机器人数学基础
合集下载
第1章机器人数学基础资料
y2 y0
O2 x2
z1
O1
z2
x0
x1
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 0 1 10
T20
1 0
0 1
0 0
20
0
0 0 0
1
y1
z0
O0
y2 y0
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2 T10
1 0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
x0
x1
当S2是沿动系运动时用T2右乘 T10
第二种情况：沿基系S0运动
y1
z0
S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10
y2
O0
y0
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0 y1 0
0
1
y2
z0
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
O0
齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3）
w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没 有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和 方便性。 坐标轴的方向表示： i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的 单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
第三章机器人技术数学基础
A
P P PB0
B A
2.旋转变换 • 二维的启示
坐标旋转 坐标系{B}是坐标系{A}绕原点旋转得到的，
y1
p
y0
x1
x0
X1=x0/cosα+y1.tg α Y0=y1/ cosα+x0. tg α 解得 X0=x1. cosα-y1.sin α Y0=x1. sin α+y1 cosα
x0
3.3 齐次坐标变换
1.齐次坐标
(1)定义 • 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量 T P= x y z 来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)， 它们的关系为: a= x b= y c= z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)旋转变换的齐次坐标形式
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( x, ) 0 c s R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 0 s c s 0 c 0 0 1
基本旋转矩阵可由下面公式求得：
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s
0 c s R ( y, ) 0 s c
0 s c 1 0 R ( z , ) s 0 0 c
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O • 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B B R A
pB0
3.2 坐标变换
1. 平移坐标变换 坐标系{A}和{B} 具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
工业机器人运动学-1数学基础
则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为
第二章 机器人的数学基础
a
x
b
y
c
z
pBO B p 1 1
A
A
p
B
p
14
p AT B p B
第二节 坐标变换
A BR A BT 0 0 0 A
pBO 1
称为齐次变换矩阵
A A I3 pBO B R A BT 0 0 0 1 0 0 0
A
yB
A
zB
称为旋转矩阵，也可表示成：
r11 r12 r13 A R r21 r22 r23 B r r r 31 32 33
旋转矩阵是正交的。
6
第一节 位置和方位的表示
按照上述定义，绕 x 轴旋转了θ 角的旋转矩阵，为
0 0 1 R ( x, ) 0 cos sin 0 sin cos
称为坐标旋转方程
3、一般变换
坐标系｛B｝与｛A｝既不共原点，方位亦不同，此时，
A A p B R B p A pBO
11
例题：已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合，首 先 B 相对于坐标系 A 的 z A 轴转30度，再沿 A 的 xA 轴移动12个单位，并沿 A 的 yA 轴移动6 A A 个单位。求位置矢量 pB 和旋转矩阵 B R 。假设 点p在坐标系 B 中的描述为 B p 5,9, 0T ，求它在 坐标系 A 中的描述 A p 。
13
第二节 坐标变换
4、齐次坐标变换
用4×1列向量表示三维空间坐标系中的点：
称为齐次坐标，齐次坐标具有不唯一性。引入齐次坐标后，一般变换变为：
A A p B R 1 0 0 0 A
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
![第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]](https://img.taocdn.com/s3/m/c5aed3c4a1c7aa00b52acbd8.png)
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
第三章工业机器人机器人技术数学基础PPT课件
•方向余弦阵的几个性质
1)方向余弦阵是正交矩 阵，因此，矩阵中每 行和每列中元素的平 方和为1
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O
• 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B
R
可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的
坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p .
3)
A B
R
可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
在坐标系的旋转变换中，有一些特殊情况，即绕单 个轴的旋转，相应的旋转矩阵称为基本旋转矩阵． 当{A}仅绕z轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
12
B ARR(z,30 0) 0.5 0.866 0 ;ApB0 6
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
3.3 齐次坐标变换
(1)定义
1.齐次坐标
• 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量
P= x y z T
来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)，
它们的关系为:
a= x
b= y
c=
z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)齐次坐标不是单值确定的
• 比如(x，y，z， )是某点的齐次坐标，则(mx，
my，mz，m )也是该点的次坐标（m为任一 非零常数）。
• M=1 时,很容易给出一个点(a，b，c)的齐次坐 标为(a，b，c，1)
• 显然齐次坐标(0，O，O，1)表示坐标原点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 0 0 0 1 0 9 7 2 1 1 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A A P B RB P A PB 0
(2-13)
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B} 相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 AR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 B 坐标系{A}中的位置.
A
P P PB 0
B A
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
B A
A P B RB P
R R R
A B A B
1
T
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既 不重和,方位也不同. 这时有:
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0 0.902 12 11.908 6 13.562 A A B p B R p A p B 0 7 . 562 0 0 0
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
A
p B0
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
1.
平移坐标变换 坐标系 {A} 和 {B} 具有相同的方位 , 但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) 0 1 0 0 4 0 0 3 1 0 7 0 0 1 0 1
4.3 齐次坐标变换 复合齐次变换 绝对变换 当活动坐标系O'UVW绕固定坐标系OXYZ各坐标轴 顺序有限次转动时，其复合齐次旋转矩阵为各基本 旋转矩阵依旋转顺序左乘。 相对变换 如果活动坐标系O'UVW相对于自身坐标系的当前 坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为 相对变换。
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s 0 0 s c 0 0 1 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 1
旋转矩阵间次序不可以交换。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans( 4,0,0) Rot ( y,90) Rot ( z ,90) 0 1 0 0
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 1 1 0 R( z,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 0 7 3 3 7 0 0 ; ; ; ; ; ; 1 0 2 2 0 1 1 1
0 Trans(a, b, c) 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 1 0 0 4 2 6 矢量. 0 0 1 0 3 3
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。 例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 Trans(4,3,7) 0 0 4 1 0 3 ; ; ; 0 1 7 0 0 1 0 0
0 1 0 3 2 7 7 1 0 0 ; ; ; ; ; ; 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
px n o a p y y y T y nz oz a z p z 0 0 1 0 nx n y nz p n o o o p o y z T 1 x a x a y a z p a 0 0 0 1 ax
为什么采用齐次变换矩阵，且采用 方阵？
首先，如后面看到的，计算方形矩阵的逆 要比计算长方形矩阵的逆容易得多。 其次，为使两矩阵相乘，它们的维数必须 匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵 的行数相同。如果两矩阵是方阵则无上述 要求。 由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起得 到机器人运动方程，因此，应采用方阵进 行计算。
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换及逆变换 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: A P [ px p y p z ]T 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p B x p cos B y p sin
A A
y p B x p sin B y p cos z p Bz p
A x p cos sin 0 B x p A B y p sin cos 0 y p B Azp 0 0 1 z p 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A
A B B
A
y
A
z 1 , P x
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义: A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A 2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 B 坐标 p 变换成{A}中点的坐标 A p . A 3) B R 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0 4 1 0 1
1 0 0 0
4 0 0 1
1 0 0 1 4 1 4 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 0 2 1 1 4 0 1 1 4 0 1
则
p px p y pz , n nx ny nz , o ox oy oz , a ax a y az
T
T
T
T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程
A B p 1
A B B RC R 0
R B pC 0 A p B0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
3.齐次坐标的逆变换 {B}相对于{A}: ABT; {A}相对于{B}: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法
B B A T A T A p A0 B R p B 0 A 1 B AR BR BT AT 1 0 1 0 B A B A B ( p B 0 ) A R p B 0 p A0 0
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
Robotics 数学基础
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A A P B RB P A PB 0
(2-13)
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B} 相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 AR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 B 坐标系{A}中的位置.
A
P P PB 0
B A
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
B A
A P B RB P
R R R
A B A B
1
T
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既 不重和,方位也不同. 这时有:
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0 0.902 12 11.908 6 13.562 A A B p B R p A p B 0 7 . 562 0 0 0
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
A
p B0
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
1.
平移坐标变换 坐标系 {A} 和 {B} 具有相同的方位 , 但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) 0 1 0 0 4 0 0 3 1 0 7 0 0 1 0 1
4.3 齐次坐标变换 复合齐次变换 绝对变换 当活动坐标系O'UVW绕固定坐标系OXYZ各坐标轴 顺序有限次转动时，其复合齐次旋转矩阵为各基本 旋转矩阵依旋转顺序左乘。 相对变换 如果活动坐标系O'UVW相对于自身坐标系的当前 坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为 相对变换。
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s 0 0 s c 0 0 1 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 1
旋转矩阵间次序不可以交换。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans( 4,0,0) Rot ( y,90) Rot ( z ,90) 0 1 0 0
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 1 1 0 R( z,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 0 7 3 3 7 0 0 ; ; ; ; ; ; 1 0 2 2 0 1 1 1
0 Trans(a, b, c) 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 1 0 0 4 2 6 矢量. 0 0 1 0 3 3
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。 例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 Trans(4,3,7) 0 0 4 1 0 3 ; ; ; 0 1 7 0 0 1 0 0
0 1 0 3 2 7 7 1 0 0 ; ; ; ; ; ; 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
px n o a p y y y T y nz oz a z p z 0 0 1 0 nx n y nz p n o o o p o y z T 1 x a x a y a z p a 0 0 0 1 ax
为什么采用齐次变换矩阵，且采用 方阵？
首先，如后面看到的，计算方形矩阵的逆 要比计算长方形矩阵的逆容易得多。 其次，为使两矩阵相乘，它们的维数必须 匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵 的行数相同。如果两矩阵是方阵则无上述 要求。 由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起得 到机器人运动方程，因此，应采用方阵进 行计算。
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换及逆变换 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: A P [ px p y p z ]T 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p B x p cos B y p sin
A A
y p B x p sin B y p cos z p Bz p
A x p cos sin 0 B x p A B y p sin cos 0 y p B Azp 0 0 1 z p 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A
A B B
A
y
A
z 1 , P x
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义: A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A 2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 B 坐标 p 变换成{A}中点的坐标 A p . A 3) B R 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0 4 1 0 1
1 0 0 0
4 0 0 1
1 0 0 1 4 1 4 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 0 2 1 1 4 0 1 1 4 0 1
则
p px p y pz , n nx ny nz , o ox oy oz , a ax a y az
T
T
T
T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程
A B p 1
A B B RC R 0
R B pC 0 A p B0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
3.齐次坐标的逆变换 {B}相对于{A}: ABT; {A}相对于{B}: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法
B B A T A T A p A0 B R p B 0 A 1 B AR BR BT AT 1 0 1 0 B A B A B ( p B 0 ) A R p B 0 p A0 0
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
Robotics 数学基础