机器人运动学
机器人运动学和动力学分析及控制
机器人运动学和动力学分析及控制引言随着科技的不断进步，机器人在工业、医疗、军事等领域发挥着越来越重要的作用。
而机器人的运动学和动力学是支撑其运动和控制的重要理论基础。
本文将围绕机器人运动学和动力学的分析及控制展开讨论，探究其原理与应用。
一、机器人运动学分析1. 关节坐标和笛卡尔坐标系机器人运动学主要涉及的两种坐标系为关节坐标系和笛卡尔坐标系。
关节坐标系描述机器人每个关节的转动，而笛卡尔坐标系则描述机器人末端执行器在三维空间中的位置和姿态。
2. 正运动学和逆运动学正运动学问题是指已知机器人每个关节的位置和姿态，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学问题则是已知机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人每个关节的位置和姿态。
解决机器人正逆运动学问题对于实现精确控制非常重要。
3. DH参数建模DH参数建模是机器人运动学分析中的重要方法。
它基于丹尼尔贝维特-哈特伯格(Denavit-Hartenberg, DH)方法，将机器人的每个关节看作旋转和平移运动的连续组合。
通过矩阵变换，可以得到机器人各个关节之间的位置和姿态关系。
二、机器人动力学分析1. 动力学基本理论机器人动力学研究的是机器人在力、力矩作用下的运动学规律。
通过牛顿-欧拉方法或拉格朗日方程，可以建立机器人的动力学模型。
动力学模型包括质量、惯性、重力、摩擦等因素的综合考虑，能够描述机器人在力学环境中的行为。
2. 关节力和末端力机器人动力学分析中的重要问题之一是求解机器人各个关节的力。
关节力是指作用在机器人各个关节上的力和力矩，它对于机器人的稳定性和安全性具有重要意义。
另一个重要问题是求解末端执行器的力，这关系到机器人在任务执行过程中是否能够对外界环境施加合适的力。
3. 动力学参数辨识为了建立精确的机器人动力学模型，需要准确测量机器人的动力学参数。
动力学参数包括质量、惯性、摩擦等因素。
动力学参数辨识是通过实验方法，对机器人的动力学参数进行测量和估计的过程。
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
机器人运动学与动力学分析及控制研究
机器人运动学与动力学分析及控制研究近年来，机器人技术一直在飞速的发展，机器人的使用越来越广泛，特别是在工业领域。
随着机器人的发展，机器人运动学与动力学分析及控制研究变得越来越重要。
本文将介绍机器人运动学、动力学分析与控制研究的现状以及未来发展趋势。
一、机器人运动学分析机器人运动学分析主要研究机器人的运动学特性，包括机器人的姿态、速度以及加速度等方面。
机器人运动学分析的目的是确定机器人的运动学参数，同时确定机器人工作空间的大小。
机器人运动学分析的方法主要有以下几种：1、直接求解法。
直接求解法是指通过物理意义来推导机器人的运动学方程。
这种方法计算效率较低，但是精度较高。
2、迭代法。
迭代法是通过迭代计算机器人的运动学方程，精度较高，但是计算效率较低。
3、牛顿-拉夫森法。
牛顿-拉夫森法是一种求解非线性方程组的方法，可以用于求解机器人运动学方程。
此方法计算速度比较快，但是相对精度较低。
机器人运动学分析的结果可以用于机器人的路径规划，动力学分析以及控制研究。
二、机器人动力学分析机器人动力学分析主要研究机器人的动力学特性，包括机器人的质量、惯性矩以及外力等方面。
机器人动力学分析的目的是确定机器人的动力学参数，同时确定机器人的力/力矩控制器和位置/速度控制器。
机器人动力学分析的方法主要有以下几种：1、拉格朗日方程法。
拉格朗日方程法是一种描述机器人运动的数学方法，可以用于求解机器人的动力学方程。
此方法计算效率较低，但是精度较高。
2、牛顿-欧拉法。
牛顿-欧拉法是机器人动力学分析中的一种方法，一般用于计算运动学链中的运动学角速度和角加速度，并根据牛顿和欧拉定理将牛顿和欧拉方程转换为轨迹方程。
此方法计算速度较快，但是精度相对较低。
机器人动力学分析的结果可以用于机器人的力/矩控制器的设计，位置/速度控制器的设计以及控制研究。
三、机器人控制研究机器人控制研究主要研究机器人的控制算法，包括力控制算法、位置/速度控制算法、逆动力学算法等方面。
机器人的运动学和动力学模型
机器人的运动学和动力学模型机器人的运动学和动力学是研究机器人运动和力学性质的重要内容。
运动学是研究机器人姿态、位移和速度之间关系的学科，动力学则是研究机器人运动过程中力的产生和作用的学科。
机器人的运动学和动力学模型可以帮助我们理解机器人的运动方式和受力情况，进而指导机器人的控制算法设计和路径规划。
一、机器人运动学模型机器人运动学模型是描述机器人运动方式和位置关系的数学表达。
机器人的运动状态可以用关节角度或末端执行器的位姿来表示。
机器人的运动学模型分为正运动学和逆运动学两种。
1. 正运动学模型正运动学模型是通过机器人关节角度或末端执行器的位姿来确定机器人的位置。
对于串联机器人，可以使用连续旋转和平移变换矩阵来描述机械臂的位置关系。
对于并联机器人，由于存在并联关节，正运动学模型比较复杂，通常需要使用迭代方法求解。
正运动学模型的求解可以通过以下几个步骤：(1) 坐标系建立：确定机器人的基坐标系和各个关节的局部坐标系。
(2) 运动方程描述：根据机器人的结构和连杆长度等参数，建立各个关节的运动方程。
(3) 正运动学求解：根据关节的角度输入，通过迭代计算，求解机器人的末端执行器的位姿。
正运动学模型的求解可以用于机器人路径规划和目标定位。
2. 逆运动学模型逆运动学模型是通过机器人末端执行器的位姿来确定机器人的关节角度。
逆运动学问题在机器人的路径规划和目标定位等任务中起着重要作用。
逆运动学求解的难点在于解的存在性和唯一性。
由于机器人的复杂结构，可能存在多个关节角度组合可以满足末端执行器的位姿要求。
解决逆运动学问题的方法有解析法和数值法两种。
解析法通常是通过代数或几何方法，直接求解关节角度，但是解析法只适用于简单的机器人结构和运动方式。
数值法是通过迭代计算的方式，根据当前位置不断改变关节角度，直到满足末端执行器的位姿要求。
数值法可以用于复杂的机器人结构和运动方式，但是求解时间较长。
二、机器人动力学模型机器人动力学模型是描述机器人运动时受到的力和力矩的模型。
机器人 运动学
机器人运动学机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科。
它是机器人技术的重要组成部分，对于机器人的设计、控制和应用具有重要意义。
机器人运动学主要研究机器人在空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
通过研究机器人的运动学特性，可以实现对机器人的精确控制和规划。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指根据机器人关节的位置和长度，求解机器人末端执行器的位置。
它通过解析几何、向量运算和矩阵变换等数学方法，将机器人关节的位置参数转化为末端执行器的位置参数，从而实现对机器人的位置控制。
逆运动学是指根据机器人末端执行器的位置，求解机器人关节的位置和长度。
逆运动学是机器人运动学的核心内容，也是机器人控制的关键问题之一。
通过逆运动学，可以实现对机器人末端执行器的精确控制，从而实现机器人在空间中的精确定位和定向。
机器人运动学的研究还包括机器人的姿态和轨迹规划。
姿态是指机器人在空间中的朝向和姿势，轨迹是指机器人在运动过程中的路径和速度。
通过研究机器人的姿态和轨迹规划，可以实现机器人在复杂环境中的灵活运动和避障控制。
机器人运动学的应用非常广泛。
在工业领域，机器人运动学被应用于自动化生产线的控制和优化，实现了生产效率的提高和生产成本的降低。
在医疗领域，机器人运动学被应用于手术机器人的控制和操作，实现了微创手术和精确手术的目标。
在军事领域，机器人运动学被应用于无人飞机和无人车辆的控制和导航，实现了作战效能的提高和战场风险的降低。
机器人运动学的发展离不开先进的传感器和控制技术的支持。
传感器可以实时感知机器人的位置和环境信息，控制技术可以根据机器人的位置和运动规律，实现对机器人的精确控制和运动规划。
总结起来，机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科，主要包括正运动学、逆运动学、姿态和轨迹规划等内容。
机器人运动学的研究和应用对于机器人技术的发展和应用具有重要意义，将为我们创造更多的便利和机会。
机器人学 公式
机器人学公式机器人学是一门研究人工智能和机器人的交叉学科，其目标是让机器人具备类似于人类的智能和行为能力。
在机器人学中，有许多重要的公式被用来描述机器人的运动学、控制和感知等方面的问题。
本文将介绍几个在机器人学中常用的公式，并探讨它们的应用。
一、运动学公式运动学是研究机器人运动状态的学科，其中包括位置、速度、加速度等运动参数的描述。
在机器人学中，常用的运动学公式包括正运动学和逆运动学公式。
正运动学公式用来描述机器人末端执行器的位置与关节角度之间的关系。
例如，对于一个具有n个自由度的机器人，其正运动学公式可以表示为：T = T1 * T2 * ... * Tn其中T是末端执行器的位姿矩阵，T1、T2、...、Tn是描述每个关节的变换矩阵。
通过正运动学公式，我们可以根据关节角度计算机器人末端执行器的位置。
逆运动学公式则用于解决与正运动学相反的问题，即根据末端执行器的位置来计算关节角度。
逆运动学公式的求解通常需要使用数值计算方法，例如牛顿法或雅可比转置法。
二、控制公式控制是机器人学中的核心问题之一，它涉及到如何对机器人的运动进行控制和规划。
在控制问题中，有许多经典的公式被广泛应用。
PID控制器是一种常用的控制器，它通过比较实际输出与期望输出的差异，并根据比例、积分和微分项来调整输出，从而实现对系统的控制。
PID控制器的输出可以通过以下公式计算：u(t) = Kp * e(t) + Ki * ∫e(t)dt + Kd * de(t)/dt其中u(t)是控制器的输出，e(t)是实际输出与期望输出之间的差异，Kp、Ki、Kd分别是比例、积分和微分项的系数。
除了PID控制器外，还有许多其他的控制方法和公式被用于机器人学中。
例如，模糊控制器通过将输入和输出的关系进行模糊化，然后使用模糊规则来进行控制。
遗传算法则是一种通过模拟生物进化过程来搜索最优解的优化方法。
三、感知公式感知是机器人学中另一个重要的问题，它涉及到机器人如何感知和理解周围的环境。
机器人运动学知识要点梳理
机器人运动学知识要点梳理机器人运动学是研究机器人运动规律和姿态变化的学科。
它是机器人学的重要基础，掌握机器人运动学知识对于研究机器人的运动控制、路径规划等方面具有重要意义。
本文将梳理机器人运动学的要点，对其进行全面而简明的阐述。
一、机器人运动学概述机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，主要研究机器人的运动规律和姿态变化。
它研究的对象是机器人的关节运动和末端执行器的运动，通过对机器人的结构和运动方式的分析，可以帮助我们了解机器人的运动特性，为机器人的运动控制与路径规划提供理论基础。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指已知机器人关节角度，通过运动链的迭代求解，计算机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学则是已知机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度。
二、机器人运动学基础知识1. 坐标系与位姿表示机器人运动学中经常使用的坐标系有世界坐标系（world coordinate system）、基坐标系（base coordinate system）和末端执行器坐标系（end-effector coordinate system）。
世界坐标系是一个固定的参考坐标系，基坐标系是机器人坐标系中的一个相对于世界坐标系的参考坐标系，而末端执行器坐标系则是机器人末端执行器的坐标系。
机器人在三维空间中的位姿表示可以使用欧拉角（Euler angle）或四元数（quaternion）等方式。
2. DH参数与齐次变换矩阵DH参数（Dennavit-Hartenberg parameters）是机器人运动学中常用的参数化方法，用于描述机器人关节之间的姿态和位移关系。
齐次变换矩阵（homogeneous transformation matrix）则是将机器人的坐标系从一个关节变换到下一个关节的变换矩阵。
3. 机器人正运动学机器人正运动学是已知机器人关节角度，求解机器人末端执行器位置和姿态的过程。
机器人学领域中的运动学与轨迹规划
机器人学领域中的运动学与轨迹规划机器人学是一门研究如何设计、制造和应用机器人的科学和技术。
机器人学领域中的运动学和轨迹规划是机器人学的核心内容之一。
一、运动学运动学是机器人学中研究机器人运动状态的学科，并且是一种描述机器人位置、速度和加速度等运动参数的方法。
一个完整的机器人都可以通过由多个关节组成的联动机构进行自由灵活的运动。
因此，了解每个关节的运动参数，包括角度、速度和加速度等，有助于更好地控制机器人的运动。
1. 机器人的运动学参数机器人的运动学参数包括关节角度、机器人的位姿和机器人工具端点的位姿等。
其中，各个关节的角度是决定机械臂位置的最基本的参数，机器人位姿描述机器人身体的位置、方向和姿态等信息，而机器人工具端点的位姿描述机器人工具的位置和方向信息。
了解这些运动学参数对于需要实现机器人的运动控制和规划非常重要。
机器人学家们研究如何控制和规划机器人的运动，以便机器人能够完成各种各样的任务，例如生产线上的组装、协作机器人之间的交互等。
2. 机器人的运动学模型机器人的运动学模型主要用于描述机器人的运动规律和动力学参数，包括机械结构参数、质量分布以及摩擦系数等。
运动学除了能够定义机器人的位置和运动规律外，还能够对机器人进行动力学仿真和运动规划，使机器人的控制更加精确和高效。
3. 常见的机器人运动学模型（1）PUMA模型PUMA模型是一种广泛应用于工业机器人的模型之一，其中PUMA的全称为：Programmable Universal Machine for Assembly，即用于装配的可编程通用机器。
PUMA机器人由5个自由度的旋转关节构成，使它能够沿x，y和z轴进行运动。
（2）SCARA模型SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm）是一种广泛应用于装配和加工的机器人，具有三个旋转角度和一个平移自由度。
SCARA机器人通常用于精确的三维加工和装配任务，如内部器件装配、晶片制造等。
机器人运动学分析与仿真实现
机器人运动学分析与仿真实现在当今科技飞速发展的时代，机器人技术的应用越来越广泛，从工业生产中的自动化装配线，到医疗领域的手术机器人，再到家庭服务中的智能机器人，机器人已经逐渐融入到我们生活的方方面面。
而机器人运动学作为机器人技术的重要基础，对于机器人的设计、控制和应用具有至关重要的意义。
本文将对机器人运动学进行分析，并探讨其仿真实现的方法和过程。
一、机器人运动学的基本概念机器人运动学主要研究机器人各关节的运动与机器人末端执行器位姿之间的关系。
简单来说，就是如何通过控制机器人的关节角度或位移，来实现期望的末端执行器的位置和姿态。
机器人运动学可以分为正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是已知机器人各关节的参数（如关节角度、长度等），求解末端执行器在空间中的位置和姿态。
这就好比我们知道了一个人的各个肢体的长度和关节的转动角度，就能推算出他的手能够到达的位置。
逆运动学则是已知末端执行器的期望位置和姿态，求解各关节应有的参数值。
这相当于我们给定了一个目标位置，需要反过来计算出各个肢体应该如何运动才能达到这个目标。
二、机器人运动学模型的建立为了进行机器人运动学的分析，首先需要建立机器人的运动学模型。
常见的机器人模型有串联机器人和并联机器人。
串联机器人是由一系列关节依次连接而成，每个关节只有一个自由度；并联机器人则是由多个支链并行连接到动平台和静平台之间，具有多个自由度。
在建立模型时，需要确定机器人的连杆参数，包括连杆长度、连杆扭转角、关节偏移量和关节转角等。
这些参数通常可以通过机器人的机械结构设计图纸或实际测量得到。
以一个简单的平面两关节机器人为例，我们可以将其看作是两个连杆通过关节连接在一起。
设第一个连杆的长度为＄l_1$，第二个连杆的长度为＄l_2$，关节 1 的转角为＄＼theta_1$，关节 2 的转角为＄＼theta_2$。
通过三角函数的关系，可以得到末端执行器在平面坐标系中的位置坐标＄（x, y)＄与关节角度＄＼theta_1$ 和＄＼theta_2$ 之间的关系。
机器人运动学
机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的一门学科。
它通过分析机器人的构造和动力学参数，研究机器人在特定环境下的运动规律和遵循的动力学约束，以实现机器人的准确控制和运动规划。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学模型、运动学正解和逆解等方面进行介绍。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，主要研究机器人在空间中的运动状态、末端执行器的位置和姿态等基本概念。
其中，运动状态包括位置、方向和速度等；末端执行器的位置和姿态是描述机器人末端执行器在空间中的位置和朝向。
通过研究和分析这些基本概念，可以实现对机器人运动的控制和规划。
2. 运动学模型运动学模型是机器人运动学研究的重要工具，通过建立机器人的运动学模型，可以描述机器人在运动过程中的运动状态和姿态变化。
常见的运动学模型包括平面机器人模型、空间机器人模型、连续关节机器人模型等。
每种模型都有其独特的参数和运动学关系，可以根据实际情况选择合适的模型进行分析和研究。
3. 运动学正解运动学正解是指根据机器人的构造和动力学参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
具体而言，根据机器人的关节角度、关节长度和连杆长度等参数，可以通过连乘法求解机器人末端执行器的位姿。
运动学正解是机器人运动学中的常见问题，解决这个问题可以帮助我们了解机器人在空间中的运动规律和运动范围。
4. 运动学逆解运动学逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人的关节角度。
反过来，控制机器人的运动状态就需要求解逆运动学问题。
运动学逆解是机器人运动学研究的重要内容之一，它的解决可以帮助我们实现对机器人的准确定位和控制。
总结：机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的学科，通过运动学模型、运动学正解和运动学逆解等方法，可以描述机器人的运动状态、末端执行器的位置和姿态。
深入研究机器人运动学，可以实现对机器人的准确控制和运动规划。
随着机器人技术的不断发展，机器人运动学的研究也得到了越来越广泛的应用和重视。
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称上式为坐标旋转方程，式中：
rrji ————pp点点在在坐坐标标系系{{ij}}中中的的坐坐标标列列阵阵（（矢矢量量））；；
Rizj—, —坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵，
也称为方向余弦矩阵。
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
例：右图所示两坐标
系的姿态为：
ｚ0
0 R01 1
1 0
0 0
ｏ0 ｘ0
0 0 1
ｚ1
ｘ1
ｏ1 ｙ1
ｙ0
2.1 机器人的位姿描述
2.1.2 机器人的坐标系 ➢手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中
的位置和姿态。 ➢机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机
矢点量之间平的p移ij矢变量换，而则来坐的标，系所{j以}就称可矢以量看成为是p平ij 由移坐变标换系矩{阵i}沿，
它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
pij
p
x
py
pz
ｚi ｘi ｏi
piｘj j ｏj ｙj
ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢量
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个关 节的运动之间的关系。
正问题： 已知关节运动， 求手的运动。
逆问题： 已知手的运动， 求关节运动。
数学模型： 手的运动→位姿变化→位姿矩阵M
关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n
运动学方程：
M=f(qi)， i=1，…，n
正问题：已知qi，求M。 逆问题：已知M，求qi。
2.1 机器人的位姿描述 2.2 齐次变换及运算
2.3 机器人运动学方程 2.4 机器人微分运动 习题
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 2.1.2 机器人的坐标系
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 机器人的位姿主要是
指机器人手部在空间的位 置和姿态，有时也会用到 其它各个活动杆件在空间
2、旋转变换
①绕z轴旋转θ角
R z , ij
——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵，
是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和
坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j}
相对于坐标系{i}的姿态（方向）。
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换 ｚi
2、旋转变换 ｚj
①绕z轴旋转θ角 旋转变换矩阵：
i=1，…，n ➢绝对坐标系{B}
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换 2.2.2 齐次坐标变换
2.2 齐次变换及运算 2.2.1 直角坐标变换
坐标之间的变换关系： ｚi
平移变换 旋转变换
ｏi ｘi
ｚj
ｘj
ｏj
ｙj
ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
标设原坐点标不系重{合i}和，坐若标用系矢p{ijj 量}具表有示相坐同标的系姿{i态}和，坐但标它系俩{的j}原坐
θ角的正负一般按右
手法则确定，即由z轴的 矢端看，逆时钟为正。
ｘi
ｚi ｚj
ｏiｏj
θ
ｘj
ｙj θ ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
ｚi ｚj
① 绕z轴旋转θ角——变换矩阵推导
若空间有一点p，则其
在坐标系{i}和坐标系{j}中
xi
的x坐j 标co分s量 之间y就j 有si以n下关系：ｏθ i ｏj
的位置和姿态。
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
p
px py
x
y
pz
z
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,2.1.1 机器人位姿的表示 ｚ
ｚh
姿态可以用坐标系 三个坐标轴两两夹角的 余弦值组成3×3的姿态
标系{i}旋转变换而来的，旋转 变换矩阵比较复杂，最简单的
ｏi
是绕一根坐标轴的旋转变换。 ｘi
ｏj
下面以此来对旋转变换矩阵作 以说明。
ｘj
ｙj ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 坐标系{i}和坐标系{j} 的原点重合，坐标系{j}的 坐标轴方向相对于坐标系 {i}绕轴旋转了一个θ角。
cos sin 0
R z, ij
sin
cos
0
0
0 1
ｏi θ ｏj
ｘi
ｘj
ｙj ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
yi x j sin y j cos
z
i
zj
ｘi
ｘj
ｙj ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
xi
cos
xj
sin
yj
0
zj
yi sin x j cos y j 0 z j
zi
0
xj
0
yj
1 zj
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 将上式写成矩阵的形式，则有：
xi cos
yi
sin
zi 0
sin cos
0
0 0
x y
j j
1 z j
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
①绕z轴旋转θ角
器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 ➢杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的
运动而运动。 ➢绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是
机器人所有构件的公共参考坐标系。
2.1 机器人的位姿描述
2.1.2 机器人的坐标系
➢手部坐标系{h} ➢机座坐标系{0} ➢杆件坐标系{i}
ri rj
r p r i
和 表示，则它们之间有以下关系：
ｚj
r r ｚi i
j
ij
j
ｏi 称上式为坐标ｘ平i移方程。
pijｘj
ｙi
ｏj
ｙj
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
设坐标系{i}和坐标系{j}的
ｚi
原点重合，但它俩的姿态不同。 则坐标系{j}就可以看成是由坐
ｚj
矩阵来描述。
ｘh ｏh ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
ｙh
ｙ
cos(x, xh ) R cos(y, xh )
cos(z, xh )
ｘ
cos(x, yh ) cos(y, yh ) cos(z, yh )
cos(x, zh ) cos(y, zh ) cos(z, zh )
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示