机器人学-运动学部分
第一章机器人运动学(1)解析
点的齐次坐标（补充）
一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
列矩阵 x
a= x
, b= y
规定，一般情况：41列阵[a b c w]T 中 w 为 零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则[a b c 0]T 中 的 a、 图1.2 坐标轴的方向表示 b、c 表示某轴的方向； w不为零，则[a b c w]T 表 示空间某点的位置。
图示的矢量 u 的方向用可表达为： u = [a b c 0]T
B A
R
A B
R
1
A B
R
T
坐标变换
2）平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标变换 坐标系{A}和{B}
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
A P B P A PB0
Robotics 数学基础
坐标变换
3）.复合变换 一般情况原点既
不重和,方位也不同. 这时有:
A
P
A B
RB
矩阵描述.
二、齐次坐标表示
将一个 n 维空间的点用 n+1 维坐标表示，则该 n+1 维坐标即为 n 维坐标的齐次坐标。记为：
P = [a b c w]T
w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w=1 时， 其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即：
P = [PX PY PZ 1]T
当 w 不为1时，则相当于将该列阵中各元素同时 乘以一个非零的比例因子w，仍表示同一点P，即： a = wPX；b = wPY；c = wPZ。
机器人运动学介绍
机器人运动学介绍
机器人运动学是机器人学中最基础和重要的一部分，它研究机器人的运动学性质和运动规律。
运动学主要关注机器人的位姿和运动，也就是机器人在三维空间中的位置、姿态和运动路径。
机器人运动学的研究对象是机器人的构型，通过数学模型和算法可以计算出机器人的姿态和位置信息。
机器人的运动学主要涉及以下内容：机器人构型、机器人轨迹、机器人关节运动、位姿变换、坐标系、运动规划等。
在机器人的控制中，通过机器人运动学的研究可以对机器人的控制进行精细化，实现复杂的动作。
例如，通过机器人运动学可以将机器人移动到指定位置和姿态，或是在特定区域内自主探测和检测。
机器人运动学的研究领域十分广泛，研究的对象可以是各种类型的机器人，如工业机器人、服务机器人、医疗机器人等。
运动学理论也被广泛应用于自动化生产线、智能仓储与物流等领域，为实现机器人自动化作业提供了坚实的理论支持。
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人学-第3章_机器人运动学
o
X
由（3-1）式可得运动学约束条件，x&sinq y&cosq 0 平面轮式移动机器人
是所谓的“非完整约束”。物理含义是，机器人不能沿轮轴线方向横移。
设轮距为D，轮半径为r，两轮独立驱动时轮子转速wL，wR 则
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
（3-2）
1
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
q2 L1
定义参考坐标系{0}，它固定在基座上，当第一
个关节变量（q1）为0时坐标系{1}与坐标系{0}重合
，因此建立参考坐标系{0}如图所示，Z0轴与关节1 的轴线重合且垂直于机械臂所在平面。
q1
平面3R机械臂
由于机械臂位于一个平面上，因此所有Z轴相互平
X3
行，且连杆偏距d和连杆转角均为0。该机械臂的DH
动距离分别为lR = rR和lL = rL，
机器人移动距离
l=(lR+lL)/2
方位角变化
q =(lR-lL)/D。
第n步机器人位姿可以按下面公式更新：
qn qn1 q
xn
xn1
l
cos qn1
q
/
2
yn
yn1
l
sin qn1
q
/
2
若已知机器人的初始位姿，根据该递推公式可以确定任意时刻机器
人位姿，比较简单，但因积累误差大，所以长时间不可靠。
相邻连杆间坐标变换公式
建立 {P}、{Q}和{R}3个中间坐标系， 其中{i}和{i-1}是固定在连杆 i 和 i-1 上的固 连坐标系，如图3-13所示。
机器人学第3章 机器人运动学
(3.46)
如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够 确定其等价欧拉角。
3.2 机械手运动方程的求解
21
3.2.2 滚、仰、偏变换解
直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变 换方程。 RPY变换各角如下：
atan2(n y , n x ) 180 atan2(n z , cn x sn y ) atan2( sa x ca y , so x co y )
0
T6 0T1 (1 )1T2 (2 )2T3 (3 )3T4 (4 )4T5 (5 )5T6 (6 )
3.1 机器人运动方向的表示
5
3.1.1 运动姿态和方向角
用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态 另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch） 和偏转（yaw）。
图3.3 用横滚、俯仰和偏转表示机械手运动姿态
3.1 机器人运动方向的表示 6
3.1.1 运动姿态和方向角
对于旋转次序，规定：
1
(3.16)
3.1 机器人运动方向的表示
15
3.1.3 连杆变换矩阵及其乘积
如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换 Z 来 表示的，而且机械手与其端部工具的关系由变换 E 表示，那么此工具端部对参考坐标系的位置和方向 可由变换 X 表示如下：
可求得：
X ZT6 E
T6 Z 1 XE 1
(3.52)
3.2 机械手运动方程的求解
22
3.2.3 球面变换解
把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示 的运动方程。 球面变换的解为：
atan2( p y , p x ), 180 atan2(cp x sp y , p z )
机器人运动学
R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA
Bp
P
yB
{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
O
R { iB , jB , k B }
A A A
机器人运动学
机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的一门学科。
它通过分析机器人的构造和动力学参数，研究机器人在特定环境下的运动规律和遵循的动力学约束，以实现机器人的准确控制和运动规划。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学模型、运动学正解和逆解等方面进行介绍。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，主要研究机器人在空间中的运动状态、末端执行器的位置和姿态等基本概念。
其中，运动状态包括位置、方向和速度等；末端执行器的位置和姿态是描述机器人末端执行器在空间中的位置和朝向。
通过研究和分析这些基本概念，可以实现对机器人运动的控制和规划。
2. 运动学模型运动学模型是机器人运动学研究的重要工具，通过建立机器人的运动学模型，可以描述机器人在运动过程中的运动状态和姿态变化。
常见的运动学模型包括平面机器人模型、空间机器人模型、连续关节机器人模型等。
每种模型都有其独特的参数和运动学关系，可以根据实际情况选择合适的模型进行分析和研究。
3. 运动学正解运动学正解是指根据机器人的构造和动力学参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
具体而言，根据机器人的关节角度、关节长度和连杆长度等参数，可以通过连乘法求解机器人末端执行器的位姿。
运动学正解是机器人运动学中的常见问题，解决这个问题可以帮助我们了解机器人在空间中的运动规律和运动范围。
4. 运动学逆解运动学逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人的关节角度。
反过来，控制机器人的运动状态就需要求解逆运动学问题。
运动学逆解是机器人运动学研究的重要内容之一，它的解决可以帮助我们实现对机器人的准确定位和控制。
总结：机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的学科，通过运动学模型、运动学正解和运动学逆解等方法，可以描述机器人的运动状态、末端执行器的位置和姿态。
深入研究机器人运动学，可以实现对机器人的准确控制和运动规划。
随着机器人技术的不断发展，机器人运动学的研究也得到了越来越广泛的应用和重视。
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1. 将 角 行x度；i-1，轴将绕其zi与-1 轴xi轴转平i
2.
沿 使
zxii--11轴轴平与移xi距轴离重d合i ，；
Ai-1
3. 沿 使两xi坐轴标平系移原距点离及Lix， 轴重合；
4. 绕 两坐xi标轴系转完全i 角重度合，．
Ai
li1 di
li
zi1 oi1
i
yi
zi
xi oi
i
li
杆件参数的定义——di和 i
确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆
件的偏移量 di，一个是杆件的回转角 i
Ai+1
d i Li和Li-1在Ai轴线上
的交点之间的距离 Ai-1
i Li和Li-1之间的夹角，
由Li-1转向Li，由右手 定则决定正负，对于 旋转关节它是个变量
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90 sin 90
-sin 90 cos 90
0 0
0 0
0 1
cos 90
Rw
sin
90
0
0
sin 90 cos 90
0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
cos90 0 sin 90 0
Ry
§3.3 机器人关节坐标系的建立
对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿 坐标系（xi, yi, zi），（i=1, 2, …, n），n是自由度数，再 加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。
基座坐标系 Oo 定义为0号坐标系（x0, y0, z0）,它也是机
器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可 任选，Ζ但o 轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可 任选； 最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，但 必须保证 Xn与Ζn-1 垂直。
本章讲解以串联机器人为主。
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
(3.59)
即为关节变量 1, 2 ,,6 的函数。 该矩阵 描述了末端连杆坐标系{6}相对基坐标系{0} 的位姿。
于是，可求得机械手的T 变换矩阵：
nx ox ax px
yi1
i
xi1
A i1 i
R(Zi1,i )Trans (Zi1, di )Trans ( xi , li )R( xi ,i )
右乘
D-H变换矩阵
c os i
A i 1
i
=
s
in
i
0
0
sin i c os i
0
0
0 0 0 0 1 0 0 1
根据齐次变换方法和表3.1所示连杆参数， 可求得各连杆变换矩阵如下：
c1 s1 0 0
0T1
s1
0
c1 0
0 0 1 0
0
0 0 1
c2 s2 0 0
1T2
0 s2 0
0 c2
0
1 0 0
d
2
0
1
关节坐标系的建立原则
Ai+1
原点Oi：设在Li与 Ai+1轴线的交点上
Zi轴：与Ai+1关节轴 Ai-1 重合，指向任意
Xi轴：与公法线Li 重Ai轴合线，指指向向A沿i+L1轴i由线
Yi轴：按右手定则
Ai li1 di
i zi
yi
li
xi
oi
zi1 oi1
yi1
i
xi1
c 3 s 3 0 a2
2T3
s
3
0
c 3 0
0
0
1 0
0
0
0
1
c 4 s 4 0 a3
3T 4
0 s 4 0
0 c 4
0
1 0 0
d
4
0
1
c 5
4T5
0
s
0
5
s 5 0 c 5 0
• 杆件长度Li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 • 杆件扭转角αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi • 杆件偏移量 di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 • 杆件回转角θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
§3.1.1 研究的对象
机器人在基本机构形式上分为两种:关节式串 联机器人;并联机器人.
PUMA560
Fanuc manipulator
Hexapod
这两种机器人有所不同：
串联机器人：工作空间大，灵活；刚度差，负载小， 误差累积并放大。
并联机器人：刚性好，负载大，误差不积累；工作 空间小，姿态范围不大。
1 0 0 0
0 1 0
0
0 0
0 0
1 0
di 1
1 0 0 li 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0 cos i sin i
0
0 sin i cos i
0
0 0 0 1
c os i
0
sin 90
10 0 cos90
0 0
0
0 0 1
1 0 0 0
T
Ry Rx Rw
0 0
0 1
1 0
0 0
0 0 0 1
解②：
①绕Z（w）？轴转动90º； ②绕X轴转动90º； ③绕Y轴转动90º。
验证方法 ：计算加画图
u v w
0 0 1 0 0 0 0 1
c6 s6 0 0
5T6
0 s6 0
0 c6
0
1 0 0
0 0 1
各连杆变换矩阵相乘，得PUMA 560的机械 手变换的T 矩阵：
0T6 0T1(1)1T2 (2 )2T3 (3 )3T4 (4 )4T5 (5 )5T6 (6 )
先建立 ∑0i-1 然后建立∑0i+1 最后建立 ∑0i
注意： • 由于Ai和Ai+1平行，所以公法线位置任意
• 目的：使di+1=0 使计算简便，此时di= Oi-1D
相邻关节坐标系间的齐次变换过程
——机器人运动学正解
根据上述坐标系建立原则，用下列旋转和位移我们
Ai+1
可以建立相邻的 Oi-1 和 Oi 坐标系之间的关系
操作机由一串用转动或平移 （棱柱形）关节连接的刚体 （杆件）组成
关 节
杆 件
机座上建立一个固定参考坐标 系，最后一个杆件与工具相连
关节和杆件均由底座向外顺序 排列，每个杆件最多和另外两 个杆件相联，不构成闭环。
机座
关节：
一般说来，两个杆件间是用低付相联的
只可能有6种低付关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、 圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关 节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所 示：
运动学逆问题---已知操作机杆件的几何参数，给定操作 机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位 姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？ 如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的 条件？
与前一次课的关系
§3.2 机器人杆件，关节和它们的参数
§3.2.1 杆件，关节
末端操作手
★由运动学的观点来看，杆件的作用在于保持其两
端关节间的结构形态不变。
★由两个参数决定，一是杆件的长度 li，一个是杆
件的扭转角 i
Ai+1
li 关节Ai轴和Ai+1轴线 公法线的长度
i 关节i轴线与i+1轴线 Ai
在垂直于 li 平面内的夹 角，有方向性,由Ai转向 Ai+1，由右手定则决定 正负
两种特殊情况
两轴相交，怎么建立坐 标系？
0i—Ai与Ai+1关节轴线的交 点；
zi
xi yi
zi - 1 oi
Zi—Ai+1轴线；
Xi—Zi和Zi-1构成的平面的 法线 Ζi-1×Ζi ；
Yi—右手定则；
Ai +1
Ai
两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？
补充总结：合成变换
只有平移合成—— 平移矩阵间可交换 绕同一个坐标系的合成旋转变换—— 绕同一个坐标系的合成旋转变换+平移变
换—— 各变换矩阵不可交换 绕不同坐标系的合成旋转变换：左右两侧
顺次写 绕不同坐标系的合成旋转变换+平移：左右
两侧顺次写，平移放左边
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系
旋转 球形
棱柱形
柱形
螺旋形
平面