机器人学第二章(数学基础)
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【管理资料】机器人学基础-第2章-数学基础-蔡自兴汇编
沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵
A B
R
。
假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系
{A}中的描述Ap。
yB
yC
解： 1 2
A
p B0
6
yA
0
{A}
{B} Ap ApBo
Bp oB
xB xC
oA
xA
zC zB
zA
2.2 Coordinate Transformation
0 0 1 0 0 1xC
oB
{A}
ApBo
oA
xA
zC zB
zA
2.2 Coordinate Transformation
12
2.2 Coordinate Transformation
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对
于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并
Ch.2 Mathematical Foundations
6
2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
平移坐标变换 (Translation Transform)
ApBpApBo
zB { B }
(2.10)
zA { A } oA
Ap
Bp
oB
yB
ApBo
yA
xB
xA
图 2.3平 移 变 换
2.2 Coordinate Transformation
7
2.2 Coordinate Transformation
旋转坐标变换 (Rotation Transform)
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
0 0
10
10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
与点矢 0 0 0 0T相仿，平面 0 0 0 0也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
工业机器人课程教学大纲
工业机器人课程教学大纲《工业机器人》课程教学大纲一(课程的性质与任务课程性质:本课程综合介绍了机器人技术，设计思想和发展趋势主要任务:本课程是要求学生通过学习、课堂教育，能了解机器人发展的最新技术与现状;初步掌握机器人技术的基本知识。
二(课时分配序号课题小计讲课实验机动一绪言 2 2 二机器人学的数学基础 4 4 三机器人运动方程的表示与求解 8 8 四机器人动力学 6 6机器人的控制五 4 4 六机器人学的现状、未来 2 2合计 28 26 2三(课程教学内容第一章绪言简述机器人学的起源与发展，讨论机器人学的定义，分析机器人的特点、结构与分类。
第二章机器人学的数学基础空间任意点的位置和姿态变换、坐标变换、齐次坐标变换、物体的变换和逆变换，以及通用旋转变换等。
第三章机器人运动方程的表示与求解机械手运动姿态、方向角、运动位置和坐标的运动方程以及连杆变换矩阵的表示，欧拉变换、滚-仰-偏变换和球面变换等求解方法，机器人微分运动及其雅可比矩阵等第四章机器人动力学机器人动力学方程、动态特性和静态特性;着重分析机械手动力学方程的两种求法，即拉格朗日功能平衡法和牛顿-欧拉动态平衡法;然后总结出建立拉格朗日方程的步骤第五章机器人的控制机器人控制与规划第六章机器人学的现状、未来包括国内外机器人技术和市场的发展现状和预测、21世纪机器人技术的发展趋势、我国新世纪机器人学的发展战略等。
不同类型机器人的研究发展状况等。
四(教学的基本要求采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力;理论以够用为度，且从应用的角度，尽量简化定量分析。
五(建议教材与教学参考书1、机器人学、蔡自兴、清华大学出版社、20002、机器人学导论，约翰J.克雷格、西北工业大学出版社、1987 六(说明1( 本课程的教学原则上须由一定工作经验的讲师及讲师以上的教师担任，以保证理论知识和实践操作技能教学的需要。
2( 本课程适用于高职数控技术应用、机电一体化、机电工程及自动化、机械工程与自动化等专业。
第二章 机器人技术数学基础 51页 4.0M
0.866 0.5 0 12 A R R ( z ,30 0 ) 0.5 0.866 0; A p B 0 6 B 0 0 0 1 0.902 12 11 .908 A A p B R B p A p B 0 7.562 6 13 .562 0 0 0
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
n T y nz 0 nx o x a x 0 oy oz 0 ny oy ay 0 ax ay az 0 nz oz az 0 px py pz 1 p n p o p a 1
2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans(4,0,0) Rot( y,90 ) Rot( z ,90 ) 0 1 0 0
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s s c 1 0 0 R ( z , ) 0 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
2.齐次坐标的复合变换 {B}相对于{A}: ABT; {C}相对于{B}: BCT; 则{C}相对于{A}: A T A T B T C B C
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
n T y nz 0 nx o x a x 0 oy oz 0 ny oy ay 0 ax ay az 0 nz oz az 0 px py pz 1 p n p o p a 1
2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans(4,0,0) Rot( y,90 ) Rot( z ,90 ) 0 1 0 0
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s s c 1 0 0 R ( z , ) 0 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
2.齐次坐标的复合变换 {B}相对于{A}: ABT; {C}相对于{B}: BCT; 则{C}相对于{A}: A T A T B T C B C
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
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式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
机器人2(第二章2)
其中：
kx =
1
3、
ky =
1
kz = 3、
1 3ห้องสมุดไป่ตู้
θ = 120 o 、
二、等效转轴和等效转角 利用旋转变换通式可由给定的转轴和转角求出旋转矩阵 ， 其反向问题则是由给定的旋转矩阵求其等效转轴和等效 ⇒ 转角。 前一个问题：等效转轴、转角 ⇒ 旋转矩阵 后一个问题：旋转矩阵 ⇒ 等效转轴、转角 ，为了求出它的等效 对给定的旋转矩阵 R = [n o a ]
又
B
TA−1
0 0 = − 1 0
0 1 4 0 0 1 0 4 = 1 0 0 8 0 0 1 0
−1
∴
0 0 A S = B T A−1 B S = 1 0
0 − 1 8 4 8 1 0 − 4 0 − 4 = 0 0 − 4 0 0 0 0 1 1 1
R(k ,120 ) = Rot ( y,90 ) Rot ( z ,90 )
o o o
§2.9 逆变换
在机器人作业中，经常已知一点在参考 坐标系中的位置，欲求它在新坐标系中的位 置。例如：根据机械手在用户坐标系中的位 置，计算它相对机器人手的位置。为了解决 这个问题，必须要先定义一个新的机械手坐 标系，并且使用一系列坐标变换求出它相对 逆变换 参考坐标系的变化 ⇒
二、园柱坐标(Cylindrical polar coordinates)
Cyl ( Z , ϕ , r ) = Trans (0,0, Z ) Rot ( Z , ϕ )Trans ( r ,0,0)
Cα Sα = 0 0 − Sα Cα 0 0 0 rCα 0 rSα 1 l 0 1
机器人学第二章(数学基础)
第二章数学基础2.1 引言机器人操作手的研究涉及物体之间以及物体与操作手之间的关系。
在这一章中，我们将研究描述这些关系所需的表示方法。
在同样必须描述物体之间关系的计算机制图学领域中，已经解决了类似的表示方法问题。
在该领域以及计算机视觉方面使用了齐次变换。
这些变换以前Denavit用来描述连杆机构。
而现在我们用这些变换来描述操作手。
我们将首先建立向量和平面的符号，再在这些符号基础上引入变换。
这些变换主要由移动和转动所组成。
接着将表明，这些变换也可以作为表示包括操作手在内的物体的坐标架。
然后将引入逆变换。
后一节叙述绕任一向量旋转的一般旋转变换。
再介绍一种算法，以用来找出用任何已知变换表示的等效旋转轴和等效旋转角。
伸张和缩放变换的一小节，连同透视变换一节也包含在本章中。
这一章用一节关于变换方程的内容来作为结尾。
2.2 符号在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。
点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。
例如：向量v, xl, x平面∏， Θ坐标架I, A, CONV我们将把点向量、平面和坐标架作为具有关联数值的变量使用。
例如，一个点向量就具有三个笛卡尔坐标分量。
如果希望相对于坐标架E来描述空间一个称为p的点我们将用一个称为ｖ的向量，并将这一向量写成EV前置的上标表示所定义的坐标架。
我们也可以利用向量w相对于例如H这样的不同坐标架，来描述相同的点p为HWv和w是两个很可能具有不同分量的向量，虽然两个向量描述相同的点p，但v≠w。
也可能存在这种情况，用一个向量a来描述在任一坐标架上面3英寸地方的一个点F2a1aF在这一情况中，向量是完全相同的，但是描述了不同的点，通常文中定义的坐标架是明显的，这时上标就不用。
在许多情况中，向量的名称将与被描述的物体的名称相同，例如，销的末端可以用相对于坐标架BASE的向量tip来描述B A SEtip如果文中相对于BASE描述向量是明显的，则我们可以简单地写为tip如果还希望相对于另一坐标架HAND 来描述这一点，则我们必须用另一向量来描述这一关系，例如tv HANDtv HAND和tip 两者描述相同的物件，但有着不同的值。
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
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考坐标系 Oxyz 做如下运动：① R（x, 90°）；② R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求点 Po'uvw在固定参考坐标系 Oxyz下 的位置。 解1：用画图的简单方法
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
x
2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义
x x wx t1
设T= y y wy t2 ，有一个手爪，已知其在∑O的位置，设一个
z z wz t3
0
0
0
1
该坐标系∑O´，已知， o' a1 b1 c1 ，那么∑O´在∑O中的齐次坐
1 0 0 a1
标变换为
T1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
b1
，如果手爪转了一个角度，
0
0
0
11
1
② R（z, 90°） ③ R（y, 90°）
0 -1 0 0 1 3
P'' 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 2 2
0
0
0
1
1
1
0 0 1 03 2
P '''
0
1
0
0 1
1
-1 0 0 02 3
0
0
0
1 1
1
（2-14） （2-15） （2-16）
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关
n
o
a
i
节变量空间之间的关系
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
z
w
已知： Puvw Pu iu Pv ju Pw kw
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P
v
o
Pv
y
Px Puvw ix ix (Pu iu Pv jv Pw kw )
(O')
Py Puvw jy jy (Pu iu Pv jv Pw kw ) x Pz Puvw jz jz (Pu iu Pv jv Pw kw )
kw
则 : pxyz RPuvw
反过来： Puvw R1 Pxyz
R 1 R* det R
由刚体的等距变换可知：
pT xyz
pxyz
pT uvw
puvw
将上式代入，可得： RT R I
R为正交矩阵。
R为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵， 因此R1 RT
由图可知，jv 在y轴上的投影为jy cos ，jv 在z轴上的投影
机器人运动学
第二章 数学基础
2.1 引言
机器人位置和姿态的描述
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
②绕X轴转动60º；③绕Y轴转动90º。求T。
cos30 sin 30 0 0
R1
s
in
30
0
cos30 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0
0 0
R2
0 0
c os60 sin 60
为 kz sin , kw 在y轴上的投影为 jy sin ， kw 在z轴上的投影为
kz cos ，所以有：
z
ix
i
ix jv
ix
kw
W'
R(x, ) jy i jy jv jy kw
w
k
z
i
kz jv
kz
k
w
V'
1 ix iu 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
U'
u
x
v' vy
• 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人 的运动学问题—D-H方法
• 具有直观的几何意义
• 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
• 其数学基础即是齐次变换
2.2 点齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
（ 2.3）
a×b =
ijk
ax ay az bx by bz
（2.4）
旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对
应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则
P点在ΣO´uvw中可表示为：
0 0 0
1
（2-20）
以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。
如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v轴转动90º；
③绕当前 w 轴转动90º；求合成旋转矩阵。
解1：用画图的方法
z w
v u o(o′) y
x
z
w′ o′ v′ u′
o
x
y
w″
z
o′
v″
u″
oy
x
解2：用计算的方法
z
v```
0 0 1 4 T Trans(4, 3, 7) R(y,90o ) R(Z,90o ) 1 0 0 3
o′ u``` w```
o
y
0 1 0 7
0 0 0
1
x
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意：旋转矩阵间不可以交换
z
平移齐次变换矩阵
c
1 0 0 a H Trans(a b c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
w′
o′ v′
u′
b
a x
oy
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经H变换为向量v可表示为
x + aw
z
Puvw Pu iu Pv ju Pw kw
iu 、jv、kw为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，
w
P
则P点在Σoxyz中可表示为：
o
v
(O')
y
Pxyz Px ix Py iy Pz iz Puvw Pxyz
u
x
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相 对于固定坐标系，轴相当于 X轴，v轴相对于 Y轴，w轴相当于 Z轴。
x
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、
y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，
z
0
图2.1 点向量的描述
即
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述 结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：
Py
R44
Pz 1
Pu
Pv
Pw 1
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
R44 R（y, )R(z,)R(x, )
定义1： 当动坐标系 O'uvw 绕固定坐标系 Oxyz 各坐标轴顺序有限次
O'
o
图2-5
vy
方向余弦阵
三个基本旋转矩阵:
同理：
1
R(x, ) 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
cos 0 sin
R（y,
)
0
1
0
sin 0 cos
cos - sin 0
R（z, ) sin cos 0
0
0 1
z
W'
w
o O'
u x
U'
z w
W'
o
O'
u
x
U'
vy
解1：用画图的方法：
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v```
7
o′ u```
w```
o(o′) v y
u x
o(o′) u′ y
o
x
x w″
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
x
2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义
x x wx t1
设T= y y wy t2 ，有一个手爪，已知其在∑O的位置，设一个
z z wz t3
0
0
0
1
该坐标系∑O´，已知， o' a1 b1 c1 ，那么∑O´在∑O中的齐次坐
1 0 0 a1
标变换为
T1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
b1
，如果手爪转了一个角度，
0
0
0
11
1
② R（z, 90°） ③ R（y, 90°）
0 -1 0 0 1 3
P'' 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 2 2
0
0
0
1
1
1
0 0 1 03 2
P '''
0
1
0
0 1
1
-1 0 0 02 3
0
0
0
1 1
1
（2-14） （2-15） （2-16）
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关
n
o
a
i
节变量空间之间的关系
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
z
w
已知： Puvw Pu iu Pv ju Pw kw
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P
v
o
Pv
y
Px Puvw ix ix (Pu iu Pv jv Pw kw )
(O')
Py Puvw jy jy (Pu iu Pv jv Pw kw ) x Pz Puvw jz jz (Pu iu Pv jv Pw kw )
kw
则 : pxyz RPuvw
反过来： Puvw R1 Pxyz
R 1 R* det R
由刚体的等距变换可知：
pT xyz
pxyz
pT uvw
puvw
将上式代入，可得： RT R I
R为正交矩阵。
R为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵， 因此R1 RT
由图可知，jv 在y轴上的投影为jy cos ，jv 在z轴上的投影
机器人运动学
第二章 数学基础
2.1 引言
机器人位置和姿态的描述
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
②绕X轴转动60º；③绕Y轴转动90º。求T。
cos30 sin 30 0 0
R1
s
in
30
0
cos30 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0
0 0
R2
0 0
c os60 sin 60
为 kz sin , kw 在y轴上的投影为 jy sin ， kw 在z轴上的投影为
kz cos ，所以有：
z
ix
i
ix jv
ix
kw
W'
R(x, ) jy i jy jv jy kw
w
k
z
i
kz jv
kz
k
w
V'
1 ix iu 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
U'
u
x
v' vy
• 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人 的运动学问题—D-H方法
• 具有直观的几何意义
• 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
• 其数学基础即是齐次变换
2.2 点齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
（ 2.3）
a×b =
ijk
ax ay az bx by bz
（2.4）
旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对
应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则
P点在ΣO´uvw中可表示为：
0 0 0
1
（2-20）
以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。
如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v轴转动90º；
③绕当前 w 轴转动90º；求合成旋转矩阵。
解1：用画图的方法
z w
v u o(o′) y
x
z
w′ o′ v′ u′
o
x
y
w″
z
o′
v″
u″
oy
x
解2：用计算的方法
z
v```
0 0 1 4 T Trans(4, 3, 7) R(y,90o ) R(Z,90o ) 1 0 0 3
o′ u``` w```
o
y
0 1 0 7
0 0 0
1
x
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意：旋转矩阵间不可以交换
z
平移齐次变换矩阵
c
1 0 0 a H Trans(a b c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
w′
o′ v′
u′
b
a x
oy
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经H变换为向量v可表示为
x + aw
z
Puvw Pu iu Pv ju Pw kw
iu 、jv、kw为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，
w
P
则P点在Σoxyz中可表示为：
o
v
(O')
y
Pxyz Px ix Py iy Pz iz Puvw Pxyz
u
x
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相 对于固定坐标系，轴相当于 X轴，v轴相对于 Y轴，w轴相当于 Z轴。
x
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、
y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，
z
0
图2.1 点向量的描述
即
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述 结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：
Py
R44
Pz 1
Pu
Pv
Pw 1
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
R44 R（y, )R(z,)R(x, )
定义1： 当动坐标系 O'uvw 绕固定坐标系 Oxyz 各坐标轴顺序有限次
O'
o
图2-5
vy
方向余弦阵
三个基本旋转矩阵:
同理：
1
R(x, ) 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
cos 0 sin
R（y,
)
0
1
0
sin 0 cos
cos - sin 0
R（z, ) sin cos 0
0
0 1
z
W'
w
o O'
u x
U'
z w
W'
o
O'
u
x
U'
vy
解1：用画图的方法：
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v```
7
o′ u```
w```
o(o′) v y
u x
o(o′) u′ y
o
x
x w″