2020届湖南省长沙市一中2017级高三第一次月考数学(理)试卷及解析
湖南省长沙一中2017届高三上学期月考数学试卷理科5 含
2016-2017学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，若复数z满足（3﹣4i）z=1+2i，则z的共轭复数是（）A． B．C． D．2．已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）3．下列命题中，为真命题的是（）A．∃x0∈R，使得B．C．∀x∈R，2x＞x2D．若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0 4．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=6．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt．假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为（）A．5 B．8 C．9 D．107．已知函数f（x）=是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．α=，β=﹣B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．12πD．π9．已知P是△ABC所在平面内一点，满足++2=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．10．设实数x，y满足，则的取值范围为（）A． B．C．D．11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设n=10sinxdx，则（﹣）n展开式中的常数项为（用数字作答）14．已知向量，满足||=2，（）=﹣3，则向量在方向上的投影为．15．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是．16．数列{a n}满足，对任意n∈N*，，则的整数部分是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+d19．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由．20．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣3|+ax﹣6（a是常数，a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，若复数z满足（3﹣4i）z=1+2i，则z的共轭复数是（）A． B．C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3﹣4i）z=1+2i，得=，∴．故选：C．2．已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），故选：B．3．下列命题中，为真命题的是（）A．∃x0∈R，使得B．C．∀x∈R，2x＞x2D．若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，则D 正确；故选：D．4．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B ＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．故选：C．5．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M 是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：B．6．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt．假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为（）A．5 B．8 C．9 D．10【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k ﹣5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n=a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k﹣5=5分钟，即m=5．故选A．7．已知函数f（x）=是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．α=，β=﹣B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（﹣x+β）=sin（x+﹣β），…②，选项代入验证，所以C正确．故选：C．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．12πD．π【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：D．9．已知P是△ABC所在平面内一点，满足++2=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，=S△ABC此时S△APC故黄豆落在△APC内的概率为，故选A．10．设实数x，y满足，则的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】函数单调性的性质；简单线性规划．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．故选C．11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故选：A．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设n=10sinxdx，则（﹣）n展开式中的常数项为210（用数字作答）【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，∴展开式中=••=（﹣1）r••，通项T r+1令5﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为=（﹣1）6•==210．T6+1故答案为：210．14．已知向量，满足||=2，（）=﹣3，则向量在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos＜＞，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=﹣=﹣3，∴=1，∴cos＜＞==，∴在方向上的投影为||cos＜＞=．故答案为：．15．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．故答案为：．16．数列{a n}满足，对任意n∈N*，，则的整数部分是2．【考点】数列的求和．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：﹣=﹣，于是=﹣=3﹣．由，a2＜1，a3＜1，a4＞1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：﹣=﹣，∴=﹣﹣﹣…﹣=﹣=3﹣．∵a2==，a3==，a4==＞1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3﹣∈（2，3）．∴的整数部分是2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC ，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB （sinC +cosC ），…∴sin （π﹣B ﹣C ）=sinB （sinC +cosC ）， ∴sin （B +C ）=sinB （sinC +cosC ），… ∴sinBcosC +cosBsinC=sinBsinC +sinBcosC ，… ∴cosBsinC=sinBsinC ，又∵C ∈（0，π），故sinC ≠0，… ∴cosB=sinB ，即tanB=1． … 又∵B ∈（0，π），∴． …（Ⅱ）在△BCD 中，DB=2，DC=1，∴BC 2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD ． …又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC 为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴． …∴当时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为．…18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人． （Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考公式与数据：Χ2=，其中n=a +b +c +d【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解： （Ⅰ）因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为．…19．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点H，连结DH、HF，证明DH⊥平面ABC，证明EF∥DH，然后证明EF⊥平面ABC；（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．求出平面BQE的法向量，平面BAE的法向量，利用二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角，通过向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AB中点H，连结DH、HF，因为在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，所以AD=BD=1，又因为翻折后，所以翻折后AD⊥BD，且△ADB为等腰直角三角形，所以DH⊥AB，因为翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，因为DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，∴AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，又∵HF∥AC，DE∥AC，且，∴DEFH是平行四边形，∴EF∥DH，∴EF⊥平面ABC；…（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），则，，，设平面BQE的法向量为，则由，且，得，取y=1，则，要使AF∥平面BEQ，则须==，所以，即线段AD上存在一点，使得AF∥平面BEQ，…设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取y1=1，则，∴，因为二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角，所以其余弦值为，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q﹣BE﹣A的余弦值为…20．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA•k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|﹣|=．由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣3|+ax﹣6（a是常数，a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时转化不等式f（x）≥0，去掉绝对值，然后求解不等式的解集即可；（Ⅱ）函数y=f（x）恰有两个不同的零点，令f（x）=0，构造函数y=|2x﹣3|，y=﹣ax+6，利用函数的图象推出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣3|+x﹣6=，∴f（x）=|2x﹣3|+x﹣6≥0：化为或，解得x≥3或x≤﹣3．则解集为{x|x≥3或x≤﹣3}．（Ⅱ）由f（x）=0得，|2x﹣3|=﹣ax+6．令y=|2x﹣3|，y=﹣ax+6，作出它们的图象，可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，当﹣2＜a＜2时，函数y=f（x）有两个不同的零点．2017年4月4日。
【湖南省长沙市一中】2017届高三月考数学(理科)试卷(五)-答案
湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）答案1~5．ABDCB 6~10．ACDBA 11~12．CA．13．21014．1 215 16．223,5B ⎛⎫⎪⎝⎭则(0,,BQ t =，(1,EQ =-，(1,AF =-的法向量为(1,,)n t =-0，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(,)n t t =1,，，则须(,n AF t =1,，即线段AD 的法向量为1111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则1(1)n =，1，1，∴11153333cos 1133333n n ++<>===，， Q BE --为锐二面角，所以其余弦值为33上的靠近点D 的一个三等分点）33121211(MA MBy y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．k 221121111111|||1|1|1||22||k MB k k k k k +=++-=0=得2211480)(1k x k x -+= 12)||4)k k + ，解得24k =或湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3﹣4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，则D正确；4．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k﹣5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k﹣5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（﹣x+β）=sin（x+﹣β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（﹣1）r••，令5﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（﹣1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos＜＞，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=﹣=﹣3，∴=1，∴cos＜＞==，∴在方向上的投影为||cos＜＞=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：﹣=﹣，于是=﹣=3﹣．由，a2＜1，a3＜1，a4＞1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：﹣=﹣，∴=﹣﹣﹣…﹣=﹣=3﹣．∵a2==，a3==，a4==＞1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3﹣∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．44（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100 km/h 的车辆的概率为4021005=，X 可取值是0，1，2，3，，有：00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===，22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，则(0BQ =，，(1EQ =-，，(1AF =-，的法向量为(1n t =-，，，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(n t =，1，，则须(n AF t =，1AD 上存在一点的法向量为1111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则1(1)n =，1，1，∴11153333cos 1133333n n ++<>===，，33121211(MA MBy y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．）设直线MA 的斜率为k 1，则直线221121111111|||1|1|1||22||k MB k k k k k +=++-=0=得2211480)(1k x k x -+= 12)||4)k k + ，解得24k =或1故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x 和y=﹣x ．（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．π解得3x ≥或3x ≤- 则解集为3{}3|x x x ≥≤-或（Ⅱ）由()0f x =得，23||6x ax -=-+ 令||236y x y ax =-=-+，，作出它们的图象， 可以知道，当22a -<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，当22a -<<时，函数22a -<<有两个不同的零点．。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)
10．设实数 满足 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若 ，记椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过
100km/h人数
平均车速不超过
100km/h人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若 是直线l与圆面 的公共点，求 的取值范围．
【选修4—5：不等式选讲】
23．已知
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）如果函数 恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
12．已知函数 ，若关于x的方程 有三个不同的实根，则t的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设 ，则 展开式中的常数项为______（用数字作答）
14．已知向量 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为______．
15．若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是______．
16．数列 满足 ，对任意 ， ，则 的整数部分是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)-答案
3320x0(0,)x0x0(),x +∞()u x - 0 + ()g x ' - 0 + ()g x递减最小值递增湖南省长沙一中2017届高三上学期月考数学试卷（理科）（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3-4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥-1或x≤-3，即A=（-∞，-3]∪[-1，+∞），由B中不等式变形得：2x<1=20，即x<0，∴B=（-∞，0），则A∩B=（-∞，-3]∪[-1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2-x+1≥0，则D正确；4．【分析】在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c⇔sinA<sinB<sinC⇔sin2A<sin2B<sin2C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔“cos2A>cos2B>cos2C”．∴在△ABC中，“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n=a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（-x+β）=sin（x+-β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D 为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2-x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5-c，（c<5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a2，即有a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>，即有<c<5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1<<4，则有>．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m<1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=-2，此时由m2+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）<0即可，即1+1+t<0，则t<-2，综上t≤-2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=-10cosx=-10（cos-cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（-1）r••，令5-=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（-1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos<>，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=-=-3，∴=1，∴cos<>==，∴在方向上的投影为||cos<>=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=-令x=0，则f′（0）=-又f（0）=-，则切线方程为y+=-，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a>0，b>0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：-=-，于是=-=3-．由，a2<1，a3<1，a4>1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：-=-，∴=---…-=-=3-．∵a2==，a3==，a4==>1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3-∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．44（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．332．【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g （x ）的导数，构造函数u （x ）=xe x -2m ，求出M ，N 的表达式，构造函数h （x ）=xlnx+-（ln2+1）-1，根据函数的单调性证出结论．2x0(0,)x0x0(),x +∞()u x - 0 + ()g x ' - 0 + ()g x递减最小值递增．【分析】（）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．π。
湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学(理)试题
绝密★启用前湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i试卷第2页，总21页【答案】A 【解析】 【分析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果. 【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<，01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤， ∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+， ∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln xxx -+的图象大致为( )试卷第4页，总21页…………线…………○………………线…………○……A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果. 【详解】∵()(33)ln xxf x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠，()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )○…………线…………○……_○…………线…………○……A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i >【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】程序的功能是计算3571sin3sin5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C 【解析】 【分析】试卷第6页，总21页根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈，∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，∴选项D 错误，故选C. 【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( ) A ．-1 B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可． 【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a = 故选B. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题:①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+；试卷第8页，总21页③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 是周期函数； ⑤函数()f x 的图象是两条平行直线 其中真命题的个数是( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =定义可判断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤． 【详解】 由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1ff x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确； ∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数， ∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有()()f x T f x +=，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( ) A ．53π B ．2π C ．5π D ．203π【答案】A 【解析】 【分析】订…………○…………__考号：___________订…………○…………三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【详解】 如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥ 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为6，则OG ∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为＝2543ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．试卷第10页，总21页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____【答案】14【解析】 【分析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3， 又函数()f x 为奇函数，所以2111111(()((22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____ 【答案】4 【解析】 【分析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可. 【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+. ∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查． 15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学年期月考数学年试题(理科)(五)
cos a A)cos cos A a B =由正弦定理，)cos sin cos A A B =．cos sin cos sin cos C A B A A B -=．cos sin()sin C A A B C =+=．中，sin 0C ≠1π,2A =∠=60，Q 是,PQ BQ Q =∴AD PAD ⊂平面解：（2）APD 平面∴以Q 为原点，(0,0,0),(0,3,0),Q B2(0,3,0),(,333QB QM ==-的法向量(,,)n x y z =323233n QB y n QM x y z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩(3,0,1),n =得BQC 的法向量(0,0,1)n =，M BQ C --°||1,602||||m n m n θ==，BQ C --的大小为60．12540.40.6125=22360.40.6125=；3380.4125=1 3 103,x ＜＜在圆中，M ）2,a b ==1-=0,()F x '＞单调递增，11ln 12x x =∴2ln x ∴-令()H x =22x ρ=+∴C 的极坐标方程为x α，湖南省长沙市2017年高考四县联考理科数学模拟试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（∁U B）．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，所以A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}．故选：A．【点评】本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．2．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．3．【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．4．【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．【解答】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．7．【考点】函数的图像．【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图像的位置后可可排除C答案．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A【点评】本题考查的知识点是函数的图像，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．8．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+++…++的值，用裂项法即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=，满足条件k＜10，k=2，S=+，满足条件k＜10，k=3，S=++，…满足条件k＜10，k=10，S=+++…++=+…+=﹣1，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．9．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14．8，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14．8，则130.0+12d=14．8，解得d=﹣9．6．∴a6=130.0﹣9．6×5=82．0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82．0寸．故选：C．【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由向量减法法则和数量积的运算性质，可得==c，从而得到△PF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此结合，运用勾股定理算出c，c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵=∴，得﹣=0，所以==c∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥∵，∴设，，（λ＞0）得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ= c∴c， c由双曲线的定义，得2a=||= c∴双曲线的离心率为e==故选A【点评】本题给出双曲线上一点P满足∠F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．11．【考点】集合的表示法．【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图像上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图像相交即可．【解答】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图像上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图像相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图像是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图像上的点A，在图像上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图像，在图像上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图像沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图像相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图像过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图像上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图像相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图像的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．【点评】本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图像根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x 所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图像与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题13．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角．【解答】解：∵==∴，∴（+）•（﹣）=﹣2||2，设的夹角为θcosθ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120°故答案为120°【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]14．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r与a的值．【解答】解：（﹣）5展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣a）r••，令=，解得r=1；所以展开式中含x项的系数为：（﹣a）•=30，解得a=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．15．【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．16．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，做出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．18．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．19．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法．【分析】（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值．（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．22．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x﹣a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．。
湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题文
湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题 文时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z A. 1B. 2C. 2D. 52.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A I A. 21|≤≤-x x B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：随机变量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关" D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为 A.0 B.2 C.-2 D.15. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 A.21 B. 22 C. 23 D. 316.若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.函数21)(x exx f -=的图象大致是8.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α 到点B )22,22(-，则=αsin A.462+- B. 462- C.462+ D . 462+- 9. 已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如MOD(13,3) = 1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.510.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:0822=-++m x y x 与直线012=++y x 相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为A. 11B. 12C.-11D.-1211. 设椭圆C ：)0>,0>(12222b a by a x =+的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为A. 13422=+y xB. 13622=+y x C.14622=+y x D. 12422=+y x 12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 A. ),4[+∞π B. ),4[+∞-πC.)4,[π-∞ D. )4,[π--∞二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．在等腰Rt△ABC中， 分别是边 的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B-ADEC，且F为棱BC中点， ．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过
100km/h人数
平均车速不超过
100km/h人数
合计ห้องสมุดไป่ตู้
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
A．5B．8C．9D．10
7．已知函数 是偶函数，则下列结论可能成立的是（）
A． B．
C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
9．已知P是△ABC所在平面内一点，满 ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q-BE-A的余弦值，若不存在，请说明理由．
20．如图，椭圆 的离心率为 ，x轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）设 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与 相交于点A．B，直线MA，MB分别与 相交于D，E．
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2020届长沙市一中2017级高三第一次月考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===,则A ∩B 的元素个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】 首先求解方程组3
y x y x ⎧=⎨=⎩
,得到两曲线的交点坐标,进而可得答案． 【详解】联立3
y x y x
⎧=⎨=⎩,解得1,0,1x =- 即3y x =和y x =的图象有3个交点()1
1--，,()0,0,(11)，, ∴集合A B I 有3个元素,故选B.
2.已知i 为虚数单位,a ∈R ,若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限,且5z z ⋅=,则z ＝( )
A. 2-i
B. -1+2i
C. -1-2i
D. -2+3i
【答案】A
【解析】
通过复数的运算得到方程()2215a a +-=,根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=,解得1a =-或2a =,
∴12z i =-+或2z i =-,
∵在复平面内对应的点位于第一象限,
∴2z i =-,故选A.
3.设x ∈R ,则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
解出不等式,结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.
【详解】∵21x <11x ⇔-<<,lg 0x <⇔01x <<,
01x <<⇒11x -<<,
11x -<<不能推出01x <<,
∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件,故选B.
4.已知向量a r ＝(1,0),b r ＝(-3,4)的夹角为θ,则sin2θ等于 ( ) A. 725- B. 725 C. 2425- D. 2425
【答案】C
【解析】
首先根据向量夹角公式求出cos θ的值,然后求出sin θ,最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a b
θ⋅==-=-⨯⋅r r r , ∵0θπ≤≤,
∴4sin 5θ==,24sin 22sin cos 25
θθθ==-,故选C. 5.设a ＝183log ,b ＝244log ,c ＝342,则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A. a <b <c
B. a <c <b
C. b <c <a
D. c <b <a 【答案】D
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <,2a >,2b >,将,a b 分别表示为
631log a =+,641log b =+,进而可得结果. 【详解】3
14222c =<=,18933log log 2a =>=,241644log log 2b =>>, 所以c 最小,
因为18633log 1log a ==+,24644log 1log b ==+,。