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第三章机器人技术数学基础
A
P P PB0
B A
2.旋转变换 • 二维的启示
坐标旋转 坐标系{B}是坐标系{A}绕原点旋转得到的，
y1
p
y0
x1
x0
X1=x0/cosα+y1.tg α Y0=y1/ cosα+x0. tg α 解得 X0=x1. cosα-y1.sin α Y0=x1. sin α+y1 cosα
x0
3.3 齐次坐标变换
1.齐次坐标
(1)定义 • 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量 T P= x y z 来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)， 它们的关系为: a= x b= y c= z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)旋转变换的齐次坐标形式
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( x, ) 0 c s R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 0 s c s 0 c 0 0 1
基本旋转矩阵可由下面公式求得：
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s
0 c s R ( y, ) 0 s c
0 s c 1 0 R ( z , ) s 0 0 c
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O • 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B B R A
pB0
3.2 坐标变换
1. 平移坐标变换 坐标系{A}和{B} 具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
机器人学第二章(数学基础)
从到的相应平面变换为
（2-21）
这是因为我们要求条件
（2-22）
在所有变换中不变。为了证实这一点，我们将公式2.20和2.21代入公式2.22的左边。由于 为单位矩阵I，故得
（2-23）
2.6
相应于用向量 表示的移动变换 是
（2-24）
给出向量 ,则得变换后的向量 为
（2-25）
（2-26）
移动也可以解释为两个向量 与 之和。
或 （2-15）
点 将落在这一平面中
（2-16）
或
（2-17）
点 位于平面上面
（2-18）
实际是正数，表明点在平面之外，而在外指法线方向上。点 位于平面之下
（2-19）
平面 是非限定的。
2.5
空间变换 是一个4 4矩阵，能够用来表示移动，转动。伸展和透视变换。给出一点u，它的变换v矩阵乘积表示为
（2-20）
（2-44）
我们应该预料到这一点，因为矩阵相乘是不能交换的。
（2-45）
这一变换结果如图2-3所示.
现在我们将原先的转动与移动 结合起来。我们从公式2-27得到移动，从公式2.41得到转动。矩阵表达式是
（2-46）
且点 变换至 为
（2-47）
其结果如图2-4所示。
2.8坐标架
我们可以把齐次变换的元素理解为描述另一坐标架的四个向量。向量 位于另一坐标架的原点。它的变换是和变换矩阵右边那一列相对应。考虑公式2.47中的变换
2.2
在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。例如：
向量v, xl, x
平面，
坐标架I, A, CONV
（2-21）
这是因为我们要求条件
（2-22）
在所有变换中不变。为了证实这一点，我们将公式2.20和2.21代入公式2.22的左边。由于 为单位矩阵I，故得
（2-23）
2.6
相应于用向量 表示的移动变换 是
（2-24）
给出向量 ,则得变换后的向量 为
（2-25）
（2-26）
移动也可以解释为两个向量 与 之和。
或 （2-15）
点 将落在这一平面中
（2-16）
或
（2-17）
点 位于平面上面
（2-18）
实际是正数，表明点在平面之外，而在外指法线方向上。点 位于平面之下
（2-19）
平面 是非限定的。
2.5
空间变换 是一个4 4矩阵，能够用来表示移动，转动。伸展和透视变换。给出一点u，它的变换v矩阵乘积表示为
（2-20）
（2-44）
我们应该预料到这一点，因为矩阵相乘是不能交换的。
（2-45）
这一变换结果如图2-3所示.
现在我们将原先的转动与移动 结合起来。我们从公式2-27得到移动，从公式2.41得到转动。矩阵表达式是
（2-46）
且点 变换至 为
（2-47）
其结果如图2-4所示。
2.8坐标架
我们可以把齐次变换的元素理解为描述另一坐标架的四个向量。向量 位于另一坐标架的原点。它的变换是和变换矩阵右边那一列相对应。考虑公式2.47中的变换
2.2
在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。例如：
向量v, xl, x
平面，
坐标架I, A, CONV
第二章 机器人的数学基础
a
x
b
y
c
z
pBO B p 1 1
A
A
p
B
p
14
p AT B p B
第二节 坐标变换
A BR A BT 0 0 0 A
pBO 1
称为齐次变换矩阵
A A I3 pBO B R A BT 0 0 0 1 0 0 0
A
yB
A
zB
称为旋转矩阵，也可表示成：
r11 r12 r13 A R r21 r22 r23 B r r r 31 32 33
旋转矩阵是正交的。
6
第一节 位置和方位的表示
按照上述定义，绕 x 轴旋转了θ 角的旋转矩阵，为
0 0 1 R ( x, ) 0 cos sin 0 sin cos
称为坐标旋转方程
3、一般变换
坐标系｛B｝与｛A｝既不共原点，方位亦不同，此时，
A A p B R B p A pBO
11
例题：已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合，首 先 B 相对于坐标系 A 的 z A 轴转30度，再沿 A 的 xA 轴移动12个单位，并沿 A 的 yA 轴移动6 A A 个单位。求位置矢量 pB 和旋转矩阵 B R 。假设 点p在坐标系 B 中的描述为 B p 5,9, 0T ，求它在 坐标系 A 中的描述 A p 。
13
第二节 坐标变换
4、齐次坐标变换
用4×1列向量表示三维空间坐标系中的点：
称为齐次坐标，齐次坐标具有不唯一性。引入齐次坐标后，一般变换变为：
A A p B R 1 0 0 0 A
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
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式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
机器人学第二章(数学基础)
v
y
o(o′ ) u′
y
x
o
w″
u″
y
-3 o 4 x y
u x
x
解2：用计算的方法 根据定义1，我们有：
T Trans(4 , 3 , 7) R(y, 90 ) R(Z,90
)
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
4 3 7 1
（2-20）
y
cos
， j
v
在z轴上的投影
sin
,
kw
在y轴上的投影为
j y sin
， k w 在z轴上的投影为
z
k z cos
，所以有：
i x jv j y jv k z jv ix k w jy k w kz kw
i i x R(x, ) j y i k z i
w
已知： Puvw Pu i u Pv j u Pw k w P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P Pv v y
P x Puvw i x i x ( Pu i u Pv j v Pw k w )
P y Puvw j y j y ( Pu i u Pv j v Pw k w )
x
o
(O ')
Pu u
P z Puvw j z j z ( Pu i u Pv j v Pw k w )
图 2 -4
i x k w P j y k w Pv k z k w Pw
用矩阵表示为:
Px i x i P j i y y Pz k z i
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
机器人学基础_第2章_数学基础
2.3 Homogeneous Transformation
18
2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames
例2.2 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对 于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并 沿{A}的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系{B}的描述为 Bp=[3,7,0]T，用齐次变换方法求它在坐标系{A}中的描述Ap。
解：
A A BR T yA B 0
yB0.5 0.866 A 0.866 pBo 0.5{ B } 0 0 1 A p 0 0
A
y0 C
oB
12 0 6 1 Bp 0 0 1
xB
xC
{A} oA xA
pBo zC zB
zA
2.3 Homogeneous Transformation
A
p B p ApBo
zB {B}
(2.10)
zA
{A}
A
p oB
B
p yB
A
pBo xB
oA
yA
xA
图2.3 平移变换
2.2 Coordinate Transformation
8
2.2 Coordinate Transformation 旋转坐标变换 (Rotation Transform)
B
yB {B}
yA
{A} xB
z p B xp 0 0
s c 0 0 0 1
sinθ
p
c R ( z , ) s 0
oA
θ
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
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机器人学数学基础
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度பைடு நூலகம்过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
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56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度பைடு நூலகம்过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿