机器人运动学
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
机器人运动学
机器人运动学随着科技的不断发展，机器人已经逐渐成为了人们生活中不可或缺的一部分。
机器人的出现不仅改变了人们生活的方方面面，还为工业、医疗等领域带来了巨大的变革。
作为机器人领域的核心技术之一，机器人运动学是机器人技术中的重要组成部分。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学分析、运动规划等方面进行详细的阐述。
一、机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人运动的学科，主要研究机器人的运动规律、运动学模型、运动学分析和运动规划等问题。
机器人运动学的基本概念包括机器人的自由度、坐标系、位姿等。
1. 机器人的自由度机器人的自由度是指机器人能够自由运动的方向和数量。
机器人的自由度通常是由机器人的关节数量决定的。
例如，一个具有6个关节的机器人，其自由度就是6。
机器人的自由度越大，机器人的运动能力就越强。
2. 坐标系坐标系是机器人运动学中的重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
机器人通常使用笛卡尔坐标系或者极坐标系来描述机器人的位置和姿态。
在机器人运动学中，通常使用基座坐标系和工具坐标系来描述机器人的运动。
3. 位姿位姿是机器人运动学中的另一个重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
位姿通常由位置和方向两个部分组成。
在机器人运动学中，通常使用欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述机器人的位姿。
二、机器人运动学分析机器人运动学分析是指对机器人的运动进行分析和计算，以确定机器人的运动规律和运动学模型。
机器人运动学分析通常涉及到逆运动学、正运动学和雅可比矩阵等内容。
1. 逆运动学逆运动学是机器人运动学分析中的重要内容，用于确定机器人关节的运动规律。
逆运动学通常包括解析解法和数值解法两种方法。
解析解法是指通过数学公式来计算机器人关节的运动规律，数值解法是指通过计算机模拟来计算机器人关节的运动规律。
2. 正运动学正运动学是机器人运动学分析中的另一个重要内容，用于确定机器人末端执行器的位置和姿态。
正运动学通常包括前向运动学和反向运动学两种方法。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人运动学
58
斯坦福机器人反向运动学方程求解
• 已知斯坦福机器人的运动学方程为T6=A1A2A3A4A5A6， 以及T6 矩阵与各杆参数a、α、d，求关节变量θ1~θ6 ， 其中θ3= d3。
• 求θ1：
59
斯坦福机器人反向运动学方程求解
• 求θ1：
• “+”号对应右肩位姿，“-”号对应左肩位姿。60
斯坦福机器人反向运动学方程求解
2 机器人运动学
• • • • 齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述 齐次变换 机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵 机器人运动学方程及其求解
1
齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述 • • • • • 点的直角坐标描述 点的齐次坐标描述 坐标轴方向的齐次坐标描述 动坐标系位姿的齐次坐标描述 对象物位姿的齐次坐标描述
n cos30 cos60 cos90 0 T 0.866 0.500 0.000 0
P 2 1 cos90 0 T 0.500 0.866 0.000 0 a 0.000 0.000 1.000 0
2
点的直角坐标描述
式中：Px、Py、Pz是点P在坐标 系{A}中的三个位置坐标分量。
点的直角坐标描述
3
点的齐次坐标描述
• 齐次坐标的表示不是惟一的，将其各元素同 乘一非零因子ω后，仍然代表同一点P，即
4
坐标轴方向的齐次坐标描述
坐标轴方向的描述
5
• 4 1列阵[a b c w]T中第四个元素不为零，则表示空 间某点的位置； • 4 1列阵[a b c w]T 中第四个元素为零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则表示某轴（矢量）的方向。
44
正向运动学方程求解
机器人 运动学
机器人运动学机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科。
它是机器人技术的重要组成部分，对于机器人的设计、控制和应用具有重要意义。
机器人运动学主要研究机器人在空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
通过研究机器人的运动学特性，可以实现对机器人的精确控制和规划。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指根据机器人关节的位置和长度，求解机器人末端执行器的位置。
它通过解析几何、向量运算和矩阵变换等数学方法，将机器人关节的位置参数转化为末端执行器的位置参数，从而实现对机器人的位置控制。
逆运动学是指根据机器人末端执行器的位置，求解机器人关节的位置和长度。
逆运动学是机器人运动学的核心内容，也是机器人控制的关键问题之一。
通过逆运动学，可以实现对机器人末端执行器的精确控制，从而实现机器人在空间中的精确定位和定向。
机器人运动学的研究还包括机器人的姿态和轨迹规划。
姿态是指机器人在空间中的朝向和姿势，轨迹是指机器人在运动过程中的路径和速度。
通过研究机器人的姿态和轨迹规划，可以实现机器人在复杂环境中的灵活运动和避障控制。
机器人运动学的应用非常广泛。
在工业领域，机器人运动学被应用于自动化生产线的控制和优化，实现了生产效率的提高和生产成本的降低。
在医疗领域，机器人运动学被应用于手术机器人的控制和操作，实现了微创手术和精确手术的目标。
在军事领域，机器人运动学被应用于无人飞机和无人车辆的控制和导航，实现了作战效能的提高和战场风险的降低。
机器人运动学的发展离不开先进的传感器和控制技术的支持。
传感器可以实时感知机器人的位置和环境信息，控制技术可以根据机器人的位置和运动规律，实现对机器人的精确控制和运动规划。
总结起来，机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科，主要包括正运动学、逆运动学、姿态和轨迹规划等内容。
机器人运动学的研究和应用对于机器人技术的发展和应用具有重要意义，将为我们创造更多的便利和机会。
机器人运动学
T
o = [ cos120° cos 30° cos 90° 0]
T
T
a = [ 0.000 0.000 1.000 0]
T
P = [ 2 1 0 1]
T
⎡0.866 −0.500 0.000 2.0 ⎤ ⎢0.500 0.866 0.000 1.0 ⎥ ⎥ T =⎢ ⎢0.000 0.000 1.000 0.0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦
构件坐标系
全局参考坐标系
3.2 位姿表示和齐次变换
向量计算
设
⎧ A = (a x , a y , a z , aω )T ⎪ ⎪ B = (bx , b y , bz , bω )T ⎨ T ⎪ R = (rx , ry , rz , rω ) ⎪ ⎩α = cont
a ⎞ 则有 αA = ⎛ ⎜ ax , a y , az , ω α ⎟ ⎝ ⎠ ay
3.2 位姿表示和齐次变换
四、复合（旋转加平移）变换
依次左乘变换矩阵，顺序不同，结果不同 将两个旋转变换和平移变换结合起来，矩阵表达式为：
自动化学院
第三章 机器人运动学
第三章 机器人运动学
3.1 引言 3.2 位姿表示和齐次变换 3.3 机器人的正逆运动学方程 3.4 机器人的微分运动和雅可比矩阵
3.1 引言
问题一：已知杆件几何参数和关节
角矢量求机器人末端相对于参考坐 标系的位置和姿态？
问题二：给定机器人末端相对于参
考坐标系的期望位置和姿态，机器 人能否、如何使其末端达到这个位 姿？ －－实际应用问题
T
T
其中 r = a b − a b x y z z y
ry = a z bx − a x bz rz = a x by − a y bx rω = aω bω
机器人运动学
R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA
Bp
P
yB
{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
O
R { iB , jB , k B }
A A A
机器人运动学
机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的一门学科。
它通过分析机器人的构造和动力学参数，研究机器人在特定环境下的运动规律和遵循的动力学约束，以实现机器人的准确控制和运动规划。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学模型、运动学正解和逆解等方面进行介绍。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，主要研究机器人在空间中的运动状态、末端执行器的位置和姿态等基本概念。
其中，运动状态包括位置、方向和速度等；末端执行器的位置和姿态是描述机器人末端执行器在空间中的位置和朝向。
通过研究和分析这些基本概念，可以实现对机器人运动的控制和规划。
2. 运动学模型运动学模型是机器人运动学研究的重要工具，通过建立机器人的运动学模型，可以描述机器人在运动过程中的运动状态和姿态变化。
常见的运动学模型包括平面机器人模型、空间机器人模型、连续关节机器人模型等。
每种模型都有其独特的参数和运动学关系，可以根据实际情况选择合适的模型进行分析和研究。
3. 运动学正解运动学正解是指根据机器人的构造和动力学参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
具体而言，根据机器人的关节角度、关节长度和连杆长度等参数，可以通过连乘法求解机器人末端执行器的位姿。
运动学正解是机器人运动学中的常见问题，解决这个问题可以帮助我们了解机器人在空间中的运动规律和运动范围。
4. 运动学逆解运动学逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人的关节角度。
反过来，控制机器人的运动状态就需要求解逆运动学问题。
运动学逆解是机器人运动学研究的重要内容之一，它的解决可以帮助我们实现对机器人的准确定位和控制。
总结：机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的学科，通过运动学模型、运动学正解和运动学逆解等方法，可以描述机器人的运动状态、末端执行器的位置和姿态。
深入研究机器人运动学，可以实现对机器人的准确控制和运动规划。
随着机器人技术的不断发展，机器人运动学的研究也得到了越来越广泛的应用和重视。
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特殊情况坐标系的建立原则
zi zi-1
两个关节轴相交
xi
oi
yi
Oi— Ai与Ai+1关节轴线的交点
Zi— Ai+1轴线
Xi— Zi和Zi-1构成的面的法线
Ai+1
Yi— 右手定则
Ai
两个关节轴线平行
• 先建立
Ai-1
∑0i-1
• 然后建立 ∑0i+1
• 最后建立 ∑0i
Ai
Ai+1
Ai+2
yi-1 zi-1
Z
为横滚、俯仰和偏航角，这种形
式主要用于航空工程中分析飞行
横滚
器的运动，其旋转矩阵为（这种
方法也叫做横滚、俯仰和偏航角
表示方法）
俯仰
Y
R R（z,) R( y, ) R(x,)
c s 0 c 0 s 1 0 0
s
c
0
0
1
0
0 c
s
0 0 1 s 0 c 0 s c
cc sc
设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的
齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转 d ；②绕
各坐标轴平移dx,dy,dz On s
求： 0N 在 00 中的位置和姿态. Z0
a
n
• 定义 dTN 为微动齐次变换矩阵
（0 TN）变化后 Trans (dx, dy, dz)R(w, d )0TN
1
• di 是从第i-1坐标系
的原点到Zi－１轴和
Ｘi轴的交点沿Ｚi-1 Ai-1
轴测量的距离
• i 绕 Zi-1轴由Ｘi-1
轴转向Ｘi轴的关节
角
Ai
i
li
li1 di
i
坐标系的建立原则
Ai+
• 为右手坐标系
1
• 原点Oi：设在Li与
Ai+1轴线的交点上 • Zi轴：与Ai+1关节轴
Ai-1
Ai
q1
（1 T2）-1（0 T1）-1 0 T6 2 T3 3 T4 4 T5 5 T6 q2
(4 T5 )1(3 T4 )1(2 T3 )（1 1 T2）-1（0 T1）-1 0 T6 5 T6 q5
(5 T6 )-1 （0 T1）-1 0 T6 E q6
机器人末端操作器位姿的其它描述方法
y s
O
a
z
x n
nx sx ax px
实际要求 ny nz
sy sz
ay az
py pz
机T手爪
0
0
0
1
ox yz
z物
z机 y机
O机
x物 O物 y物
a : 手爪开合方向与物体 y向重合 有s [ 1 0 0]T
b : 从上向下抓，指出手爪 的a方向物体z方向相反 则有a [0 0 1]T
s
c
0
0
c
s
s
c
0
0 0 1 0 s c 0 0 1
cc scs sc ccs
ss
cs scc ss ccc
sc
ss
cs
c
x(u)
பைடு நூலகம்
z (w)
w"
W① ׳׳׳ ③ψ o
w′ v׳׳׳
φψ
θ
v" v′
φ
②ψ
y (v)
θ
φ
u" u׳׳׳ u′
类型2：所得的转动矩阵为右乘
rxrz(1 cosd ) rysin d
rxry (1 cosd ) rzsin d ry2 (1 cosd ) cosd ryrz (1 cosd ) rxsin d
rxrz(1 cosd ) rysin d
ry
rz
(1
cosd
)
rxsin
d
r2 (1 cosd ) cosd
1 rzd ryd 0
3种最常见的欧拉角类型
类型1 类型2 类型3
步1
绕OZ轴转φ角 绕OZ轴转φ角 绕OX轴转φ角
步2 绕当前OU' 轴转θ角 绕当前OV '轴转θ角
绕OY轴转θ角
步3
绕当前OW″轴转ψ角 绕当前OW″轴转ψ角
绕OZ轴转ψ角
类型1：表示法通常用于陀螺运动
0 TN R(Z,) R(, ) R(w,)
c s 0 1 0 0 c s 0
ox yz
z物
z机 y机
O机
x物 O物 y物
则有a [0 0 1]T
i j k
c : n s a 1 0
0
0i
j
0k
[0
1
0]T
0 0 1
0 1 0
因此：姿态矩阵为 1 0
0
0 0 -1
0 1 0 11
当手爪中心 与物体中心
机T物
1 0
0 0
0 10 -1 1
重合时
0
0
0
1
R R(Z , ) R(v, ) R(w,)
c s 0 c 0 s c s 0
s
c
0
0
1
0
s
c
0
0 0 1 - s 0 c 0 0 1
ccc ss scc cs
ss
ccs sc scs cc
sc
px
T
R
py
pz
0 0
0
1
cs
ss
c
X
偏航
类型3： 一般称此转动的欧拉角
重合，指向任意
i zi
yi
•
Xi轴：与公法线Li 重合，指向沿Li由
Ai轴线指向Ai+1轴线
• Yi轴：按右手定则
li
xi oi
li1 di
zi1 oi1
yi1
i
xi1
Li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
li-1
oi-1xi-1
di
A
C
zi oi di+1
B D
（yi） （yxiixil）i+1
zi+1 yi+1 oi+1xi+1
举例：Stanford机器人
解：
运动学逆问题解法
Paul 等人提出的方法:
• 用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵 方程的元素决定未知数，即用逆变换把一 个未知数由矩阵方程的右边移到左边
杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换
• 将xi-1轴绕zi-1轴转i 角度，将其与xi轴平行； • 沿zi-1轴平移距离di ，使zi-1轴与zi轴重合； • 沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重
合； • 绕xi 轴转i角度，两坐标系完全重合．
D-H变换矩阵
c os i
i1 Ai
0
0
0 1
因此微动率△= Transdx, dy, dzRw, d E
0 dz dy dx
dz
0 dx dy
dy dx 0 dz
0
0
0
0
微动的齐次变换：dT= △•T
0 1 0 7
己知变换矩阵 T 0 0 1 3
1 0 0 0
求d T
0 0 0 1
解：
转动：d 0.1i 0 j 0k, 平移：dp 0.3i 0 j 0.6k
s1 px c1 py d2
作三角变换：
式中：
得到： 即有：
（
）
由1, 4和2, 4元素对应相等，得：
1A211T6 2T6
式中第四列： 2 A312T6 3T6
式中第三列：
微动矩阵和微动齐次变换
• 对象: 微动矩阵主要是描述机器人在微动 范围内各关节的位移运动关系
• 定义: 各关节当角度移小于5°时，平移 在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用
因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T
处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的 ∑O机根据T2画出
-Y，X，Z轴平行。
解2：
nx sx ax px
实际要求 ny nz
sy sz
ay az
py pz
机T手爪
0
0
0
1
a : 手爪开合方向与物体 y向重合 有s [ 1 0 0]T
b : 从上向下抓，指出手爪 的a方向物体z方向相反
有：机T物 机T摄 摄T物 （T2）-1T1
ox yz
1 0 0 10 0 1 0 1
0 -1 0 20 1 0 0 10 0 0 -1 10 0 0 -1 9
z物
0 0
0
1
0
0
0
1
0 1 0 11 -1 0 0 10
0 0 1 1
z机 y机
O机
x物 O物 y物
0
00
1
∑O物根据T1画出
1 0 0 0.31 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.3
0 1 0
0 0
1
0.1 0 0 1 0 0 0
0
0.1
0
0 0 1 0.60 0.1 1 0 0 0 1 0 0 0.1 0 0.6
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0
0
0 0 0 0.30 1 0 7 0 0 0 0.3