湖南省长沙一中高二数学(理)第一学期期末
湖南省长沙市一中2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
湖南省长沙市一中2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线3120mx y +-=在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为（）A.2B.3C.4D.52．设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为() A.128 B.129C.47D.03．若双曲线C 与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =，则双曲线C 的标准方程为（）A.221169x y -= B.221169yx -= C.2214x y -= D.2214y x -=4．二项式5(1)x +的展开式中，各项二项式系数的和是（）A.2B.8C.16D.325．已知双曲线221x y -=的右焦点为F ，则点F 到其一条渐近线的距离为（）A.1B.2C.3D.46．方程22141x y k k +=--表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（） A.512k << B.14k <<C.1k <或4k >D.542k <<7．已知函数()324f x x bx x d =+-+在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数b 的取值范围是（） A.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．若不等式210x ax ++≥在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则a 的最小值是（ ） A.0B.-2C.2512-D.52-9．己知命题2:,2n p n N n ∃∈>；命题||:,e 1∀∈≥R x q x ，则下列命题中为假命题的是（）A.p q ∧⌝B.p q ⌝∨C.p q ∧D.p q ∨10． “24m <<”是“方程22124x y m m+=--表示椭圆”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．命题“1x ∀≥，21x >”的否定形式是（）A.“1x ∀<，21x >”B.“1x ∃<，21x >”C.“1x ∃≥，21x ≤”D.“1x ∀≥，21x ≤” 12．已知两个向量(2,1,3)a =-，(4,,)b m n =，且//a b ，则m n +的值为（）A.1B.2C.4D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市望城区第一中学高二数学上学期期末考试试题 文
湖南省长沙市望城区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题文本试卷共4页，总分150分，时量120分钟，考生务必将答案填在答题卡上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A. 命题p一定是假命题B.命题q一定是假命题C.命题q一定是真命题D.命题q是真命题或者是假命题2. 下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝23. 已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是( )A．a＝b，b＝a B．a＝c，b＝a，c＝bC．a＝c，b＝a，c＝a D．c＝a，a＝b，b＝c4. 下面的程序框图输出的数值为( )A．62 B．126C．254 D．5105. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10)内的频数为a，样本数据落在[2，10)内的频率为b，则a，b分别是( )A．32，0.4 B．8，0.1C．32，0.1 D．8，0.46．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A．92，2 B．92，2.8C．93，2 D．93，2.87 ．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )8. 在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )A.56B.45C.23D.129. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d算得K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”10. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元11. 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( )． A ．等于n (n ＋1) B ．等于n 2C ．等于n 4D ．等于n 312. 函数f (x )是[－1,1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则 下列不等式中正确的是( )．A ．f (sin α)＞f (cos β)B ．f (cos α)＜f (cos β)C ．f (cos α)＞f (sin β)D ．f (sin α)＜f (sin β)第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为___ _____．14. 点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是___________．15已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝____ _____.16. 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为_______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.18（本小题满分12分）甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )； (2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19. （本小题满分12分）求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．20. （本小题满分12分）(12分)先解答(1)问，再通过类比解答(2)问．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f x1－f x，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．21（本小题满分12分） 已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积．22.（本小题满分12分）若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．望城一中2015下学期高二期末考试试卷（文科）1． D 2. B 3. D 4. B 5. A 6． B 7 ． A 8. C 9. C 10. B 11. D 12. C二、13. 32 14. 2x －y －15＝0 153 16. 4三、17．[解析] (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x 2＝－8y .(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝－10x .18（本小题满分12分）解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况， ∴P (A )＝525＝15.(2)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．19.[答案] (1)x 212－y 28＝1 (2)x 28－y 22＝1 [解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上，∴18a2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2， 即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.20.解：(1)证明：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝1＋tan x 1－tan x .(4分)(2)f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1＋f x ＋11－f x ＋1＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x ，(6分) ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋2＝f (x )，(10分)∴f (x )是周期函数．(12分) 21解 (1)因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3， 所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)， 即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线上点B (b ，b 2＋b －2)， 因为f ′(b )＝2b ＋1，所以直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.又l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.即3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.因为直线l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形的面积为 S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.22.解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2(2， ＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 283 －43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－3，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.。
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学上学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题()()","n N f n N f n n **∀∈∉≤且的否定形式是 A. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>且 B. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>或 C. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>且 D. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>或 2.若复数2a i i b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设实数:p 实数1,1,:x y q >>实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的值是A. 1-B. 1±C. 1D.3±5.我们把平面内与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为()1,2n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++--=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为()1,2,1n =--的平面的方程为A.220x y z +--=B. 220x y z ---=C. 220x y z ++-=D.220x y z +++=6.将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7.如图所示，已知四面体,,,,ABCD E F G H 分别为,,,AB BC CD AC 的中点，则化简()12AB BC CD ++的结果为 A. BF B. EH C. HG D. FG8.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A. 20 B. -20 C. 15 D. -159.如图，在长方形OABC 内任取一点(),P x y ，则点P 落在阴影部分的概率为A. 312e -B. 112e -C. 21e -D.11e- 10.函数()()22x f x x x e =-的大致图像是11.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A. 甲只能承担第四项工作B. 乙不能承担第二项工作C. 丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作12.如图，已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点，如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3，则MBN ∠的大小等于A.6π B. 4π C. 3π D. 512π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由该五组数据解得y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为 . 14.若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =2，则a b +的值为 .15.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 上的点均在圆()222:59C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值，则曲线1C 的方程为 .16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价为p 元，销量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系：28300170Q p p =-=，则该商品零售价定为 元时利润最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设函数()1111231f n n n n =++++++，其中n N *∈，若有()24a f n >都有成立. （1）求正整数a 的最大值0a ；（2）证明不等式()024a f n >（其中n N *∈）.18.（本题满分12分）设():1p f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立，q 函数()2ln a g x ax x x=-+在其定义域上存在极值.（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图：（1）已知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元代金券，潜在消费人群每人发放80元代金券.已经采用分层抽样的方法从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列.20.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11BCC B 都是菱形，11160, 2.ACC CC B AC ∠=∠==（1）求证：（2）若16AB =求二面角11C AB A --的余弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆E 和抛物线294y x =交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆E 的右焦点2F .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的左焦点为1F ，左、右顶点分别为,A B ，经过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.22.（本题满分12分）已知函数()()()2,a x f x xea R e -=∈为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()0f x '为函数()f x 的导函数）.。
湖南省长沙市一中高二数学上学期第一次月考(理)
长沙市一中09-10学年上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）试卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线,19422=-y x 那么其焦点坐标为（ ）A ．(0,,B ．,(C ．(0,,D ．, ( 2. 命题“∃0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （ ）A ．∃0x ∉R, 02x>0 B ．∃0x ∈R, 02x >0C ．∀x ∈R, 2x≤0 D ．∀x ∈R, 2x>03. 已知P 是△ABC 所在平面外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影．若PA ＝PB ＝PC ，则O是△ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心 4.平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |+|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2=60º,∠PF 2F 1=30º,则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C D 17. 若关于x 320kx k -+=有且只有一个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．5(,]12-∞ B ．53(,]124 C ．3(,)4+∞ D ．53{}(,)124⋃+∞8．已知a ≠b ，且a 2sin θ+a cos θ－4π=0 ，b 2sin θ+b cos θ－4π=0，则连接（a ，a 2），（b ，b 2）两点的直线与单位圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9. 命题“若f(x)正弦函数，则f(x)是周期函数”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．10.椭圆71622y x +=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．11．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的一般式方程是 ．12．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．13．以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线方程为 ．14．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，则21PF ⋅的最大值为 ．15．已知椭圆42x +32y =1上有n 个不同的P 1,P 2,P 3,……P n ,设椭圆的右焦点为F ，数列{|FP n |}的公差不小于11004的等差数列，则n 的最大值为 ．长沙市一中2009-2010年度上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.10. 11. 12.13. 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 设F1、F2分别为椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C 上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标、离心率.17．(本小题满分12分)一个圆切直线0106:1=--y x l 于点)1,4(-P ，且圆心在直线035:2=-y x l 上．（Ⅰ）求该圆的方程； （Ⅱ）求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长．18．(本小题满分12分) 焦点在x 轴上的双曲线过点P （- 3），且点Q （0，5）与两焦点的连线互相垂直，（Ⅰ）求此双曲线的标准方程;（Ⅱ）过双曲线的右焦点倾斜角为45º的直线与双曲线交于A 、B 两点，求|AB|的长．19．(本小题满分13分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不a x <+对一切正实数x 均成立，若“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点． （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求PC 与面PAD 所成的角的正切； （Ⅲ）求二面角M-AC-B 的正切．21．(本小题满分13分) 已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点．（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使M A MB --→--→⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．附加题（5分）：椭圆22162x y +=的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .（Ⅰ）求证：CF FB λ--→--→= (λ∈R )；（Ⅱ）求MBC ∆面积S 的最大值.湖南省长沙市第一中学高二上学期第一次阶段性考试数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.假 10. 16 11. x+3y=0 12. 14- 13.22182x y -=14. 4 15. 2009三、解答题：本大题共6小题，共75分。
湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)
2018 — 2019学年度咼二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分： ________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.—3+ i 1 . 复数=A . 1+ 2iB . 1 — 2iC . 2+ iD . 2— i2. 已知全集U = R ,函数y = ln(1 — x)的定义域为M ,集合N = ｛x|/ — x<0｝,则下列结论 正确的是A . M n N = NB . M n (?U N)=町C . M U N = UD . M i@.(?uN)13. 已知命题 p ：联 a € R ,且 a>0, a +》2,命题 q ： x ° € R , sin X 0 + cos X 0= , 3,贝Ua下列判断正确的是A . p 是假命题B . q 是真命题C . p A (綈q)是真命题D .(綈p)A q 是真命题4. 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,若a 1, a 3, a 4成等比数列，则｛ a n ｝的前10项和为 A . 10 B . 8 C . 6 D . — 8a5. 已知函数f(x) = e x + e x (a € R),若f(x)为奇函数，贝U 曲线y = f(x)在x = 0处的切线方程 为 A . y = — 2x B . y =— x C . y = 2x D . y = x6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE = 1 T 1 T A.^AB — AD B . — ^AB + AD T 1 T T 1 T C.AB + 2AD D.AB — ?AD7. 某产品的销售收入 y 1(万元)是产品x(千台)的函数，y 1= 17/;生产总成本y 2(万元)也 是x 的函数，y 2= 2x 3— x xi (x >0),为使利润最大，应生产A . 9千台B . 8千台C . 6千台D . 3千台~T 1 ->8 .正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM = ?MC 1, N 为B 1B 的中点， 则|MN|为x y + 1 = 0，点P 为抛物线y 2= 4x 上的任意一点xi x , x < 0,10 .已知f(x) =g(x) = f(x) + x + m ,若g(x)存在两个零点，贝U m 的取值范围log 2x , x>0,A . [ — 1, +s )B . [ — 1, 0)C . [0, +s )D . [1 , 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，F i 、F 2分别为双曲线 乡一a9.已知直线 11： x =— 1, I 2： 直线l 1,A . l 2的距离之和的最小值为 2 B/.2 C. 1 D.^A 21 o 6 厂15 f 15A. aB. aC. aD. a6 6 6 3P是双曲线左支上一点，M是PF i的中点，且0M丄PF i, 2|PF i|= |PF2|,则双曲线的离心率为A. .6B. 2C. ,5D. .3a (i)12. 已知函数f(x) = xln x, g(x)=—x3+ x2+ 5•若对任意的x i, x2€ 2，2 ,都有f(x i)—g(X2)w 0成立，贝实数a的取值范围是A. ( — 8,2 —4ln 2] B . ( — m , i]1 , 1 V 1C. 2—4ln 2, + 4“ 2D. —m , ?+ ：ln 213.已知x>1 ,观察下列不等式:1x+ x>2；x2+ 2>3;x ， o 3x3+_ >4;x ，按此规律,第n个不等式为___________ .2x—y+ 3 w 0,14. 若x, y满足约束条件x—1 w 0, __ 则z= —x+ y的最小值为.y—1 > 0,15. 1寸1 —x2 dx —n sin xdx = _______ .0 016. _________________________________________________________________ 若函数f(x) = ax2+ xln x有两个极值点，贝U实数a的取值范围是___________________________ .三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分.17. (本小题满分12分)在厶ABC中，角A , B, C的对边分别是a, b, c,其面积为S,且b2+ c2—a2= ^s. (I )求 A ;- 4(n )若a= 5 , 3, cos B = 5,求c.)1(a>0, b>0)的左、右焦点,已知数列{a n} , S n是其前n项和，且满足3a n= 2S n+ n(n € N*).1(I)求证：数列a n+ 2是等比数列；(n )记T n = S i + S2+…+ S n,求T n的表达式.如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD 上.(I )证明：平面SAB丄平面SAD;(II)若AB= 1 ,求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值.已知圆M: x2+ y2+ 2 2y- 10 = 0和点N(0, 2), Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P, P的轨迹为曲线E.(I )求曲线E的方程；(II)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x = ty+ m交E于B、C两点，直线AB, AC 的斜率分别是k i, k2,若k i • k2= 9,求：①m的值；②厶ABC面积的最大值.已知函数f(x) = x2+ ax+ In x(a € R).(I )讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(n )令函数g(x) = e x_1+ x2+ a —f(x), e= 2.718 28…是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m,判断m与e的大小，并说明理由.(二)选考题：共10分。
长沙市第一中学高二数学第一学期第一次阶段性检测试卷
长沙市第一中学高二第一学期第一次阶段性检测数学（理科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题1.命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是A.0x ,2000<+∈∃x R xB.0x ,2000≥+∈∃x R xC.0x ,2000<+∈∀x R xD.0x ,2000≤+∈∀x R x2.已知两定点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是（ ）A ．||PF 1|﹣|PF 2||=0B ．||PF 1|﹣|PF 2||=±3C ．|PF 1|﹣|PF 2|=±4D ．||PF 1|﹣|PF 2||=±53.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．1y 422=+x B ．14y 1622=+xC ．1x 4y 22=+ D ．14x 1622=+y 4.“1<m<2”是“方程1m-3y 1222=+-m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知直线l ：y=kx+k ，椭圆C 1x 422=+y ，则直线与椭圆的位置关系式（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交6.经过椭圆1222=+y x 的有焦点F 作斜率为2的直线l ，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则AB =A.32B.322 C.928 D.9210 7.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子有钥匙，金盒子上写有命题P ：钥匙在这盒子里；银盒子上写有命题q ：钥匙不在这盒子里；铅盒子上写有命题r:钥匙不在金盒子里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则钥匙在A.金盒子B.银盒子C.铅盒子D.不能确定8.若有，则1a 11-+<a a A.最小值为3 B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-19．关于x 的不等式x 2﹣2ax +a>0对x ∈R 恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜a ＜1B ．0≤a ≤1C ．0＜a ≤21D ．a ≥1或a ≤010. 已知两点A （1,0），B （-1,0），点p 为平面内一动点，过点p 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若2=•，则动点P 的轨迹方程A.122=-x y B.122=-y x B. 1222=-x y D.1222=-y x11. 有下列命题；①“若x+y>0，则x>0且y>0”的否命题；②；）（、βαβαβαcos cos cos ,+=+∈∃R ③;x 1log 21)31,0(x 2x <∈∀），（ ④设222111c b a c b a 、、，、、均为非零实数，不等式和01121>++c x b x a 02222>++c x b x a 的解集分别为M 、N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的充分不必要条件.其中是真命题的个数是A.1B.2C.3D.412．已知A 、B 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2≠0．若|k 1|+|k 2|的最小值为2，则椭圆的离心率（ ）A ．B ．C ．D ．42 二．填空题13.与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且经过点M （6,24-）的双曲线的标准方程________________.14.已知x>0,y>0，且291=+yx 则x+y 的最小值_______. 15.设F 1,F 2分别是椭圆1152522=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（7，-3），则1PF PM +的最大值____________.16.已知直线l ：x+y=1与双曲线C ：)0(1222>=-a y ax ，若l 与C 有两个不同的交点，则双曲线C 的焦点的焦距的取值范围___________.三．解答题17．设命题p ：函数f （x ）=lg （x 2﹣4x +a 2）的定义域为R ；命题q ：∀m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立．如果命题“p ∨q”为真命题，且“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．18．已知P:012:3122≤-++≤m x x q x ；－（m ＞0）； （1）若m=1，问p 是q 的什么条件？（2）若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．已知E 与椭圆12622=+y x 有公共焦点，且离心率为2. （1）求双曲线E 的标准方程；（2）过A （2,1）能否作一条直线l ，与双曲线E 交于点P ，Q 两点，且点A 是线段PQ 中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由．20．已知一动圆M 与圆内切）（外切，与圆）（121313222221=+-=++y x C y x C . （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）求△C 1C 2M 的重心G 的轨迹.21．某单位建造一间地面面积为48m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为600元/m2，房屋侧面的造价为400元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为25200元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度x为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？22．已知F 1，F 2为椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，P （5541，）为椭圆E 上一点，且椭圆E 的离心率为55． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过P 1的直线l 1与椭圆E 交于A 、B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积的最大值.。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第一阶段性检测数学试题(原卷版)
长沙市第一中学2023－2024学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}-1,0,1,2,32,3,0,1U A B ===，，则()U C A B = （）A.∅B.{}0,1 C.{}0 D.{}12.24x <的一个必要不充分条件是（）A.02x <≤ B.20x -<< C.22x -≤≤ D.13x <<3.如图，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNP 的位置关系为（）A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面内4.已知平面向量(2,3)a x =，(1,9)b = ，如果a b ∥，则x =（）A.16B.16-C.13D.13-5.下列一组数据的25%分位数是（）2.8,3.6,4.0,3.0,4.8,5.2,4.8,5.7,5.8,3.3A.3.0B.4C.4.4D.3.36.已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A.254B.9C.16D.257.实数,x y 满足2220x y x ++=,则1y xx --的取值范围是（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭8.在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC =，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A.746B.845 C.745D.445二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个3选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是510.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0,(π,π)ωϕ>∈-）相邻的两个零点为π5π,36，则（）A.函数()f x 的图象的一条对称轴是π6x =B.函数()f x 的图象的一条对称轴是π12x =C.ϕ的值可能是π3D.ϕ的值可能是5π611.如图，在三棱锥-P ABC 中，2PA AB AC BC ====，若三棱锥-P ABC 的体积为3V =，则下列说法正确的有（）A.PA BC⊥B.直线PC 与面PAB 所成角的正弦值为64C.点A 到平面PBC 的距离为233D.三棱锥-P ABC 的外接球表面积28π3S =12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()3f x x =是“[]1,1-封闭”函数B.定义在R 上函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,Na b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，化简2i1i-+的结果为__________.14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35，则密码被成功破译的概率为________．15.已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=和两点(,0),(,0) (0)A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为_____________．16.设函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，且()f x 的图象在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个最高点，则ω的取值范围是____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l ：2340x y -+=与直线2l ：30x y +-=的交点为M ．（1）求过点M 且与直线1l 垂直的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线3l ：250x y -+=平行的直线l '的方程．18.移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2a c C b b=-．（1）求角B ；（2）已知21b a c =-=，，求ABC 的面积．20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点，OCD 是边长为1的等边三角形，且36A BCD V -=.（1）证明:OA CD ⊥;（2）若2ED AE =，求二面角B EC D --的余弦值.21.已知函数()2()log 1(0,1)xa f x a kx a a =++>≠为偶函数．（1）求k 的值；（2）设函数()()25f x x x g x a a +=-，若[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，求a 的取值范围．22.已知圆O 的方程为2216x y +=，直线l 与圆O 交于,R S 两点．（1）若坐标原点O 到直线的距离为32，且l 过点(3,0)M ，求直线l 的方程；（2）已知点(4,0)P -，Q 为RS 的中点，若,R S 在x 轴上方，且满足π4OPR OPS ∠+∠=，在圆O 上是否存在定点T ，使得PQT △的面积为定值？若存在，求出PQT △的面积；若不存在，说明理由．。
湖南省长沙市望城区第一中学高二数学上学期期末考试试
湖南省长沙市望城区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理考试时间：120分钟；总分：150分一、选择题（每小题5分，共12小题，总60分）1．设()f x 是定义在R 上的函数，则“函数()f x 为偶函数”是“函数()xf x 为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．若0()2f x '=，则000()()lim2k f x k f x k→--等于（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．123．以椭圆1492422=+y x 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（ ）A ．1242522=-y xB ．1252422=-y xC ．1242522=-x yD ．1252422=-x y4．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．125．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)2(=f ,当>x 时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立，则不 等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)6．若12()2()f x x f x dx =+⎰，则1()f x dx ⎰＝（ ）A ．－1B ．－13 C ．13D ．1 7．已知A （2，－5，1），B （2，－2，4），C （1，－4，1），则与的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλFB AF ， 则λ等于（ ）A ．12+B ．13+C ．15+D ．322+9．登山族为了了解某山高()y km 与气温()x C ︒之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作气温x （°C ） 1813 10 -1山高y （km ） 24 34 38 64由表中数据，得到线性回归方程$$$2()y x a a R =-+∈，由此请估计出山高为72（km ）处气温的度数为（ ） A ．-10 B ．-8 C ．-4 D ．-6 10．如图，在ABC ∆中，ο60=∠B ，ο45=∠C ，高3=AD ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1<BM 的概率为A ．52 B ．53 C ．51 D ．5411．设12,F F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点，过点12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．512- B ．312- C ．22D ．3212．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x=∈=<=，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在31(,0)2x ∈-内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =-．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 二、填空题（每题5分，共4题，总20分） 13．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，已知座位号分别为6223846x y ,,,,,的同学都在样本中，则x y += ．14．如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其平均分为______．FEDC BAP15．已知(2,1,2)a =-r ，(1,3,3)b =--r ，(13,6,)c λ=r ，若向量,,a b c r r r共面，则λ= ．16．方程||||(0)169x x y y λλ+=<的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）①函数()y f x =在R 上是单调递减函数；②函数()y f x =的值域是R ；③函数()y f x =的图象不经过第一象限；④函数()y f x =的图象关于直线y x =对称； ⑤函数()4()3F x f x =+至少存在一个零点. 三、解答题（共6题，共70分）17．（本题10）如图，四棱锥ABCD P -的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，PB 与DC 所成角为ο45， F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点.（Ⅰ）证明：PE AF ⊥；（Ⅱ）若AB BE BC 322==，求直线AP 与平面PDE 所成角的大小.18．（本小题满分10分）据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 215 3 20 工资5 5005 0003 500 3 0002 5002 0001 500（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．19．（本小题12分）已知命题p :方程221210x y t t +=+-表示双曲线；命题q ：11m t m -<<+（0m >）,若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p 的焦点为()1,0F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于),(11y x A ，),(22y x B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程； （Ⅱ）求OAB ∆的面积．21．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，点B 在直线l ：1x =-上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M ． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过（1）中轨迹E 上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E 相交于11(,)C x y ，22(,)D x y 两点．试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．22．（本题13分）已知函数)0(1)(>--=a ax e x f x，（e 为自然对数的底数） （1）求函数)(x f 的最小值；（2）若0)(≥x f 对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n高二理科数学参考答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11．A 12．C 13．44 14．62 15．316．①②③ 17．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．z yxFED CBAP设2==AB AP ，a BE = 则），，（000A ，），，（），，，（），，，（110200020F P B ，），，（02a E 于是，)2,2,(-=a PE ，)1,1,0(=AF ， 则0=⋅AF PE ，所以AF PE ⊥．………………6分（Ⅱ）若AB BE BC 322==，则)0,0,34(D ，),2,0,34(-=PD )2,2,32(-=PE ， 设平面PDE 的法向量为),,(z y x n =， 由⎝⎛=⋅=⋅00PE n PD n ，得：⎩⎨⎧=-+=-022320234z y x z x ，令1=x ，则3,32==y z ，于是)32,3,1(=n ，而)2,0,0(=AP 设AP 与平面PDE 所成角为θ，所以23||||sin ==AP n AP n θ， 所以AP 与平面PDE 所成角θ为ο60．18．（1）2091,1500,1500 （2）3288,1500,1500（3）中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平 19．实数m 的取值范围为03m <≤．20．（Ⅰ）24y x = （Ⅱ）1021．（1）x y 42= （2）是定值，为-1,过程见解析．22．（1）min ()ln 1f x a a a =--；（2）1=a ；（3）见解析。
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长沙市一中高二理科数学考试卷时量：115分钟 满分：150分 命题人：胡雪文 校审人：江楚珉一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.选对的得5分，错选或不答得0分.） 1．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b 与c 不平行，则（ ） A ．a 与c 平行B ．a 与c 不平行C ．a 与c 是否平行不能确定D ．a 与c 是异面直线2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ） A ．A 1C 1与A 1D 成90°角 B ．A 1C 1与AC 是异面直线 C ．AC 与DC 1成45°角D ．A 1C 1与B 1C 成60°角3．下列命题正确的是（ ）A ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B ．平行于同一个平面的两条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（ ） A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交5．空间四边形OABC 中，OA = a ，OB = b ，OC = c ，点M 是在OA 上且OM = 2MA ，N 为BC 的中点，则MN 等于（ ） A ．12a 23-b +12cB ．23-a +12b +12cC ．12a +12b 23-cD ．23a +23b 12-c6．若直线l 与平面α所成角为3π，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ） A ．2[0,]3πB ．2[,)33ππC ．2[,]33ππD ．[,]32ππ7．长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）A ．12B ．24C ．D ．8．设地球半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为（ ）AB．6RπC．56RπD．23Rπ9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线10．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点F，作渐近线by xa=的垂线与双曲线左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．1＜e＜2 B．1＜eC．eD．e＞2二、填空题（每小题5分，共20分）11．若A (1, –1, 1)，B (–2, 0, 3)，则||AB= .12．过抛物线y2 = 8x的焦点，倾斜角为45°的直线的方程是.13．方程221259x ym m+=-+表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.14．正四面体A—BCD的棱长为1，则A到底面BCD的距离为. 15．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长相等，M是BB1的中点，则面AC1M与面ABC成的锐二面角是. AD C1MB1C1A1B AC湖南省长沙市第一中学考试答卷一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）11． 12． 13． 14． 15．三、解答题（75分）16．（12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB = 90°，点D 是AB的中点.（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1.17．（12分）△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(–6, 0)，(6, 0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于常数λ（λ≠0，λ∈R ），讨论顶点C 的轨迹是什么？18．（12分）在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = AD = AA 1= 1，∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB = 60°. （1）求对角线AC 1的长；（2）求异面直线AC 1与B 1C 的夹角.19．（12分）已知三棱锥A —BCD 的侧棱AB ⊥底面BCD ，BC = CD ，∠BCD = 90°，∠ADB= 30°，E 、F 分别是侧棱AC 、AD 的中点. （1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求平面BEF 和平面BCD 所成的角.20．（13分）抛物线212y x =-上有两点A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，且OA OB ⋅= 0，又知点M (0, –2). （1）求证：A 、M 、B 三点共线； （2）若2MA MB =-，求AB 所在的直线方程.E DF ABA B CDA 1D 1C 1B 121．（14分）如图，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1 = 4CP.（1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；（3）求点P到平面ABD1的距离.湖南省长沙市第一中学高二数学期末考试参考答案（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．D 10．C 二、填空题（每小题5分，共25分）1112．x–y– 2 = 0 13．8＜m＜25 1415．45°三、解答题16．（12分）（1）证：∵棱柱ABC—A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，又∵AC⊥B C，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥BC1.（2）设BC 1∩B 1C = E ，连结DE ，∵D 、E 分别为AB 、BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. 又∵AC 1⊄平面CDB 1，DE ⊂平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. 17．（12分）解：设顶点的坐标为C (x , y )，则,66AC BC y yk k x x ==+-(x ≠±6). 而k AC ·k BC =λ，即2236y x λ=-，化简得2213636x y λ-=(x ≠±6).（1）当λ＜–1时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，并去掉A 、B 两点. （2）当λ= –1时，顶点C 的轨迹是以原点为圆心的圆，并去掉A 、B 两点. （3）当–1＜λ＜0时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，并去掉A 、B 两点. （4）当λ＞0时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线. 并去掉A 、B 两点. 18．（12分）解：（1）设AB = a ，AD = b ，1AA = c ，则|a | = |b | = |c | = 1，〈a ，b 〉=〈b ，c 〉=〈a ，c 〉= 60°，21AC =(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2a ·b + 2b ·c + 2a ·c = 6，∴1||6AC =. （2）∵1B C =b – c ，∴11AC B C ⋅= (a + b + c )·(b – c ) = a ·b + b 2 + b ·c –a ·c –b ·c –c 2 = 0. ∴11AC B C ⊥，∴异面直线AC 1与B 1C 的夹角为90°.19．（12分）解：（1）∵AB ⊥底面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵BC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC .∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点，∴EF ∥CD . ∴EF ⊥平面ABC ，∴平面BEF ⊥平面ABC .（2）设平面BEF 与面BCD 交线为l ，则B ∈l (如图). ∵EF ∥DC ，⊂EF 面BEF ，∴DC ∥面BEF . ∵面BCD ∩面BEF = l ，⊂DC 面BCD ，∴DC ∥l .又DC ⊥平面ABC ，∴l ⊥面ABC . 面ABC 与面BEF 、面BCD 交于BE 、BC ，∴∠EBC 是二面角BEF —l —BDC 所成的平面角. 过E 作EG ⊥BC 于G ，又AB ⊥BC ， ∴EG ∥AB ，且EG =21AB . 设BC = CD = 1，则BG =21，BD =2， 又∠ADB = 30°，∴66,36==EG AB .∴tan ∠EBG =362166=. ∴平面BEF 和平面BCD 所成的角为arctan 36.20．（13分）解：设22112211(,),(,)22A x x B x x --，∵0OA OB ⋅=，∴22121214x x x x += 0 (x 1x 2≠0). ∴x 1x 2 = – 4.又∵21111122122AM x k x x x -==-，22222122122BM x k x x x -==-. 代124x x -=代入k AM 得222221(4)21422AM BM k x k x x x-=-⋅=-=-， ∴A 、M 、B 三点共线.（2）∵2MA MB =-，∴12221221122(2)22x x x x =-⎧⎪⎨-+=--+⎪⎩ ∴2222224x x -+=-，∴2x =即21x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴1),(4)B A ---或(1),4)B A --，∴AB的方程为2y =-. 21．（14分）（理）解：如右图，（1）解：∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角主浊∠APB . 如右图建立空间直角坐标系，坐标原点为D . ∵CC 1 = 4CP ，CC 1 = 4，∴CP = 1，A (4, 0, 0)，P (0, 4, 1)，B (4, 4, 0). ∴(4,4,1),(4,0,1)PA PB =--=-. ∵160117PA PB ⋅=++=, ∴cos∠||||33PA PB APB PA PB ⋅==⋅. ∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为（2）证明：连结D 1O ，由（1）有D 1 (0, 0, 4)，O (2, 2, 4)， ∴11(2,2,0),8800D O PA D O =⋅=-+=.∴1PA D O ⊥.∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，∴D1H⊥AP. （3）解：连结BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQ⊥BC1于点Q. ∵AB⊥平面BCC1B1，PQ⊂平面BCC1B1，∴PQ⊥AB.∴PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是点P到平面ABD1的距离.在Rt△C1PQ中，∠C1QP = 90°，∠PC1Q = 45°，PC1 = 3，∴PQ，即点P到平面ABD1.。