机器人运动学分析

齐次坐标表示为：
绕Z轴旋转 的齐次旋转变换矩阵 为： 同理分别绕X轴和Y轴旋转的齐次旋转变换矩阵 为：
为齐次坐标变换的旋转算子。
复合变换
运动过程中若坐标系相对 于固定坐标系原点位置发 生变化，同时坐标系绕固 定坐标系的某一坐标轴旋 转一定角度的变换，称之 为复合变换。
复合坐标变换
其特点是两坐标原点 的位置发生改变，坐 标轴方向单位向量也
解： 由式可得：
变换矩阵求逆
算子左、右乘规则
齐次坐标变换的算 子（平移、旋转、复 合）左乘和右乘分别 代表不同的变换顺序 和规则。
左右乘规则
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左乘
算子左乘表示沿参 考坐 标 系 或 基 座 坐 标系的变换
右乘
算子右乘表示沿当前坐 标系（新坐标系）的坐 标轴进行变换
例3.3 如图所示单臂操作手的手腕具有一个自由度。已知手部 起始位姿矩阵为：
由式知手部位姿的次矩阵可表示为：
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3.4 机器人位姿分析
3.4.1 连杆坐标系与连杆参数
如图所示，机座的编号为杆 件0，与机座相连的连杆编号 为1，依次类推；机座与连杆 1的关节编号为关节1，连杆1 与连杆2的连接关节编号为2， 依次类推。各连杆的坐标系Z 轴方向与关节轴线重合。
D-H方法由Denauit和Hartenbery于1956年提出，它严格定 义了每个坐标系的坐标轴，其中转动关节的D-H坐标系建立如 图3-15所示。
T i1 i
Rot Z,i
Trans 0, 0, di
Trans ai , 0, 0 Rot
X ,i
cosi sini 0 0 1 0 0 ai 1 0
0 0
sin
i
cosi
0
0 0
1
0
0
0
第三章 机器人运动学分析
3.1 机器人坐标系 3.2 齐次坐标及变换 3.3 机器人位姿描述 3.4 机器人位姿分析 3.5 机器手运动学分析 3.6 并联机器人机构位置分析
3.1 机器人坐标系
3.1.1 固定坐标系
在世界坐标系内定义的固定 坐标系，其位置和方向固定 不动,对其它坐标系具有参 考和定位作用，简称为静系， 如图示的三维空间坐标系 OXYZ。
数分量为0
点P的齐次坐标为：P p1 p2 p3 wT 其中：w为比例因子。
在机器人的运动分析中总取w=1。
3.2.2 齐次坐标变换
变换类型
平移变换 旋转变换 复合变换
平移变换
运动过程中若坐 标系相对于固定 坐标系在空间的 姿态不变，称之 为平移变换。
平移坐标变换
其特点是坐标轴方 向单位向量保持同 一方向不变，两坐 标系原点位置发生
在机器人系统中，一 般指的是基座坐标系。
3.1.2 运动坐标系
所建立的坐标系与运动 构件固接在一起，其位 置和方向随构件的运动 而变化，这样的坐标系 称为运动坐标系，简称 动系，如图中的坐标系 oxyz。
3.1.3 位置描述
固定坐标系 内任
一点P的位置矢量表
示为
其中
是P点
在笛卡尔坐标系中三
个坐标轴上的坐标分
了改变
齐次坐标表示为
平移变换矩阵为：
注意：只有当坐标系 平行时才能将坐标系 中点的位置描述直接
相加。
式子中，
是平衡算子
旋转变换
运动过程中若坐标系相 对于固定坐标系的原点 不变，坐标系绕固定坐 标系的坐标轴转动某一 角度的变换，称之为旋 转变换。
其特点是坐标轴方向单位 向量发生变化，坐标系原
点的位置保持不变
同时变化
用齐次坐标表示为： 故复合变换矩阵 为： 式中： 表示齐次坐标变换的复合算子。
例题3.1 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先坐标系{B}相对 于坐标系{A}的轴转动30°再沿坐标系{A}的X轴移动10个单位，并 沿坐标系{A}的Y轴移动5个单位，假设点P在坐标系{B}中的描述为
,求点P在坐标系{A}中的齐次坐标。
一组坐标
和
，使得：
V v1x v2 y v3z
将上述写成矩阵的形式：P p1 p2 p3 1 x y z oT V v1 v2 v3 0 x y z oT
在直角坐标系下任一点的向量表示：P pxi py j pzk
点和向量在同一基下 具有不同的表达，点 的第四个代数分量非 零，向量的第四个代
量。
为便于分析起见， 往往在世界坐标系 内建立多个坐标系
3.1.4 姿态描述
为了描述物体的姿态，在 物体上建立运动坐标系， 并且定义动坐标系的三个 坐标轴方向相对于固定坐 标系的坐标轴描述即为该 物体的姿态
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3.2 齐次坐标及变换
3.2.1 齐次坐标
在固定坐标系OXYZ内，对于任一点P和V向量，可找到
ai—连杆长度；αi—连杆扭角；di—两连杆距离；θi—两连杆夹角
建立连杆坐标系的四个参数：
连杆长度 连杆扭角 连杆距离 连杆夹角
连杆坐标系的设定不是唯一 的选择不同的连杆坐标系， 相应的连杆参数将会改变。
3.4.2 连杆坐标变换矩阵
这些子变换都是相对动坐标系描述的，按照“左
乘”原则，得到：
例3.5 如图3-13所示表示手部抓握物体Q，物体是边长为2个 单元的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式。
解：物体Q形心与手部坐标系O’X’Y’Z相重合，则手部位置 的齐次坐标4*1矩阵为：
手部坐标系X’轴的方向可用单位矢量n表示为： n:
于是 同理可得：手部坐标系Y’轴与Z’轴方向的单位矢量o和z可表示为：
在
平面内，坐标系{B}相对
固定坐标系{A}有30°的偏转，试写出表示连杆位
姿的坐标系{B}4 * 4矩阵表达式。
解：连杆位姿的坐标系{B}的4*4矩阵表达式为：
3.3.2 手部的位姿描述
手部即末端执行器的位置 和姿态同样可以用固接于 手部的坐标系{B}的位姿来 表示，如图所示。
手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢 量P，手部的方向矢量为n,o,a。于是手部 a的位姿可用4*4齐次 矩阵表示为：
解：手部到达 位置是手臂绕定轴 轴旋转运动的结果， 即相对固定坐标系作旋转变换，于是有：
手部到达位置是绕手腕轴旋转运动的结果，即相对运动 坐标系作旋转变换，于是有：
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3.3 机器人位姿描述
3.3.1 连杆的位姿描述
连杆的位姿表示
故连杆的位姿描述就是对固结 于连杆上动系位姿的描述。
例3.4 如图固连于连杆的坐标系{B}位于 点，