机构学和机器人学-2运动学中的向量法
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
基于向量法解决机器人正向运动学教学难题
摘 要 ： 为解 决机 器人 正向运 动 学教 学 中大学 生对位姿 矩 阵 以及 刚体 变换 难 以理 解 的难题 ， 以
向量 法建 立 了刚体 的位姿 矩 阵 ， 并 以 向 量 法推 导 了刚 体 绕 空 间任 意 轴 线 旋 转 的 变 换 矩 阵 ． 以 此
为基础 ， 证 明 了矩 阵左乘 和右 乘所 对应 的 不 同刚体 运 动 ， 最终 利 用 矩 阵右 乘 导 出 了 Ｄ－ Ｈ 变换 矩阵， 从 而建 立机 器人 学正 向运动 学方 程． 关 键词 ： 向量 ；矩 阵 ； 机 器人 ；正 向运动 学 ；教 学法 中图法 分类 号 ： ＴＰ ２ ４ 文献 标识 码 ： Ａ
第 ３ １卷
第 ４期 பைடு நூலகம்
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖ０ １ ． ３ ｌ Ｎｏ ． ４
Ａｕ ｇ． ２０ １ ３
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ １ ４ １ ８，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
２ ０ １ ３ 年 ８月
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ５ ８ １ Ｉ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ １ ４ ７ — ０ ５
基 于 向 量 法 解 决 机 器 人 正 向运 动 学 教 学 难 题
荆 学 东
机器人第2章数学基础-矢量变换
a (bc)
a (bc) 0
矢量微分和积分 r r(t) x(t) y(t) z(t)T
dr d (xi) d ( yj) d (zk)
dt dt
dt
dt
T
rdt xdt ydt zdt
2.2 矩阵基础
1 矩阵定义 2 运算 3 特征值和特征向量 （4 矩阵分解 ）
2
旋转矩阵
r ArP
旋转矩阵(Rotation Matrix)
A E u sin 2u2 sin2
2
u u1
u2
u3 T
sin 2sin cos
22
A E 2u sin (Ecos u sin )
2
2
2
定义欧拉参数 (Euler Parameters)
cos -sin
Rot(z,
)
sin
cos
1
1
1
Rot(x,
)
cos -sin sin cos
1
cos
sin
Rot(y, )
1
-sin cos
1
1
矢量运算
矢量的叉积(Cross Product)
a
b
azby aybz azbx axbz
aybx axby
i jk ax ay az bx by bz
反对称矩阵记法
第三讲)：机器人运动学和动力学(二
... ... ... ... ... ...
x qn y qn z qn x qn y qn z qn
微分运动学的概念
雅可比矩阵
x q 1 y q1 z p q1 J T x q q 1 y q1 z q1 x q2 y q2 z q2 x q2 y q2 z q2
Jl 2 Ja 2
q1 J q ln 2 J an qn
方位雅可比矩阵，代表相 应的关节速度dq对与广义速度
微分运动
微分移动矢量 微分转动矢量
d D
T Rot (z2 , 3 ) Trans (x 3 , a3 )
连杆2: 连杆3:
2 3
机器人运动学方程
正向运动学实例二
PUMA560六自由度机器人 连杆1: 0 T
1
Rot (z0 , 1 ) Rot (x 1 , -π/2)
c1 0 -s1 0 s1 0 c1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1
o
A
y x
B
A
x
A
齐次坐标及齐次变换
齐次坐标： 齐次变换阵：
px p y P pz 1
A B
R T 0
A B
A
pBO 1
齐次坐标及齐次变换
齐次变换：
A B R A P A T BP B 0
A
B p pBO 1 1
对时间求导：
d p V p T q dt q
x q 1 y q1 z q p J T 1 x q q 1 y q1 z q1
机器人机构学基础课件第2章
对于给定的 ABT 求 BAT
步骤：
➢
利用旋转矩阵的正交性质，可以得出
B A
R
R A 1
B
Bபைடு நூலகம்RT
➢
求出原点 A pBo在坐标系
{B}中的描述：B pAo
B A
R
A
pBo
BART
A pBo
➢
得到 BAT 表达式:
BAT
BART 0
BART 1
A
pBo
2.4.3 变换方程
{B}代表基坐标系，{T} 工具坐标系，{S}是工作台 坐标系，{G}是目标坐标系， 则它们之间的位姿关系可 以用相应的齐次变换矩阵 来描述。
（3） 工作台（用户）坐标系（S）： 在工作台上建立用户坐标系---用 于示教编程。 （4） 工件坐标系（Work Object Coordinate System）： 表示的相对 位置—用于创建目标和路径。 （5） 腕坐标系（W）： 定义工具方向。 （6） 工具坐标系（T）： 与腕坐标系配合，确定两者之间的相对位姿。。 （7） 目标坐标系（T）： 描述机器人运动结束时工具的位置。
A B
R
I
当表示姿态时，有 AP 0
机器人末端手爪的位姿描述：选定一个参考坐标系{A}，另规定一坐标 系与手爪固连，称手爪坐标系{T}
n oa
手爪坐标系{T}这样规定的： 其z轴设在手爪接近物体的方向，z轴单位矢量称为接近矢量，用a表示；y 轴设在两手指的连线方向，y轴单位矢量称为方位矢量，用o表示；x轴方向 由右手法则确定，其单位矢量称为法向矢量，用n表示。
cos x,zb cos y,zb cos z,zb
按旋转的相对性，有：
B A
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
机器人运动学的表示
机器人运动学的表示机器人运动学是研究机器人在空间中的运动规律和姿态变化的学科。
它通过建立数学模型来描述机器人的运动和姿态，以便进行轨迹规划、运动控制、碰撞检测等操作。
本文将介绍机器人运动学的表示方法，包括正运动学和逆运动学表示。
一、正运动学表示正运动学表示是通过机器人的关节状态来确定末端执行器的位置和姿态。
它可以用来计算机器人的末端执行器在给定关节角度下的位置和姿态。
1. 齐次变换矩阵表示齐次变换矩阵是一种常用的正运动学表示方法。
它采用4×4的齐次变换矩阵来表示机器人的位姿变换关系。
通过逐关节的变换矩阵相乘，可以得到整个机器人的位姿变换矩阵。
2. 旋转矩阵和平移向量表示除了齐次变换矩阵，还可以使用旋转矩阵和平移向量来表示机器人的位姿变换关系。
旋转矩阵用于描述机器人的姿态变化，平移向量用于描述机器人的位置变化。
3. 世界坐标系和局部坐标系表示在正运动学表示中，通常会使用世界坐标系和局部坐标系来描述机器人的位置和姿态。
世界坐标系是一个固定的参考坐标系，而局部坐标系是机器人自身的坐标系。
通过坐标系之间的变换关系，可以将机器人的位置和姿态从局部坐标系转换到世界坐标系。
二、逆运动学表示逆运动学表示是通过机器人的末端执行器位置和姿态来确定关节状态。
它可以用来计算机器人在给定末端执行器位置和姿态下的关节角度。
1. 解析法解析法是一种常用的逆运动学表示方法。
它基于数学解析的方法，通过求解关节角度的解析表达式来确定机器人的关节状态。
解析法适用于一些简单的机器人结构，但对于复杂的机器人结构往往难以求解。
2. 迭代法迭代法是一种常用的逆运动学表示方法。
它通过迭代计算的方法，不断调整关节角度，使机器人的末端执行器逐渐接近目标位置和姿态。
迭代法适用于各种类型的机器人结构，并且具有较好的收敛性和鲁棒性。
三、运动学约束除了正运动学和逆运动学的表示方法，机器人运动学还涉及到运动学约束的问题。
运动学约束是指机器人在运动过程中受到的各种限制条件，如关节角度限制、碰撞检测等。
第2章(运动学)重要知识点总结(理论力学)
【陆工总结理论力学考试重点】之（第2章）运动学1、矢量法？答：运动方程为⃗⃗（）速度：⃗⃗（）加速度：⃗⃗⃗（）⃗（）2、直角坐标法？答：运动方程表示为：将运动方程里面的参变量（时间t）消去，便可得到动点的轨迹方程。
速度：即：动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其对应坐标对时间t的一阶导数。
则合速度：√加速度：即：加速度在直角坐标轴上的投影等于其对应坐标对时间t的二阶导数。
则全加速度：√。
3、自然法（也称弧坐标法）？答：运动方程：（）速度：加速度：切向加速度：切向加速度的大小等于动点的弧坐标对时间t的二阶导数，用来表示速度大小随时间变化的快慢程度，方向沿轨迹的切线方向。
法向加速度：式中：为曲线的曲率半径，对于圆来说即为圆的半径。
法向加速度用来表示速度方向随时间变化的快慢程度，方向总是指向圆心方向。
则全加速度：√4、直角坐标法与自然法的联系？对于同一种运动，采用直角坐标法，其加速度求法为：全加速度：√。
采用自然法，其加速度求法为：全加速度：√直角坐标法与自然法的联系：对于同一种运动，采用上述两种方法求出的全加速度是一样的，即：√√5、刚体的平行移动？答：平移运动的特征：1）刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线；2）当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
6、刚体的定轴转动？答：运动方程（）角速度：单位：rad/s。
角加速度：单位：速度：加速度：切向加速度：法向加速度：则全加速度：√ √7、轮系传动比？答：如图设大齿轮的角速度为，半径为；小齿轮的角速度为，半径为。
则根据大小齿轮的齿合点A和B的线速度相等，可得：即：得：即轮系的角速度比（传动比）等于半径的反比。
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（2-15）
§2-2 利用复数向量进行机构的运动分析
机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸 的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件 任一运动变量的变化规律。
运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。 其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级 机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式， 而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。
ei ei (cos i sin )(cos i sin ) cos2 sin 2 1
4）两个有用公式
cos ei ei
2
sin i ei ei
2 cos( ) cos cos sin sin
iay
1）向量 a 与单位矢量 ei 相乘：
ei (aei ) aei( ) 表示向量 a 逆时针转过一个 角。
2）向量 a 与虚数单位i的乘积：
（2-2）
iaei
a(i cos
sin ) acos(
) i sin(
2
2
)
i( )
ae
2
a 相当于矢量 转过900。
（2-3）
同理：i(iaei ) a( cos isim ) acos( ) i sin( )
aei( ) aei a 相当于矢量 转过1800。
（2-4）
3） e i是单位矢量 ei 的共轭矢量
J虚
矢量 a 可看成长度a与单位向量 aˆ
的乘积。由式2—11
则单位向量：
I虚
aˆ ei sin j cos （2-12）
O
R实
a a aˆ，其一阶导数，二阶导数为:
a aaˆ aaˆ
a aaˆ 2aaˆ aaˆ
式中：
Z
y
1 xX
对实轴的对称点也对应一个复数：
~z x iy
则称
~z 是z的共轭复数，
(
z~z )
1 2
定义为复数z的模
记为： z
z
(
z~z )
1 2
x2 y2
模等于1的复数称为单位复数：
zˆ cos i sin
θ称为幅角，由Euler公式：
ei cos i sin z z ei
（2-9）
等式右边可看作二个复数矢量 rei 、 riei 其中 r 、 r
分别为它们的矢量大小（模），ei、 iei 为单位方向矢。
二阶导数：d 2 (rei ) rei r(ei i) (r r)iei r(iei i)
一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
如图铰链四杆机构，假设量各d。杆长度为r1、r2、r3、r4输
入角θ2
已知，可列出独立位置2方）利程用：矢量d和r4求出矢量r3，解出θ3
rB
r2ei2
r3e i和3 θ4
。 r1
r4ei4
（2-16）
位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。
首先确定对角线d 的长度：
r2ei2 deid
将式（2—17）分解为实部和虚部，得：
r2 cos2 r1 d cosd
r2 sin2 d sind
由此解得：
s in d
r2 d
s in 2
（2-13）
aˆ ei (i sin cos) j sin （2-14）
aˆ ei sin(i2 ) 2iei cos ei (cos sin 2 )
j(sin cos 2 )
（2-5）
（2-6） （2-7）
sin( ) sin cos cos sin （2-8）
5）复数矢量的微分
设矢量 r rei ，表示某一点相对于固定参考系坐标
原点的位置，则一阶导数：
dr d (rei ) dt dt
rei r(ei i) r ei r i ei
二、复数矢量的表示
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
O
x
如图的自由矢量 a 的表示为：
a aaˆ aei a(cos i sin 于是矢量 a 的分量分别为：ax
) ax
、 ay
第二章 运动学中的向量法
向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直 角坐标，也可用极坐标表示。
§2-1 复数矢量法(复极向量法) Y
一、复数
i
用两个实数x、y表示一个复数
z x iy
O
x、y 分别称为复数的实部和虚部，实部 单位为“1”，略去不写，虚部单位“i”
有求法规则i： i 1
r1
（2-17）
将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：
(deid
)(deid
)
(r1
r2ei2
)(r1
r2ei2
)
d 2 r12 r22 r1r2 (ei2 ei2 )
或： d r12 r22 2r1r2 cos2
（2-18）
dt 2
(r r2 )ei (r 2r)iei （2-10）
继续求导可求出高阶导数。
三、空间矢量的复数表示
则矢量取坐a 标可系写O成—：RIJ，矢量 a 如图，R为实轴，I、J为虚轴， 与实轴R式间中夹θ为角矢，量a为aaa在(e与i复Js平轴in面的（夹jO角c—o。sRI)平面）上的（投2影-11）