机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算.
齐次坐标变换矩阵公式
齐次坐标变换矩阵公式齐次坐标变换矩阵公式，这可是个相当有趣的数学概念呢！咱先来说说啥是齐次坐标。
想象一下，在平面上有个点 (x, y) ，为了让它能更好地进行各种变换，比如平移、旋转、缩放啥的，咱就给它加个额外的维度，变成 (x, y, 1) ，这就是齐次坐标啦。
那齐次坐标变换矩阵公式到底是啥呢？简单来说，就是一个能让这些齐次坐标按照咱想要的方式进行变化的神奇矩阵。
比如说，咱要把一个点沿着 x 轴平移 a 个单位，沿着 y 轴平移 b 个单位，那对应的变换矩阵就是 [1 0 a; 0 1 b; 0 0 1] 。
再比如说，要是想把这个点绕着原点逆时针旋转θ 角度，那变换矩阵就是[cosθ -sinθ 0; sinθ cosθ 0; 0 0 1] 。
有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别好玩的事儿。
当时，我在黑板上写下了一个复杂的齐次坐标变换矩阵，然后问他们：“同学们，你们觉得这个矩阵能把一个点变成啥样？”结果有个调皮的小家伙举手说：“老师，我感觉这矩阵像个魔法阵，能把点变没了！”全班哄堂大笑。
我笑着说：“这可不会把点变没，它是有规律的魔法呢！”然后我就一步一步地给他们解释这个矩阵的作用。
那为啥要学齐次坐标变换矩阵公式呢？这用处可大了去啦！在计算机图形学里，要让图像动起来、变漂亮，就得靠它。
还有机器人的运动控制，也离不开这个公式。
比如说，设计一个能跳舞的机器人，就得通过齐次坐标变换矩阵公式来计算它每个关节的位置变化，才能让它跳出炫酷的舞步。
在实际应用中，齐次坐标变换矩阵公式就像是一把万能钥匙，能打开很多难题的锁。
对于咱们学习数学和相关领域的同学来说，掌握这个公式就像是掌握了一门超级厉害的武功秘籍。
虽然一开始可能觉得有点难，但只要多练习、多琢磨，就能发现其中的乐趣和奥秘。
总之，齐次坐标变换矩阵公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，就能发现它的魅力所在，为我们解决很多实际问题提供强大的工具。
机器人模型与控制-0前言1齐次变换
三、刚体位姿描述－坐标系的描述
刚体相对于参考坐标系{A}的位姿：可以用与刚体固连 的坐标系{B} 相对于参考坐标系{A}的旋转矩阵和位置矢量 复合在一起来表达
B
YB YA
AP OB
A B
R , POB
A
P1 P1 OB ZB XB
OA ZA
XA
四、手爪位姿的描述
定义一个与手爪固连的手爪坐标系{T}，以{T}相对于参 考坐标系{A}位姿来描述手爪位姿
Z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量 a（approach）； Y轴设在两手指的联线方向，称为方位矢量 o（orientation）； X轴根据右手法则确定：n＝ o×a，称为法向矢量 n（normal）。
T
A T
R , POT
A
o（YT） n（XT） OT
，其中
A T
R n o a
* 在每个刚体上定义一个坐标系；
* 刚体内的各点之间的运动学关系固定不变， 在该坐标系内表示；
* 各刚体间及与环境间的位姿关系因关节运动而改变， 以齐次变换表达刚体（坐标系）间的位姿关系。
1.1 刚体位姿描述
• 在刚体上定义坐标系，通过坐标系在参考坐标系中的位置 和姿态表达，来描述刚体位姿。
YB YA
机器人模型与控制
参考教材： 1. 【ROBOT DYNAMICS AND CONTROL】 M W.SPONG, JOHN WILEY & SONS, 2004 2. 【机器人学】 熊有伦等编著 机械工业出版社 1993
内容
• • • • • 前言 相关基础知识：齐次变换 运动学：位置关系和速度关系 静力学 动力学
• • •
A B
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
0 0
10
10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
与点矢 0 0 0 0T相仿，平面 0 0 0 0也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵
相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵是机器视觉和工业机器人领域中一个非常重要的概念。
对于工业领域的自动化生产，机械臂和相机之间的精确配准是至关重要的，而齐次变换矩阵正是用来描述相机坐标系到机械臂末端坐标系之间的关系的。
本篇文章将深入探讨相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵的计算方法，并且将详细介绍该计算方法的原理和实际应用。
一、齐次变换矩阵的概念和基本原理齐次变换矩阵是一种用来描述坐标系之间关系的数学工具，它可以将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中去。
在工业机器人和机器视觉系统中，我们常常需要将相机坐标系中的点映射到机械臂末端坐标系中，这就需要使用到齐次变换矩阵。
齐次变换矩阵的基本形式如下所示：\[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]其中，\[R\]为旋转矩阵，\[t\]为平移向量。
齐次变换矩阵可以将一个点的坐标\[P\]从相机坐标系变换到机械臂末端坐标系：\[ P' = T \times P \]二、计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵需要以下步骤：1. 确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点需要确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点位置。
这两个坐标系的原点通常是相机的光学中心和机械臂末端执行器的中心点。
确定了原点位置之后，我们可以将相机坐标系和机械臂末端坐标系的坐标系原点重合。
2. 计算旋转矩阵接下来，需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的旋转矩阵。
旋转矩阵描述了两个坐标系之间的旋转关系。
在实际应用中，可以通过标定相机和机械臂的姿态来获取旋转矩阵。
3. 计算平移向量除了旋转矩阵之外，还需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的平移向量。
平移向量描述了两个坐标系之间的平移关系。
平移向量可以通过相机和机械臂的空间位置信息来计算得到。
4. 组合旋转矩阵和平移向量将计算得到的旋转矩阵和平移向量组合在一起，就得到了相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵。
机器人技术基础全
手爪的位姿: {T } {n , o , a , p }
a zB {B}
n xB o yB
p{A}求 ABT NhomakorabeaA
B
2.2 坐标变换
在机器人学的许多问题中，涉及到以不同坐标系表示 同一量。下面讨论从一个坐标系的描述到另个坐标系 的描述之间的变换关系。
B ATApBo
p BA Bo
B AR ApBoBpAo 0
BpAo B AR ApBo B ARTApBo
B A T 0 B A 1 R 3 B p 1A o B A 0 R 1 3 T
B A R TAp B o 1
z A {A}
oA xA
zB
{C}
Ap
A p Bo yA
Bp
yB
{B}
oB
xB
齐次变换矩阵
齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合
ABT0BA1R3
p A Bo 1
将其分解成两个矩阵相乘的形式之后就可以看出这一点。
A B T 0 B A 1 R 3 A p 1 B o ＝ 0I3 0 30A p 1 B 0 0B A 0 R01 0 其中，I3×3是3×3阶单位矩阵，等式右端第一个矩阵称为 平移变换矩阵，常用Trans (ApBo)来表示；第二个矩阵标为
机器人的操作，就其本义来说，意味着由某种机构在 空间移动零件和工具。这自然有必要表示零件、工具 以及机构本身的位置和方位。为了规定和运算表示位 置和方位的数学量，我们必需规定坐标系，并掌握它 们的表达式的常用形式。 我们采取这样的思想，即某处存在一通用的坐标系统 ，我们讨论的每一个物体均可参考此参考坐标系。 描述是用来规定操作器系统所涉及的各物体的特性， 这些物体指零件，工具或操作器本身。在本节我们讨 论位置、方位的描述。
机器人模型与控制-0前言1齐次变换
复合映射：平移+旋转 变换通式： 为旋转变换 为平移变换 定义过度坐标系{C}：方向与{A}相同，原点与{B}重合。
旋转运动算子
表示绕过{A}原点的K轴旋转θ角
一般运动算子
先旋转后平移时
先平移后旋转时
说明：当刚体{B}的初始方位与{A}重合时， ，进而 ，也可写成 ，可以理解为坐标系由{A}开始运动到{B}的算子；从结果上看，是坐标系{B}相对于{A}的位姿描述。
PART ONE
1. 齐次变换与刚体位姿描述
什么是齐次变换？ 描述坐标系与坐标系之间姿态（角度）关系 和位置关系的数学工具； 是以矩阵形式表达的； 也可以理解为旋转变换矩阵（表达姿态）的扩展。
01
机器人是多刚体系统
02
（机械臂是多个连杆（刚体）由关节连接而成的）
03
在每个刚体上定义一个坐标系；
齐次变换矩阵可表示点在不同坐标系间的映射
是坐标平移和坐标旋转的复合映射，可分解为两矩阵相乘
平移变换矩阵
旋转变换矩阵
其中
得到
说明：
完全由矢量 决定
完全由矩阵 决定，表示绕过原点的K轴旋转θ角
1.4 运动算子
平移运动算子
AP为移动矢量
变换矩阵相乘的运算
例：
或者，相对于动坐标系先移动 ，再依次绕Y、Z轴分别旋转90。
坐标系{B}是经过三次变换得到的：首先绕{A}的Z轴转90，再绕{A}的Y轴转90，最后相对于{A}移动
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
机器人技术 数学基础-位姿描述与齐次变换
nx ox ax Px
Fobject
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
Py
Pz 1
二、刚体位姿的数学描述
2. 约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知， 该矩阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由 度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互 独立的，而是有约束的，约束条件为：
(O')
y
Pxyz Px ix Py jy Pz kz Puvw Pxyz u
x
三、刚体位姿的坐标变换
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz 中的位置
Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
已知：
z w
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成
a= x , b= y , c= z ，w为比例系数 w ww
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
x
V
y z
x
y
z
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
wT 作为通用比例因子，它可取任意正值，但
w
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
一、点、向量和坐标系的齐次表示
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的 方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
机器人位姿描述基本术语
4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具 有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。 操作臂的组成部分之一。
手Z 腕
X
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作