理：二、定理1：两个圆心角所对的弧长比等于这两个角的比值。
推导过程：假设有两个圆，对应的圆心角是A和B，对应的弧长是a和b，根据圆周角的性质2和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，对应的弧长比等于两个圆心角的比值。
这就是圆弧的定理1。
三、定理2：在同一条弦上的两个圆心角，它们所对的弧长的比等于这两个角的比值。
推导过程：假设有两个圆，它们的圆心角是A和B，它们所对的弧长是a和b，它们之间的弦是CD，根据圆周角的性质3和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，在同一条弦上的两个圆心角所对的弧长的比等于这两个角的比值。
这就是圆弧的定理2。
四、定理3：位于同一个圆上，且顶点相同的两个圆心角，它们所对的弧长的比等于这两个角的比值。
推导过程：假设有一个圆，它上面的两个圆心角是A和B，它们所对的弧长是a和b，根据圆周角的性质2和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，在同一个圆上、且顶点相同的两个圆心角所对的弧长的比等于这两个角的比值。
这就是圆弧的定理3。
五、定理4：一个角是其对应的弧长的两倍。
推导过程：假设有一个圆，它上面的圆心角是A，所对的弧长是a，根据圆周角的性质1可得：∠A = 2a即，一个角是其对应的弧长的两倍。
这就是圆弧的定理4。
通过以上的圆弧定理及推导过程，可以更好地理解圆周角和弧长之间的关系，应用它们来解决相关的几何问题。
在实际问题中，圆弧定理可以帮助我们计算弧长、角度等内容，提供了更多的解题方法和思路。
人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论
人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
九年级数学上册《圆周角的概念及定理》PPT
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样探究圆周角定理的？在证明过程 中用到了哪些思想方法？
布置作业
教科书第 88 页 练习第 2，3 题．
证明：∵ OA=OC，
A
∴ ∠A=∠C ．
O
又∵∠BOC=∠A+∠C，
B ∴ BAC 1 BOC．
C
2
小组展示
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它
所对的圆心角的一半？
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴ BAD 1 BOD．
九年级 上册
24.1.4 圆周角的定义及定理
导入
复习： 1、圆心角的定义 2、弧、弦、圆心角的关系
学习目标
1.理解圆周角的定义 ，且会判断一个角是否是圆周角 ； 2.了解并证明圆周角定理； 3.经历圆周角定理的证明过程，进一步体会分类讨论、 转化的思想方法．
自主学习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
ACB 1 AOB 2
同弧所对的圆周角等于这条弧 所对的圆心角的一半
O
A
B
合作Байду номын сангаас究
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
小组展示
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学 们自己完成证明．
（2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？
2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)
知识点 1 圆周角
感悟新知
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角叫做圆周角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别解读 圆周角必须满足两个条件： 1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
2. 圆心角与圆周角的区别与联系
感悟新知
名称 关系
圆心角
圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所 对的圆心角只有唯一
一个
特别提醒
感悟新知
1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四 边形的对角互补”，可以转化为求其内接四边形的 对角的度数.
2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弧 所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等 的弧所对的圆周角相等或互补.
结构导图
课堂小结
圆周角
概念
圆周角定理的推论 圆周角定理 圆内接四边形的性质
感悟新知
2. 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种类型，一类是劣弧所 对的圆周角，是一个锐角；另一类是优弧所对的圆周角， 是一个钝角. 如图2.4-4，弦AB所对的圆周角是∠ACB与 ∠ADB，它们分别是A⌒B所对的圆周角和 A⌒CB所对的圆周角.
特别提醒
感悟新知
1. 一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对 的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题 时，也可以直接作为定理加以应用.
∴ OB＝12BC．∵ OB＝2， ∴ BC＝2OB＝4．∴⊙A的半径为2．
方法点拨
感悟新知
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直 径的常用方法．特别是在平面直角坐标系中， 当圆经过坐标原点O 时，连接圆与两坐标轴的 交点，得到的弦是直径．
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
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圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。
2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。
（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。
知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。
因为一条弦所对的弧有两段。
2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。
（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。
（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。
OEDA BC OABCCBAO5、如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB＋∠AOB＝60°。
（1）求∠AOB的度数；（2）若AE＝1，求BC的长。
【课堂练习】1、如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是。
（第1题）（第2题）2、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝2∠4；③∠3＋∠5＝180°。
其中正确的是（）A．①③ B．①②C．①②③D．②③3、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC。
（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数。
4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF。
（1）求证：∠1＝∠F；（2）若CD＝3，EF＝52，求⊙O的半径长。
知识点二圆内接三角形、四边形【知识梳理】1、圆内接三角形定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
性质：（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
注意：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。
2、圆内接四边形定义：四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即外角等于内对角。
注意：圆的内接四边形的性质可以由同一条对角线（同一条弦）所对的两种圆周角互补得到。
【例题精讲二】例2.1、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，C 是劣弧BD 的中点，延长DA 到E 点。
已知∠COD ＝70°，则∠BAE 的度数是（ ） A ．100°B ．110°C ．120°D ．140°（第1题） （第2题）2、如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，45AB AC ==，BC ＝8，则⊙O 的半径为 。
3、如图，OA ＝OB ，点 A 的坐标是（﹣2，0），OB 与 x 轴正方向夹角为 60°，则过 A 、O 、B 三点的圆的圆心坐标是 。
（第3题） （第4题）4、如图，点 A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，求∠OAD ＋∠OCD 的度数。
5、如图，已知 A、B、C、D 是⊙O上的四点，延长 DC、AB 相交于点 E。
若BC＝BE。
求证：△ADE 是等腰三角形。
【课堂练习】1、如图，△ABC内接于圆⊙O，∠B＝∠OAC，OA＝8 cm，则AC＝cm。
（第1题）（第2题）2、如图，四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形，连接 AC、BO，已知∠CAB＝36°，∠ABO＝30°，则∠D＝。
3、如图，△ABC 的外心坐标是。
（第3题）（第4题）（第5题）4、如图，⊙O 的半径为 4，点 A、B、C 在⊙O 上，且∠ACB＝45°，则弦 AB 的长是。
5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO 的度数为。
6、如图，∠DAE 是⊙O 的内接四边形 ABCD 的一个外角，且∠DAE＝∠DAC。
求证：DB＝DC。
知识点三弧、弦、圆心角转化【知识梳理】1、弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
注意：因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
【例题精讲三】例3.1、如图，已知四边形ABCD是矩形，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，过点E作EF⊥DC于点F。
若DF＝EF＝10，AB＝3AE，则矩形ABCD中AD的长度为。
（例3—1）（例3—2）2、如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 在⊙O 上，AD＝CD。
若∠DAB＝58°，则∠CAB＝。
3、如图，在⊙O中，AB 是直径，C、D 是圆上两点，使得 AD＝BC。
求证：AC＝BD。
4、如图，⊙O中，弦 AD＝BC。
（1）求证：AC＝BD；（2）若∠D＝60°，⊙ O 的半径为 2，求AB的长。
【课堂练习】1、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是。
（第1题）（第2题）2、如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC中点D，则AB长为（）A．215B．415C．8D．103、如图，⊙O 是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D 为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接 BD、CD。
（1）求证：BD 平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：四边形 OBCD 是菱形。
4、已知△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 为BC上一点（与点 B、C 不重合）。
（1）如果点 P 是弧 BC 的中点，求证：PB＋PC＝PA；（2）如果点 P 在BC上移动，（1）的结论还成立吗？请说明理由。
1、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2、下列说法：其中正确的个数有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3、如图，AB、CD 都是⊙O的弦，且 AB⊥CD。
若∠CDB＝62°，则∠ACD 的大小为（）A．28° B．31° C．38°D．62°（第3题）（第4题）（第5题）4、如图，在坐标平面内，Rt△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°，AB 垂直于x 轴，M 为 Rt△ABC 的外心。
若A 点坐标为（3，4），M 点坐标为（﹣1，1），则B 点坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）5、如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，∠B＝50°，则下列判断不正确的是（）A．∠ACB＝90° B．AC＝2CD C．∠DAB＝65° D．∠DAB＋∠DCB＝180°6、如图，已知经过原点的⊙P与 x、y 轴分别交于 A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝。
（第6题）（第7题）7、如图，半径为5的⊙A中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD ＝180°，则弦 BC 的长为。
8、如图，在⊙O 中，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°，则∠BAC＝。
（第8题）（第9题）9、如图，AB 是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交⊙O于点 D，点 E 在⊙O上。
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB 的度数；（2）若 OC＝3，∠A＝30°，求 AB 的长。
10、如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BOD＝80°，求∠BAD 和∠BCD的度数。
11、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD。
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。
12、高致病性禽流感是比SARS病毒传播速度更快的传染病.若疫点O处发生疫情，为防止蔓延，规定离疫点3 km 范围内为捕杀区，应杀死所有禽类，离疫点3km至5km范围内为免疫区，所有禽类强制免疫，同时对捕杀区与免疫区的村庄、道路封闭管理。
现有一笔直公路AB通过禽流感疫区，如图所示，捕杀区内公路CD长4 km，则公路在免疫区的路程有多长？。