机器人学的数学基础
第1章机器人数学基础资料
y2 y0
O2 x2
z1
O1
z2
x0
x1
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 0 1 10
T20
1 0
0 1
0 0
20
0
0 0 0
1
y1
z0
O0
y2 y0
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2 T10
1 0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
x0
x1
当S2是沿动系运动时用T2右乘 T10
第二种情况：沿基系S0运动
y1
z0
S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10
y2
O0
y0
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0 y1 0
0
1
y2
z0
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
O0
齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3）
w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没 有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和 方便性。 坐标轴的方向表示： i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的 单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
第三章机器人技术数学基础
A
P P PB0
B A
2.旋转变换 • 二维的启示
坐标旋转 坐标系{B}是坐标系{A}绕原点旋转得到的，
y1
p
y0
x1
x0
X1=x0/cosα+y1.tg α Y0=y1/ cosα+x0. tg α 解得 X0=x1. cosα-y1.sin α Y0=x1. sin α+y1 cosα
x0
3.3 齐次坐标变换
1.齐次坐标
(1)定义 • 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量 T P= x y z 来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)， 它们的关系为: a= x b= y c= z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)旋转变换的齐次坐标形式
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( x, ) 0 c s R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 0 s c s 0 c 0 0 1
基本旋转矩阵可由下面公式求得：
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s
0 c s R ( y, ) 0 s c
0 s c 1 0 R ( z , ) s 0 0 c
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O • 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B B R A
pB0
3.2 坐标变换
1. 平移坐标变换 坐标系{A}和{B} 具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
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式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
机器人学第二章(数学基础)
v
y
o(o′ ) u′
y
x
o
w″
u″
y
-3 o 4 x y
u x
x
解2：用计算的方法 根据定义1，我们有：
T Trans(4 , 3 , 7) R(y, 90 ) R(Z,90
)
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
4 3 7 1
（2-20）
y
cos
， j
v
在z轴上的投影
sin
,
kw
在y轴上的投影为
j y sin
， k w 在z轴上的投影为
z
k z cos
，所以有：
i x jv j y jv k z jv ix k w jy k w kz kw
i i x R(x, ) j y i k z i
w
已知： Puvw Pu i u Pv j u Pw k w P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P Pv v y
P x Puvw i x i x ( Pu i u Pv j v Pw k w )
P y Puvw j y j y ( Pu i u Pv j v Pw k w )
x
o
(O ')
Pu u
P z Puvw j z j z ( Pu i u Pv j v Pw k w )
图 2 -4
i x k w P j y k w Pv k z k w Pw
用矩阵表示为:
Px i x i P j i y y Pz k z i
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
机器人学的数学基础
第3章机器人学的数学基础在机器人操作手工作时，我们需要在其特定三维工作空间中掌握各个物体之间的几何关系，这些物体包括操作手组成自身的各个活动杆件、底座、末端执行器、抓持工具、待抓取物体、障碍物等，它们之间的三维空间几何关系可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态。
3.1 位置和姿态表示为了精确描述各个连杆或物体之间的位置和姿态关系，我们首先定义一个固定的坐标系，并以它作为参考坐标系，所有静止或运动的物体就可以统一在同一个参考坐标系中进行比较。
该坐标系统通常被称为世界坐标系。
基于此共同的坐标系描述机器人自身及其周围物体，是机器人在三维空间中工作的基础。
通常，我们对每个物体或连杆都定义一个本体坐标系，又称局部坐标系，每个物体与附着在该物体上本体坐标系是相对静止的,即其相对位置和姿态是固定的。
因此，每个物体之间位置和姿态的关系就可以用它们自身的本体坐标系之间的位姿关系来确定了，本体坐标系原点之间的关系代表了它们的位置关系，本体坐标系各个坐标轴方向之间的关系代表了方位关系。
图3-1表示了机器人手臂及其周围物体在世界坐标系∑w中及各自本体坐标系中的位置和姿态。
zyxz∑W y z xx zzzzzz x yyx p z zy\图 3-1 机器人手臂及其周围物体的位置和姿态3.1.1 位置描述建立坐标系之后，三维空间中的任何一点都可以用一个具有三个分量的位置矢量来进行定位。
例如， 图3-1中立方体的质心p 在世界坐标系中的表示是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=wz wy wx w p p p p下标w 代表了世界坐标系，因为位置矢量p 在不同坐标系中数值表示不同。
以上就是典型的基于笛卡尔坐标系的三维空间位置矢量的描述方法。
当采用不同的坐标系表示时，会有不同的位置描述方法。
例如 基于圆柱坐标系的空间矢量表示方法，基于球坐标系的空间矢量表示方法等。
3.1.2 方位描述机器人手臂工作时，不但要考虑所抓取的物体的质心的位置，还要考虑空间中该物体的姿态，既方位。
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第3章机器人学的数学基础在机器人操作手工作时，我们需要在其特定三维工作空间中掌握各个物体之间的几何关系，这些物体包括操作手组成自身的各个活动杆件、底座、末端执行器、抓持工具、待抓取物体、障碍物等，它们之间的三维空间几何关系可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态。
3.1 位置和姿态表示为了精确描述各个连杆或物体之间的位置和姿态关系，我们首先定义一个固定的坐标系，并以它作为参考坐标系，所有静止或运动的物体就可以统一在同一个参考坐标系中进行比较。
该坐标系统通常被称为世界坐标系。
基于此共同的坐标系描述机器人自身及其周围物体，是机器人在三维空间中工作的基础。
通常，我们对每个物体或连杆都定义一个本体坐标系，又称局部坐标系，每个物体与附着在该物体上本体坐标系是相对静止的,即其相对位置和姿态是固定的。
因此，每个物体之间位置和姿态的关系就可以用它们自身的本体坐标系之间的位姿关系来确定了，本体坐标系原点之间的关系代表了它们的位置关系，本体坐标系各个坐标轴方向之间的关系代表了方位关系。
图3-1表示了机器人手臂及其周围物体在世界坐标系∑w中及各自本体坐标系中的位置和姿态。
zyxz∑W y z xx zzzzzz x yyx p z zy\图 3-1 机器人手臂及其周围物体的位置和姿态3.1.1 位置描述建立坐标系之后，三维空间中的任何一点都可以用一个具有三个分量的位置矢量来进行定位。
例如， 图3-1中立方体的质心p 在世界坐标系中的表示是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=wz wy wx w p p p p下标w 代表了世界坐标系，因为位置矢量p 在不同坐标系中数值表示不同。
以上就是典型的基于笛卡尔坐标系的三维空间位置矢量的描述方法。
当采用不同的坐标系表示时，会有不同的位置描述方法。
例如 基于圆柱坐标系的空间矢量表示方法，基于球坐标系的空间矢量表示方法等。
3.1.2 方位描述机器人手臂工作时，不但要考虑所抓取的物体的质心的位置，还要考虑空间中该物体的姿态，既方位。
空间中的物体，不但要考虑它的位置，还要考虑它的方位。
空间物体通常用自身本体坐标系的坐标原点表示位置，坐标轴的方向代表方位。
物体的相对位置和方位通常用它们各自的本体坐标系之间的关系来表示。
相对位置关系用局部坐标系的坐标原点之间的关系表示，方位关系用各自本体坐标系的坐标轴单位方向矢量之间的关系来表示。
常用的方位描述包括旋转矩阵表示法，固定角表示法，欧拉角表示法，等效轴角表示法，欧拉参数表示法等。
我们主要介绍旋转矩阵方位描述法，并简介固定角表示法，其它方法参考教科书。
A. 旋转矩阵描述法一个本体坐标系{B}相对于另一个参考坐标系{A}的姿态描述，用这个本体坐标系{B}的三个坐标轴的单位方向向量分别在参考坐标系的{A}三个坐标轴上的投影值，共9个投影分量所组成的矩阵（称作旋转矩阵）来表示两个坐标系之间的方位关系，这种方位描述方法称作旋转矩阵方位描述法。
具体解释如下： B Z A z B Y{A} {B}A YA XB X图 3-2 本体坐标系{B}在参考坐标系{A}中的方位描述如图3-2 所示，我们用 B B B Z Y X ˆ,ˆˆ,表示本体坐标系{B}的三个坐标轴的单位方向矢量，A A A Z Y X ˆ,ˆˆ,表示参考坐标系{A}的三个坐标轴的单位方向矢量。
则本体坐标系{B}的X 轴单位方向向量B X ˆ 在参考坐标系{A}中的表示即本体坐标系BX ˆ在参考坐标系{A}的三个坐标轴单位向量B B B Z Y X ˆ,ˆˆ,上的投影，我们用矢量：()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=A B A B A B A B A B A B B A Z X COS Y X COS X X COS Z X Y X X X X ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ 来表示， 这三个投影值代表了本体坐标系{B}的X 轴与参考坐标系{A}的各个坐标轴的夹角的余弦值。
同样道理， 本体坐标系{B}的BB Z Y ˆ,ˆ 在参考坐标系{A}中都可以如上述表示，得出矢量：()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=AB A B A B A B A B A B B A Z Y COS Y Y COS X Y COS Z Y Y Y X Y Y ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ, ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=A B A B A B A B A B A B B A Z Z COS Y Z COS X Z COS Z Z Y Z X Z Z ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ, 则，本体坐标系{B}在参考坐标系{A}中的方位描述可以用公式3-1表示,其中三行三列矩阵R A B 中的9个分量描述了了{B} 在{A}中的方位，我们称该矩阵为旋转矩阵。
旋转矩阵的每个分量代表了两个坐标系坐标轴方向夹角的余弦值。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A B AB A A B Z Z Z Z Z X Y Z Y Y Y X X Z X Y X X Z Y X R ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 3-1我们从空间几何意义上知道，姿态变换后又反变换回去，最终姿态不变。
观察{B}相对于{A}的方位（描述R A B ）（图3-2），{A}相对于{B}的方位（描述R B A ）与之大小相等方向相反， 因此利用旋转矩阵描述的方位应满足如下关系：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅100010001R R A B B A 即： 1-=R R A B B A 3-2而根据公式3-1 旋转矩阵的定义，我们得到：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==B A B A B A B A B A B A B A B A B A A B A BA B B A Z Z Z Z Z X Y Z Y Y Y X X Z X Y X X Z Y X R ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 3-3观察矩阵3-3的第一行与矩阵3-1的第一列相同，第二行与第二列相同，第三行与第三列相同。
因此，我们得出：T A B B A R R = 3-4由公式 3-2 和3-4联立，我们得出了旋转矩阵的重要特性：T A B A B R R =-1 3-5即旋转矩阵的逆阵等于它的转置矩阵。
这就为求旋转矩阵的逆阵提供了一条简单的方法，直接转置就可以了。
利用旋转矩阵3-1的定义，我们可以得到旋转矩阵的特性：1. 旋转矩阵的行向量或列向量都是单位方向向量。
1===B A B A B A Z Y X2. 旋转矩阵的行向量或列向量彼此两两垂直。
0=⋅=⋅=⋅B A B A B A B A B A B A Z Y Z X Y X3. 旋转矩阵的9个分量中只有3个独立变量，六个约束。
而 特性1 2 3 与 公式3-5 是等效的。
（有兴趣的同学自己验证）。
因此，判断一个3*3矩阵是否是旋转矩阵的充分必要条件就是看公式3-5 是否成立。
例一 坐标系{B} 相对于坐标系{A}绕X 轴逆时针方向旋转30度，利用旋转矩阵的定义求{B} 相对于{A}旋转矩阵R A B和 {A} 相对于{B}旋转矩阵R B A 及它们之间的关系 。
解 ：A z {A}：实线B Z B Y {B}：虚线030A YA X ，B X图 3-3如图3-3所示，根据旋转矩阵的定义，根据旋转矩阵的定义和公式3-3，得到[]B A B A B AA B Z Y X R ,,=, 而 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001B A X ，()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.0866.003030000SIN COS Y B A ，()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=866.05.003030000COS SIN Z B A 因此，{B}坐标系相对于{A}坐标系的旋转矩阵是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=866.05.005.0866.00001R A B 利用同样的道理，求得R B A 及它们之间的关系：T A BB A R R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=866.05.005.0866.00001通过例1的学习，我们熟悉并复习前面学到的旋转矩阵的定义和方法。
例二：判断下面的矩阵是不是有效的旋转矩阵？⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2102301023021 （1） ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2102301023021（2）， 解：利用旋转矩阵的特性1 和2 ，或者公式3-5 检验矩阵是不是有效的旋转矩阵，矩阵 1 中，第一列向量和第三列向量的点积是 23-，不是零，不符合旋转矩阵特性1 ，因此矩阵 1不是旋转矩阵。
矩阵2与它的转置矩阵相乘，得到： ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2102301023021*⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2102301023021=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 满足公式3-5 旋转矩阵的条件，因此 矩阵2 是有效的旋转矩阵。
旋转矩阵的几何变换含义：从旋转矩阵的定义，我们知道它代表了局部坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的方位（姿态）。
它还有其它的几何变换含义。
如图3-2 所示，假定{B}坐标系初始与参考坐标系{A}重合，然后经过旋转到达图示的方位， 设{B}坐标系相对于{A}坐标系的方位表示用旋转矩阵R A B 来表示。
那么， 如果{B}坐标系中存在相对于该坐标系静止的矢量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=BZ BY BX B p p P P ，经过与坐标系{B}相同的角度旋转，它在局部坐标系{B}中的姿态与在{A}坐标系中相比，同样差了方位R A B，这可以利用坐标投影证明，公式3-6中，B A B A B A Z Y X ,, 分别是{B}坐标系的坐标轴单位矢量在{A}坐标系的坐标轴上的投影值，[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅⋅⋅=BZ BY BX B A BA B A B A BZ B A BY B A BX A P P P Z Y X Z P Y P X P P 3-6=B A B P R ⋅因此，我们得到如下公式：B A B A P R P ⋅= 3-7从公式中看出，矢量A P 是矢量在参考坐标系{A}中的表示，矢量B P 可以看成是局部坐标系{B}中的固定矢量，因此旋转矩阵也可以看成是对矢量进行旋转的旋转操作算子。
B 固定角方位描述法用滚动角，俯仰角和偏摆角来表示方位是航海或航空中常见的轮船及飞机的方位描述方法。
滚动角的定义是指绕固定参考坐标系的X 轴旋转的角度，俯仰角是指绕固定参考坐标系的Y 轴旋转的角度，偏摆角是指绕固定参考坐标系的Z 轴旋转的角度，表3-1 表示了固定角表示法中的常用表示。