机器人学 第2章 机器人运动学4教材

??Pz ??
图 1.1笛卡尔坐标系
1. 位置描述
1.2 三维空间点P的齐次坐标：
加入一个比例因子w, 位置向量可以写
为：
?Px ?
P
?
??Py
? ?
?Pz ?
? ?
1
? ?
? wPx ? ? a ?
?
? ?
wP
y
? ?
?
? ?
b
? ?
? wPz ? ? c ?
? ?
w
? ?
? ?
w
? ?
假设 i\j\k 是直角坐标系中 X\Y\Z 坐标 轴的单位向量，则 X\Y\Z轴可表示 为
?n x o x ? x ?
F ? ??n y
oy
?
y
? ?
??n z o z ? z ??
1. 位置描述
II. 坐标系不在固定参考坐标系的原点 :可以在该坐标系
的原点与参考坐标系原点之间做一个向量，而这个向量 由上节中提到的参考坐标系的三个坐标向量表示。这样， 这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四 个位置向量来表示。
? 正交矩阵：A RB? 1 ? A RBT , A RBT ? 1
2. 2位姿描述
? 位置与姿态简称位姿。刚体B在参考坐标系｛A｝中的位 姿利用坐标系｛B｝描述。
? 齐次变换矩阵形式
{B} ? { A RB , A pB } ???
?nx ox ? x p x ?
A TB
?
??n y
?n ?
z
oy ? y oz ? z
?n x
F
?
??n y ??n z
ox oy oz
? ?
x y
p p
x y
? ? ?
?z
pz
? ?
??0 0 0 1 ??
1. 位置描述
示例：坐标系位于参考坐标系的3，5，7的位置。n轴与x轴平行， o轴相对于y轴角度45°，a轴相对于z轴角度45 °）
F= 1 0 0 3 0 0.707 -0.707 5 0 0.707 0.707 7 00 0 1
X/u p
OG
r
q Y/v
Z/w
图2-1 固定坐标系下六个自由度上的运动分量
2.1 姿态描述
A xB , A y B , A Z B 表示与{B}的坐标轴 平行的三个单位矢量在坐标系 {A}中的描述。 A R表B 示刚体B 相对于坐标系{A}的姿态。
?r11 r12 r13 ?
? ? A RB ? A xB , A yB ,A Z B ? ??r21
[1 X ? 0 0 0]T
[0 Y ? 1 0 0]T
[0 Z ?
0 1 0]T
1. 位置描述
1.3 坐标系的表示： I. 在固定参考坐标系原点的表示： 用三个相互垂直的单位向量来
表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系，分别为 n,o,a，依次
表示法线(normal) ，指向(oritentation) ，和接近(approach) 。这样， 坐标系就可以由三个向量以矩阵的形式表示为
B
px
? ?
p
?
T
? ?
B
py
? ?
?
? ?
B
pz
? ?
?1 ?
? ?
p
x
?
B
? ?
p
y
?B
??pz ? B
p
x
? ?
py
? ?
???
pz ??
A
p ?B
p?A
p
y
? ?
p
z
? ?
?0 0 0 1 ?
3.坐标变换
3.1平移变换 （Translation transformation ）： 坐标系 {B}与｛ A｝的方向向量平行，原点不同。
?1 0 0 px ?
T ? ??0
1
0
p
y
? ?,
?0 ?
0
1
pz
? ?
?0 0 0 1 ?
A p ? T ?B
? ?
How to
solve the
magic cube ？
1. 位置描述
Z
1.1笛卡尔坐标系：
P(Px , Py , Pz )
在选定的直角坐标系 {A}中，
空间任一点 P的位置可用
位置矢量
A P表示：
O
Y
A p ? pxi ? py j ? pzk
利用 3×1矩阵表示：
?Px ? X
AP
?
??Py
? ?
r22
r23
? ?
??r31 r32 r33 ??
?nx ox ? x ?
??? A RB ? ?n
o ? ?? ??ny
oy
?
y
? ?
??nz oz ? z ??
刚体B相对于坐标系｛A｝的
姿态的旋转矩阵。
A xB ? r11i ? r21 j ? r31k A yB ? r12i ? r22 j ? r32k A zB ? r13i ? r23 j ? r33k
2.1 姿态描述
? 旋转矩阵的性质：
A RB ? ?n
o
?
??
??nx ?ny
ox oy
? ?
x y
? ? ?
??nz
oz
?
z
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? ?
? 单位向量，相互垂直， 正交。
A x B ?A xB ? A y B ?A y B ? A z B ?A z B ? 1 A x B ?A y B ? A y B ?A z B ? A z B ?A x B ? 0
? 运动学逆问题： 机器人运
动学逆问题，是已知满足
某工作要求时末端执行器
的位置和姿态，以及各连
杆的结构参数，求关节变
量。
How to
move my
hand?
机器人运动学－前言
? 机器人的微分运动：机器人关 节坐标的微小运动与机器人末 端的位置和姿态的变化之间的 变换关系。
? 基于速度的运动控制：通常采 用微分运动原理对机器人的各 个关节的运动进行控制。
机器人运动学
机器人运动学的主要内容
1. 位置与姿态描述 2. 坐标变换 3. 连杆变换矩阵 4. 机器人正向运动学 5. 机器人逆向运动学
机器人运动学－前言
? 机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械臂之间的关 系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示 方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉 中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。
2. 姿态描述
姿态描述：刚体的空间表示。
一个刚体在空间有几个自由度？
通常的做法是：定义两个坐标系 ? 空 间固定坐标系和刚体固定坐标系。
常用的姿态描述：
旋转矩阵的姿态描述（笛卡尔坐标系 下），
欧拉（Euler ）角的姿态描述， 利用横滚（R：Roll ）、俯仰（P：
pitch ）、偏转（Y：yaw ）角 （RPY角）的姿态描述等。
? 本课程将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物 体之间以及各物体与机器人 (机械臂)之间的关系。
机器人运动学－前言
? 运动学研究的问题：
? 运动学正问题： 机器人运
动学正问题是已知机器人
各关节、各连杆参数及各
关节变量，求机器人手端
坐标在基础坐标中的位置
和姿态。
Where is
my hand?